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| 1 | +\input{regression-test} |
| 2 | + |
| 3 | +\year=2026 \month=1 \day=1 |
| 4 | + |
| 5 | +\documentclass[lang=cn,newtx,10pt,scheme=chinese,fontset=fandol]{elegantbook} |
| 6 | + |
| 7 | +\title{ElegantBook 回归测试} |
| 8 | +\subtitle{测试文档} |
| 9 | +\author{CTeX Kit} |
| 10 | +\institute{Regression Test} |
| 11 | +\date{\today} |
| 12 | +\version{4.7} |
| 13 | +\bioinfo{测试}{elegantbook} |
| 14 | +\extrainfo{ElegantBook writing sample regression test.} |
| 15 | + |
| 16 | +\logo{example-image} |
| 17 | +\cover{example-image} |
| 18 | + |
| 19 | +\begin{document} |
| 20 | + |
| 21 | +\ExplSyntaxOn |
| 22 | +\group_begin: |
| 23 | + \clist_map_inline:nn |
| 24 | + { \normalfont, \sffamily, \ttfamily, \bfseries, \itshape } |
| 25 | + { \mbox { #1 X ~ 字} ~ } |
| 26 | + \clist_map_inline:nn |
| 27 | + { |
| 28 | + \tiny, \scriptsize, \footnotesize, \small, \normalsize, |
| 29 | + \large, \Large, \LARGE, \huge, \Huge |
| 30 | + } |
| 31 | + { \mbox { #1 $\sin x^{x^x}$ } ~ } |
| 32 | +\group_end: |
| 33 | +\clearpage |
| 34 | +\ExplSyntaxOff |
| 35 | + |
| 36 | +\START |
| 37 | + |
| 38 | +\loggingoutput |
| 39 | + |
| 40 | +\BEGINTEST{elegantbook} |
| 41 | + |
| 42 | +\maketitle |
| 43 | + |
| 44 | +\frontmatter |
| 45 | + |
| 46 | +\tableofcontents |
| 47 | + |
| 48 | +\mainmatter |
| 49 | + |
| 50 | +\chapter{ElegantBook 写作示例} |
| 51 | + |
| 52 | +\begin{introduction} |
| 53 | + \item 积分定义~\ref{def:int} |
| 54 | + \item Fubini 定理~\ref{thm:fubi} |
| 55 | + \item 最优性原理~\ref{pro:max} |
| 56 | + \item 柯西列性质~\ref{property:cauchy} |
| 57 | + \item 韦达定理 |
| 58 | +\end{introduction} |
| 59 | + |
| 60 | +\section{Lebesgue 积分} |
| 61 | + |
| 62 | +在前面各章做了必要的准备后，本章开始介绍新的积分。在 Lebesgue 测度理论的基础上建立了 Lebesgue 积分，其被积函数和积分域更一般。Lebesgue 积分比 Riemann 积分具有在更一般条件下的极限定理。 |
| 63 | + |
| 64 | +Lebesgue 积分有几种不同的定义方式。我们将采用逐步定义非负简单函数、非负可测函数和一般可测函数积分的方式。 |
| 65 | + |
| 66 | +\subsection{积分的定义} |
| 67 | + |
| 68 | +我们将通过三个步骤定义可测函数的积分。首先定义非负简单函数的积分。以下设 $E$ 是 $\mathcal{R}^n$ 中的可测集。 |
| 69 | + |
| 70 | +\begin{definition}[可积性]\label{def:int} |
| 71 | +设 $ f(x)=\sum\limits_{i=1}^{k} a_i \chi_{A_i}(x)$ 是 $E$ 上的\textbf{非负简单函数}，中文其中 $\{A_1,A_2,\ldots,A_k\}$ 是$E$ 上的一个可测分割，$a_1,a_2,\ldots,a_k$ 是非负实数。定义$f$ 在 $E$ 上的积分为 $\int_{a}^b f(x)$ |
| 72 | +\begin{equation} |
| 73 | + \label{inter} |
| 74 | + \int_{E} f dx = |
| 75 | + \sum_{i=1}^k a_i m(A_i) \pi \alpha\beta\sigma\gamma\nu\xi\epsilon |
| 76 | + \varepsilon. \oint_{a}^b\ointop_{a}^b\prod_{i=1}^n |
| 77 | +\end{equation} |
| 78 | +一般情况下 $0 \leq \int_{E} f dx \leq \infty$。若 $\int_{E} f dx < \infty$，则称 $f$ 在 $E$ 上可积。 |
| 79 | +\end{definition} |
| 80 | + |
| 81 | +设 $D(x)$ 是区间 $[0,1]$ 上的 Dirichlet 函数。即 $D(x)=\chi_{Q_0}(x)$，其中 $Q_0$ 表示 $[0,1]$ 中的有理数的全体。根据非负简单函数积分的定义，$D(x)$ 在 $[0,1]$ 上的 Lebesgue 积分为 |
| 82 | +\begin{equation} |
| 83 | + \label{inter2} |
| 84 | + \int_0^1 D(x)dx = \int_0^1 \chi_{Q_0} (x) dx = m(Q_0) = 0 |
| 85 | +\end{equation} |
| 86 | +即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。 |
| 87 | + |
| 88 | +有界变差函数是与单调函数有密切联系的一类函数。练习题\ref{exer:43}~是一个性质的证明。 |
| 89 | + |
| 90 | +\begin{exercise}\label{exer:43} |
| 91 | +设 $f \notin\in L(\mathcal{R}^1)$，$g$ 是 $\mathcal{R}^1$ 上的有界 |
| 92 | +可测函数。证明函数 |
| 93 | +\begin{equation} |
| 94 | + \label{ex:1} |
| 95 | + I(t) = \int_{\mathcal{R}^1} f(x+t)g(x)dx \quad t \in \mathcal{R}^1 |
| 96 | +\end{equation} |
| 97 | +是 $\mathcal{R}^1$ 上的连续函数。 |
| 98 | +\end{exercise} |
| 99 | + |
| 100 | +\begin{solution} |
| 101 | +即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。 |
| 102 | +\end{solution} |
| 103 | + |
| 104 | +\begin{proof} |
| 105 | +即 $D(x)$ 在 $[0,1]$ 上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零。 |
| 106 | +\end{proof} |
| 107 | + |
| 108 | +\begin{theorem}[Fubini 定理]\label{thm:fubi} |
| 109 | +若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，则对几乎处处的 $x\in \mathcal{R}^p$，$f(x,y)$ 作为 $y$ 的函数是 $\mathcal{R}^q$ 上的非负可测函数，并且 |
| 110 | +\begin{equation} |
| 111 | + \label{eq:461} |
| 112 | + \int_{\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q} f(x,y) dxdy = |
| 113 | + \int_{\mathcal{R}^p}\left(\int_{\mathcal{R}^q}f(x,y)dy\right)dx. |
| 114 | +\end{equation} |
| 115 | +若 $f(x,y)$ 是 $\mathcal{R}^p\times\mathcal{R}^q$ 上的可积函数，则~\eqref{eq:461} 成立。 |
| 116 | +\end{theorem} |
| 117 | + |
| 118 | +\begin{note} |
| 119 | +在本模板中，引理和推论的样式和定理~\ref{thm:fubi} 的样式一致。 |
| 120 | +\end{note} |
| 121 | + |
| 122 | +\begin{proposition}[最优性原理]\label{pro:max} |
| 123 | +如果 $u^*$ 在 $[s,T]$ 上为最优解，则 $u^*$ 在 $[s, T]$ 任意子区间都是最优解。 |
| 124 | +\end{proposition} |
| 125 | + |
| 126 | +\begin{figure}[htbp] |
| 127 | + \centering |
| 128 | + \includegraphics[width=0.45\textwidth]{example-image} |
| 129 | + \caption{散点图示例 $\hat{y}=a+bx$ \label{fig:scatter}} |
| 130 | +\end{figure} |
| 131 | + |
| 132 | +回归分析中，如果只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。图 \ref{fig:scatter}~给出了一个示意。 |
| 133 | + |
| 134 | +\begin{property}\label{property:cauchy} |
| 135 | +柯西列的性质 |
| 136 | +\begin{enumerate} |
| 137 | + \item $\{x_k\}$ 是柯西列，则其子列 $\{x_k^i\}$ 也是柯西列。 |
| 138 | + \item $x_k\in \mathcal{R}^n$，$\rho(x,y)$ 是欧几里得空间，则柯西列收敛，$(\mathcal{R}^n,\rho)$ 空间是完备的。 |
| 139 | +\end{enumerate} |
| 140 | +\end{property} |
| 141 | + |
| 142 | +\begin{conclusion} |
| 143 | +回归分析是确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。按照涉及的变量多少，可分为一元回归和多元回归分析。 |
| 144 | +\end{conclusion} |
| 145 | + |
| 146 | +\begin{problemset} |
| 147 | +\item 设 $A$ 为数域 $K$ 上的 $n$ 级矩阵。证明：如果 $K^n$ 中任意非零列向量都是 $A$ 的特征向量，则 $A$ 一定是数量矩阵。 |
| 148 | +\item 证明：不为零矩阵的幂零矩阵不能对角化。 |
| 149 | +\item 设 $A = (a_{ij})$ 是数域 $K$ 上的一个 $n$ 级上三角矩阵，证明：如果 $a_{11} = a_{22} = \cdots = a_{nn}$，并且至少有一个 $a_{kl} \not = 0 (k < l)$，则 $A$ 一定不能对角化。 |
| 150 | +\end{problemset} |
| 151 | + |
| 152 | +\clearpage |
| 153 | + |
| 154 | +\ENDTEST |
| 155 | + |
| 156 | +\END |
| 157 | + |
| 158 | +\end{document} |
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