feat: 密度曲线右轴新增近似正交概率曲线（单对 P(|ρ|≤t) 与全部 P(max|ρ|≤t)）

Author: treert

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@@ -6,7 +6,10 @@
   三条线对比：F^M（beta 幂次，全 K 适用）、Gumbel 渐近、一阶近似 `√(2·lnM/N)`
   （双侧 `√(2·ln(2M)/N)`）。
 - **密度曲线**：给定 (N, K)，max ρ 的分布密度（F^M 与 Gumbel 渐近两条），叠加单对点乘的
-  精确 beta 密度作对比；单侧且 K 小时横轴自动扩展到负半轴。
+  精确 beta 密度作对比；单侧且 K 小时横轴自动扩展到负半轴。右纵轴（概率轴，0~1）叠加
+  两条**近似正交概率**曲线——把 $|\rho| < t$ 当作"正交"：单对 $P(|\rho|\le t)$
+  （精确，只依赖 N）与 $P(\max|\rho|\le t)$（K 个向量全部两两近似正交的概率，
+  即 F^M 双侧 CDF）。
 
 理论来源：Cai, Fan, Jiang, *Distributions of Angles in Random Packing on Spheres*,
 JMLR 14 (2013), arXiv:1306.0256。
@@ -35,6 +38,8 @@ K 的调节上限取 $N^2$（多项式增长，$\ln K/N = 2\ln N/N$ 全程较小
 
 两张图除 ρ 主轴外均带**角度副轴**（中位数曲线右侧、密度曲线顶部，
 θ = arccos(ρ)，ρ = 0 对应 90°），tooltip 悬浮也同时显示 ρ 与对应夹角。
+密度曲线另有**右侧概率纵轴**（0~1），供两条近似正交概率曲线使用
+（tooltip 中该两系列按百分比显示）。
 
 控制区可运行**蒙特卡洛模拟**（设计细节见 `monte-carlo-design.md`）：
 顺序逐条轨迹流式推进、时间片可中断，密度曲线叠加点积直方图（贴合单对 beta
@@ -80,6 +85,12 @@ $$g(\rho) = \frac{\Gamma(N/2)}{\sqrt{\pi}\,\Gamma\!\left(\frac{N-1}{2}\right)}\,
 - 几何意义：$P(\rho > t)$ 就是球面被一个球冠截取的面积占比；因子 $(1-\rho^2)^{(N-3)/2}$
   表明 N 越大，质量越向"赤道"（$\rho=0$，即 90°）集中——这是"高维近乎正交"的根源。
 - 大 N 近似：$\rho \approx \mathcal N(0,\,1/N)$，即标准差 $\sigma \approx 1/\sqrt{N}$。
+- **近似正交概率**（密度曲线右轴的红线）：把 $|\rho| < t$ 当作"正交"，两个随机向量
+  近似正交的概率有精确式
+  $$P(|\rho| \le t) = 1 - I_{1-t^2}\!\left(\tfrac{N-1}{2}, \tfrac12\right)
+  \;\approx\; 2\Phi(t\sqrt N) - 1 \quad (N \gg 1)$$
+  它只依赖 N：$t = 3\sigma \approx 3/\sqrt N$ 时已 ≈ 99.7%——"高维随机向量近乎正交"
+  的定量表述（`theory.js` 的 `pairAbsDotCDF`）。
 - 实现细节（`theory.js`）：归一化常数用 Lanczos 近似的 `lgamma` 在对数域计算，
   避免 N 很大时 $\Gamma$ 函数溢出。
 
@@ -103,6 +114,11 @@ f_{\max}(t) = 2M\,\bigl(2F(t)-1\bigr)^{M-1} g(t) \quad\text{（双侧）}$$
 
 分位数通过对 CDF 二分求逆得到（`maxDotQuantileBeta`）。
 
+双侧 CDF 还有一个读法：$P(\max|\rho| \le t)$ 就是 **K 个向量全部两两近似正交**
+（所有 $|\rho_{ij}| < t$）的概率——密度曲线右轴的青线（"正交"按 $|\rho|$ 口径，
+总是双侧，与界面的单双侧开关无关）。它与红线的差距体现取极值的代价：K 越大，
+要保证全部 M 对都"正交"，阈值 t 就得放得越宽。
+
 **实现细节（大 K 精度）**：峰值处 $1-F(t) \sim 1/M$，K 很大时可小至 $10^{-16}$，
 接近 float64 机器精度（$\varepsilon \approx 2.2\times10^{-16}$）。此时直接算
 `1 - half` 会把 $1-F$ 量化成 $\varepsilon$ 的整数倍，再被 $(M-1)\ln F$ 放大成

web-tools/orthogonal-demo/js/app.js

@@ -117,7 +117,7 @@
     return cache1;
   }
 
-  const cache2 = { key: '', xLo: 0, xHi: 0, maxDotGumbel: null, maxDotBeta: null, singlePair: null };
+  const cache2 = { key: '', xLo: 0, xHi: 0, maxDotGumbel: null, maxDotBeta: null, singlePair: null, probPair: null, probMax: null };
   function theoryData2() {
     const { N, K, twoSided } = state;
     const key = N + '|' + K + '|' + twoSided;
@@ -136,13 +136,19 @@
     const maxDotGumbel = [];
     const maxDotBeta = [];
     const singlePair = [];
+    const probPair = [];
+    const probMax = [];
     for (let i = 0; i <= samples; i++) {
       const r = xLo + (i / samples) * (xHi - xLo);
       maxDotGumbel.push([r, T.maxDotDensity(r, N, K, twoSided)]);
       maxDotBeta.push([r, T.maxDotDensityBeta(r, N, K, twoSided)]);
       // 双侧模式下对比基线应为单个 |ρ| 的密度：负半轴折叠到正半轴，高度翻倍
       const g = T.pairDotDensity(r, N);
       singlePair.push([r, twoSided ? 2 * g : g]);
+      // 右轴近似正交概率：始终按 |ρ|（双侧）口径，与单双侧开关无关；
+      // r ≤ 0 时概率为 0（保持网格一致，axis tip 负半段也能显示该系列）
+      probPair.push([r, r > 0 ? T.pairAbsDotCDF(r, N) : 0]);
+      probMax.push([r, r > 0 ? T.maxDotCDFBeta(r, N, K, true) : 0]);
     }
     cache2.key = key;
     cache2.xLo = xLo;
@@ -152,6 +158,8 @@
     cache2.maxDotGumbel = maxDotGumbel;
     cache2.maxDotBeta = maxDotBeta;
     cache2.singlePair = singlePair;
+    cache2.probPair = probPair;
+    cache2.probMax = probMax;
     return cache2;
   }
 
@@ -673,7 +681,7 @@
           left: 'center',
           textStyle: { fontSize: 14 },
         },
-        // 系列顺序：F^M(蓝)、Gumbel(黄)、单对(绿)
+        // 系列顺序：F^M(蓝)、Gumbel(黄)、单对(绿)；两条正交概率曲线自带显式配色
         color: ['#2563eb', '#eab308', '#2ca02c'],
         tooltip: {
           trigger: 'axis',
@@ -683,15 +691,20 @@
             let html =
               'ρ = ' + rho.toFixed(4) + '（θ≈' + rhoToDeg(rho).toFixed(2) + '°）';
             for (const p of params) {
+              const v = Number(p.value[1]);
+              if (!isFinite(v)) continue;
+              // 正交概率曲线在右轴（0~1），按百分比显示
+              const isProb = p.seriesName.indexOf('正交概率') >= 0;
               html +=
                 '<br/>' + p.marker + p.seriesName + '：' +
-                Number(p.value[1]).toFixed(3);
+                (isProb ? (v * 100).toFixed(2) + '%' : v.toFixed(3));
             }
             return html;
           },
         },
-        legend: { bottom: 0 },
-        grid: { left: 60, right: 30, top: 45, bottom: 45 },
+        legend: { bottom: 0, type: 'scroll' },
+        // 右侧概率轴占位：right 由 30 加宽到 56
+        grid: { left: 60, right: 56, top: 45, bottom: 45 },
         xAxis: [
           {
             type: 'value',
@@ -724,7 +737,21 @@
           },
         ],
         // 轴名放中部：顶部要留给角度副轴的 90° 端点标签
-        yAxis: { type: 'value', name: '密度', nameLocation: 'middle', nameGap: 40, min: 0 },
+        yAxis: [
+          { type: 'value', name: '密度', nameLocation: 'middle', nameGap: 40, min: 0 },
+          // 右侧概率轴（0~1）：近似正交概率曲线专用
+          {
+            type: 'value',
+            name: '概率',
+            nameLocation: 'middle',
+            nameGap: 32,
+            position: 'right',
+            min: 0,
+            max: 1,
+            splitLine: { show: false },
+            axisLabel: { formatter: (v) => String(Number(v.toFixed(1))) },
+          },
+        ],
         series: [
           {
             name: 'max ρ 密度（F^M，beta 幂次）',
@@ -763,6 +790,26 @@
               ],
             },
           },
+          // 近似正交概率曲线（右轴）：把 |ρ| < t 当作正交；始终双侧口径，
+          // 与 UI 单双侧开关无关。数据网格与密度系列一致（负半轴为 0）
+          {
+            name: 'P(|ρ|≤t) 单对正交概率',
+            type: 'line',
+            showSymbol: false,
+            yAxisIndex: 1,
+            color: '#dc2626',
+            lineStyle: { width: 2 },
+            data: td.probPair,
+          },
+          {
+            name: 'P(max|ρ|≤t) 全部正交概率',
+            type: 'line',
+            showSymbol: false,
+            yAxisIndex: 1,
+            color: '#0d9488',
+            lineStyle: { width: 2 },
+            data: td.probMax,
+          },
         ].concat(mcOv.series),
       },
       { notMerge: true }

web-tools/orthogonal-demo/js/theory.js

@@ -170,6 +170,17 @@
     return t >= 0 ? 1 - half : half;
   }
 
+  /**
+   * 单对"近似正交"概率：把 |ρ| < t 当作正交，两个随机向量近似正交的概率
+   * P(|ρ| ≤ t) = 1 − I_{1−t²}((N−1)/2, 1/2)（t ≥ 0；精确，只依赖 N）。
+   * 大 N 近似 2Φ(t√N) − 1（ρ ≈ N(0,1/N)，t = 3/√N 时已 ≈ 99.7%）。
+   */
+  function pairAbsDotCDF(t, N) {
+    if (t <= 0) return 0;
+    if (t >= 1) return 1;
+    return 1 - regIncBeta(1 - t * t, (N - 1) / 2, 0.5);
+  }
+
   /**
    * 单对点乘的对数 CDF：log F(t)。
    * t ≥ 0 时用 log1p(−half) 计算 log(1−half)：当 half ~ 1/M ~ 1e-16 接近
@@ -250,6 +261,7 @@
     centering,
     regIncBeta,
     pairDotCDF,
+    pairAbsDotCDF,
     pairDotLogCDF,
     maxDotLogCDFBeta,
     maxDotCDFBeta,