arctan-examples.tex

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\newtheorem{theorem}{定理}[section]
\newtheorem{proposition}[theorem]{命题}
\newtheorem{lemma}[theorem]{引理}
\theoremstyle{definition}
\newtheorem{definition}[theorem]{定义}
\newtheorem{example}[theorem]{例}
\newtheorem{remark}[theorem]{注记}
\newtheorem{pattern}[theorem]{规律}

\title{Arctan 加法公式的实例与规律}
\author{$\lambda$}
\date{02 Aug, 2026}

\begin{document}

\maketitle

\begin{abstract}
本文通过大量具体计算，系统探索 $\arctan$ 加法公式在单位分数上产生的分裂结构。
我们从 $(a-c)(b-c)=c^2+1$ 这一核心公式出发，逐一展现分裂计数、多父节点现象、$\pi$ 表示枚举、高斯整数联系等规律。
所有计算程序见附件 \texttt{extract\_patterns.py}。
\end{abstract}

\section{核心公式}

由 $\arctan$ 加法公式：
\[
\arctan\frac{1}{a}+\arctan\frac{1}{b}
=\arctan\frac{a+b}{ab-1}.
\]
令右端为 $\arctan(1/c)$，整理得：

\begin{proposition}[分裂公式]\label{prop:split}
\[
\boxed{\arctan\frac{1}{c}=\arctan\frac{1}{a}+\arctan\frac{1}{b}
\;\Longleftrightarrow\; (a-c)(b-c)=c^2+1.}
\]
其中 $a,b$ 为正整数当且仅当存在 $d,e>0$ 满足 $de=c^2+1$，取 $a=c+d$, $b=c+e$。
\end{proposition}

\section{规律一：分裂计数由 $c^2+1$ 的因子数决定}

\subsection{数据}

下表给出 $c=1$ 至 $30$ 的所有无序整数分裂（即 $(a,b)$ 与 $(b,a)$ 视为同一）。

\begin{longtable}{c|c|c|l}
$c$ & $c^2+1$ & 素因子分解 & 无序分裂 $(a,b)$ \\ \hline
\endfirsthead
$c$ & $c^2+1$ & 分解 & 分裂 \\ \hline
\endhead
1 & 2 & 2 & (2,3) \\
2 & 5 & 5 & (3,7) \\
3 & 10 & $2\cdot5$ & (4,13), (5,8) \\
4 & 17 & 17 & (5,21) \\
5 & 26 & $2\cdot13$ & (6,31), (7,18) \\
6 & 37 & 37 & (7,43) \\
7 & 50 & $2\cdot5^2$ & (8,57), (9,32), (12,17) \\
8 & 65 & $5\cdot13$ & (9,73), (13,21) \\
9 & 82 & $2\cdot41$ & (10,91), (11,50) \\
10 & 101 & 101 & (11,111) \\
11 & 122 & $2\cdot61$ & (12,133), (13,72) \\
12 & 145 & $5\cdot29$ & (13,157), (17,41) \\
13 & 170 & $2\cdot5\cdot17$ & (14,183), (15,98), (18,47), (23,30) \\
14 & 197 & 197 & (15,211) \\
15 & 226 & $2\cdot113$ & (16,241), (17,128) \\
16 & 257 & 257 & (17,273) \\
17 & 290 & $2\cdot5\cdot29$ & (18,307), (19,162), (22,75), (27,46) \\
18 & 325 & $5^2\cdot13$ & (19,343), (23,83), (31,43) \\
19 & 362 & $2\cdot181$ & (20,381), (21,200) \\
20 & 401 & 401 & (21,421) \\
21 & 442 & $2\cdot13\cdot17$ & (22,463), (23,242), (26,117), (34,55) \\
22 & 485 & $5\cdot97$ & (23,507), (27,102) \\
23 & 530 & $2\cdot5\cdot53$ & (24,553), (25,288), (28,129), (33,76) \\
24 & 577 & 577 & (25,601) \\
25 & 626 & $2\cdot313$ & (26,651), (27,338) \\
26 & 677 & 677 & (27,703) \\
27 & 730 & $2\cdot5\cdot73$ & (28,757), (29,392), (32,173), (37,100) \\
28 & 785 & $5\cdot157$ & (29,813), (33,162) \\
29 & 842 & $2\cdot421$ & (30,871), (31,450) \\
30 & 901 & $17\cdot53$ & (31,931), (47,83) \\
\end{longtable}

\begin{pattern}[分裂计数]
设 $\tau(n)$ 为 $n$ 的正因子个数。则 $\arctan(1/c)$ 的无序整数分裂方式数为
\[
\boxed{N_{\text{split}}(c)=\left\lfloor\frac{\tau(c^2+1)}{2}\right\rfloor.}
\]
特别地，若 $c^2+1$ 为素数，则只有一种分裂 $(c+1,\;c+c^2+1)$。
\end{pattern}

\subsection{高分裂数节点}

以下列出 $c\leq 200$ 中分裂数 $\geq 4$ 的节点：

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c}
$c$ & $c^2+1$ & 无序分裂数 & 分解 \\ \hline
13 & 170 & 4 & $2\cdot5\cdot17$ \\
17 & 290 & 4 & $2\cdot5\cdot29$ \\
21 & 442 & 4 & $2\cdot13\cdot17$ \\
23 & 530 & 4 & $2\cdot5\cdot53$ \\
27 & 730 & 4 & $2\cdot5\cdot73$ \\
43 & 1850 & 6 & $2\cdot5^2\cdot37$ \\
47 & 2210 & 8 & $2\cdot5\cdot13\cdot17$ \\
57 & 3250 & 8 & $2\cdot5^3\cdot13$ \\
73 & 5330 & 8 & $2\cdot5\cdot13\cdot41$ \\
83 & 6890 & 8 & $2\cdot5\cdot13\cdot53$ \\
123 & 15130 & 8 & $2\cdot5\cdot17\cdot89$ \\
133 & 17690 & 8 & $2\cdot5\cdot29\cdot61$ \\
157 & 24650 & 12 & $2\cdot5^2\cdot17\cdot29$ \\
173 & 29930 & 8 & $2\cdot5\cdot41\cdot73$ \\
177 & 31330 & 8 & $2\cdot5\cdot13\cdot241$ \\
183 & 33490 & 8 & $2\cdot5\cdot17\cdot197$ \\
187 & 34970 & 8 & $2\cdot5\cdot13\cdot269$ \\
191 & 36482 & 8 & $2\cdot17\cdot29\cdot37$ \\
193 & 37250 & 8 & $2\cdot5^3\cdot149$ \\
\end{tabular}
\caption{高分裂数节点（$\geq 4$ 种无序分裂）}
\end{table}

\begin{remark}
$c=157$ 以 12 种分裂领先，因为 $157^2+1=24650=2\cdot5^2\cdot17\cdot29$ 的因子数 $\tau=24$，故无序分裂数 $=12$。这体现了数论函数 $\tau(c^2+1)$ 的波动性。
\end{remark}

\section{规律二：同一个 $\arctan(1/c)$ 可以是多个不同父节点的子节点}

\begin{pattern}[多父节点]
若 $\arctan(1/c)$ 可以从不同的父节点 $p$ 分裂而来，则称 $c$ 有多父节点。这在 Markov 树的 Vieta 跳跃中不会发生——Markov 树中每个节点有唯一父节点。而在 arctan 分裂中，多父节点是\textbf{普遍现象}。
\end{pattern}

例如：
\begin{itemize}
\item $\arctan(1/73)$ 有 \textbf{16 个父节点}：可从 $8,32,47,60,63,68,71,72$ 分别分裂而来；
\item $\arctan(1/83)$ 有 16 个父节点：包括著名的 $18,30,57$ 等；
\item $\arctan(1/99)$ 有 12 个父节点：包括 $41,70,73,86,97,98$。
\end{itemize}

事实上，对于 $c\geq 2$，常见的父节点是 $(c-1, c+c^2-2c+2)$（当 $c^2+1$ 非素数时变化更多）以及由 $c^2+1$ 的因子对产生的所有 $(c+d, c+e)$ 形式，其中 $de=c^2+1$。

\begin{remark}
这意味着 arctan 分裂图是\textbf{有向无环图 (DAG)} 而非树。从 Markov 方程的纯树结构到 arctan 的 DAG 结构，是这两类问题在组合结构上的核心区别。
\end{remark}

\section{规律三：$\pi$ 表示的系统枚举}

以 $\pi=4\arctan(1)$ 为出发点，迭代应用 Proposition~\ref{prop:split}，可以生成所有形如 $\pi=\sum p_i\arctan(1/q_i)$（$p_i\in\mathbb{Z}^+$, $q_i\in\mathbb{Z}^+$）的表示。

\subsection{$n=1$ 至 $n=3$ 的完整列表}

\begin{example}[$n=1$]
\[
\pi = 4\arctan\frac{1}{1}\quad\text{（唯一）}
\]
\end{example}

\begin{example}[$n=2$]
仅有 2 个表示：
\begin{align*}
\pi &= 4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{3} \quad\text{(Euler/Hutton)}\\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{7}+8\arctan\frac{1}{3}
\end{align*}
\end{example}

\begin{example}[$n=3$]
在 $q_i\leq 100$ 约束下共 11 个表示：
\begin{align*}
\pi &= 4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{5}+4\arctan\frac{1}{8} \\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{2}+4\arctan\frac{1}{4}+4\arctan\frac{1}{13} \\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{8}+4\arctan\frac{1}{57}+8\arctan\frac{1}{3} \\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{9}+4\arctan\frac{1}{32}+8\arctan\frac{1}{3} \\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{12}+4\arctan\frac{1}{17}+8\arctan\frac{1}{3} \\
\pi &= 4\arctan\frac{1}{41}+8\arctan\frac{1}{3}+8\arctan\frac{1}{17} \\
&\;\;\vdots
\end{align*}
\end{example}

\subsection{枚举统计}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{c|cccccc}
$\max q_i$ & $n=1$ & $n=2$ & $n=3$ & $n=4$ & $n=5$ & 总计 \\ \hline
10  & 1 & 2 & 2  & 1   & 0    & 6 \\
20  & 1 & 2 & 6  & 6   & 0    & 15 \\
50  & 1 & 2 & 8  & 24  & 0    & 35 \\
100 & 1 & 2 & 11 & 45  & 235  & 294 \\
200 & 1 & 2 & 11 & 62  & 235  & 311
\end{tabular}
\caption{$\pi$ 表示数量随 $q_i$ 上界和项数 $n$ 的分布}
\end{table}

\begin{pattern}[生成规律]
设 $\pi=\sum p_i\arctan(1/q_i)$ 为某表示。若系数 $p_k$ 对应的 $q_k$ 有分裂 $(a,b)$，则替换
\[
p_k\arctan\frac{1}{q_k} \longmapsto p_k\arctan\frac{1}{a}+p_k\arctan\frac{1}{b}
\]
后，若存在重复的 $q$ 值则合并系数，即得新的 $\pi$ 表示。

\textbf{所有 $\pi$ 表示都可以从 $\pi=4\arctan(1)$ 通过反复应用此操作生成。}
\end{pattern}

\section{规律四：经典 Machin 公式的谱系}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{l|l|l}
公式 & $\pi/4=$ & 误差 \\ \hline
Euler/Hutton (1738) & $\arctan(1/2)+\arctan(1/3)$ & 0 \\
Hermann (1706) & $2\arctan(1/3)+\arctan(1/7)$ & 0 \\
Machin (1706) & $4\arctan(1/5)-\arctan(1/239)$ & $\sim10^{-16}$ \\
\end{tabular}
\caption{通过分裂树验证的经典公式}
\end{table}

以 Euler 公式为基底，可以通过分裂树生成 Hermann 公式：
\[
\arctan\frac{1}{2}=\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}
\;\Longrightarrow\;
\arctan\frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3}=2\arctan\frac{1}{3}+\arctan\frac{1}{7}.
\]

Machin 公式的生成更复杂（涉及负系数），但也可以通过分裂树追溯到 $\arctan(1/5)$ 和 $\arctan(1/239)$ 的分裂关系。

\section{规律五：高斯整数因子化的具体实现}

分裂公式 $(a-c)(b-c)=c^2+1$ 的核心在于：
\[
c^2+1=N(c+i)=(c+i)(c-i)\quad\text{在 }\mathbb{Z}[i]\text{ 中}.
\]
若 $c+i=\alpha\beta$ 为 $\mathbb{Z}[i]$ 中的分解，则 $N(\alpha)=d$, $N(\beta)=e$ 满足 $de=c^2+1$，且
\[
a=c+N(\alpha)=c+d,\qquad b=c+N(\beta)=c+e.
\]

\begin{example}[$c=7$]
$7+i$ 的范数为 $50$。$\mathbb{Z}[i]$ 中 $50$ 的因子分解：
\begin{itemize}
\item $(1+0i)(7+i)$: $N(\alpha)=1$, $N(\beta)=50$，得 $a=8$, $b=57$；
\item 实际对应 $7+i=(2+i)(3-i)$: $N(2+i)=5$, $N(3-i)=10$，得 $a=7+5=12$, $b=7+10=17$；
\item 也对应 $50=25\cdot2$ 的分解。
\end{itemize}
三种无序分裂 $(8,57),(9,32),(12,17)$ 恰好对应 $50=1\cdot50,2\cdot25,5\cdot10$ 三种因子对。
\end{example}

\begin{example}[$c=13$]
$13+i$ 的范数为 $170=2\cdot5\cdot17$。四种无序分裂：
\begin{align*}
170=1\cdot170 &\;\Longrightarrow\; (14,183)\\
170=2\cdot85  &\;\Longrightarrow\; (15,98)\\
170=5\cdot34  &\;\Longrightarrow\; (18,47)\\
170=10\cdot17 &\;\Longrightarrow\; (23,30)
\end{align*}
\end{example}

\section{规律六：无循环性}

在 Markov 方程中，Vieta 对合给出长度为 2 的循环：$(x,y,z)\leftrightarrow(x,y,3xy-z)$。我们自然要问：arctan 分裂中是否存在类似的自引用或循环？

\begin{pattern}[无自引用]
对任意 $c\geq 1$，分裂 $(a,b)$ 中永远有 $a>c$ 且 $b>c$（因为 $d,e>0$）。因此：
\begin{itemize}
\item 不存在 $\arctan(1/c)$ 的分裂直接包含 $\arctan(1/c)$ 自身；
\item 不存在长度为 2 的循环（分裂再分裂回到原来的 $c$）；
\item 分裂森林是严格的\textbf{有向无环图}，分裂操作始终增大参数值。
\end{itemize}
\end{pattern}

这与 Markov 方程的根本区别在于：Markov 的 Vieta 跳跃保持和 $x+y+z$ 不变（或 $3xyz$ 不变），而 arctan 分裂严格增大参数——分裂后的 $a,b$ 总大于 $c$。

\section{规律七：系数的增长模式}

在 $\pi$ 表示 $\pi=\sum p_i\arctan(1/q_i)$ 中，随着分裂的深入，系数 $p_i$ 遵循可预测的变化模式。

\begin{pattern}[系数模式]
若将 $\arctan(1/c)$ 分裂为 $\arctan(1/a)+\arctan(1/b)$，且原系数为 $p$，则新表示中 $\arctan(1/a)$ 和 $\arctan(1/b)$ 的系数均为 $p$（合并前）。

观察列举的 $n=3$ 表示可以发现：所有系数的最大公约数总是 4 的倍数（从 $\pi=4\arctan(1)$ 出发，系数始终是 4 的整数倍）。具体地，系数集合总是 $\{4k: k\in\mathbb{N}\}$ 的子集。
\end{pattern}

例如在 $n=3$ 的表示中：
\begin{itemize}
\item 系数可为 $\{4,4,4\}$（如 Euler 分裂一次）；
\item 系数可为 $\{4,8,8\}$（如从 $\{8,4\}$ 再分裂一个 $\arctan(1/3)$）；
\item 系数可为 $\{8,8,12\}$（如 $\pi=8\arctan(1/8)+8\arctan(1/18)+12\arctan(1/7)$）。
\end{itemize}

\section{规律八：和模式}

对于固定 $c$，考虑 $c^2+1$ 的所有因子对 $(d,e)$ 产生的分裂 $(c+d,c+e)$。注意到：
\[
a+b = (c+d)+(c+e) = 2c + (d+e).
\]
由于 $de=c^2+1$ 为定值，$d+e$ 在 $d$ 取遍所有因子时变化，但受约束于 $de=\text{const}$。这意味着不同的分裂对应不同的 $a+b$ 值，且
\[
(a-c)(b-c) = c^2+1 = \text{const}.
\]
这是 $(a,b)$ 平面上的一条\textbf{双曲线}，每个整数点对应一种分裂方式。

\begin{example}[$c=7$]
$7^2+1=50$。三种分裂：
\begin{align*}
(8,57) &: a+b=65,\; (a-7)(b-7)=1\cdot50=50\\
(9,32) &: a+b=41,\; (a-7)(b-7)=2\cdot25=50\\
(12,17) &: a+b=29,\; (a-7)(b-7)=5\cdot10=50
\end{align*}
$d+e$ 分别为 $51,27,15$，呈递减趋势。
\end{example}

\section{规律九：局部结构——相邻数的分裂}

观察相邻整数 $c$ 和 $c+1$ 的分裂关系。存在一个\textbf{平凡的相邻关系}：对于任意 $c$，分裂 $(c+1,\;c+c^2+1)$ 始终存在（对应 $d=1$, $e=c^2+1$）。这意味着 $c+1$ 总是 $c$ 的一个子节点。

此外，对于 $c^2+1$ 恰好为 $(c+1)^2+1$ 时不成立——事实上 $c^2+1$ 和 $(c+1)^2+1$ 通常互素或仅有小公因子，但它们的分解结构有统计相关性。

\section{总结：两大结构的根本差异}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{p{5.5cm}|p{5.5cm}}
\textbf{Markov 方程 $x^2+y^2+z^2=3xyz$} & \textbf{Arctan 分裂 $(a-c)(b-c)=c^2+1$} \\ \hline
每个节点恰有 2 个后代 & 每个节点有 $\lfloor\tau(c^2+1)/2\rfloor$ 个分叉 \\
纯树结构（每个节点有唯一父节点） & DAG 结构（多有多个父节点） \\
Vieta 对合：$z\leftrightarrow 3xy-z$ & 离散双曲线：$de=c^2+1$ \\
存在长度-2 循环 & 无循环（严格增大） \\
与 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的迹相关 & 与 $\mathbb{Z}[i]$ 的范数相关 \\
解的增长：$\sim\log N$（稀疏） & 解的增长：$\sim N^{\alpha}$（$\alpha\approx0.6$）\\
解集在 $\mathbb{Z}^3$ 中 & 解集在 $\mathbb{Z}^2$（参数 $c\mapsto(a,b)$）中
\end{tabular}
\caption{Markov 与 Arctan 结构的系统对比}
\end{table}

最终结论：Arctan 分裂的数学本质是\textbf{双曲线 $(X)(Y)=c^2+1$ 上的整点枚举}，等价于 $\mathbb{Z}[i]$ 中 $c+i$ 的因子分解。而 Markov 方程的数学本质是\textbf{二次曲面 $x^2+y^2+z^2=3xyz$ 上的 Vieta 跳跃}，等价于 $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ 的 Cayley 图的子树。两者在结构上的差异源于前者是双曲线（一次退化）而后者是二次型。

\end{document}