DersNotlari/Temel İstatistik.md at main · unalozden/DersNotlari

BÖLÜM 1

GİRİŞ

İstatistik kelimesi hemen hemen herkes tarafından bilinirse de, farklı kişilere farklı anlamlar ifade etmektedir. Bu kelime konu ile daha az ilgisi olanlar için genellikle alt alta yazılmış rakam topluluklarını veya grafikleri ifade ederken, konuya daha yakın olanlar için farklı anlam taşımaktadır.

İstatistik kelimesi ilk olarak Almanya'da devlet anlamına gelen status kelimesine dayanılarak kullanılmaya başlanmıştır. İstatistiksel araştırmaların geçmişi, istatistik kelimesinden de eskiye dayanmaktadır. Başlangıçta çok kısıtlı alanlarda başlayan çalışmalar, matematikçilerin geliştirdikleri teorilere paralel olarak istatistiğin gelişmesi ile daha geniş uygulama alanları bulabilmiştir. İstatistik günümüzde pek çok alanda uygulanmakta ve özellikle bilgisayarların yaygın olarak kullanılmaya başlanması ile uygulama alanı giderek genişlemektedir.

1.1. İSTATİSTİĞİN TANIMI

Uygulama alanı çok geniş olan istatistiğin farklı tanımları yapılabilir. İstatistikten genel anlamı ile sayısal analizler anlaşıl-maktadır. Anlamını daha iyi açıklayacak bir tanım şöyle yapılabilir.

Verilerin toplanması, düzenlenmesi ve uygun yöntemlerle analiz edilerek sonuçların yorumlanmasına istatistik denir.

Tanımdan da anlaşılacağı gibi istatistikten söz edebilmek için önce veriye ihtiyaç vardır. Sayısal veya sayısal olarak ifade edilebilen bilgiler, istatistiksel analizlerin verileridir. Toplanan verilerin analize uygun hale getirilmesi için düzenlenmesi gerekebilir. Verilerin düzenlenmesinden sonra analiz için uygun istatistiksel yöntem veya yöntemler seçilecektir.

İstatistikçiler farklı alanlarda karşılaşılan farklı durumlar için çeşitli yöntemler geliştirmişlerdir. Araştırılan konuya uygun yöntemin seçimi araştırmacı veya araştırmacıların görevidir. Bazı durumlarda aynı veri farklı yöntemlerle de incelenebilir. Bu durumda en uygun yöntem seçilecek veya farklı yöntemler ile analiz yapılarak sonuçlar karşılaştırılarak en iyi sonuca ulaşılmaya çalışılacaktır.

Elde edilen verinin analizi ile sonuçlar elde edilecektir. İstatistiksel analiz sayısal sonuçların elde edilmesi ile sona ermez. Sonuçlar genellikle tam bir kesinliği ifade etmediğinden yorumlanmaları gerekecektir. İstatistiksel analizler bir amaç için yapılırlar. Elde edilen sonuçlar araştırılan konu ile ilgili bir kararın alınmasına yardımcı olacaktır. Bu nedenle verilerin toplanmasından sonuçların yorumlanmasına kadar herhangi bir aşamada yapılacak hata, sonuçları etkileyecek, hatalı kararlara neden olacaktır.

Yukarıdaki açıklamalarımızdan da anlaşıldığı gibi istatistik, sayısal değerlerin toplanarak analiz edildiği bilimsel bir metot veya metotlar topluluğudur. Bazı yazarlarca istatistiğin bir bilim olduğu söylenmektedir. Bilimden söz edebilmek için bilimin kendine özgü bir konusu ve bu konuda bir bütünlüğü olması gerekir. İstatistik, matematik temellere dayanır ve kendine özgü bir konusu yoktur. Farklı konularda kullanılabilen yöntemlerin bir araya gelmesi ile ortaya çıkmıştır. Tıp, matematik, iktisat vb. için söylediklerimizi istatistik için söyleyemeyiz. Ayrıca istatistiksel yöntemler arasında tam bir ilişki de söz konusu değildir. İstatistiksel yöntemler çeşitli bilim dallarında araştırmalar yapmak için kullanılırken, bilim dallarının özelliklerine göre istatistiksel yöntemlerin bazıları kullanılmakta, bazıları ise kullanılmamaktadır. Bu açıklamalara göre istatistiğin kendine özgü bir konusu olmadığı ve kullanılan yöntemler arasında tam bir ilişki bulunmadığı sonucuna varılmaktadır. Bu sonuca göre, istatistiğin bir bilim olduğu görüşünü savunmamız zordur.

İstatistiğin bir bilim olduğunu savunanlar ise, istatistiksel yöntemlerin kullanıldığı alanların başka bir şekilde doldurulamadığını, bu nedenle bilim olduğunu ileri sürmektedirler. Sonuç olarak, istatistiğin bilim olsa da, olmasa da yararlı olduğunu ve ihtiyaç duyulduğunu söyleyebiliriz.

1.2. İSTATİSTİĞİN KONUSU OLAN OLAYLAR

Karşılaştığımız olayları tipik ve toplu olaylar olarak iki ana grupta toplayabiliriz. Tipik olaylar az sayıda faktör tarafından etkilenen, fiziksel, kimyasal olaylar gibi olaylardır. Bu olaylar, az sayıda faktör tarafından etkilendiklerinden, bir kaç deneme ile olayların genel karakteri belirlenebilir ve olaylara etki eden faktörler kontrol edilebilirler. Örneğin, kimyada A ve B gibi iki maddenin belirli şartlarda bileşmesi sonucu ne olacağı söylenebilir. Tipik olaylar istatistiğin konusu dışındadır. Ve istatistik bu tür olaylarla ilgilenmez.

Toplu olaylar olarak adlandırılan olaylar ise, tipik olayların aksine çok sayıda faktör tarafından etkilenirler. Bu olaylar çok sayıda faktör tarafından etkilendiklerinden, birkaç deneme ile olayların genel karakteri belirlenemez ve olaylara etki eden faktörler kontrol edilemez. Örneğin, iktisadi olaylar çok sayıda faktör tarafından etkilenen olaylardır. Bu nedenle, olayı etkileyen ana faktörler bilinse de tüm faktörler kontrol edilemez. İstatistik, toplu olaylar olarak adlandırılan bu tür olaylar ile ilgilenir. Sonuçları sayısal olan veya sayısal olarak ifade edilebilen olaylar istatistiğin konusudur.

İstatistiği tanımlarken sayısal olarak ifade edilebilen verilerden söz etmiştik. İstatistiksel araştırmalarda kullanılacak veriler değişkenler ile ifade edilirler. Değişkenler sayısal olarak ifade edilebilen özelliklerdir ve X_i, Y_i, Z_i ...... şeklinde gösterilirler.

Değişkenleri ifade ettikleri olayın karakterine göre nicel ve nitel olmak üzere ikiye ayırabiliriz. Nicel değişkenler, sayısal değerler alan değişkenlerdir. Örneğin, boy uzunluğu, vücut ağırlığı birer nicel değişkendir. Nitel değişkenler ise sayısal değerler almayan değişkenlerdir. Örneğin, cinsiyet, medeni hal gibi değişkenler nitel değişkenlerdir. Nitel değişkenlere sayısal değerler verilerek, istatistiksel araştırmalarda kullanılmaları mümkün olmaktadır. Örneğin, medeni hal nitel bir değişkendir, ancak bu değişken, bekarlar için 0, evliler için 1 ve dullar için 2 sayısal değeri verilerek, nicel değişkene çevrilebilir.

Ayrıca değişkenler, sürekli ve süreksiz değişkenler olmak üzere ikiye ayrılırlar. Sürekli değişkenler, tanımlı oldukları aralık içinde bulunan bütün değerleri alabilen değişkenlerdir. Bu değişkenler matematiksel bir fonksiyon ile ifade edilebilirler. Boy uzunluğu, ağırlık, hız gibi değişkenler sürekli değişkenlerdir. Örneğin, boy uzunluğu 173,4 cm. veya hız 70,5 km. olabilir.

Süreksiz değişkenler ise, tanımlı oldukları aralık da bulunan değerlerden bazılarını alan değişkenlerdir. Bir evde yaşayan kişilerin sayısı, bir limana bir günde giren gemi sayısı gibi değişkenler süreksiz değişkenlerdir. Çünkü bu gibi değişkenler ancak tam sayı değerler alırlar. Örneğin, bir evde 2,25 kişi yaşayamayacağı gibi, bir limana bir günde 3,4 gemi giremez.

1.3. İSTATİSTİĞİN ÇEŞİTLİ BİLİM DALLARI
İLE İLİŞKİLERİ

İstatistiksel yöntemler sayısal verilerin kollektif olay karakterini taşıyan olayların söz konusu olduğu tüm alanlarda kullanılabilirler. Bu nedenle istatistiğin hemen hemen tüm bilim dalları ile ilişkisi vardır.

İstatistiğin matematik ile olan ilişkisi diğer bilim dallarından çok farklıdır. İstatistik matematikten aldığı yöntemleri işleyerek, toplu olayların incelenmesine yarayacak şekle getirmekte ve diğer bilim dallarının hizmetine sunmaktadır. Bilindiği gibi matematik bir bilim dalıdır ve matematiksel sonuçlar kesindir, yani matematiksel sonuçlarda yorum yoktur. Matematikten gelen yöntemlerden oluşan istatistik de ise sonuçlar yorumlanmaktadır. İstatistiğin tanımında da verilerin çeşitli yöntemlerle analiz edilerek, sonuçların yorumlanmasından söz etmiştik. Görüldüğü gibi matematik ile istatistik arasındaki en büyük fark sonuçların yorumunda karşımıza çıkmaktadır.

İstatistiksel yöntemler iktisadın deneysel gelişimini de sağlamıştır. Makro ve mikro düzeyde teoride kalan pek çok kavramın sayısal olarak ölçülmesi ve teorinin uygulanması istatistiksel yöntemler ile mümkün olabilmektedir. Örneğin, enflasyon, reel gelir, büyüme gibi olaylar istatistik yardımı ile ölçülebilmektedir.

Gerek devlet, gerekse işletmeler planlama çalışmalarında istatistiksel yöntemleri kullanabilirler. Geçmişe ait verilerin incelenmesi ile geleceğe ait tahminler istatistiksel araştırmalarla yapılabilir. Devletler nüfus, eğitim, işgücü, ücretler, dış ticaret, ulaşım gibi konularda istatistiksel bilgiler düzenlemektedirler. Bu bilgiler hem devlet, hem de araştırmacılar tarafından veri olarak kullanılmaktadırlar. İktisadın bir alt dalı olan ekonometride de istatistiksel yöntemler yardımı ile iktisadi olaylar incelenmekte ve böylece iktisadi değişkenler arasındaki ilişki matematiksel olarak belirlenebilmektedir.

İstatistiksel yöntemler işletmeler tarafından da yaygın olarak kullanılmakta; iş hayatında karşılaşılan belirsizlikler ve buna bağlı problemlerin çözümünde, yol gösterici olmaktadırlar. Bu yöntemlerin başlıcaları; piyasa ve ürün araştırmaları, yatırım politikalarının belirlenmesi, mamulün kalite kontrolü, personel seçimi, iktisadi tahminler ve benzeri diğer konulardır.

İstatistiksel yöntemler sağlık bilimlerinde de biyoistatistik adı altında geniş bir alanda kullanılmaktadır. Bu alanda, sağlık problemlerinin belirlenmesi, tedavi hizmetlerinin planlanması, kliniklerde yapılan araştırmaların sonuçlarının yorumlanması, yeni tedavi yöntemlerinin ve ilaçların değerlendirilmesi gibi konularda istatistiksel yöntemler kullanılmaktadır. İstatistiksel yöntemler, psikoloji, sosyoloji, antropoloji, astronomi, meteoroloji, tarih, linguistik, edebiyat, müzik gibi alanlarda da çok yaygın olmamakla beraber kullanılmaktadır. Örneğin, edebiyat alanında, yazarı bilinmeyen kitapların yazarlarının belirlenmesinde de kullanıldığı gibi.

İstatistiğin pek çok alanda kullanılması, her alanda aynı yöntemlerin, aynı şekilde kullanılacağı anlamına gelmez. Uygulanan alana ve uygulama konusuna göre olaya daha farklı yaklaşmak ve daha uygun yöntemleri seçmek gerekebilir. Araştırmayı yapacak kişi veya kişilerin, istatistik bilgilerinin yeterli düzeyde olması yanında, uygulanan konuyu da yeterince bilmeleri gerekmektedir. Farklı kişi veya kişilerce yapılan araştırmalar, konuya yaklaşım farkından veya farklı yöntemler kullanılmasından farklı sonuçlar verebilir. Bu durumda, ilgili kişilerin hangi sonucun daha geçerli olduğuna karar vermeleri gerekir. İstatistiksel araştırmalar bazen mantıksız sonuçlarda verebilir. Bunun sebebi, araştırma yapıldığı anda verinin tesadüfen ters sonuç verecek şekilde bir araya gelmiş olmasıdır. Örneğin, yapılan bir araştırma sonucunda yüzme bilenlerin matematik dersinde daha başarılı oldukları gibi mantıksız bir sonuca varılabilir. Bu nedenle sonuçların mantık süzgecinden geçirilerek değerlendirilmesi gerekmektedir.

1.4 İSTATİSTİĞİN TARİHÇESİ

İstatistiksel çalışmaların başlangıcı çok eskilere dayanmaktadır. Ancak o dönemlerde yapılan çalışmalar sadece sayım düzeyinde kalmış bugünkü düzeye ulaşamamıştır. İstatistiksel çalışmalarla ilgili ilk bulgulara MÖ. 3000 yıllarında Mısır'da rastlanmıştır. Daha sonraları‚ Çin’de tarım istatistiklerinin düzenlendiği, Musa'nın 4 kitabında eli silah tutan Musevilerin sayıldığı, İncil'de geçmiş devrelere ait nüfus sayımlarının yapıldığı görülmektedir.

Gerçek anlamda istatistiksel çalışmalar, ancak 16. Yüzyıl da çeşitli matematikçilerin üzerinde çalıştığı olasılık teorisinin ortaya konulmasıyla başlamıştır. Olasılık teorisi ile ilgili çalışmaların çok erken başlamasının nedeni, insanoğlunun şans oyunlarına duyduğu büyük istek olmuştur. Şans oyunlarına meraklı olan kişiler, oyunlarda kazanma oranlarını yükseltmek için matematikçilerden kendilerine şans verecek çeşitli stratejileri bulmalarını istemişlerdi. Bu nedenle Pascal, Leibnitz, Fermat ve James Bernoulli gibi matematikçiler olasılık teorisi ile ilgili yaptıkları çalışmalar sonucunda çeşitli teoriler ortaya koymuşlardır. 18. Yüzyılda da bu çalışmalara devam edilmiş ve 1733 yılında De Moivre birçok istatistik konularının temeli olan Normal dağılım formülünü bulmuştur. Bu formül aynı zamanda "Gaussian" dağılım olarak da bilinmektedir. Çünkü Gauss'da (1777 - 1855) yaptığı çalışmalar sonucunda aynı sayıda ve aynı değerdeki ölçümlerin arasındaki hataları bularak bu formülü ispatlamıştır. Bu tarihlerde Laplace'de istatistiği astronomiye uygulayarak çeşitli çalışmalar yapmıştır. İstatistiğin farklı konulara uygulanması 19. Yüzyılda da devam etmiştir. Bu yüzyıl da Belçikalı istatistikçi olan Adolph Quetelet (1796-1874) istatistiği eğitim ve sosyal konulara, Sir Francis Galton (1822-1911) ise sosyal bilimlere uygulamıştır. Aynı yüzyılda matematikçi olan Karl Pearson (1857-1936) ile Galton birlikte çalışarak istatistiğin önemli konuları olan regresyon ve korelasyonla ilgili teoriler geliştirmişlerdir.

20. Yüzyılın başlarında ise William S. Gosset, küçük örneklerden yararlanılarak karar alma ile ilgili çalışmalarda bulunmuş arasındaki hataları bularak, formülü ispatlamıştır. Ve bu çalışmalar sonucunda elde ettiği bilgileri "Student" adli kitabında yayınlamıştır. Küçük örnekler teorisi ile ilgili bu çalışmalara Sir Ronald Fisher'de (1890-1962) devam etmiş, ve Fisher bu teori yanında, deneysel planlama ile de ilgilenmiştir. 20. Yüzyılda ise birçok değerli istatistikçiler yetişmiştir. Bu istatistikçilerin bazıları hala yeni teoriler geliştirerek ve çeşitli uygulamalar da bulunarak istatistiğin gelişmesine yardımcı olmaktadırlar. İstatistiğin gelişmesinde 1950'den sonra üniversitelerde belirli ve düzenli bir programa dayanılarak okutulmasının ve bilgisayarların çok etkisi olmuştur.

BÖLÜM 2

VERİLERİN TOPLANMASI VE DÜZENLENMESİ

Daha önce belirtildiği gibi istatistiksel araştırmaların yapılabilmesi için verilerin toplanması gerekmektedir. Araştırma yapılmaya karar verildiğinde ilk olarak gerekli olan veriler belirlenerek toplanacak ve toplanan bu veriler üzerinde düzenlemeler yapılarak analize hazır hale getirilecektir. İstatistiksel araştırmalardan sağlıklı sonuçlar alınabilmesi öncelikle sağlıklı ve yeterli verinin elde edilmesine bağlıdır. Bu nedenle, bu bölümde veri kaynakları ile toplanan verilerin düzenlenerek analize hazırlanması üzerinde durulacaktır.

2.1. VERİ VE VERİ KAYNAKLARI

İstatistiksel araştırmalar, araştırma yapılacak konu ile ilgili sayısal olan ve sayısal olarak ifade edilebilen bilgileri gerektirmektedir. Araştırma yapılabilmesi için gerekli sayısal bilgiler veri olarak adlandırılmaktadır. Veriler, araştırma yapılacak konu ile ilgili bilinen veya herhangi kaynaktan elde edilen bilgilerdir. Veriler alındıkları kaynağa göre doğrudan veya dolaylı veriler olmak üzere iki ana grupta toplanabilirler. Doğrudan veriler araştırmayı yapan kişi veya kişiler tarafından kaynağından alınan verilerdir. Doğrudan verilerin toplanmasında araştırmacılar çeşitli yöntemlerle veri kaynağına ulaşarak gerekli verileri elde ederler. Dolaylı veriler ise başka kurum veya kuruluşlar tarafından toplanarak düzenlenen verilerdir. Araştırmacılar bu kurum veya kuruluşların düzenledikleri bu verileri alarak kullanabilirler. Bu verilerin bir kısmı ise basılı olarak belirli dönemlerde yayınlanmaktadır. Örneğin, herhangi bir fakültedeki öğrencilerin başarı durumları ile ilgili bir araştırma yapıldığını varsayalım. Bu araştırma için gerekli olan veriler öğrencilerin kendilerinden alınırsa doğrudan veriler, fakülte yönetimine başvurularak onları daha önce düzenlediği veriler alınırsa dolaylı veriler söz konusu olur. Diğer taraftan nüfus, tarım, fiyat gibi konularda Devlet İstatistik Enstitüsü’nün yayınlarından alınan verilerde dolaylı verilerdir.

Doğrudan veri toplanması durumunda araştırmacılar veri toplama öncesi ihtiyaçları olan veriyi belirlediklerinden daha kapsamlı veri elde edebilirler ve bunları istedikleri gibi düzenleyebilirler. Dolaylı veri alındığında ise, veriler başka bir kurum tarafından derlenip düzenlendiğinden istenen her verinin elde edilme imkanı olmayabilir. Ayrıca bu verilerin daha sonra tekrar düzenlenmesi mümkün olsa bile, bu aşamada bazı sorunlarla karşılaşılabilir. Örneğin, bir bölgede gelir dağılımı ile ilgili bir araştırma yapıldığını varsayalım. Bu araştırmadaki verileri doğrudan aldığımızda gelir sınıflarını istediğimiz gibi düzenleyebiliriz. Oysa bu veriler dolaylı olarak alınıyorsa, gelir sınıfları daha önce başkaları tarafından düzenlenmiş olacağından bu düzenlemeye uymak zorunluluğu olabilir.

2.2. TAM SAYIM VE ÖRNEKLEME

İstatistiksel araştırmalarda incelemeyi amaçladığımız birimlerin oluşturduğu topluluğa anakütle adı verilir. Birim ise, anakütleyi oluşturan en küçük parçadır. Örneğin, bir bölgede yaşayan ailelerin gelir dağılımları ile ilgili bir araştırma yapıyorsak, bölgede yaşayan tüm aileler anakütleyi, herbir aile ise, anakütlenin birimlerini oluşturur. Aynı şekilde herhangi bir işletmenin muhasebe kayıtları inceleniyorsa, tüm kayıtlar anakütle, herbir kayıt ise birimdir.

Anakütle ile ilgili bilgi toplamak istendiğinde tüm birimlerin teker teker incelenmesi gerekmektedir. Bu işleme tam sayım adı verilir. Anakütle birim sayısı fazla ise, tüm birimlerin incelenmesi fazla zaman alabilir ve masraflı olabilir. Araştırmalar genellikle bir fayda etmek için yapılırlar ve yapılan her araştırma belirli bir sürede bitirilemiyorsa ve araştırmada yapılan masraf faydayı aşıyorsa araştırma yapmanın anlamı kalmayacaktır. Bu nedenlerle örnekleme teorisi geliştirilmiştir.

Bir anakütleden, anakütle birim sayısından daha az sayıda birimin seçilerek, bu birimler yardımı ile anakütle parametrelerinin tahmin edilmesi işlemlerine örnekleme denir. Parametre ise anakütleleri birbirinden ayırmaya yarayan ortalama, varyans, oran gibi ölçülerin genel ifadesidir. Anakütleden seçilen az sayıda birimin oluşturduğu topluluk ise örnek olarak adlandırılır.

Örnek düzenlenmesi ve anakütle parametrelerinin tahmin edilmesi işlemlerini kapsayan örneklemenin tam sayıma göre bazı üstünlükleri vardır. Bu üstünlükleri şöyle sıralayabiliriz.

- Örneklemede daha az sayıda birim incelendiğinden daha kısa sürede ve daha az masrafla sonuç alınacaktır.

- Örnekleme ile az sayıda birim incelendiğinden verilerin toplanması ve düzenlenmesi sırasında yapılabilecek hatalar azalacaktır. Çok sayıda birimlerden oluşan, anakütleler ile ilgili araştırmalarda çok sayıda yetişmiş elemana ihtiyaç duyulmaktadır. Bu elemanların bulunmasında ve yerleştirilmesinde güçlüklerle karşılaşılabilir. Örnekleme ile bu sorunlarda azalmış olacaktır.

- Örnekleme ile daha geniş uygulama alanı sağlanabilir. Örneğin, 500 birim tam sayım ile incelenirse, sadece bu birimlerle ilgili bilgiler elde edilecektir. Oysa 500 birimlik örnek ile örnekleme oranına bağlı olarak, 500 birimden daha çok sayıda birimden oluşan anakütleler incelenerek, gerekli bilgiler elde edilecektir.

Örneklemenin bu yararları yanında başlıca sakıncası, anakütle parametrelerinin tahminleri yapıldığında örneklemeden doğan sapmaların ortaya çıkmasıdır. Ancak örneklemenin sağladığı çeşitli yararlara karşılık, araştırmacılar bu sapmalara katlanmak zorundadırlar.

Örnek birimlerinin seçim şekillerine göre örnekleme ikiye ayrılır. Birimler araştırmacıların isteklerine göre seçiliyorsa iradi örnekleme, etki altında kalınmadan tesadüfi olarak seçiliyorsa istatistiksel örnekleme söz konusudur. İkisi arasındaki en büyük fark örneklemeden kaynaklanan hataların istatistiksel örneklemede kontrol edilebilmesidir. İstatistiksel örneklemede belirlenen bir güven olasılığı ile örneklemeden kaynaklanacak sapmanın sınırları tahmin edilebilmektedir.

Başlıca istatistiksel örnekleme yöntemlerini şöyle sıralayabiliriz.

Basit Tesadüfi Örnekleme Yöntemi

Örneğe seçilecek anakütle birimlerinin her birine eşit seçilme şansı veren örnekleme yöntemine basit tesadüfi örnekleme yöntemi denir. N birimden oluşan bir anakütleden n birimden oluşan bir örnek çekilirken, N>n olduğundan birbirinden farklı çok sayıda örnek düzenlenebilir. Düzenlenebilecek farklı örneklerin sayısı daha sonra verilecektir.

Anakütle birimleri örneğe seçilirken farklı seçim yöntemleri kullanılabilir. Birimlere birer numara verilerek numara yazılı kağıtlar bir torbadan çekilebilir, tesadüfi sayılar tablosundan yararlanılabilir, birimlere numara yerine harf verilebilir. Burada amaçlanan seçimin etki altında kalınmadan tesadüfi olarak yapılmasıdır. Basit tesadüfi örnekleme yönteminde anakütle ile ilgili herhangi bir düzenleme yapılmaz.

Tabakalı Örnekleme Yöntemi

Zümrelere göre örnekleme yöntemi de denilen tabakalı örnekleme yönteminde, anakütle belirlenen kritere göre tabaka adı verilen alt gruplara ayrılır. Anakütlenin herbir birimi birden fazla tabakada yer alamaz ve tabakaların birim sayıları toplamı anakütle toplam birim sayısına eşittir. Tabakalardan örneğe çekilecek birimler tesadüfi çekilmeyebilir. Bu durumda iradi örnekleme sözkonusu olacağından, biz sadece tabakalardan birimlerin tesadüfi olarak çekilmesi durumunu inceleyeceğiz.

Tabakalı örnekleme yöntemi ile elde edilecek bilgiler, genellikle, anakütleyi tabakalara ayırmadan yapılan basit tesadüfi örnekleme yöntemine göre gerçeğe daha yakın sonuçlar verecektir. Tabakalı örnekleme yöntemi örnekleme hatalarının azaltılması bakımından faydalıdır.

Tabakalara ayırma bu yöntemin ilk aşamasıdır. Belirlenen kriterlere göre, değerleri birbirine yakın birimler aynı tabakalara dahil edilir ve tabakalar oluşturulduktan sonra her tabaka için ayrı ayrı basit tesadüfi örnekleme yöntemi uygulanarak bunların sonuçları birleştirilir. Böylece anakütle varyansı küçülmektedir.

Tabakalı örnekleme yöntemine başvurulma nedeni sadece gerçeğe yakın sonuçlar elde edilmesi, varyansın küçültülmesi, örnekleme hatasının azaltılması değildir. Bazı durumlarda anakütle yanında tabakalarla ilgili bilgiler istenebilir. Tabakalı örnekleme yöntemi ile hem anakütle, hem de tabakalarla ilgili bilgiler elde edilmiş olur. Bazı durumlarda da bu yöntemle araştırmanın maliyeti düşebilir veya kolaylık olsun diye tabakalara ayırmaya gidilebilir.

Kademeli Örnekleme Yöntemi

Kademeli örnekleme yönteminde anakütle alt gruplara ayrılır. Bu alt grupların her biri küme adını alır. Daha sonra bu kümelerden bir veya birkaç tanesi tesadüfi olarak seçilerek kümelerin tüm birimleri örneği oluşturur. Anakütlede yer alan farklı birimlerin kümelerde yer alması sağlanırsa kümeler anakütleyi daha iyi temsil edeceklerdir. Kümeler oluşturulurken buna dikkat edilirse kademeli örnekleme yöntemi basit tesadüfi örnekleme yönteminden daha iyi sonuç verebilir.

Bu yöntemde örnekleme maliyeti düşük olacağından, örnekleme maliyeti düşürülmek istendiğinde kademeli örnekleme yöntemi uygulanabilir.

Kademeli örnekleme yöntemi anakütlenin hiyerarşik yapıda olması durumunda önem kazanmaktadır. Hiyerarşik yapı anakütleyi oluşturan birimlerin doğal olarak, yapısal olarak, sıralı olmasını ifade etmektedir. Hiyerarşik yapı doğal kümelenme olarak da anılmaktadır. Üretilen mamüllerin birden fazlasının birlikte ambalajlanması, depoda duran malların raflara dizilmiş olması, muhasebe kayıtlarının deftere sıra ile kaydedilmiş olması durumları hiyerarşik yapıyı ifade etmektedir. Bu gibi durumlarda küme oluşturmaya gerek kalmadan kademeli örnekleme yöntemi uygulanabilir. Her kutu, her raf, defterin her sayfası birer küme olarak kabul edilebilir. Bu gibi durumlarda küme oluşturma maliyeti ve zaman kaybı olmayacaktır.

Kademeli örnekleme yöntemi, tek kademeli ve çok kademeli olarak uygulanabilir. Tek kademeli örnekleme yöntemi küme örneklemesi yöntemi olarak da adlandırılmaktadır.

Küme örneklemesinde, daha önce de belirttiğimiz gibi anakütle belirli bir faktöre göre kümelere ayrılır. Bu kümelerden bir veya birkaç tanesi tesadüfi olarak seçilerek örnek oluşturulur. Kümelerin tüm birimleri örnekte yer almaktadır.

Tek kademeli örnekleme ile örnek belirlendikten sonra bu örnekten tekrar örnek alınabilir. Bu durumda iki kademeli örnekleme söz konusu olacaktır. İki kademeli örneklemede M birim sayılı her bir kümeden m birim sayılı örnek seçilerek örnek oluşturulmaktadır. Aynı işlem üç kademede yapılırsa üç kademeli, daha çok kademede yapılırsa o sayıda kademeli örnekleme söz konusu olacaktır.

Çok kademeli örnekleme, tek kademeli örneklemeye göre daha fazla maliyeti gerektirir. Çok kademeli örnekleme, örnek birimleri hiyerarşik yapıda ise daha uygun bir yöntemdir.

İki kademeli örneklemenin ilk kademesinde kümeler basit tesadüfi örnekleme yöntemi ile seçilecektir. İkinci kademede ise, seçim herhangi bir örnekleme yöntemi ile yapılabilir. Aynı şey ikiden çok kademeli örnekleme için de geçerlidir.

Sistematik Örnekleme Yöntemi

Sistematik örnekleme yöntemi, anakütle ve örnek birim sayıları ile orantılı eşit aralıklarla birimlerin çekilerek örneğin düzenlendiği bir yöntemdir. Anakütlenin birimleri 1’den N’e kadar numaralanır. k=N/n bize örnekleme aralığını verir. İlk k aralığında yer alan birimlerden birinden başlanarak eşit aralıklar ile birimler seçilerek örnek düzenlenmiş olur.

Sistematik örnekleme yöntemini ayrı olarak inceliyorsak da, aslında bu yöntem kademeli örnekleme yöntemidir. Numaralanan ve k aralıkta birimleri belirlenen seçilmesi olası her bir örnek bir küme olarak düşünülürse, sonuç olarak bu kümelerden biri seçilmektedir.

Bu yöntem özellikle anakütle birim sayısı çok olduğunda kullanılmaktadır. Anakütle tesadüfi şekilde düzenlenmişse veya birimler önem derecelerine göre sıralanmış ise, sistematik örnekleme yöntemi ile düzenlenecek örnek daha sağlıklı olacaktır. Fakat bu özellikler olmasa da sistematik örnekleme yöntemi kullanılabilir.

Sistematik örnekleme yöntemi basit tesadüfi örnekleme yöntemine göre bazı üstünlüklere sahiptir.

Hata yapma olasılığı daha azdır.
Daha kısa sürede sonuç alınabilir, işlemlerin daha hızlı yapılması

mümkündür.
Bu yöntem anakütleyi k aralıklarla tabakalara bölmekte ve her

tabakadan bir birim alınmaktadır. Böylece sonuçlar basit tesadüfi örneklemeye göre daha güvenilir görünmektedir. Bu özelliği ve hızı ile bazen tabakalara göre örnekleme yönteminden bile daha güvenilir olabileceği düşünülebilir.

Sistematik örnekleme yöntemi ile N/n=k sayıda birbirinden farklı örnekler düzenlenebilir.

2.3. DOĞRUDAN VERİ TOPLAMA YÖNTEMLERİ

Önceki açıklamalarda veriler doğrudan ve dolaylı veriler olarak sınıflandırılmıştı. Doğrudan veriler araştırmacılar tarafından toplandıklarından, bu verilerin toplanmasında farklı yöntemler kullanılabilmektedir. Kullanılacak yöntem araştırmanın konusuna ve niteliklerine göre değişecektir. Burada en çok kullanılan üç yöntemden söz edilecektir.

2.3.1. Anket

Söz konusu yöntemler içinde en çok kullanılanıdır. Bu yöntem de anket formu olarak adlandırılan ve bilgi toplayacak kişi veya kişilerce hazırlanan bir form çeşitli şekillerde veri kaynağına ulaştırılır. Formun veri kaynağına ulaştırılmasında anketör olarak adlandırılan kişiler, posta ve telefon kullanılabilir. Genellikle anketörler bu konuda yetiştirilmiş ve tecrübeli kişilerdir. Yetişmiş ve tecrübeli eleman bulunmadığında araştırmada görev alacak anketörler bir kursa tabi tutulabilirler. Anketörler bu konuda tecrübeli olsalar bile, gerekli olduğunda bir ön çalışma yapılabilir. Bu çalışma anketörlere ön bilgiler verilmesi açısından faydalı olabilir.

2.3.1.1. Anket Formunun Düzenlenmesinde Dikkat Edilmesi
Gerekli Noktalar

Anket ile veri toplanmasında aşağıda özetlenen noktalara dikkat edilmesinin, daha sağlıklı veri toplamasına yardımcı olacağı, tecrübeler sonucunda belirlenmiştir. Önemli olarak görülen bu noktaları şöyle özetleyebiliriz.

- Anket formunu cevaplayanlar, verecekleri bilgilerin kendilerine zarar verecek şekilde kullanılmasından çekindikleri için, bilgi vermek istemeyebilirler veya doğru bilgi vermeyebilirler. Bu nedenle bilgilerin gizli kalacağının anket formunun başında belirtilmesi yararlı olabilir. Ayrıca isim, adres gibi anket formunun kimin tarafından cevaplandığını belirtecek bilgilerin formda yer almaması, daha doğru bilgilerin elde edilmesine yardımcı olabilir. Bu noktalara dikkat edildiğinde, anket formunu cevaplamaktan kaçınanların sayısının azaldığı ve daha doğru cevapların elde edildiği görülmüştür.

- Anket formunda yeralan soruların açık, anlaşılır, kısa ve basit olması gerekmektedir. Bu noktalara dikkat edilmemesi, sorular iyi anlaşılamayacağından, yanlış bilgilerin elde edilmesine neden olabilir.

- Anket formunda yer alan sorular mantıklı olmalı ve her sorunun bir cevabı bulunmalıdır. Mantıksız sorulara mantıklı cevapların alınması mümkün olmadığından soruların mantıklı olmasına özen gösterilmelidir. Ayrıca her sorunun bir cevabı olmaması, yanlış bilgi toplanmasına neden olabilir. Örneğin, bir bölgede yaşayan ev kadınlarına, bir malın markasını belirterek o malı kullanıp kullanmadıklarının sorulduğunu düşünelim. Bu durumda sadece evet veya hayır cevaplarından birini seçmeleri isteniyorsa ve soru yöneltilen ev hanımı bu malı kullanıp kullanmadığını hatırlamıyorsa, yanlış cevap verebilir. Bu yanlışlığı önlemek için bir üçüncü seçenek olarak hatırlamıyorum cevabının eklenmesi, yanlış bilgi toplanmasını engelleyecektir.

- Anket ile ilgili bilgi toplamada önemli noktalardan biri de soru sayısıdır. Soru sayısının az olması istenen bilginin elde edilmemesine, soru sayısının fazla olması ise cevap vereni bıktırabileceğinden doğru cevap alınamamasına veya formun sonunda yeralan bazı soruların cevapsız bırakılmasına neden olabilir.

2.3.1.2. Anket Formunun Bilgi Kaynağına Ulaştırılmasında Kullanılan Yöntemlerin Karşılaştırılması

Daha önceki açıklamalarda değinildiği gibi anket formu bilgi kaynağına anketörler posta ve telefon ile ulaştırılabilir. Bu yöntemlerin fayda ve zararlarını şöyle özetleyebiliriz.

- Anketörler İle Yapılan Anket Çalışmalarının Faydaları

- Anketörler ile yapılan çalışmalarda cevap alma oranının diğer yöntemlere göre daha yüksek olduğu görülmektedir. Çünkü, anketör bilgi verecek kişilere, soruları yüz yüze yönelttiğinden, cevap vermek istemeyen kişileri etkileyerek onların cevap vermesini sağlayabilecektir. Bu şekildeki çalışmalarda cevap alma oranının yüksekliği anketörün becerisine göre değişecektir.

- Anket ile bilgi toplamada anketörlerden yararlanmanın en büyük faydası soruların, cevaplayan kişiler tarafından iyi anlaşılmaması durumunda görülmektedir. Çünkü, soruların iyi anlaşılamaması durumunda anketörler cevap verenlere anlayamadıkları soruları açıklayarak daha doğru bilgi toplamasını sağlayabilirler.

Anketör İle Yapılan Anket Çalışmalarının Sakıncaları

- Bir anket formu için anketörlere ödenecek ücret, posta ve telefona ödenecek ücretin çok üzerinden olduğundan, anketörler yardımı ile bilgi toplanması posta ve telefona göre daha masraflı olmaktadır.

- Yeterli sayıda anketör bulunamaması, bilgi kaynağına ulaşmanın zaman kaybına sebep olması gibi nedenlerden ötürü, anketörler kullanarak bilgi toplamak posta ve telefon ile bilgi toplamaktan genellikle daha çok zaman almaktadır. Bu da sonuçların posta ve telefondan daha uzun sürede alınmasına neden olacaktır.

- Anketörlerden yararlanmanın önemli sakıncalarından biri anketörün sonucu etkileyebilmesidir. Anketörler kişilere etkileyerek, gerçek dışı cevaplar vermelerine neden olabilirler. Anketörler tarafından kişilerin etkilenmesi hem olumlu, hem de olumsuz yönde olabilir. Anketörün cevap verecek kişiye kötü veya aşırı derecede iyi davranması, olumlu verilecek cevabın olumsuz veya olumsuz verilecek cevabın olumlu verilmesinde etkili olabilir.

- Anketörler ile bilgi toplamada yanlış sonuçlar alınmasında bir diğer etken, anketörlerin yetişmesidir. Her zaman yeterli sayıda ve yeterince bilgili anketörler bulunamayabilir. Anketörleri yetiştirmek için yapılan çalışmalarda her zaman istenen sonuca ulaşmamış olabilir. Bu durum toplanacak verilerin hatalı olmasına neden olacaktır.

- Anketörler ile çalışmanın en büyük sakıncası, anketörlerin gerçek olmayan sonuçları verebilmeleridir. Anketöre verilen formlar anketör tarafından gerçek dışı bilgilerle doldurulabilir. Bunu önlemek için genellikle çeşitli denetim mekanizmaları oluşturulmuştur. Fakat bu mekanizmalarda tam olarak gerçek dışı sonuçlar verilmesini önleyemeyebilir. Bu nedenle, bu konu üzerinde gerekli hassasiyetin gösterilmesi gerekecektir.

Posta ve Telefon İle Yapılan Anket Çalışmalarının Faydaları

- Posta ve telefon ile yapılan anket çalışmalarında cevaplar anketör ile yapılan çalışmalara göre daha çabuk alınır. Posta ile yapılan çalışmalarda ise uygun bir tarih belirlenerek bu tarihe kadar gelen cevaplar işleme konabilir.

- Posta ve telefon ile yapılan çalışmalarda araştırma maliyeti düşecektir.

- Posta ve telefon ile yapılan çalışmalarda, anketörler kullanılmadığından, anketörlerin cevapları olumlu veya olumsuz yönde etkilemesi sakıncası ortadan kalkacaktır. Ancak telefon ile yapılan çalışmalar da kısmen bu sakınca sözkonusu olabilir.

- Posta ile yapılan çalışmaların en büyük faydası, cevaplamanın daha uygun bir zamanda ve daha uzun sürede yapılabilme imkanı yaratmasıdır. Böylece kişi anket formunu uygun bir zamanında cevaplayacağından daha doğru bilgiler elde edilebilir.

Posta ve Telefon İle Yapılan Anket Çalışmalarının Sakıncaları

- Posta ve telefon gibi araçlarla yapılan çalışmalarda cevaplama oranı genellikle daha düşüktür ve anketörün kişiyi ikna ederek cevap alabilmesi imkanı da özellikle postada sözkonusu değildir. Telefon ile cevap istendiğinde kişilerin ikna edilebilme imkanı daha yüksek ise de telefonun yüze kapatılabileceği veya görüşmeden kaçmanın kolaylığı unutulmamalıdır. Posta ile cevap istendiğinde ise unutma, zaman ayıramama gibi nedenlerle cevap verme oranı düşebilmektedir.

- Özellikle posta ile yapılan çalışmalarda anlaşılamayan sorular ile ilgili açıklamalar yapılabilmesi imkanı olmadığından hatalı sonuçlar alınmasını engellemek için soruların anlaşılır olmasına daha çok dikkat edilmesi gerekmektedir.

2.3.2. Gözlem

Bu yöntemde bilgi toplayacak kişi veya kişiler bilgi kaynaklarını gözleyerek sonuçları elde etmektedirler. Gözlemde ankette olduğu gibi veri veya bilgi kaynağının etkilenmesi sözkonusu değildir. Çünkü bu yöntemde veri kaynağı gözlenerek sonuçlar kaydedilir ve böylece istenen bilgiler elde edilmiş olur. Örneğin, trafik ile ilgili olarak yapılan bir araştırmayı düşünelim. Çeşitli yolların belirlenen saatlerdeki trafik yükleri, sözkonusu saatlerde yolun uygun bir yerinde durularak araçların sayılması ile belirlenebilir.

Anket ve gözlem her zaman olmasa bile aynı bilgilerin elde edilebilmesi için kullanılabilirler. Burada yöntemin seçimi önce konunun ve araştırmanın özelliklerine, daha sonra araştırmayı yapan kişi veya kişilere bağlı olacaktır. Örneğin, tüketici tercihlerinin belirlenmesi için hem anket, hem de gözlem ile bilgi toplanabilir. Anket yapılacaksa, anket formunun hazırlanarak tüketicilere ulaştırılması gerekecek, oysa gözlem yapılacaksa tüketicilerin belirlenen alış veriş merkezlerinde davranışları veya tercihleri gözlenecektir.

2.3.3. Deney

Deney ile veri toplanmasında, anket ve gözlemden farklı olarak istenilen olaylar suni olarak oluşturulur ve oluşturulan bu olaylar gözlemlenerek, gerekli olan veriler elde edilir. Olayların yaratılmasında laboratuarlar veya farklı alanlar kullanılabilir. Örneğin, bir ilacın etkisi bir klinikte hastalara ilaç verilerek belirlenebilir. Daha önce söz edildiği gibi istatistik toplu olayları konu aldığından genellikle deneyin yeterli sayıda tekrarlanması gerekebilir. Olayın tekrar sayısının az olmasının hatalı sonuçların alınmasına neden olabileceği de unutulmamalıdır.

2.4. VERİLERİN DÜZENLENMESİ

Buraya kadar ki açıklamalarımızda veri, verilerin toplanması ve bununla ilgili başlıca yöntemlerden sözedildi. Veri hangi yöntemle elde edilirse edilsin, elimize ulaşan veriler ham veri olarak adlandırılırlar ve genellikle istatistiksel analize hazır değillerdir. Bu verilerin analize uygun hale getirilmeleri için düzenlenmeleri gerekmektedir.

Verilerin düzenlenmesi hem doğrudan hem de dolaylı veriler için yapılabilirse de, daha çok doğrudan veriler sözkonusu olduğunda önemlidir. Dolaylı veriler ise genellikle düzenlenmiş olarak elde edilirler, ancak yapılacak araştırmaya göre yeniden düzenlenmeleri gerekebilir.

2.4.1. Basit Seri

Elde edilen ham verinin küçükten büyüğe doğru sıralanması ile elde edilecek serilere basit seriler denir. Basit serilerin incelenecek birim sayısının az olması durumunda kullanılmaları daha uygun olmaktadır. Bir basit seri birden fazla birimden oluşur ve birim sayısı n ile gösterilir. Seride yer alan birimler ise X_i değişkeni ile ifade edilir. Burada i indisi X’in değişken olduğunu ve i’nin değişmesi ile farklı değerler alacağını ifade eder.

Basit serinin toplam değeri X_i’lerin toplamına eşit olacağından,

Serinin Toplam Değeri olacaktır.

ÖRNEK: Bir işletmede çalışan 25 işçiye verilecek çocuk paraları ile ilgili bir araştırma yapılmaktadır. İşçilerin çocuk sayıları aşağıda verilmiştir.

1,3,2,2,3,1,4,5,3,6,0,5,2,3,2,4,8,0,1,2,3,3,1,0,4

Verilen değerleri basit seri şeklinde düzenleyelim.

0,0,0,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,5,5,6,8

2.4.2. Frekans Serisi

İncelenecek birim sayısının artması ile basit seriler yan yana veya alt alta yazılmış uzun sayı dizileri oluşturulacaklardır. Bu durumda çalışma kolaylığı sağlanması için frekans serileri düzenlenir. Frekans serilerinin, değişkenin çok sayıda farklı değer almadığı, fakat aynı değerlerin çok sayıda tekrarlandığı durumlarda düzenlenmeleri daha uygundur.

Düzenlenmiş bir frekans serisi iki sütundan oluşmaktadır. Birinci sütunda değişkenin aldığı farklı değerler yer almaktadır. Değişkenin aldığı bu farklı değerler genellikle küçükten büyüğe doğru sıralanarak yazılırlar. Ancak gerekli ise, büyükten küçüğe doğruda sıralama yapılabilir.

Frekans serilerinin ikinci sütunu ise f_i ile gösterilir ve bu sütunda değişkenin aldığı farklı değerlerin tekrar sayıları yer almaktadır. Değişkenin aldığı farklı değerlerin tekrar sayıları frekans olarak adlandırılır. Bu nedenle f_i sütununa frekanslar sütunu adı verilmektedir. Frekanslar sütununun toplamı basit serinin birim sayısı, yani incelenen birim sayısına (n) eşittir.

Değişkenin k sayıda farklı değer aldığı bir frekans serisi şöyle gösterilebilir.


X_i
X₁
X₂
X₃

X_k

Frekans serilerinin toplam değeri f_i’ler ile X_i’lerin çarpımlarının toplamlarının alınması ile bulunur. f₁ ile X₁’in çarpımlarının toplamı X₁’ler toplamını; f₂ ile X₂’in çarpımlarının toplamı X₂’ler toplamını; ...........; f_k ile X_k’nın çarpımlarının toplamı X_k’lar toplamını vereceğinden,

Serinin Toplam Değeri

olacaktır.

ÖRNEK: Daha önce basit seri olarak düzenlenen seriyi frekans serisi düzenleyiniz.


X_i
0	3
1	4
2	5
3	6
4	3
5	2
6	1
8	1
	25

Önce X_i’ler sütunun oluşturularak bu sütuna değişkenin aldığı farklı değerler, ikinci sütun olan f_i sütununa ise, değerlerin tekrarlanma sayıları yazılmıştır. Yani f_i sütununda 0 üç defa tekrarlandığından sıfırın karşısında 3; 1 dört defa tekrarlandığından 1’in karşısında 4; ...... yer almıştır. Görüldüğü gibi f_i sütunu toplamı basit serinin birim sayısı olan 25’e eşittir.

2.4.3. Sınıflı Seri

İncelenecek birim sayısının çok olması ve değişkenin birbirinden farklı çok sayıda değer alması durumunda frekans serileri de basit seriler gibi uzun sayı dizileri şekline dönüşürler. Bu durumda sınıflı seri, sınıflandırılmış seri, gruplu seri, gruplandırılmış seri gibi isimlerle adlandırılan seriler düzenlenmektedir.

Sınıflı seri adlandıracağımız seriler iki sütundan oluşmaktadır. Birinci sütun sınıflar sütunudur ve bu sütuna oluşturulan belirli sınıf aralıkları yazılır. İkinci sütun ise sınıflarda yer alan değerlerin tekrar sayılarının gösterildiği frekanslar sütunudur.

Sınıfların oluşturulmasında önemli olan nokta sınıf aralığının ne olması veya sınıf sayısının kaç tane olursa en uygun düzenlenmenin yapılmış olacağının belirlenmesidir. Sınıf sayısının ve sınıf aralığının belirlenmesi için bazı yazarlarca belirli ölçüler veya formüller önerilmektedir. Bu formüller ve ölçüler öneri niteliğinde olup kesin birer ölçü değillerdir. Sınıflama işlemi yapılırken dikkat edilmesi gereken, araştırmanın özellikleri ve sınıflama işleminin neden olduğu sapmalardır. Sınıf sayısının az olması sapmayı arttıracağından, sınıf sayısının dörtten az alınmasının doğru olmayacağı söylenebilir. Diğer taraftan sınıflama, değişkenin alacağı çok sayıdaki değerlerin azaltılarak, işlemleri kolaylaştırmaya yönelik olarak yapıldığından, sınıf sayısının sekizden çok olmasının işlemleri arttıracağı da dikkate alınmalıdır.

Sınıf aralığı araştırmanın özellikleri dikkate alınarak araştırmacı tarafından belirlendikten sonra, önce ilk sınıfın alt sınır değeri sınıflar sütununa yazılır. Daha sonra alt sınır değere sınıf aralığı eklenerek üst sınır değeri elde edilir. Her sınıfın üst sınır değeri, bir sonraki sınıfın alt sınır değerini oluşturur. Bu alt sınır değeri yazılıp bu değere sınıf aralığı eklenerek sınıflar düzenlenir. Bu işleme sınıflar değişkenin tüm değerlerini kapsayana kadar devam edilir.

Sınıflarda yer alan frekanslar belirlenirken, sınıfın alt sınır değeri dahil, üst sınır değeri ise hariç tutulur. Bir sınıfın üst sınır değeri ile onu takip eden sınıfın alt sınır değeri birbirine eşit olarak yazılır. Bu sınıfların frekansları yazılırken, değeri bir sınıfın üst sınır değerine eşit olan birim bir sonraki sınıfın frekansına eklenir. Örneğin 2’den başlayarak, 2 eşit aralıklı sınıflar oluşturuluyorsa sınıflar 2-4, 4-6,.... şeklinde oluşacaktır. 2-4 sınıfında 2 dahil 4’e kadar olan değerler bulunmakta 4 ise 4-6 sınıfında yer almaktadır. Yani, her sınıfta alt sınır dahil üst sınıra kadar olan değerler bulunmaktadır.

Sınıflı seriler ile işlemler yapılırken frekansların her sınıfta düzgün dağıldığı düşünülmektedir. Bu nedenle sınıf ortaları X_i olarak belirlenir ve seri ile ilgili hesaplamalar bu değerler dikkate alınarak frekans serilerinde olduğu gibi yapılır. Örneğin, sınıflı serilerin toplam değeri sınıf ortaları bulunduktan sonra frekans serilerinde olduğu gibi hesaplanır.

ÖRNEK: Daha önce frekans serisi olarak düzenlenen örneği, 2 eşit aralıklı sınıflı seri şeklinde düzenleyiniz.


Frekans	Serisi	Sınıflı	Seri
X_i		Sınıflar
0	3	0-2	7
1	4	2-4	11
2	5	4-6	5
3	6	6-8	1
4	3	8-10	1
5	2		25
6	1
8	1
	25

Görüldüğü gibi seride 8’den büyük değer olmamasına rağmen, 6-8 sınıfında 6 dahil 8’e kadar olan değerler yeraldığından, 8 değeri 8-10 sınıfı oluşturularak bu sınıfa yazılmıştır.

Yukarıda verilen örnekte sınıf aralıkları eşit alınmıştır. Ancak uygulamada sınıf aralıklarının eşit olması şart değildir. Araştırmanın özelliklerine göre eşit olmayan aralıklı sınıflı serilerde düzenlenebilir.

Sınıfların oluşturulmasında açık sınıflı seriler de sözkonusu olabilmektedir. İlk sınıfın alt sınır değeri veya son sınıfının üst sınır değeri veya ikisi birlikte belli olmayan serilere açık sınıflı seriler denir. Bu tür düzenlemelere seride az sayıda aşırı derecede büyük veya küçük değer olduğunda başvurulmaktadır. Örneğin verdiğimiz örnekte 18 çocuklu bir işçi olsaydı, ikişer ikişer sınıfların düzenlenmesi yerine son sınıf 8-+ sınıfı şeklinde düzenlenebilirdi.

Sınıflı serilerde sınıfların frekanslarının sınıf aralığında düzgün dağıldığının kabul edilmesi, sınıflı serilerde hesaplanan ölçülerde küçük sapmalara neden olacaktır.

ÖRNEK: Bu sapma miktarını daha önce verilen örnek üzerinde gösteriniz.

Basit seri :

0+0+0+1+1+1+1+2+2+2+2+2+

3+3+3+3+3+3+4+4+4+5+5+6+8

=68

Frekans serisi:


X_i
0	3	0
1	4	4
2	5	10
3	6	18
4	3	12
5	2	10
6	1	6
8	1	8
	25

Sınıflı seri:


Sınıflar
0-2	7	(0+2)/2=1	7
2-4	11	(2+4)/2=3	33
4-6	5	(4+6)/2=5	25
6-8	1	(6+8)/2=7	7
8-10	1	(8+10)/2=9	9
	25

Görüldüğü gibi basit ve frekans serilerinin toplam değeri 68’e eşit iken, sınıflı serinin toplam değeri 81’e eşittir.

Sınıflı serilerde sınıflardan kaynaklanan bu sapmalar, sınıflamanın sağladığı kolaylıklar nedeniyle dikkate alınmamaktadır.

2.5. BİRİKİMLİ FREKANSLAR

Bu bölüme kadar ki açıklamalarımızda frekans serileri ve sınıflı serilerin düzenlenmesine değinilmiştir. Ancak bazı istatistiksel araştırmalarda, bir frekans serisinde veya sınıflı seride belirli bir değerden daha küçük veya daha büyük değerler alan birim sayısının belirlenmesi istenebilir. Bu gibi durumlarda birikimli frekansların hesaplanması gerekir. Birikimli frekanslar seride belirli bir değerden daha küçük veya daha büyük değer alan birim sayısının belirlenmesi için kullanılabileceği gibi, daha sonraki bölümlerde açıklanacak bazı ölçülerin hesaplanmasına da yardımcı olacaklardır.

Birikimli frekanslar, artan birikimli frekanslar ve azalan birikimli frekanslar olmak üzere iki şekilde hesaplanırlar. Hesaplanan frekanslar düzenlenecek ayrı sütunlarda gösterilirler. Bu sütunlar artan birikimli frekanslar ve azalan birikimli frekanslar sütunları olarak adlandırılırlar.

2.5.1. Artan Birikimli Frekanslar

Frekans serilerinde ve sınıflı serilerde belirli bir değere eşit veya daha küçük değer alan birimlerin sayısını göstermek için artan birikimli frekanslar hesaplanır. Artan birikimli frekanslar hesaplanırken frekanslar sütununun ilk frekans değeri aynen alınır ve bu değer artan birikimli frekanslar sütununun ilk değeri olarak yazılır. İkinci frekans değeri ilk frekans değeri ile toplanarak artan birikimli frekanslar sütununun ikinci değeri olarak yazılır. Üçüncü frekans değeri ikinci frekans değeri ile toplanarak artan birikimli frekanslar sütununun üçüncü değeri olarak yazılır. Bu işleme frekanslar bitene kadar devam edilir. Artan birikimli frekanslar sütununun en son değeri frekanslar toplamına eşit olacaktır. Artan birikimli frekansların frekans serilerinde ve sınıflı serilerde ne ifade ettiğini iki ayrı örnek ile açıklayalım.

ÖRNEK: Daha önce frekans serisi olarak düzenlenen örneğin artan birikimli frekanslarını hesaplayınız.

X_i		Artan Birikimli Frekanslar
0	3	3=3
1	4	3+4=7
2	5	7+5=12
3	6	12+6=18
4	3	18+3=21
5	2	21+2=23
6	1	23+1=24
8	1	24+1=25
	25

Görüldüğü gibi frekanslar sütunundaki frekansların toplanması ile artan birikimli frekanslar hesaplanmıştır. Artan birikimli frekanslar sütununda yer alan 18 sayısı, değişkenin 0,1,2 ve 3 değerlerinin frekanslarının toplanması ile oluşmuştur. Bu nedenle 18 sayısı seride 3 ve 3’den küçük kaç birim olduğu göstermektedir. Diğer bir ifade ile (X_i) değişkeni işçilerin çocuk sayılarını gösterdiğinden, işyerinde 3 ve 3’den az çocuklu işçilerin sayısının 18 olduğu anlaşılmaktadır. Artan birikimli frekanslar sütununun son değerinin frekanslar toplamı olan 25’e eşit olduğu görülmektedir.

ÖRNEK: Daha önce sınıflı seri olarak düzenlenen örneğin artan birikimli frekanslarını hesaplayınız.


Sınıflar		Artan Birikimli Frekanslar
0-2	7	7=7
2-4	11	7+11=18
4-6	5	18+5=23
6-8	1	23+1=24
8-10	1	24+1=25
	25

Bu seride de artan birikimli frekanslar, frekans serilerinde olduğu gibi hesaplanmıştır. Artan birikimli frekanslar sütununda yer alan 23 sayısı 0-2, 2-4, 4-6 sınıflarının frekanslarının toplamından oluşmuştur. 4-6 sınıfında 4 dahil 6’dan küçük değer alan birimler yeraldığından 23, 6’dan küçük değer alan birimlerin sayısını göstermektedir. Artan birikimli frekanslar sütununun son değeri de yine frekanslar toplama eşittir.

2.5.2. Azalan Birikimli Frekanslar

Frekans serilerinde ve sınıflı serilerde, belirli bir değere eşit veya daha büyük değer alan birimlerin sayısını göstermek için azalan birikimli frekanslar hesaplanır. Azalan birikimli frekanslar hesaplanırken, artan birikimli frekansların hesaplanmasında ilk frekanstan başlanarak yukarıdan aşağıya doğru yapılan işlem, son frekans değerinden başlanarak aşağıdan yukarıya doğru yapılmaktadır.

Azalan birikimli frekansların hesaplanmasının bir diğer yolu, frekanslar toplamından başlanarak çıkartma işlemi yapılmasıdır. Bu durumda azalan frekanslar sütununa ilk olarak frekanslar toplamı yazılır. Daha sonra bu ilk frekans, frekanslar toplamından çıkartılarak bulunan değer azalan birikimli frekanslar sütununun ikinci değerini verir. Bu değerden ikinci frekans çıkarılarak bulunan değer, üçüncü azalan frekans değeridir. Bu işleme aynı şekilde serinin son değerine kadar devam edilir.

Artan birikimli frekanslar sütunun son değeri frekanslar toplamına eşit iken, azalan birikimli frekanslar sütununun ilk değeri frekanslar toplamına eşit olmaktadır.

Azalan birikimli frekansların frekans serilerinde ve sınıflı serilerden hesaplanmasını iki ayrı örnek ile açıklayalım.

ÖRNEK: Daha önce artan birikimli frekansları hesaplanan frekans serisinin azalan birikimli frekanslarını, açıklandığı gibi iki şekilde de hesaplayınız.

X_i		1.Yol Azalan Birikimli Frekanslar	2.Yol Azalan Birikimli Frekanslar
0	3	22+3=25	25
1	4	18+4=22	25-3=22
2	5	13+5=18	22-4=18
3	6	7+6=13	18-5=13
4	3	4+3=7	13-6=7
5	2	2+2=4	7-3=4
6	1	1+1=2	4-2=2
8	1	1	2-1=1
	25

Azalan birikimli frekanslar sütununda yer alan 13 sayısı, değişkenin 3,4,5,6 ve 8 değerlerinin frekanslarının toplamından oluşmuştur. Bu nedenle seride 3 ve 3'den büyük değer olan birim sayısının 13 olduğu sonucuna varılmaktadır.

ÖRNEK: Daha önce artan birikimli frekansları hesaplanan frekans serisinin azalan birikimli frekanslarını hesaplayınız.


Sınıflar		Azalan Birikimli Frekanslar
0-2	7	25
2-4	11	18
4-6	5	7
6-8	1	2
8-10	1	1
	25

Azalan birikimli frekans sütununda yer alan 7 sayısı, 4-6, 6-8 ve 8-10 sınıflarının frekanslarının toplamından oluşmuştur. 4-6 sınıfında 4 dahil 6’ya kadar değer alan birimler yer aldığından 7 sayısı serinin en az 4 veya 4’ten daha büyük değer alan birimlerin sayısını göstermektedir.

Artan ve azalan birikimli frekanslar ile ilgili olarak yaptığımız açıklamalara dikkat edilirse, artan birikimli frekanslar seride en az bir değere eşit veya o değerden daha küçük değer alan birimlerin toplam sayılarını verirken neden artan birikimli frekanslar olarak adlandırıldığı düşünülebilir. Aynı şey azalan birikimli frekanslar için de sözkonusu olacaktır. Çelişki gibi düşünülebilecek bu durum, birikimli frekanslara, artan veya azalan birikimli frekans sütunlarında yer alan frekansların sayılarının artması veya azalmasına göre ad verilmesinden kaynaklanmaktadır.

2.6. ORANSAL FREKANSLAR

Frekanslar, frekans serilerinde değişkenin aldıkları değerlerin tekrar sayılarını, diğer bir ifade ile seride herhangi bir değere eşit değer alan kaç birim olduğunu göstermektedirler. Eğer seri sınıflı seri ise, frekans sınıf aralığında yer alan birimlerin sayısını ifade etmektedir. Bazı araştırmalarda birimlerin sayıları yerine oranlarının hesaplanması gerekebilir. Bu gibi durumlarda oransal frekanslar hesaplanmaktadır.

Değişkenin aldığı değerlerin veya sınıfların frekanslarının, toplam frekansa oranlanması ile elde edilen frekanslara oransal frekanslar denir. Diğer bir ifade ile oransal frekanslar hesaplanırken frekanslar toplam frekansa bölünmektedir. Oransal frekanslar frekans serilerinde, değişkenin aldığı herhangi bir değere eşit değer alan birimlerin, toplam birimlere oranını göstermektedir. Sınıflı serilerde ise, herhangi bir sınıfta yer alan birimlerin oranını ifade etmektedir.

Sınıflı frekans serilerinde oransal frekansları örnek üzerinde açıklayalım.

ÖRNEK: Daha önce örnek olarak verdiğimiz frekans serisi ve sınıflı serinin oransal frekanslarını hesaplayalım.


X_i		Oransal Frekanslar
0	3	3/25=0,12
1	4	4/25=0,16
2	5	5/25=0,20
3	6	6/25=0,24
4	3	3/25=0,12
5	2	2/25=0,08
6	1	1/25=0,04
8	1	1/25=0,04
	25	25/25=1,00

Yukarıda oransal frekanslar sütununda yer alan 0,24 değeri serideki %24’ün değerinin 3’e eşit olduğunu, diğer bir ifade ile işyerinde çalışan işçilerin %24’ünün 3 çocuklu olduğunu göstermektedir.


Sınıflar		Oransal Frekanslar
0-2	7	7/25=0,28
2-4	11	11/25=0,44
4-6	5	5/25=0,20
6-8	1	1/25=0,04
8-10	1	1/25=0,04
	25	25/25=1,00

Yukarıda oransal frekanslar sütununda yer alan 0,20 değeri serideki birimlerin %20’sinin değerinin 4 dahil 6’dan az olduğunu, diğer bir ifade ile işyerinde çalışan işçilerin %20’sinin çocuk sayısının 4 (dahil) ile 6 (hariç) arasında olduğunu göstermektedir.

Oransal frekanslar artan ve azalan birikimli oransal frekanslar olarak da düzenlenebilirler. Artan birikimli frekanslar seride bir değere eşit veya daha küçük değer alan birimlerin toplam sayısını gösterirken, artan oransal birikimli frekanslar seride bir değere eşit veya daha küçük değer alan birimlerin oranını göstermektedir. Azalan birikimli frekanslar ise seride bir değere eşit veya daha büyük değer alan birimlerin toplam sayısını gösterdiğinden, azalan oransal birikimli frekanslarda seride bir değere eşit veya daha büyük değer alan birimlerin oranını gösterecektir.

Artan ve azalan oransal birikimli frekanslar, oransal frekansların artan veya azalan birikimli frekans şeklinde düzenlenmesiyle elde edilebileceği gibi bu birikimli frekansların toplam frekansa bölünmesi ile de elde edilebilirler. Artan oransal birikimli frekanslar sütununun son değeri ve azalan oransal birikimli frekanslar sütunun ilk değeri 1’e eşittir.

ÖRNEK: Daha önce verilen örnekler üzerinde artan ve azalan birikimli frekansları hesaplayınız.

X_i		Oransal Frekanslar	Artan Birikimli F.	Azalan Birikimli F.	Artan Oransal Birikimli F.	Azalan Oransal Birikimli F.
0	3	0,12	3	25	0,12	1,00
1	4	0,16	7	22	0,28	0,88
2	5	0,20	12	18	0,48	0,72
3	6	0,24	18	13	0,72	0,52
4	3	0,12	21	7	0,84	0,28
5	2	0,08	23	4	0,92	0,16
6	1	0,04	24	2	0,96	0,08
8	1	0,04	25	1	1,00	0,04
	25	1,00

Yukarıda verilen frekanslı serinin artan oransal birikimli frekanslar sütununun da yer alan 0,72 değeri serideki birimlerin %72’sinin değerinin 3 ve 3’ten küçük olduğunu, diğer bir ifade ile bu işyerinde çalışan işçilerin %72’sinin çocuk sayısının 3 veya daha az olduğunu göstermektedir.

Bu serinin azalan oransal frekansları ise, serideki birimlerin 0,52’sinin değerinin 3 ve 3’den büyük olduğunu, yani işçilerin %52’sinin çocuk sayısının 3 ve 3’den fazla olduğunu göstermektedir.

ÖRNEK: Daha önce verilen sınıflı serinin artan ve azalan oransal birikimli frekanslarını hesaplayınız.

Sınıflar		Oransal Frekanslar	Artan Birikimli Frekanslar	Azalan Birikimli Frekanslar	Artan Oransal Birikimli F.	Azalan Oransal Birikimli F.
0-2	7	0,28	7	25	0,28	1,00
2-4	11	0,44	18	18	0,72	0,72
4-6	5	0,20	23	7	0,92	0,28
6-8	1	0,04	24	2	0,96	0,08
8-10	1	0,04	25	1	1,00	0,04
	25	1,00

Yukarıda verilen sınıflı serinin artan oransal birikimli frekanslar sütununda yer alan 0,92 değeri serideki birimlerin %92’sinin değerinin 6’dan küçük olduğunu, diğer bir ifade ile işyerinde çalışan işçilerin %92’sinin çocuk sayısının 6’dan az olduğunu göstermektedir.

Bu serinin azalan oransal birikimli frekanslar sütununda yer alan 0,28 değeri ise serideki birikimlerin %28’in değerinin 4 ve 4’den büyük olduğunu yani işçilerin %28’inin çocuk sayısının 4 veya daha fazla olduğunu göstermektedir.

2.7. İSTATİSTİKSEL SERİLER

Toplanan verilerin özelliklerine göre sıralanması ile elde edilen sayı dizilerine istatistiksel seri adı verilmektedir. İstatistiksel seriler zaman, mekan, dağılım ve bileşik seriler olmak üzere dört ana grupta toplanabilirler.

2.7.1. Zaman Serileri

Toplanan verilerin gün, ay, yıl gibi zaman birimlerine göre düzenlenmesi ile oluşturulan serilere zaman serileri adı verilir. Örneğin, yıllara göre tütün üretim miktarlarını, aylara göre doğan çocuk sayılarını gösteren seriler birer zaman serisidir. Zaman serileri daha sonra zaman serileri analizi bölümünde açıklanacak, trend, mevsimlik dalgalanmalar, konjoktürel dalgalanmalar ve tesadüfi dalgalanmalar olarak adlandırılan dört faktör tarafından etkilenmektedirler. Bir zaman serisi iki sütundan oluşmakta ve birinci sütunda zaman birimleri, ikinci sütunda ise incelenen değişkene ait sayısal değerler yer almaktadır.

ÖRNEK:

Yıllar	Toplam İstihdam (1=bin kişi)
2005	21540,385
2006	21536,15
2007	21473,225
2008	21295,123
2009	21658,783

2.7.2. Mekan Serileri

Mekan serileri yersel seriler olarak da adlandırılır. Toplanan verilerin köy, il, bölge gibi mekan birimlerine göre düzenlenmesi ile elde edilen serilere mekan serileri denmektedir. Mekan serileri de zaman serileri gibi iki sütundan oluşmakta ve birinci sütunda mekan birimleri, ikinci sütunda ise mekan birimlerine ait sayısal değerler yer almaktadır. Örneğin, bölgelere göre pamuk üretim miktarlarını, illere göre ekmek fiyatlarını gösteren seriler mekan serileridir.

ÖRNEK: Kamu kesimi toplam gelir ve giderlerinin G.S.Y.İ.H. içindeki payları


	Gelir	Gider
Ülkeler	2008 2009	2008 2009
Belçika	49,7 49,2	51,0 50,4
Danimarka	58,8 59,1	57,6 56,5
Almanya	44,8 44,8	47,5 47,2
Yunanistan	39,0 39,0	41,5 41,1
İspanya	40,8 40,8	42,9 42,4
Fransa	51,3 50,9	54,1 53,2
İngiltere	41,4 42,2	41,3 41,8
Türkiye	25,3 24.1	34,5 38,4

2.7.3. Dağılım Serileri

Dağılım serileri, değişkenlerin aldığı değerlerin dağılımını gösteren serilerdir. Bu serilerde, zaman ve mekan gibi bir karakter bulunmamakta sadece değişkenin aldığı değerler yer almaktadır. Daha önce açıkladığımız, basit seri, frekans serisi ve sınıflı seri dağılım serileridir.

Dağılım serilerini nicel ve nitel dağılım serileri olmak üzere ikiye ayırabiliriz. Nicel dağılım serileri niceliklere göre, nitel dağılım serileri ise niteliklere göre dağılımı gösterirler. Örneğin, nüfusun medeni hale göre dağılımını gösteren seriler nitel dağılım serileri, nüfusun yaşlara göre dağılımını gösteren seriler ise nicel dağılım serileridir.

Dağılım serileri birikimli seriler şeklinde de düzenlenebilirler. Daha önce birikimli frekanslar anlatılırken oluşturulan seriler birikimli serilerdir.

2.7.4. Bileşik Seriler

Birimlerin iki veya daha çok karaktere göre dağılımını gösteren serilere bileşik seriler denir. Örneğin, bir sınıftaki öğrencilerin matematik ve istatistik derslerinden aldıkları notların dağılımını veya ailelerin gelirlerinin ve tasarruflarının dağılımını gösteren seriler bileşik serilerdir.

ÖRNEK:


Aileler	Yıllık Gelir (1000 TL)	Yıllık Tasarruf (1000 TL)
A	12	1
B	32	3
C	56	18
D	24	10
E	18	5
F	27	8

Bileşik serilerde, dağılım serileri gibi frekans serisi ve sınıflı seri şeklinde düzenlenebilirler. Yukarıda verilen örnek sınıflı seri şeklinde şöyle düzenlenebilir.


Tasarruf (1000 TL) Gelir (1000 TL)	0-5	5-10	10-15	15-20
0-15	1
15-30		2	1
30-45	1
45-60				1

2.8. GRAFİKLER

Araştırma sonucunda elde edilen ve düzenlenen verilerin daha kolay anlaşılabilmesi için gösterildiği şekillere grafik denir. Grafikler göze hitap ettiğinden toplanan verilerin daha açık bir şekilde görülmesine ve daha kolay yorumlanmasına yardımcı olurlar. Konu ile ilgisi olmayan kişiler de grafikler yardımı ile konuyla ilgili fikir sahibi olabilirler. Ancak burada önemli olan nokta grafiklerin açık ve anlaşılır biçimde çizilmeleridir.

Farklı araştırma konuları, farklı veriler ve farklı amaçlar için çeşitli grafikler kullanılabilir. Diyagramlar, kartogramlar, stereogramlar, kutupsal grafikler, istatistiksel haritalar gibi çok çeşitli grafiklerden söz edilebilirse de, burada sadece daha sonraki analizlerde gerekli olacak grafiklere yer verilecektir.

2.8.1. Zaman Serilerinin Grafikleri

Zaman serileri, değişkenin aldığı değerlerin zaman birimlerine göre dağılımını gösterdiklerinden, bunların grafikleri bir koordinat sistemi üzerine çizilebilir. Bu koordinat sistemin de yatay eksende zaman birimleri, düşey eksende ise değişkenin aldığı değerler yer almakta ve eksenler zaman birimleri ve değişkenin aldığı değerler dikkate alınarak ölçeklendirilmektedir. Bu grafikler zaman serilerinin analizi bölümünde kullanılacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin grafiğini çiziniz.

Yıllar	Sabit Fiyatlar ile GSMH (1987) (1000 TL)
1995	80142,7
1996	80776,8
1997	85418,9
1998	91301,8
1999	87892,1
2000	94066,4
2001	100108,3
2002	107145,1
2003	110684,0
2004	105526,4
2005	112231,4
2006	104971,0
2007	112485,1
2008	117975,7
2009	127219,4

Verilen serinin grafiği Şekil.2.1’de görülmektedir.

Şekil 2.1

2.8.2. Dağılım Serilerinin Grafikleri

Değişkenlerin aldıkları değerlerin dağılımını gösteren ve basit seri, frekans serisi ve sınıflı seri şeklinde düzenlenen bu dağılım serilerinin grafikleri de serilerin türlerine göre çizilmektedir.

Basit serilerde birim sayısı az olduğundan ve frekanslar bulunmadığından bu serilerin grafikleri, değişkenin aldığı değerlerin büyüklüklerini gösterecek şekilde çizilmektedir. Frekans serilerinin grafikleri ise değişkenin aldığı değerlere göre frekansların dağılımını göstermektedir. Frekans serilerinin grafikleri bir koordinat sistemi üzerine çizilebilir. Grafik çiziminde yatay eksende değişkenin aldığı değerler, düşey eksende ise frekanslar yer almaktadır. Yatay ve düşey eksenlerin ölçeklendirilmesi, değişkenin aldığı değerlerin ve frekansların büyüklükleri dikkate alınarak yapılmakta ve bu ölçeklendirme işleminden sonra, değişkenin aldığı değerlerin karşılığı olan frekanslar eksen sistemi üzerinde işaretlenmektedir. Bu serilerde değişken süreksiz değişken olduğundan noktaların birleştirilmesi doğru olmayacaktır. Ancak elde edilen noktalar birer dikey çizgi ile yatay eksenle birleştirilebilir.

ÖRNEK: Yapılan bir anket sonucunda sahip olunan çocuk sayısına göre aile sayısının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin grafiğini çiziniz.


Çocuk Sayısı(X_i)	Aile Sayısı (f_i)
0	94
1	65
2	87
3	71
4	34
5	12
6	5
	368

Şekil 2.2

Verilen bu serinin grafiği şekil 2.2.’de görüldüğü gibidir. Şekil 2.2.’de nicel dağılım serisinin grafiği görülmektedir. Serinin nitel dağılım serisi olması durumunda grafikteki yatay eksende nitelikler yer alacaktır.

ÖRNEK: Bölgelere göre televizyon sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu dağılımın grafiğini çiziniz.


Bölgeler	Televizyon Sayısı (1=10.000)
A	25
B	36
C	12
D	49
E	71
F	28
G	12
	233

Şekil 2.3

Serinin grafiği şekil 2.3.’de görülmektedir.

Frekans serilerinde olduğu gibi sınıflı serilerin grafikleri de bir koordinat sistemi üzerine çizilebilir ve çizilen bu frekans serilerinin grafiklerine histogram adı verilir. Histogramın çiziminde yatay eksende sınıf aralıkları, düşey eksende ise frekanslar yer almaktadır. Sınıf aralıkları ve frekansların değerleri bu eksenlerde belirlendikten sonra, sınıf aralıklarının alt ve üst sınırlarından frekans değerlerine kadar birer dikme çizilir ve sınıflı serilerde sınıfların frekanslarının sınıf aralığında düzgün dağıldığı kabul edildiğinden, çizilen dikmeler yatay eksene paralel bir çizgi ile birleştirilerek dikdörtgenler elde edilir. Bu dikdörtgenlerin tümü bize histogramı verir.

Histogramı oluşturan bu dikdörtgenlerin üst orta noktalarının birleştirilmesi ile elde edilen grafiğe de frekans poligonu adı verilir. Frekans poligonu sınıf aralıklarının mümkün olduğunca küçültülmesi durumunda bir eğriye dönüşür, bu eğriye de frekans eğrisi adı verilir.

ÖRNEK: Bir sınıftaki 50 öğrencinin ağırlıklarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin histogramı ve frekans poligonunu çiziniz.


Sınıflar	f_i
40-50	5
50-60	8
60-70	19
70-80	11
80-90	7
	50

Serinin histogramı ve frekans poligonu Şekil 2.4.’de görülmektedir.

Şekil 2.4

Daha önce anlatılan artan ve azalan birikimli frekans serilerinin grafikleri de koordinat sistemi üzerine çizilebilir. Grafiklerin çiziminde yatay eksende değişkenin değerleri, düşey eksende ise birikimli frekanslar yeralır. Değişkenin aldığı değerler ile birikimli frekansların kesiştiği noktaların birleştirilmesiyle birikimli serilerin grafiği çizilmiş olur.

ÖRNEK: Bir bölgedeki binaların kat sayısına göre dağılımı aşağıda verilmiştir.


X_i	f_i	Artan Birikimli Frekanslar	Azalan Birikimli Frekanslar
1	26	26	145
2	34	60	119
3	43	103	85
4	29	132	42
5	13	145	13

Yukarıda verilen serinin artan ve azalan birikimli frekanslarının grafiğini çiziniz.

Şekil 2.5

Verilen serinin artan ve azalan birikimli frekansları Şekil 2.5.’de görülmektedir.

ÖRNEK: Dayanıklı tüketim malları satan bir mağazadaki bir aylık kredili satış miktarlarının kişilere göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Serinin artan ve azalan birikimli frekanslarının grafiğini çiziniz.

Sınıflar (1=1000 TL)	f_i	Artan Birikimli Frekanslar	Azalan Birikimli Frekanslar
10-20	32	32	128
20-30	44	76	96
30-40	29	105	52
40-50	15	120	23
50-60	8	128	8

Şekil 2.6

Verilen serinin artan ve azalan birikimli frekanslarının grafiği Şekil 2.6.’da görüldüğü gibidir.

Örneklerde görüldüğü gibi frekans serileri için birikimli frekansların grafikleri çizilirken birikimli frekanslar ve bu frekansların ait olduğu X değerleri alınmaktadır. Sınıflı serilerde ise durum biraz farklıdır. Bu serilerin artan birikimli frekansların grafikleri çizilirken sınıfın üst sınır değeri, azalan birikimli frekanslar çizilirken ise alt sınır değeri alınmaktadır.

2.8.3. Bileşik Serilerin Grafikleri

Birimlerin birden fazla karaktere göre dağılmalarını gösteren serilere bileşik seriler denilmekteydi. Bileşik serilerin grafikleri, iki karakter sözkonusu olduğunda, bir karakter yatay eksende, diğer karakter düşey eksende gösterilerek kolaylıkla çizilebilir. Ancak karakter sayısı ikiden fazla ise çizim güçleşmektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki aynı iş kolunda faaliyet gösteren 6 işletmenin yıllık satış miktarları ve karları verilmiştir. Verilen serinin grafiğini çiziniz.

İşletmeler	Satış Miktarı (1=10000 TL)	Kar Miktarı (1=10000 TL)
A	22	5
B	38	7
C	14	2
D	8	1
E	33	8
F	27	6

Yukarıda verilen serinin grafiği Şekil 2.7.’de görüldüğü gibidir.

Şekil 2.7

2.9. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1: Bir işletmenin pazarlama bölümünde görev almak için işletmeye başvuran 50 kişinin yaşları aşağıda verilmiştir.

26,25,29,24,27,20,23,26,23,30,27,26,26,24,26,24,23,24,26,25,18,24,21,24,27, 25,24,24,26,25,23,25,25,27,27,35,26,25,25,24,23,26,26,33,27,25,24,24,21,29.

Verilen yaşları,

Basit seri
Frekans serisi
En küçük değerden başlayarak üçer eşit sınıf aralıklı sınıflı seri

şeklinde düzenleyiniz.
Frekans ve sınıflı serilerin toplam değerlerini hesaplayınız.

Çözüm :

a- 18,20,21,21,23,23,23,23,23,24,24,24,24,24,24,24,24,24, 24,

24, 25,25,25,25,25,25,25,25,25,26,26,26,26,26,26,26,26,26,

26,27,27,27,27,27,27,29,29,30,33,35.


Xi	fi
18	1
20	1
21	2
23	5
24	11
25	9
26	10
27	6
29	2
30	1
33	1
35	1
	50


Sınıflar	fi
18-21	2
21-24	7
24-27	30
27-30	8
30-33	1
33-36	2
	50


Xi	fi	fiXi
18	1	18
20	1	20
21	2	42
23	5	115
24	11	264
25	9	225
26	10	260
27	6	162
29	2	58
30	1	30
33	1	33
35	1	35

50 1262


Sınıflar	fi	Xi	fiXi
18-21	2	19,5	39
21-24	7	22,5	157,5
24-27	30	25,5	765
27-30	8	28,5	228
30-33	1	31,5	31,5
33-36	2	34,5	69
	50		1290

ÖRNEK 2: Bir bölgedeki 180 ev dolaşılarak anket yapılmıştır. Ankete katılanların “Evde kaç kişi yaşıyorsunuz?” sorusuna verdiği cevapların dağılımı aşağıda verilmiştir.


Evde yaşayan kişi Sayısı(Xi)	fi
1	6
2	18
3	24
4	41
5	33
6	15
7	19
8	11
10	7
11	5
12	1
	180

Verilen değerleri iki eşit aralıklı sınıflı seri şeklinde

düzenleyiniz.
Düzenlediğiniz sınıflı serinin histogramını ve frekans eğrisini

çiziniz.

Çözüm:


Sınıflar	fi
1-3	24
3-5	65
5-7	48
7-9	30
9-11	7
11-13	6
	180

ÖRNEK 3: İşe alınmak için bir işletmeye 95 kişi müracaat etmiş ve adaylara 5 hukuk sorusu sorulmuştur. Adayların verilen doğru cevap sayılarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Dağılımın artan ve azalan birikimli frekanslarını hesaplayarak, grafiklerini çiziniz.


Xi	fi	Artan Birikimli Frekanslar	Azalan Birikimli Frekanslar
0	2	2	95
1	14	16	93
2	30	46	79
3	37	83	49
4	8	91	12
5	4	95	4
	95

ÖRNEK 4: Aynı iş kolunda faaliyet gösteren ve ihracat yapan 78 işletmenin yıllık ihracat miktarlarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir. Dağılımın artan ve azalan birikimli frekanslarını hesaplayarak grafiklerini çiziniz. (1=1 milyon dolar)


Sınıflar	fi	Artan Birikimli Frekanslar	Azalan Birikimli Frekanslar
0-5	19	19	78
5-10	27	46	59
10-15	15	61	32
15-20	10	71	17
20-25	7	78	7
	78

Çözüm:

ÖRNEK 5: Bir işletmenin 60 günlük otomobil satışlarının dağılımı aşağıda verilmiştir.


Xi	fi	Oransal Frekanslar	Artan Oransal Birikimli F.	Azalan Oransal Birikimli F.
0	3	0,050	0,050	1,000
1	16	0,267	0,317	0,950
2	21	0,350	0,667	0,683
3	12	0,200	0,867	0,333
4	5	0,083	0,950	0,133
5	2	0,033	0,983	0,050
6	1	0,017	1,000	0,017
	60	1,000

Günlük otomobil satışlarının dağılımının,

Oransal frekanslarını
Artan ve azalan oransal birikimli frekanslarını hesaplayınız.
Artan ve azalan oransal birikimli frekans grafiğini çiziniz.

ÖRNEK 6: Bir bölgede yaşayan ailelerin yıllık gelirlerine göre dağılımı aşağıda verilmiştir. ( 1=1 milyon TL)


Sınıflar	fi	Oransal Frekanslar	Artan Oransal Birikimli F.	Azalan Oransal Birikimli F.
5-15	171	0,122	0,122	1,000
15-25	422	0,301	0,423	0,878
25-35	384	0,274	0,697	0,577
35-45	210	0,150	0,847	0,303
45-55	121	0,086	0,933	0,153
55-65	92	0,067	1,000	0,067
	1400	1,000

Gelir dağılımının,

a-Oransal frekanslarını

b-Artan ve azalan oransal birikimli frekanslarını hesaplayınız.

c-Artan ve azalan oransal birikimli frekans grafiğini çiziniz.

Çözüm:

ÖRNEK 7: Bir işletmede çalışan 24 kişinin kıdemleri ve aylık net ücretleri aşağıda verilmiştir. Kıdem belirlenirken tamamlanan yıl esas alınmıştır.


Aylık Net Ücret (1=10 TL)	Kıdem (Yıl)
36	1
52	3
81	7
12	0
15	1
23	0
28	1
29	2
35	2
91	5
97	6
63	8
61	4
55	5
53	4
58	6
42	3
41	3
40	0
73	11
34	3
35	2
51	4
58	5

Bu verileri kıdemi 3 yıl eşit aralıklı, ücreti 20 Türk lirası eşit aralıklı olarak, sınıflı bileşik seri şeklinde düzenleyiniz.

Çözüm:

	Kıdem Sınıfları
Ücret Sınıfları	0-3	3-6	6-9	9-12	TOPLAM
0-20	2				2
20-40	6	1			7
40-60	1	7	1		9
60-80		1	1	1	3
80-100		1	2		3
TOPLAM	9	10	4	1	24

BÖLÜM 3

MERKEZİ EĞİLİM ÖLÇÜLERİ

(ORTALAMALAR)

Elde edilen ham verinin seri şeklinde düzenlenmesi, düzenlenen verinin grafiklerle gösterilmesi, konu ile ilgili bir fikir verebilir. Fakat bu serilerle ilgili daha kesin değerlendirmeler yapılabilmesi, farklı serilerin birbirleri ile karşılaştırılabilmesi için bazı ölçülerin hesaplanması gerekmektedir. Bu bölümde açıklanacak olan ve merkezi eğilim ölçüleri olarak da adlandırılan ortalamalar, istatistiksel analizlerin temel ölçüleri olarak kabul edilebilirler.

Ortalamalar, genel olarak iki temel amaç için hesaplanan ölçülerdir. Ortalamaların hesaplanmasının birinci amacı, seriyi temsil etme özelliğini taşıyan tek bir sayısal değerin belirlenmesidir. Ortalama olarak öyle bir sayısal değer hesaplanır ki, bu sayısal değer serinin bir nevi özetidir ve bu değere bakılarak serinin genel karakteri hakkında fikir sahibi olunur. Ortalamaların hesaplanmasının diğer amacı, farklı serilerin birbirleri ile karşılaştırılmalarını sağlamaktır. Seriler ortalamaları hesaplanarak karşılaştırılabilirler. Örneğin, bir sınıftaki öğrencilerin istatistik dersinden aldıkları notların ortalaması hesaplanarak öğrencilerin istatistik dersindeki başarıları hakkında fikir sahibi olunabilir. Aynı ortalama matematik, iktisat gibi farklı dersler için de hesaplanırsa, hesaplanan bu ortalamalar karşılaştırılarak, öğrencilerin hangi derslerde daha başarılı veya hangi derslerde daha başarısız oldukları belirlenebilir.

Ortalamaları, hesaplanmalarında kullanılan birimlere göre iki ana gruba ayırabiliriz. İlk grupta, aritmetik ortalama, kareli ortalama, geometrik ortalama ve harmonik ortalama yer almakta ve bu ortalamaların hesaplanmasında serinin bütün birimleri kullanılmaktadır. İkinci grupta ise mod ve medyan yer almakta ve bunların hesaplanmasında serinin bütün birimleri kullanılmamaktadır. İki grup arasındaki en büyük fark, seri birimlerindeki değişmelere karşı olan duyarlılıklarıdır. Hesaplanmasında serinin bütün birimleri kullanılan ortalamaların değeri, serinin her hangi bir biriminin değeri değiştiğinde değişecektir. Oysa diğer gruptaki ortalamaların değerinin değişmesi için bu ortalamaların hesabında kullanılan birimlerin değerinin değişmesi gerekmektedir. Hesaplanmasında kullanılan birimlerin değeri değişmedikçe bu ortalamaların değerleri de değişmez. Ancak hangi ortalama hesaplanırsa hesaplansın, bu ortalamanın değeri serinin maksimum ve minimum değerleri arasında yer alacaktır.

Bu bölümde sırasıyla aritmetik ortalama, kareli ortalama, geometrik ortalama, harmonik ortalama, mod ve medyan anlatılacaktır.

3.1. ARİTMETİK ORTALAMA

Serinin toplam değerinin seri birim sayısına bölümüne aritmetik ortalama denilmektedir. Aritmetik ortalama, seride değişkeni ifade eden harfin üzerine çizgi (-) konularak gibi sembolize edilmektedir.

Daha önce açıklandığı gibi basit serilerin toplam değeri, değişkenin aldığı değerlerin toplamına eşittir. Bu toplamın seri birim sayısı olan n'e bölümü basit seriler için aritmetik ortalamayı verecektir. Aritmetik ortalama,

formülü ile hesaplanır.

ÖRNEK: X_i : 2; 3; 4; 5; 8; 11

serisinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Frekans serilerinde ise, serinin toplam değeri değişkenin değerleri ile bu değerlerin frekanslarının çarpımlarının toplanması ile bulunacaktır. Serinin toplam değeri genellikle açılan sütununun toplamının alınması ile hesaplanmaktadır. Bu toplamın seri birim sayısı n'e eşit olan frekanslar toplamına bölümü ise serinin aritmetik ortalamasına eşit olacaktır. Frekans serilerinde aritmetik ortalama

formülü ile hesaplanır.

ÖRNEK: Aşağıdaki verilen serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.


X_i	f_i	f_iX_i
1	3	3
2	8	16
3	15	45
4	10	40
5	4	20
	40	124

Aritmetik ortalamanın hesabında sınıflı serilerin kullanıldığı durumlarda, serilerin toplam değeri hesaplanırken, frekans serilerindeki X_i'ler yerine sınıf ortaları kullanılmaktadır. Bu nedenle sınıflı serilerde önce sınıf ortaları bulunmakta daha sonra serinin aritmetik ortalaması frekans serilerinin aritmetik ortalamasının hesaplandığı

formülü ile hesaplamaktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.


Sınıflar	X_i	f_i	f_iX_i
0-4	2	5	10
4-8	6	9	54
8-12	10	16	160
12-16	14	13	182
16-20	18	7	126
		50	532

3.1.1. Aritmetik Ortalamanın Özellikleri

Basit, frekanslı ve sınıflı serilerde hesaplanan aritmetik ortalamanın birçok özellikleri vardır. Bu özellikleri örnekler ile açıklayalım.

- Bir serinin aritmetik ortalamasının seri birim sayısı ile çarpımı, serinin toplam değerini verir.

Basit serilerde aritmetik ortalama,

formülü ile hesaplanmaktadır. İçler dışlar çarpımı yapılırsa,

elde edilir. Frekans serileri ve sınıflı serilerde ise aritmetik ortalama;

formülü ile hesaplanıyordu. İçler dışlar çarpımı yapılırsa,

bulunur.

ÖRNEK: Aritmetik ortalaması 8 olan 25 birimli bir basit serinin toplam değerini hesaplayınız.

Toplam değer =

= 8(25) = 200

- Seri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfırdır.

Basit seriler için,

olarak gösterilir. Bu ifadeyi açarsak,

ve olduğundan

olarak elde edilir.

Frekans serileri ve sınıflı seriler için

olarak gösterilir.

olduğundan parantezi açarsak

== 0

olarak elde edilir.

ÖRNEK: X_i : 4; 6; 7; 10;I3

serisinde olduğunu gösteriniz.



4	4-8=-4
6	6-8=-2
7	7-8=-1
10	10-8=2
13	13-8=5

ÖRNEK: Aşağıdaki seride olduğunu gösteriniz.



0	2	0	-1,9	-3,8
1	5	5	-0,9	-4,5
2	8	16	0,1	0,8
3	3	9	1,1	3,3
4	2	8	2,1	4,2
	20	38

- Bir serinin değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareleri toplamı minimumdur. Basit seriler için,

frekans serileri ve sınıflı seriler için

olarak gösterilir.

Basit serilerde;

olarak gösterilmişti. Eşitsizliğin sağ tarafına ekler ve çıkarırsak, eşitsizlik;

olacaktır. Sağ tarafın karesini alarak kısaltalım.

X ve A sabit sayılar ve olduğundan;

olarak gösterilir. A sayısı 'dan hem büyük hem de küçük olması durumunda, pozitif bir sayı olacağından Eşitsizliğin doğruluğu ispatlanmaktadır.

Frekans serisi veya sınıflı seride ise;

olacağı daha önce gösterilmişti. Yine eşitsizliğin sağ tarafına ekleyelim ve çıkaralım.

ve A sabit sayılar ve olduğundan;

olarak elde edilir, böylece eşitsizliğin doğruluğu ispatlanmış olur.

ÖRNEK: X_i : 4; 6; 7; 13; 15

serisinde olduğunu gösteriniz.



4	-5	25	-2	4
6	-3	9	0	0
7	-2	4	1	1
13	4	16	7	49
15	6	36	9	81
		90		135

90<135

ÖRNEK: Aşağıdaki seride

olduğunu gösteriniz.


Sınıflar
1-3	10	2	20	-3,4	11,56	115,60	-5	25	250
3-5	15	4	60	-1,4	1,96	1,96	-3	9	135
5-7	11	6	66	0,6	0,36	0,36	-1	1	11
7-9	8	8	64	2,6	6,76	6,76	1	1	8
9-11	6	10	60	4,6	21,16	21,16	3	9	54
	50		270			330,00			458

330<458

- Bir serinin bütün değerlerine aynı sayının eklenmesi veya çıkarılması ile oluşturulacak yeni serinin aritmetik ortalaması, ilk serinin aritmetik ortalamasına aynı sayının eklenmesi veya çıkarılmasına eşittir.

Aritmetik ortalaması olan X_i serisinin bütün değerlerine A gibi sabit bir sayı eklenerek veya çıkarılarak bir yi serisi oluşturuluyorsa, Yi serisinin aritmetik ortalaması,

Y_i = X_i – A ise

Y_i = X_i +A ise

olacaktır.

Bir serinin bütün değerlerine aynı sabit A sayısı eklenirse yeni serinin toplam değeri

olarak elde edilir.

Yeni serinin aritmetik ortalaması ise,

olacaktır.

Seri frekans serisi veya sınıflı seri ise,

olarak elde edilir. Yeni serinin aritmetik ortalaması ise,

olacaktır. Aynı işlemler çıkartma için de yapılabilir.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin bütün değerlerinden 7 çıkartarak bir Y_i serisi oluşturunuz ve olduğunu gösteriniz.


X_i	Y_i=X_i-7
15	15-7=8
18	18-7=11
22	22-7=15
30	30-7=23
33	33-7=26
38	38-7=31
156	114

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplamada aynı sonucu vermektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin bütün değerlerine 2 ekleyerek bir Z_i serisi oluşturunuz ve olduğunu gösteriniz.


X_i	f_i	f_iX_i	Z=X_i+2	f_iZ_i
1	14	14	1+2=3	42
2	20	40	2+4=4	80
3	23	69	3+2=5	115
4	16	64	4+2=6	96
5	7	35	5+2=7	49
	80	222		382

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplamada aynı sonucu vermektedir.

- Bir serinin bütün değerlerinin aynı sayı ile çarpılması veya bölünmesi ile oluşturulacak yeni serinin aritmetik ortalaması, ilk serinin aritmetik ortalamasının aynı sayı ile çarpımına veya bölümüne eşittir.

Aritmetik ortalaması olan serisinin bütün değerlerinin A gibi sabit bir sayı ile çarpılması veya bölünmesi ile bir Y_i serisi oluşturuluyorsa, Y_i serisinin aritmetik ortalaması,

Y_i = A.X_i ise

ise

olacaktır.

Bir serinin bütün değerleri A gibi sabit bir sayı ile çarpıldığında yeni serinin toplam değeri,

olacaktır. Bu durumda Y ortalama,

olarak bulunur.

Seri, frekans serisi veya sınıflı seri ise yeni serinin toplam değeri,

olacaktır. Y serisinin aritmetik ortalaması ile,

olarak bulunur. Aynı işlemler bölme işlemi için de yapılabilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X_i serisinin bütün değerlerini 3 ile çarparak bir Y_i serisi oluşturunuz. Oluşturduğunuz seride olduğunu gösteriniz.

X_i : 4; 5; 8; 8; 10


Y_i
3.4=12
3.5=15
3.8=24
3.8=24
3.10=30
105

= 3.7 = 21

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplama da aynı sonucu vermektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin bütün değerlerini 2'ye bölerek bir Y_i serisi oluşturunuz ve olduğunu gösteriniz.


Sınıflar	X_i	f_i	f_iX_i
0-4	2	8	16
4-8	6	16	96
8-12	10	24	240
12-16	14	12	168
16-20	18	10	180
		70	700


Sınıflar	Sınıflar	Y_i	f_i	f_iY_i
0/2-4/2	0-2	1	8	8
4/2-8/2	2-4	3	16	48
8/2-12/2	4-6	5	24	120
12/2-16/2	6-8	7	12	84
16/2-20/2	8-10	9	10	90
			70	350

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplamada aynı sonucu vermektedir.

- İki veya daha fazla serinin değişkenlerinin aldıkları değerlerin toplamları veya farkları, yeni bir seri oluşturuyorsa, yeni serinin aritmetik ortalaması, kendisini oluşturan serilerin aritmetik ortalamalarının farklarına veya toplamlarına eşittir.

Y_i = X_i + Z_i - T_i ise

olacaktır.

olduğundan, formülde Y_i yerine eşiti olan (X_i + Z_i - T_i) ifadesi konulursa

; ;

olduğundan

eşitliğinin, elde edildiği görülmektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen seri için ve olduğunu gösteriniz.


X_i	Z_i	Y_i=X_i+Z_i	V_i=X_i-Z_i
2	1	3	+1
3	4	7	-1
6	7	13	-1
9	10	19	-1
20	13	33	+7
40	35	75	+5

olarak hesaplanır.

Y_i =X_i + Z_i olduğundan

V_i =X_i - Z_i olduğundan

olarak bulunur.

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplamada aynı sonuçları vermektedir.

- Bir seri farklı serilerin birleştirilmesi ile oluşturuluyorsa, yeni serinin aritmetik ortalaması kendini oluşturan serilerin aritmetik ortalamaların tartılı aritmetik ortalamasına eşittir. Burada tartı olarak serilerin birim sayıları alınmaktadır.

m birimli X_l serisi ile , r birimli Y_j serisinin birleştirilerek

n = m + r birimli Z_i serisi oluşturduğunu varsayalım.

Bu seriler;

X_l = X₁ + X₂ , .... ,X_m

Y_j = Y₁ + Y₂ , .... ,Y_r ise

Z_i = X₁ + X₂ , ..... ,X_m ,Y₁,Y₂ , ....,Y_rolacaktır. Bu durumda,

olarak elde edilir.

Z serisinin toplam birim sayısı n = m + r dir. , X serisinin toplam değerini; , Y serisinin toplam değerini vereceğinden,

olur ve Z serisinin aritmetik ortalaması

olarak elde edilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X ve Y serilerini birleştirerek bir Z serisi oluşturunuz ve ortalamaları arasındaki ilişkiyi gösteriniz.


X_l	Y_j
4	1
5	2
7	4
9	6
25	7
	20

Yeni oluşturulacak Z serisi,

Z_i= 4; 5; 7; 9; 1; 2; 4; 6; 7

olacaktır.

Görüldüğü gibi iki ayrı hesaplamada aynı sonucu vermektedir.

- Bir anakütlenin aritmetik ortalaması () örnekten alınarak tahmin ediliyorsa, örnek ortalaması ana kütle ortalamasının sapmasız tahmincisi olduğundan olarak tahmin edilir.

3.1.2. Tartılı Aritmetik Ortalama

Buraya kadar yapılan açıklamalardan anlaşılacağı gibi, aritmetik ortalama ile ilgili hesaplamalarda serilerin bütün birimlerinin aynı öneme sahip olduğu kabul edilmektedir. Uygulamada bazı durumlar da birimlerin önemleri birbirinden farklı olabilir. Bu gibi durumlar da, tartısız aritmetik ortalama yerine tartılı aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekmektedir. Örneğin, öğrencilerin herhangi bir ders için başarı notlarının hesaplandığını ve başarı notu hesabında aritmetik ortalama kullanıldığını düşünelim. Ara sınavlar ile final notlarının başarı notunu ayni oranda etkilemesi isteniyorsa tartısız aritmetik ortalama hesaplanacaktır. Final sınavının, başarı notunu ara sınavlardan daha çok etkilemesi isteniyorsa, tartılar belirlenerek, tartılı aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekecektir.

Uygulamada tartılar farklı şekillerde belirlenebilir. Örneğin, yukarıda verdiğimiz başarı notu örneğinde, tartıları kurumların yöneticileri kendi görüşlerine göre belirlemektedirler. Bazı durumlarda tartılar araştırmalar yapılarak belirlenmekte, Bazı durumlarda ise incelenen konu ile ilgili Bazı değerler tartı olarak alınabilmektedir. Örneğin, 3 bölgede ekmek fiyatları farklı ise ve bunların tartılı aritmetik ortalaması hesaplanacaksa, bölgedeki ekmek tüketim miktarları tartı olarak alınabilir. Ancak bu 3 bölgenin ekmek tüketim miktarları ayni ise tartılar birbirine eşit olacağından tartılı ve tartısız aritmetik ortalamalarında birbirine eşit olacağı görülecektir.

Basit serilerde tartılar söz konusu olduğu zaman, serideki değişken ile birlikte, ikinci bir değişken olarak tartılar da yer almaktadır. Tartıların yer aldığı basit seri genel olarak şöyle gösterilebilir.


X_i	t_i
X₁	t₁
X₂	t₂
X₃	t₃

X_n	t_n

Bu serinin tartılı aritmetik ortalaması,

formülü ile hesaplanmaktadır. Burada (t) indisi aritmetik ortalamanın tartılı olduğunu göstermek için kullanılmıştır.

Tartıların a gibi sabit bir sayıya eşit olduğu durumlarda tartılı aritmetik ortalama ile tartısız aritmetik ortalama birbirine eşit olmaktadır. Bu eşitliği aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Görüldüğü gibi,

olarak elde edilmektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen basit serinin tartılı ve tartısız aritmetik ortalamasını hesaplayınız.


X_i	t_i	X_it_i
3	4	12
4	5	20
5	1	5
6	2	12
8	3	24
26	15	73

Tartıların hesaba katılması ile sonucun değiştiği görülmektedir.

Aynı örnekte tartıların birbirine eşit ve 3 olduğunu varsayalım.


X_i	t_i	X_it_i
3	3	9
4	3	12
5	3	15
6	3	18
8	3	24
	15	78

Hesaplamalardan görüleceği gibi, basit serilerde tartılar birbirine eşit olduğunda, tartılı ve tartısız aritmetik ortalamalar da birbirine eşit olmaktadır.

Basit serilerde olduğu gibi, frekans serilerinde de tartılı aritmetik ortalamalar hesaplanabilir. Bu hesaplamalarda tartıların, üçüncü sütun olarak frekans serilerine eklenmeleri gerekecektir. Tartıların yer aldığı frekans serileri genel olarak şöyle gösterilebilir.


X_i	f_i	ti
X₁	f₁	t₁
X₂	f₂	t₂
X₃	f₃	t₃

X_k	f_k	t_k

Bu frekans serinin tartılı aritmetik ortalaması

formülü ile hesaplanmaktadır. Formülde görülen tartıların a gibi sabit bir sayıya eşit olduğu durumlarda tartılı aritmetik ortalama ile tartısız aritmetik ortalama birbirine eşit olmaktadır. Bu eşitliği aşağıdaki gibi gösterebiliriz.

Görüldüğü gibi,

olarak elde edilmektedir.

Tartılı aritmetik ortalama, sınıflı serilerde de, frekans serilerinde kullanılan formül ile hesaplanmaktadır. Ancak seri sınıflı olduğundan, formüldeki X_i yerine sınıf ortaları alınacaktır.

Frekans serilerinde ve sınıflı serilerde aritmetik ortalamanın hesaplanmasını iki örnek ile gösterelim.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin tartılı ve tartısız aritmetik ortalamalarını hesaplayınız.


X_i	f_i	t_i	f_iX_i	t_if_iX_i	t_if_i
1	8	1	8	8	8
2	12	2	24	48	24
3	15	4	45	180	60
4	5	3	20	60	15
	40		97	296	107

Tartılı ve tartısız aritmetik ortalamaların farklı sonuçlar verdiği görülmektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin tartılı ve tartısız aritmetik ortalamasını hesaplayınız.


Sınıflar	f_i	t_i	X_i	f_iX_i	t_if_iX_i	t_if_i
5-15	4	5	10	40	200	20
15-25	7	2	20	140	280	14
25-35	6	2	30	180	360	12
35-45	3	1	40	120	120	3
	20			480	960	49

Sınıflı serilerde de tartıların hesaba katılması ile aritmetik ortalamanın değerinin değiştiği görülmektedir.

3.2. KARELİ ORTALAMA

Seri değerlerinin karelerinin aritmetik ortalamasının kare köküne kareli ortalama denmektedir. Kareli ortalama K harfi ile gösterilecektir.

Kareli ortalamanın hesaplanması için, seri değerlerinin karelerinin toplam değerinin bulunması gerekecektir. Bu toplam değerin seri birim sayısına bölümü ile seri birimlerinin karelerinin aritmetik ortalaması elde edilecek ve elde edilen bu sonucun karekökü ise kareli ortalamayı verecektir. Kareli ortalama hesaplanırken, seri değerlerinin kareleri alındığından karekök ile düzeltme yapılmaktadır.

Basit serilerde seri değerlerinin kareleri toplamı,

olacağından, kareli ortalama;

formülü ile hesaplanacaktır.

ÖRNEK: 3; 4; 4; 7; 8; 9 serisinin kareli ortalamasını hesaplayınız.

Frekans serilerinde de kareli ortalamanın hesaplanması için seri değerlerinin karelerinin toplam değerinin bulunması gerekmektedir.

Bu serilerde , 'lerin toplam değerini; , 'lerin toplam değerini; .....; ,'lerin toplamını vereceğinden, seri değerlerin karelerinin toplam değeri;

olacaktır. Bu nedenle frekans serilerinde kareli ortalama,

formülü ile hesaplanmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin kareli ortalamasını hesaplayınız.



2	5	4	20
3	8	9	72
4	14	16	224
5	17	25	425
6	6	36	216
	50		957

Sınıflı serilerde kareli ortalama frekans serilerinde kullanılan formül ile hesaplanmaktadır. Ancak seri sınıflı olduğundan formüldeki X_i yerine sınıf ortaları alınacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin kareli ortalamasını hesaplayınız.


Sınıflar
1-5	3	3	9	27
5-9	4	7	49	196
9-13	8	11	121	968
13-17	15	15	225	3375
17-21	10	19	361	3610
	40			8176

3.3. GEOMETRİK ORTALAMA

Seri değerlerinin çarpımlarının, seri birim sayısı derecesinden köküne geometrik ortalama denmektedir. Geometrik ortalama G harfi ile gösterilecektir.

Basit serilerde seri birimlerinin çarpımları,

olacağından, geometrik ortalama;

formülü ile hesaplanmaktadır.

ÖRNEK: 3;5;5;6;8;11 serisinin geometrik ortalamasını hesaplayınız.

Verilen örnekte 6. dereceden kök üstel fonksiyonlu bir hesap makinesi ile bulunmuştur. Böyle bir makine olmadığında n. dereceden kök logaritma yardımı ile alınabilir. Bu durumda,

olacaktır. log G’nin değeri hesaplandıktan sonra antilogaritması alınarak geometrik ortalama bulunmaktadır.

ÖRNEK: Daha önce verilen basit serinin geometrik ortalamasını logaritma yardımı ile hesaplayınız.

log G = 0,76628 → G = 5,83

Her iki hesaplamada da geometrik ortalamanın aynı değerde olduğu görülmektedir.

Frekans serilerinde geometrik ortalama hesaplanırken de seri birimlerinin çarpımlarının bulunması gerekmektedir. Bu değerlerin çarpımı,

olacaktır.

X₁'in tekrar sayısı f₁; X₂'nin tekrar sayısı f₂; ....; X_k'nın tekrar sayısı f_k olduğundan,

olarak yazılabilir. Bu durumda geometrik ortalama;

formülü ile hesaplanmaktadır.

Geometrik ortalama logaritma yardımıyla hesaplanacaksa;

formülü kullanılacaktır.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin geometrik ortalamasını hesaplayınız.


X_i	f_i	logX_i	f_ilogX_i
1	2	0	0
2	4	0,30103	1,20412
3	7	0,47712	3,33984
4	4	0,60206	2,40824
5	3	0,69897	2,09691
	20		9,04911

Sınıflı serilerde geometrik ortalama frekans serilerinde kullanılan,

formülü ile hesaplanmakta, ancak formülde yer olan X_i değerleri yerine sınıf orta değerleri kullanılmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin geometrik ortalamasını hesaplayınız.


Sınıflar	f_i	X_i	logX_i	f_ilogX_i
0-5	4	2,5	0,39794	1,59176
5-10	9	7,5	0,87506	7,87554
10-15	15	12,5	1,09691	16,45365
15-20	2	17,5	1,24304	2,48608
	30			28,40703

3.4. HARMONİK ORTALAMA

Seri değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine harmonik ortalama denmektedir. Harmonik ortalama H harfi ile ifade edilmektedir.

Basit serilerde seri birim sayısı, seri birimlerinin terslerinin toplamına bölünerek harmonik ortalama hesaplanmış olur. Bu nedenle basit serilerde harmonik ortalama,

formülü ile hesaplanacaktır.

ÖRNEK: 3, 5, 5, 6, 8, 11 serisinin harmonik ortalamasını hesaplayınız.

Frekans serilerinde harmonik ortalama hesaplanırken diğer ortalamalarda olduğu gibi frekanslar, yani birimlerin tekrar sayıları dikkate alınır. Bu durumda birimlerin terslerinin toplamı,

olacaktır. Bu durumda harmonik ortalama,

olacaktır.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin harmonik ortalamasını hesaplayınız.


X_i	f_i	f_i/X_i
1	3	3,0000
2	5	2,5000
3	8	2,666
4	5	1,2500
5	4	0,8000
	25	10,216

Sınıflı serilerde harmonik ortalama frekans serilerinde kullanılan,

formülü ile hesaplanmakta, ancak formülde yer alan xi değerleri yerine sınıf orta değerleri kullanılmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin harmonik ortalamasını hesaplayınız.


Sınıflar	f_i	X_i	f_i/X_i
0-2	3	1	3,0000
2-4	8	3	2,6666
4-6	12	5	2,4000
6-8	5	7	0,7142
8-10	2	9	0,2222
	30		9,0030

Seri birimlerinin bir veya birkaçının değeri sıfırsa eşit olduğunda harmonik ortalama hesaplanamaz. Ayrıca seride ters işaretli birimler bulunduğunda harmonik ortalama anlamsız sonuç verebilir.

3.5. MOD

Serinin en çok tekrarlanan değerine mod denmekte ve Mo sembolü ile gösterilmektedir. Modun uygun ölçü olabilmesi için, serinin tek modlu olması gerekmektedir.

Bir seride değişkenin aldığı farklı değerler aynı sayıda tekrarlanıyorsa bu seri modsuz seridir. Aynı şekilde, tekrar sayıları sürekli artan ve azalan serilerde modsuz seriler olarak adlandırılmaktadır. Örneğin, bir seride değişkenin aldığı farklı değerler Üçer kere tekrarlanıyorsa bu seri modsuz seridir. Ayni şekilde değişkenin aldığı farklı değerlerin tekrar sayıları 2,5,6,9,.... Gibi artıyor veya 21, 18, 12, 10,..., gibi azalıyorsa bu serilerde modsuz serilerdir. Bu serilerin frekans dağılımlarının grafikleri Şekil 3.1.'de görülmektedir.

Şekil 3.1

Serinin modlu bir seri olabilmesi için, tekrar sayılarının, (frekanslarının) maksimum değerinin veya değerlerinin olması gerekmektedir. Eğer frekans dağılımlarının tek maksimum değeri varsa seri tek modlu, birden fazla maksimum değeri varsa, seri çok modludur. Tek ve çok modlu serilerin frekans dağılımlarının grafikleri Şekil 3.2.'de görülmektedir.

Şekil 3.2

Basit serilerde, özellikle örnek birim sayısının az olduğu durumlarda mod seriyi yeterince temsil etmeyebilir. Bu gibi durumlarda mod, serinin en çok tekrarlanan biriminin değeri Olacaktır. Ancak burada serinin tek maksimumlu yani tek modlu olmasına dikkat edilmesi gerekecektir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin modunu hesaplayınız.

2; 3; 3; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 9

Yukarıda verilen 20 birimli basit serinin en çok tekrarlanan değeri olan 6 serinin modudur. Modun uygun ölçü olabilmesi için serinin tek maksimumlu olup olmadığını araştırmak gerecektir. Bunun için seri değerlerinin tekrar sayılarına bakılması yeterli olmaktadır. Burada, 2, 1 defa; 3, 2 defa; 4, 3 defa; 6, 7 defa; 7, 4 defa; 8, 2 defa ve 9, 1 defa tekrarlandığından tekrar sayıları, önce artarak 6'nin 7 defa tekrarlanmasında maksimuma ulaşmakta, daha sonra düşmektedir. Seri tek modlu olduğundan bu seri için mod, uygun ölçü olarak kabul edilmektedir.

Frekans serilerinde ise frekansı en yüksek olan değer serinin modudur. Bu serilerde de modun uygun ölçü olup olmayacağının belirlenmesi için, serinin tek modlu olup olmadığına bakılması gerekmektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin modunu hesaplayınız.


X_i	f_i
2	15
3	21
4	36
6	27
7	18
8	13
	130

Seride en yüksek frekans 36 olduğundan bu frekansın değeri olan 4 serinin modudur. Frekansların dağılımı incelendiğinde de serinin tek modlu olduğu görülecektir.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin modunu hesaplayınız.


X_i	f_i
1	8
2	13
3	20
4	14
5	16
6	19
7	26
8	14
9	10
	140

Serinin frekansları artarak 20 olduğunda ilk maksimumu, daha sonra azalıp tekrar artarak 26 olduğunda ikinci maksimumu yapmaktadır. Bu nedenle seri iki modludur. Serinin modları 3 ve 7 dir.

Burada seri iki modlu olduğundan mod uygun ölçü olma özelliğini kaybetmektedir.

Sınıflı serilerde ise mod, frekansı en yüksek olan sınıfta yer almaktadır. Bu nedenle frekansı en yüksek olan sınıf mod sınıfıdır. Modun hesaplanmasında, mod sınıfı ile birlikte, mod sınıfından bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları alınarak enterpolasyon işlemi yapılır. Enterpolasyon işlemine, mod sınıfında yer alan birimlerin dağılımının, mod sınıfından bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekanslarının etkisinde kaldığının varsayılması nedeniyle başvurulmaktadır. Bu varsayım nedeniyle mod bu sınıflardan frekansı yüksek olana daha yakın olacaktır. Şekil 3,3'de bir Sınıflı serinin modu görülmektedir.

Şekil 3.3

Sınıflı serilerde modun hesaplanmasında yapılacak enterpolasyon işlemi formül haline getirilebilir. Hesaplamada kullanılacak formül aşağıda verilmiştir.

Formülde;I_a : mod sınıfın alt sınırını: mod sınıfın frekans ile bir önceki sınıf frekansı arasındaki farkı: mod sınıfın frekans ile bir sonraki sınıf frekansı arasındaki farkıc= sınıf aralığını

göstermektedir.

Bu formülün uygulanabilmesi için mod sınıfının, mod sınıfından bir önceki ve bir sonraki sınıfların sınıf aralıklarının eşit olması gerekmektedir. Mod sınıfından bir önceki ve bir sonraki sınıfların frekansları birbirine eşit olması durumunda mod, mod sınıfının orta değerine eşit olacaktır.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin modunu hesaplayınız.


Sınıflar	F_i
0-3	4
3-6	9
6-9	13
9-12	6
12-15	3
	35

Mod sınıfı = 6-9

I_a = 6

=13-9= 4=13-6=7

c= 3

3.6. MEDYAN

Seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan denmektedir. Medyan seriyi iki eşit parçaya böldüğünden birimlerin % 50'sinin değeri medyandan küçük, % 50'sinin değeri medyan büyük olacaktır.

Toplanan verilerin küçükten büyüğe doğru sıralanmasıyla elde edilen basit serilerde medyanın hesaplanmasında seri birim sayısının tek veya çift sayıda olması önemlidir. Seri birimlerinin tek sayıda olması durumunda serinin ’inci biriminin değeri medyan olacaktır.

Seri birimlerinin çift sayıda olması durumunda ise, serinin ’inci birimi olmayacağından, medyan serinin ’inci ve +1’inci birimlerinin değerlerinin ortalaması olarak kabul edilmektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serilerin medyanlarını hesaplayınız.X_i : 2; 4; 7; 11; 13; 13; 17 Y_i: 3; 9; 13; 17; 19; 19; 23; 24

X_i serisi, 7 birimli bir seri olduğundan,

olarak elde edileceğinden serinin medyanı 4. biriminin değeri olan 11 olacaktır.

Y_i serisi ise 8 birimli bir seri olduğundan,

olarak elde edileceğinden serinin medyanı 4'üncü ve 5'inci birimlerin değerlerinin ortalamasına eşit yani,

olacaktır.

Frekans serilerinde medyanın bulunabilmesi için artan birikimli frekansların hesaplanması gerekir. Bu frekanslar hesaplandıktan sonra seri birim sayısının yarısı bulunarak, bu değerlerin artan birikimli frekanslar sütununda hangi aralıkta yer aldığı belirlenir. Bu şekilde belirlenen aralığın büyük değeri karşısındaki X değeri serinin medyan değerini verecektir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen frekans serisinin medyanını hesaplayınız.


X_i	f_i	Artan Birikimli Frekanslar
10	8	8
11	13	21
12	19	40
13	15	55
14	12	67
16	3	70
	70

35 artan birikimli frekanslar sütununda 21-40 değerleri arasında yer aldığından, 40'ın karşısındaki 12 değeri serinin medyanıdır.

Frekans serilerinde medyanın bu şekilde hesaplanma nedenini, herhangi bir frekans serisi, basit seri şeklinde gösterilerek açıklanabilir.

ÖRNEK: Yukarıda verilen frekanslı seriyi basit seri şeklinde göstererek medyanı hesaplayınız.

Bu basit serinin birim sayısı çift olduğundan,

35'inci ve 36'inci birimlerin değerlerinin ortalaması medyandır. 35'inci birim ve 36'inci birim 12 olduğundan, ortalamaları da 12 Olacaktır. Her iki şekilde hesaplanan medyan değerinin birbirine eşit olduğu görülmektedir.

Artan birikimli frekanslar sütununda seri birimlerinin yarısına yani değerine eşit olan değer yer alıyorsa bu birikimli frekansın X değeri ile bir sonraki x değerinin ortalamasının medyan olduğu kabul edilecektir.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin medyanını hesaplayınız.


X_i	f_i	Birikimli Frekanslar
10	6	6
18	9	15
21	15	30
37	18	48
42	12	60
	60

artan birikimli frekanslar sütununda yer aldığından serinin medyanı

olacaktır. Önceki örnekte görüldüğü gibi frekans serisi basit seriye dönüştürüldüğünde, basit serinin ’uncu biriminin değeri 21 ve biriminin değerinin 37 olarak elde edilecektir. Burada medyan değeri, iki değerin ortalaması alınarak 29 olarak bulunacaktır. Böylece her iki şekilde hesaplanan medyan değerinin birbirine eşit olduğu görülmektedir.

Sınıflı serilerde ise medyan enterpolasyon işlemi ile hesaplanmaktadır. Bu serilerde medyanın hesaplanması için önce medyan sınıfının belirlenmesi gerekir. Medyan sınıfını belirlemek için, önce değerinin artan birikimli frekanslar sütununda yer aldığı aralık bulunur ve bulunan bu aralığın büyük değeri karşısındaki sınıf serinin medyan sınıfı olarak kabul edilir. Görüldüğü gibi frekans serilerinde medyan bulunması için yapılan işlemler ile, sınıflı serilerde medyan sınıfının bulunması için yapılan işlemler aynıdır.

Sınıflı serilerde medyanın hesaplanmasında yapılacak enterpolasyon işlemi formül haline getirilebilir. Hesaplamada kullanılacak formül aşağıda verilmiştir.

Formülde;

I_a: Medyan sınıfının alt sınırını: Medyan sınıfından bir önceki sınıfın artan birikimli frekansınıf_m: medyan sınıfının frekansını c : sınıf aralığını

göstermektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin medyanını hesaplayınız.


Sınıflar	f_i	Birikimli Frekanslar
0-5	16	16
5-10	24	40
10-15	33	73
15-20	28	101
20-25	19	120
	120

Medyan Sınıfı = 10-15

I_a = 10

f_m = 33

c = 5

Örnekte de görüldüğü gibi sınıflı serilerde medyan hesaplanırken enterpolasyon işlemi medyan sınıfı için yapılmaktadır. Bu nedenle sınıf aralıklarının eşit olması zorunluluğu yoktur. Medyanın bu özelliği yanında diğer bir özelliğide, seri birimlerinin değerlerinin medyandan farklarının mutlak değerleri toplamının minimum olmasıdır. Bu özellik;

Basit seriler için

Frekans serileri ve sınıflı seriler için ise,

olacaktır.

Frekans serilerinde medyan formül ile hesaplanabildiği gibi artan ve azalan birikimli frekans eğrileri yardımı ile de hesaplanabilir. Bu hesaplamada artan ve azalan birikimli frekans eğrilerinin kesişim noktası medyanı vermektedir. Yukarıda verilen örneğin, artan ve azalan birikimli frekans eğrileri ve medyanı şekil 3.4 de görülmektedir.

Şekil 3.4

3.7. BÖLENLER

Serileri iki, dört, on ve yüz eşit parçaya ayıran değerler genel olarak bölenler olarak adlandırılmaktadır. Seriyi iki eşit parçaya bölmek için hesaplanan değerlere medyan, dört eşit parçaya bölmek için hesaplanan değerlere kartil, on eşit parçaya bölmek için hesaplanan değerlere desil ve yüz eşit parçaya bölmek için hesaplanan değerlere santil adı verilmektedir. Bir seri için 3 kartil, 9 desil ve 99 santil hesaplanmaktadır. Ancak uygulamalarda desil ve santil yaygın olarak kullanılmadığından ve medyanda daha önce açıklanmış olduğundan burada sadece kartiller anlatılacaktır. Seriyi dört eşit parçaya bölen kartiller birinci kartil, ikinci kartil ve üçüncü kartil olarak isimlendirilirler.

Seri birimlerinin n/4'ünün değeri birinci kartilden, n/2'sinin değeri ikinci kartilden ve 3n/4 'ünün değeri üçüncü kartilden küçük olacaktır. Birinci kartil Q_1/4, ikinci kartil Q_2/4, üçüncü kartil ise Q_3/4 şeklinde ifade edilmektedir. Serinin ikinci kartili aynı zamanda meydanıdır.

Basit serilerde kartiller medyana benzer şekilde hesaplanmaktadır. Yani seriyi ilk birimden başlayarak n/4 son birimden başlayarak 3n/4 şeklinde bölen değer birinci kartil, ilk birimden başlayarak 3n/4, son birimden başlayarak n/4 şeklinde bölen değer ise üçüncü kartil olmaktadır.

Frekans serilerinde kartillerin bulunabilmesi için medyanda olduğu gibi artan birikimli frekansların hesaplanması gerekir. Bu frekanslar hesaplandıktan sonra birinci kartil için seri birimlerinin n/4 değeri bulunarak bu değerin artan birikimli frekanslar sütununda hangi aralıkta yer aldığı belirlenir. Bu şekil de belirlenen aralığın büyük değeri karşısındaki X değeri serinin birinci kartil değerini verecektir. Üçüncü kartilin hesabı içinde aynı işlemler seri birimlerinin 3n/4 değeri bulunarak yapılmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin kartillerini hesaplayınız.


X_i	f_i	Artan Birikimli Frekanslar
20	8	8
21	23	31
22	32	63
23	36	99
24	27	126
25	14	140
	140

35 artan birikimli frekanslar sütununda 31-63 aralığında bulunduğundan Q_1/4 =22,

70 artan birikimli frekanslar sütununda 63-99 aralığında bulunduğundan Q_1/2 =Me=23,

105 artan birikimli frekanslar sütununda 99-126 aralığında bulunduğundan Q_3/4 =24 olacaktır.

Sınıflı serilerde kartillerin hesaplanmasında medyanın hesabında kullanılan formüle benzer bir formül ile enterpolasyon işlemi yapılmaktadır. medyanın hesabı için kullandığımız formülü kartillerin hesabı için şöyle genelleştirebiliriz.

Yukarıda görülen bu formül kartillerin hesaplanmasında kullanılırken r = 4 olacaktır. Aynı formül desil ve santiller hesaplamasında da kullanılmaktadır. Ancak formül desiller için kullanılırsa r =10 ve santiller için kullanılırsa r = 100 olacaktır. Formülde görülen h ise hesaplanan bölene göre 1,2,3,... değerlerini almaktadır. Örneğin 3. kartil için h= 3, 6. desil için h= 6 ve 85. santil için h= 85 olacaktır.

Diğer taraftan hesaplanan bölene göre formülde;

I_a: Bölen sınıfının alt sınırını

: Bölen sınıfından bir önceki sınıfın birikimli frekansını

f_b: Bölen sınıfının frekansınıc: Sınıf aralığını ifade etmektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen sınıflı serinin kartillerini hesaplayınız.


Sınıflar	f_i	Birikimli Frekanslar
100-120	22	22
120-140	37	59
140-160	43	102
160-180	28	130
180-200	20	150
	150

Kartil

olduğundan 120-140 sınıfı 1. kartil sınıfıdır.

2. Kartil (Medyan):

olduğundan 140-160 sınıfı 2. Kartil veya medyan sınıfıdır.

Kartil:

olduğundan 160-180 sınıfı 3. Kartil sınıfıdır.

3.8. UYGUN ORTALAMANIN SEÇİMİ

Aritmetik ortalama uygulamalarda en çok kullanılan ortalamadır. Tek olarak kullanılan ortalama kelimesi aritmetik ortalama anlamında kullanılmaktadır. Aritmetik ortalamanın hesaplanmasında serinin bütün değerleri kullanıldığından seride aşırı düşük veya yüksek değerlerin bulunması durumunda aritmetik ortalama bu değerlerden etkilendiğinden, seriyi temsil etme özelliğini kaybedebilir.

Geometrik ortalama aritmetik, harmonik ve kareli ortalamalara göre serideki aşırı değerlerden daha az etkilenmektedir. Bu nedenle serinin bütün değerlerinin kullanıldığı bir ortalama hesaplanacaksa ve seride aşırı değerler varsa, geometrik ortalamanın kullanılması uygun olabilir. Seride sıfır ve negatif değerlerin bulunması durumunda geometrik ortalama hesaplanamaz. Seride sıfır değerleri varsa harmonik ortalama hesaplanamazken ters işaretli birimler varken harmonik ortalama hatalı sonuçlar verebilir.

Kareli ortalama hesaplanırken serinin değerlerinin kareleri alındığından seride ters işaretli birimler bulunduğunda kareli ortalama hesaplanması uygun olmaktadır. Seri birimlerinin tersleri söz konusu olduğunda harmonik ortalama hesaplanır.

Bir seri için harmonik, aritmetik, geometrik ve kareli ortalama birlikte hesaplandığında, en küçük ortalama harmonik ortalama, en büyük ortalama ise kareli ortalamadır. Bu durumda

yazılabilir.

Mod ve medyanın hesaplanmasında serinin bütün değerleri kullanılmadığından, seride aşırı düşük veya yüksek değerler bulunduğunda mod veya medyanın kullanılmaları uygun olabilir. Ayni nedenle, seride açık sınıflar bulunduğunda mod veya medyan diğer ortalamalara göre daha uygun ölçü olmaktadır. Çünkü bu gibi durumlarda, aritmetik, geometrik ve kareli ortalamalardan biri kullanılacaksa, açık sınıfların sınıf orta noktalarının belirlenmesi sorun yaratabilir.

3.9. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1: İşletmenin 10 günlük buzdolabı satışları aşağıda verilmiştir.


Günler	Satışlar (Adet)
1	8
2	13
3	17
4	11
5	9
6	16
7	21
8	23
9	14
10	18

Buzdolabı satışlarının,

Aritmetik ortalamasını

b) Kareli ortalamasınıc) Geometrik ortalamasını hesaplayınız.d) Harmonik ortalama

e) Hesapladığınız ortalamaları karşılaştırınız.

Çözüm:



8	64	0,90308	0,1250
13	169	1,11394	0,0769
17	289	1,23044	0,0588
11	121	1,04139	0,0909
9	81	0,95424	0,1111
16	256	1,20411	0,0625
21	441	1,32221	0,0476
23	529	1,36172	0,0434
14	196	1,14612	0,0714
18	324	1,25527	0,0555
150	2470	11,53252	0,7431

G = 14,23

e) 13,45<14,23<15<15,7

ÖRNEK 2: Bir malın 40 ayrı satış yerindeki satış fiyatları aşağıda verilmiştir. (1= 1 TL)


Fiyat	Satış Yeri Sayısı
2000	2
2200	14
2250	9
2400	8
2500	5
2600	2
	40

Satış fiyatının, a) Aritmetik ortalamasınıb) Kareli ortalamasınıc) Geometrik ortalamasını hesaplayınız.d) Harmonik ortalamasını hesaplayınız.

e) Hesapladığınız ortalamaları karşılaştırınız.

Çözüm:



2000	2	4000	8000000	3,30103	6,60206	0,0010
2200	14	30800	67760000	3,34242	46,79388	0,0064
2250	9	20250	45562500	3,35218	30,16962	0,0040
2400	8	19200	46080000	3,38021	27,04168	0,0033
2500	5	12500	31250000	3,39794	16,98970	0,0020
2600	2	5200	13520000	3,41497	6,82994	0,0008
	40	91950	212172500			0,0175

a)

c)

G = 2294,41

d)

e) 2285,71<2294,41<2298,75<2303,10

H<

ÖRNEK 3: Bir işyerinde satılan ve 1 kg. olması gereken 700 paket tartılmış ve paketlerin ağırlıklarının eksik veya fazla olduğu belirlenmiştir. Tartılan paketlerin ağırlık farkları aşağıda verilmiştir.


Ağırlık Farkları	f_i
-15 - -10	126
-10 - -5	220
-5 – 0	171
0 – 5	108
5 –10	61
10 – 15	14
	700

Ağırlık farkları dağılımının,a) Aritmetik ortalamasınıb) Kareli ortalamasınıc) Geometrik ortalamasını hesaplayınız.d) Hesapladığınız ortalamaları karşılaştırınız.

Çözüm:


Ağırlık Farkları	f_i
-15 - -10	126	-12,5	-1575,0	19687,5
-10 - -5	220	-7,5	-1650,0	12375,00
-5 – 0	171	-2,5	-427,5	1068,75
0 – 5	108	2,5	270,0	675,00
5 –10	61	7,5	457,5	3431,25
10 – 15	14	12,5	175,0	2187,50
	700		-2750,0	39425,00

Seride negatif işaretli birimler olduğundan geometrik ortalama

hesaplanamaz.
- 3,92 < 7,50

ÖRNEK 4: Aynı holdingin bünyesinde yer alan 7 işletmenin 2004 yılı karları aşağıda verilmiştir.


İşletmeler	Karlar (1000 TL)
A	1,2
B	3,4
C	8,6
D	0,8
E	7,3
F	9,7
G	4,1

Serinin,a) Modununb) Medyanınıc) Kartillerini hesaplayınız.

Çözüm: X_i : 0,8 ; 1,2 ; 3,4 ; 4,1 ; 7,3 ; 8,6 ; 9,7

Seri modsuzdur.

Q₂ = M_e

ÖRNEK 5: Bir belediyenin son bir ay içinde verdiği inşaat ruhsatlarının kat sayılarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir.


Kat Sayıları	Verilen Ruhsat Sayısı
1	19
2	28
3	33
4	50
5	122
6	71
7	34
8	12
	369

Dağılımına) Modununb) Medyanınıc) Kartillerini hesaplayınız.

Çözüm:


X_i	f_i	Artan Birikimli Frekanslar
1	19	19
2	28	47
3	33	80
4	50	130
5	122	252
6	71	323
7	34	357
8	12	369
	369

Seri tek modlu olduğundan mod uygun ölçü olacaktır. En yüksek

frekans 122 olduğundan serinin modu,

M_o = 5

bulunur.

M_e = 5

Q_1/4 = 4

Q_2/4 = M_e= 5

Q_3/4 = 6

ÖRNEK 6: Bir banka şubesinin Ocak ayında 90 kişiye verdiği tüketici kredilerinin miktarlarına göre dağılımı aşağıda verilmiştir. (1 = 1.000 T.L.)


Sınıflar	f_i
2,5 - 7,5	6
7,5 - 12,5	15
12,5 - 17,5	18
17,5 - 22,5	27
22,5 - 27,5	13
27,5 - 32,5	11
	90

Kredilerin dağılımının,a) Modunub) medyanınıc) Kartillerini hesaplayınız.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	Artan Birikimli Frekanslar
2,5 - 7,5	6	6
7,5 - 12,5	15	21
12,5 - 17,5	18	39
17,5 - 22,5	27	66
22,5 - 27,5	13	79
27,5 - 32,5	11	90
	90

Mod Sınıfı : 17,5 – 22,5 = 27 – 18 = 9

= 27 – 13 = 14

c= 5

Medyan Sınıfı: 17,5 22,5

= 39f_m = 27

c = 5

Kartil Sınıfı : 12,5 – 17,5

= 21

f_b = 18

c = 5

Q_2/4 = M_e = 18,61

3. Kartil Sınıfı : 22,5 – 27,5

= 66

f_b = 13

c = 5

ÖRNEK 7: Bir işletme işe alacağı personel için üç sınav yapmakta ve sınavda başarılı olanları mülakata almaktadır. İşletmeye başvuran bir kişiye ait sonuçlar ile tartılar aşağıda verilmiştir.


Testler	Alınan Puanlar	Tartılar
Genel Yetenek	69	2
Bilim	84	4
Yabancı Dil	76	1
Mülakat	70	3

Verilen puanların tartılı aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Çözüm:


X_i	t_i	X_it_i
69	2	138
84	4	336
76	1	76
70	3	210
	10	760

ÖRNEK 8: Bir malın ortalama satış fiyatini belirlemek için 42 satış yerinden satış fiyatları ve günlük satış miktarları alınmıştır.

Fiyatlar (1=1 TL)	Satış Yeri Sayısı	Satış Miktarları
58	6	462
60	14	541
62	17	214
65	4	172
70	1	88
	42	1477

Satış miktarlarını tartı alarak, malin satış fiyatının tartılı aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Çözüm:


X_i	f_i	t_i	f_it_i	f_iX_it_i
58	6	462	2772	160776
60	14	541	7574	454440
62	17	214	3638	227375
65	4	172	688	44720
70	1	88	88	6160
	42	1477	14760	893471

ÖRNEK 9: Bir mamulün 105 imalat yerindeki maliyetlerinin dağılımları ile, imalat yerlerinin günlük üretim miktarlarının toplamları aşağıda verilmiştir.

Maliyet Sınıfları (1=1 TL)	İmalat Yeri Sayısı	Günlük Üretim Miktarları (1=1000 adet)
5,5 - 6,0	27	158
6,0 - 6,5	35	113
6,5 - 7,0	29	71
7,0 -7,5	8	18
7,5 - 8,0	6	14
	105

Mamulün maliyetinin tartılı aritmetik ortalamasını üretim miktarlarını tartı olarak hesaplayınız.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	t_i	X_i	f_it_i	f_iX_it_i
5,5 - 6,0	27	158	5,75	4266	24529,50
6,0 - 6,5	35	113	6,25	3955	24718,78
6,5 - 7,0	29	71	6,75	2059	13898,25
7,0 -7,5	8	18	7,25	144	1044,00
7,5 - 8,0	6	14	7,75	84	651,00
	105			10508	64841,5

ÖRNEK 10: Bir işletmede 128 işçi çalışmaktadır ve ortalama aylık ücret 2,856 TL. Olarak hesaplanmıştır. İşçi Ücretlerine yapılacak zam için, işçiler aylık 1,5 TL. artı % 45 zam istemekte, işveren ise aylık 2.- TL artı % 25 zam teklif etmektedir.

Her iki durumda ortalama aylık ücreti ve aylık ortalama artış

oranlarını
Her iki durumun işverene getireceği aylık maliyet yükünü ve toplam

ücret artış oranlarını hesaplayınız.

Çözüm:

Yeni ortalamayı ile ifade edelim.

1,5 + % 45 zam yapılırsa, eski ortalama 1,5 TL ve eski ortalamanın katı artış olacağından,

Artış oranı = olacaktır.

2 + % 25 zam yapılırsa, aynı şekilde,

Artış oranı = olacaktır.

128 işçiye ödenen toplam aylık ücret,

dir.

1,5.- TL + % 45 zam yapılırsa ortalama ücret 5641200.- TL. olacağından ödenecek toplam ücret,

ve 2 + % 25 zam yapılırsa ortalama ücret 5,57.- TL olacağından ödenecek toplam ücret,

olacaktır.

İşverene birinci durum,

722,0736 - 365,568 = 356,5056.- TL.

İkinci durum ise,

712,96 - 365,568 = 347,392.- TL.

aylık yük getirecektir.

Birinci Durumda Artış Oranı =

İkinci Durumda Artış Oranı =

olacaktır.

BÖLÜM 4

DEĞİŞKENLİK
VE ASİMETRİ ÖLÇÜLERİ

Bir önceki bölümde serileri temsil etmek ve birbirleri ile karşılaştırmak amacı ile hesaplanan ortalamalar açıklanmıştı. Ortalamalar, serilerin karşılaştırılmasında her zaman yeterli ölçüler olmayabilirler. Bu nedenle serilerin karşılaştırılmasında, dağılma ölçüleri olarak da adlandırılan değişkenlik ölçülerinden ve serilerin dağılma şekillerinin karşılaştırılmasında da eğrilik ölçüleri olarak da adlandırılan asimetri ölçülerinden yararlanılmaktadır. Asimetri ölçülerinin hesaplanmasında, değişkenlik ölçüleri de kullanılacağından, bu bölümde asimetri ölçülerine dağılma ölçülerinden sonra yer verilmiştir.

4.1. DEĞİŞKENLİK ÖLÇÜLERİ

Serilerin karşılaştırılmalarında ortalamaların yeterli olmadığı durumlarda değişkenlik ölçülerinden yararlanılacağından daha önce söz edilmişti. Çünkü bazı durumlarda serilerin ortalamaları birbirine yakın değerde olsa da serilerin dağılımları birbirinden farklı olabilir. Bu farkı belirleyebilmek için değişkenlik ölçülerinden yararlanılır.

Konuyu basit bir örnekle açıklayalım.

X_i veY_i iki farklı, basit seri olsun.


X_i	Y_i
0	2
1	2
2	3
3	4
9	4
15	15

Bu serilerin aritmetik ortalamaları

olacaktır. Yukarıda görülen bu serilerin verilmediğini ve sadece aritmetik ortalamalarının bilindiğini varsayalım. Seriler verilmediğinden, dağılımlarının birbirine yakın veya birbirinden farklı olabileceği düşünülebilir. Bu dağılımların farkını belirlemek için değişkenlik ölçülerini hesaplamamız gerekmektedir.

Değişkenlik ölçüleri seri değerlerinin dağılmalarının ölçüsüdür. Bu ölçüler seri değerlerinin ortalama etrafında ne kadar yoğun dağıldıklarını belirtirler. Değişkenlik ölçülen nispi ölçüler olup her hangi bir seri için hesaplandıklarında fazla bir anlam ifade etmezler. Bu ölçüler ancak birbirleri ile karşılaştırıldıklarında, hesaplandıkları serilerin hangisinde dağılımın ortalama etrafında daha yoğun olduğunu belirtirler. Diğer bir ifade ile değişkenlik ölçüsü küçük olan seriler, değişkenlik ölçüsü büyük olan serilere göre ortalama etrafında daha yoğun bir dağılım gösterirler. Bu nedenle değişkenlik ölçüleri analizde kullanılan verinin homojenliği ile de ilgilidirler. Homojenlik seri değerlerinin birbirine yakınlığını ifade etmektedir. Değişkenlik ölçüsü küçük olan seriler diğer serilere göre daha homojendirler.

Serilerin değişkenliklerini belirlemek için çeşitli değişkenlik ölçüleri kullanılabilir. Ancak bu bölümde değişkenlik ölçülerinden, hesaplanması en kolay olan değişim aralığı ile istatistiksel analizlerde en çok kullanılan ölçü olan standart sapma anlatılacaktır.

4.1.1. Değişim Aralığı

Değişim veya dağılma aralığı olarak adlandırılan bu ölçünün hesaplanması için uzun matematiksel işlemler gerekmez. Bu nedenle iki veya daha fazla serinin değişkenliklerini karşılaştırmada kullanılabilir. Fakat değişim aralığı serilerin dağılımını belirlemede kesin bir ölçü değildir.

Değişim aralığı bir serinin maksimum ve minimum değerleri arasındaki farka eşittir. Değişim aralığı ,

D.A = X_max - X_min

şeklinde gösterilebilir.

Açıklamalarımızın başında verilen örnekte = 3 ve = 3 olarak bulunmuştu. Bu serilerin değişim aralıkları ise,

DA_x = X_max. - X_min. = 9 - 0 = 9

DA_y = Y_max.- Y_min. = 4 - 2 = 2

olarak hesaplanmıştır.

Serilerin ortalamaları ile değişim aralıklarıda bilindiğinden, Y serisinde dağılımın X serisine göre ortalama etrafında daha yoğun olduğunu söyleyebiliriz.

Değişim aralığı, frekans serilerinde X_i sütununun maksimum ve minimum değerleri arasındaki farka, sınıflı serilerde ise ilk sınıfın alt sınır değeri ile son sınıfın üst sınır değeri arasındaki farka eşittir.

Değişim aralığı aynı, fakat dağılımları birbirinden farklı basit, frekanslı veya sınıflı seriler olabilir. Örneğin daha önce verilen örnekle ilgili bir Z serisi Z_i: 2,3,3,3,4 şeklinde yazılabilir. Bu serinin değişim aralığı DA₂ = 4-2=2 dir ve Y serisinin değişim aralığına eşittir. Oysa serilerin dağılımları birbirinden farklıdır. Bu nedenle değişim aralığı kesin bir ölçü değildir.

4.1.2.Standart Sapma

Seri değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareli ortalamasına standart sapma denilir. Standart sapma (küçük sigma) ile gösterilir. Standart sapmanın karesine varyans adi verilir. Varyans V(X) veya sembolleri ile ifade edilir.

Basit serilerde standart sapma

formülü ile hesaplanmaktadır.

Verilen bu formülün açılarak, kısaltılması ile

ifadesi elde edilmiştir.

İfadede yer alan kareli ortalamanın karesi olduğundan

olarak yazılabilir. Standart sapma hesaplanırken farkların kareleri alındığından standart sapma negatif olamaz. Daha önce aritmetik ortalamanın özellikleri açıklanırken, seri birimlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareleri toplamının minimum olduğu gösterilmişti. Standart sapma aritmetik ortalamanın bu özelliğine dayanarak hesaplanan bir ölçüdür.

ÖRNEK:

X₁ : 3, 5, 6, 9, 9, 10

serisinin standart sapmasını ve varyansını hesaplayınız.

veya

Her iki formül ile elde edilen sonuçların aynı olduğu görülmektedir.

Serinin varyansı ise,

olacaktır.

Standart sapması hesaplanacak seri frekans serisi ise, seri birimlerinin değerlerinin aritmetik ortalamadan farklarının kareleri toplamı

ve olacağından standart sapma,

olarak elde edilmektedir. Bu formülün açılarak, kısaltılması ile

ifadesi elde edilmiştir. Bu ifadede,

kareli ortalamanın karesi olduğundan,

olarak yazılabilir. Böylece formülün frekans serileri içinde geçerli olduğu görülmektedir.

ÖRNEK: Aşağıdaki frekans serisinin standart sapmasını hesaplayınız.



2	3	6	-2,5	6,25	18,75	12
3	6	18	-1,5	2,25	13,50	54
4	7	28	-0,5	0,25	1,75	112
5	16	80	0,5	0,25	4,00	400
6	8	48	1,5	2,25	18,00	288
	40	180			56,00	866

V(X) = =1,4

Her iki formül ile elde edilen sonuçların aynı olduğu görülmektedir.

Sınıflı serilerde standart sapma frekans serilerinde kullanılan

formülleri ile hesaplanır. Ancak formüllerde görülen X_i yerine sınıf orta değerleri kullanılmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıdaki sınıflı serinin standart sapmasını hesaplayınız.


Sınıflar
1-3	3	2	6	-3,5	12,25	36,75	12
3-5	5	4	20	-1,5	2,45	12,25	80
5-7	7	6	42	0,5	0,25	1,75	252
7-9	4	8	32	2,5	6,25	25,00	256
9-11	1	10	10	4,5	20,25	20,25	100
	20		110			95,00	700

V(X) = = 4,75

Görüldüğü gibi her iki formül ile aynı sonuç elde edilmiştir.

Standart Sapmanın Özellikleri

Bir serinin bütün değerlerine sayı eklenir veya çıkarılırsa oluşturulacak yeni serinin standart sapması değişmez. X_i serisinin bütün değerlerinden a sabit sayısı eklenerek veya çıkarılarak yeni bir Y_i serisi oluşturuluyorsa,

Y_i = X_i + a veya Y_i = X_i – a ise olacaktır.

Y_i = X_i + a olduğunu düşünelim. Bu durumda olduğu aritmetik ortalamanın özelliklerinden dolayı bilinmektedir.

Bu durumda Y serisinin standart sapması

olacaktır.

Y_i ve yerine yukarıda verilen ifadeler konulup, gerekli kısaltmalar yapılırsa

eşitliği elde edilir.

X serisi frekans serisi veya sınıflı seri ise,

olacaktır.

Y_i = X_i - a dönüşümü içinde, aynı işlemler yapılırsa olduğu görülecektir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X_i serisinin bütün değerlerine 5 ekleyerek yeni bir Y_i serisi oluşturunuz ve olduğunu gösteriniz.



4	-4	16	9	-4	16
5	-3	9	10	-3	9
8	0	0	13	0	0
11	3	9	16	3	9
12	4	16	17	4	16
40			65		50

= 3,16 olduğu görülmektedir.

- Bir serinin bütün değerlerinin aynı sayı ile çarpılması veya bölünmesi ile oluşturulacak yeni serinin standart sapması, ilk serinin standart sapmasının aynı sayı ile çarpımına veya bölümüne eşittir.

X serisinin bütün birimlerinin değerleri a sayısı ile çarpılarak veya bölünerek Y serisi oluşturulduğunda,

Y_i = a.X_i ise

ise

olacaktır.

Y_i = a.X_i olduğunu varsayalım. Diğer taraftan olduğu aritmetik ortalamanın özelliklerinden dolayı bilinmektedir. Bu durumda Y serisinin standart sapması,

olacaktır.

Yi veyerine yukarıda verilen ifadeler konulup, gerekli kısaltmalar yapıldığında

elde edilir. X serisi sınıflı seri veya frekans serisi ise,

olacaktır.

Y_i = X_i /a dönüşümü içinde, aynı işlemler yapılırsa /a olduğu görülecektir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X_i serisinin bütün değerlerini 2 ile çarparak bir Y serisi oluşturunuz ve olduğunu gösteriniz.



4	-6	36	8	-12	144
7	-3	9	14	-6	36
10	0	0	20	0	0
11	1	1	22	2	4
18	8	64	36	16	256
50		110	100		440

= 2(4,69) = 9,38

İki farklı hesaplama ile de aynı sonuçların bulunduğu görülmektedir.

-Bir serinin bütün değerlerinden, serinin aritmetik ortalamasının çıkartılması ile elde edilecek farkların, serinin standart sapmasına bölünmesi ile oluşturulacak seriye standart seri denilir. Bu seriyi oluşturan değerlere ise standart değer adı verilir. Standart serinin aritmetik ortalaması 0 ve standart sapması 1'e eşittir.

ise ve ’dir.

X_i serisi basit seri ise, Z_i serisinin ortalaması,

olacaktır. Z_i değeri formülde yerine konulduğunda

olacak ve

olduğundan

olarak elde edilecektir.

Z serisinin standart sapması ise,

olacaktır.

X serisi frekans serisi veya sınıflı seri ise,

olacak ve olduğundan

olarak elde edilecektir.

Z serisinin standart sapması ise

olarak bulunacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen basit seriyi standart seriye dönüştürerek, standart serinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız.



8	-6	36	-1,5	2,25
12	-2	4	-0,5	0,25
14	0	0	0	0
16	2	4	0,5	0,25
20	6	36	1,5	2,25
		80		5,00

ÖRNEK: Aşağıda verilen frekans serisini standart seriye dönüştürerek, standart serinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız.



4	14	56	-2,4	5,76	80,64	-1,2	-16,8	1,44	20,16
6	19	114	-0,4	0,16	3,04	-0,2	-3,8	0,04	0,76
8	10	80	1,6	2,56	25,60	0,8	8,0	0,64	6,40
10	7	70	3,6	12,96	90,72	1,8	12,6	3,24	22,68
	50	320			200,00				50,00

-Birden fazla serinin değerlerinin toplamları veya farkları yeni bir seri oluşturduğunda, seriler bağımsız ise, yeni serinin varyansı kendini oluşturan serilerin varyansları toplamına eşittir. Serilerin bağımsız olmaması durumunda kovaryans adi verilen ölçülerinde dikkate alınması gerekecektir.

Kovaryans iki değişkenin birlikte değişiminin ölçüsüdür ve X ve Y gibi iki değişken için veya Kov (X, Y) şeklinde ifade edilir. X ve Y değişkenleri için kovaryans,

formülü ile hesaplanır. ise değişkenler bağımsızdır, yani aralarında ilişki yoktur. , yani negatif işaretli ise değişkenler arasında ters yönlü ilişki vardır, yani değişkenlerden birinin değeri artarken diğerininki azalmaktadır. , yani pozitif işaretli ise değişkenler arasında doğru yönlü ilişki vardır, yani değişkenlerden birinin değeri artarken diğerinin değeri de artmaktadır.

Z_i = X_i + Y_i ise

olduğunu biliyoruz. Z_i serisinin varyansı,

olduğundan yukarıda verilen ifadeler bu formülde yerine konulduğunda,

olarak bulunur. Burada ise,

olarak elde edilmektedir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X_i ve Y_i serilerinin toplamı ile, Z_i = X_i +Y_i serisini oluşturarak; X,Y ve Z değişkenlerinin varyansları arasındaki ilişkiyi gösteriniz.



4	2	16	4	6	36	-4	-3	12
7	3	49	9	10	100	-1	-2	2
8	5	64	25	13	169	0	0	0
13	10	169	100	23	529	5	5	25
32	20	298	138	52	834			39

9,75 > 0 olduğundan,

= 9,5 + 10,5 + 2(9,75) = 39,5

olarak bulunur.

Z_i = X_i - Y_i ise

olduğundan ve Z_i serisinin varyansı bilindiğinden

olduğundan yukarıda verilen ifadeleri bu formülde yerine koyarsak,

olarak bulunur. Burada ise,

olacaktır.

ÖRNEK: Bir önceki örnekte verilen X_i ve Y_i serilerinden, Z_i= X_i-Y_i serisini oluşturarak; X, Y ve Z değişkenlerinin varyansları arasındaki ilişkiyi gösteriniz.



4	2	2	4
7	3	4	16
8	5	3	9
13	10	3	9
32	20	12	38

olarak daha önce bulunmuştu.

olduğundan,

= 9,5 + 10,5 - 2(9,75) = 0,5

olarak bulunur.

İkiden fazla serinin değerlerinin toplamları veya farklarından oluşturulacak yeni serinin varyansı için gerekli formüller benzer şekilde elde edilebilir. Örneğin,

Z_i= X_i + Y_i - T_i ise,

olacaktır.

-Bir seri farklı serilerin birleştirilmesi ile oluşturuluyorsa, yeni serinin varyansı kendini oluşturan serilerin aritmetik ortalamalarının oluşturduğu serinin varyansları toplamına eşittir.

m birimli X_L serisi ile r birimli Y_j serisinin birleştirilerek n = m+r birimli Z_i serisi oluşturduğunu varsayalım. Bu seriler,

X_L : X₁, X₂, ........, X_m

Y_j : Y₁, Y₂, ........, Y_r

Z_i : X₁, X₂, ........, X_m , Y₁, Y₂, ......., Y_r

olacaktır. Bu durumda,

olarak elde edilecektir. Diğer taraftan,

olduğundan ve Z_i serisi X_L ve Y_j serilerinin birleştirilmesi ile oluşturulduğundan,

olacaktır. ifadesine ve ifadesine ekleyelim.

ve olduğundan,

olur.

olduğundan

olur. Bu eşitlikler ile,

olarak elde edilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen X_L ve Y_j serilerini birleştirerek bir Z_i serisi oluşturunuz ve varyansları arasındaki ilişkiyi gösteriniz.


X_L	Y_j
6	1
9	4
10	5
11	8
36	9
	27

Zi : 6; 9; 10; 11; 1; 4; 5; 8; 9

- Bir ana kütlenin varyansı örnek alınarak tahmin ediliyorsa, örnek varyansı anakütle varyansının sapmasız tahmincisi olmadığından, tahminci olarak kullanılır.

olarak hesaplanır ve anakütle varyansının sapmasız tahmincisidir. Bu nedenle,

olarak tahmin edilir.

Örnek varyansı ise,

olduğundan

olacaktır.

4.1.3. Değişim Katsayısı

Serilerin dağılımlarının değişkenlik ölçüleri yardımı ile karşılaştırılabileceklerinden daha önce söz edilmişti. Ancak bu ölçüler mutlak değerler ile hesaplandıklarından, karşılaştırılmak istenen serilerin değerlerinin farklı ölçü birimleri ile ifade edildiği veya seri değerlerinin büyüklüklerinin farklı olduğu durumlarda kullanılmaları uygun değildir. Örneğin, ölçümler, litre, metre, kilogram vb. cinsinden olabilir. Bu gibi durumlarda serilerin dağılımlarının karşılaştırılmasında değişim katsayısı kullanılabilir.

Değişim katsayısı oransal bir ölçüdür ve

formülü ile hesaplanmaktadır. Bu hesaplama ile mutlak değerler, oranlara dönüştürüldüğünden, ölçü birimlerinin etkisi giderilmiş olmaktadır. Serilerin değişim katsayıları hesaplandığında, değişim katsayısı küçük olan serilerde, birimlerin ortalama etrafında daha uygun dağıldıkları sonuca varılmaktadır.

ÖRNEK: Aritmetik ortalaması 8 ve varyansı 9 olan serinin değişim katsayısını hesaplayınız.

4.1.4. Toplanma Oranı

Toplam değerini bütün birimlere eşit olarak dağıldığı dağılımlarda eşit dağılım söz konusudur. Dağılımı eşit olan serilerde, serinin bütün birimlerinin değerinin aritmetik ortalamaya eşit olması gerekmektedir. Serinin toplam değeri ve toplam birim sayısı ise toplam değerin toplam birim sayısına bölümü aritmetik ortalamaya eşit olacaktır. Seri birimlerinin değerleri hesaplanan aritmetik ortalamadan farklılaştıkça dağılımın eşitliği bozulacak ve belirli birimlerde toplanma başlayacaktır. Serilerdeki bu toplanmanın ölçüsü toplanma oranı ile hesaplanmaktadır.

Toplanma oranının hesaplanabilmesi için artan birikimli oransal frekanslardan yararlanılır. Bilindiği gibi artan birikimli oransal frekanslar bir seride belirli bir değerden daha küçük değer alan birimlerin oranını vermektedir. Serinin toplam değeri ve frekanslar için artan birikimli oransal frekanslar hesaplanırsa, bu frekanslar yardımı ile dağılımın eşit olup olmadığı belirlenebilir. Artan birikimli oransal frekanslar p_i, artan birikimli oransal toplam değeri q_i ile ifade edersek, seride eşit dağılım söz konusu ise p_i ve q_i değerleri eşit olacaktır. Bu p_i ve q_i değerleri grafik üzerinde gösterilerek, seride toplanma olup olmadığı belirlenebilir. Artan birikimli oransal frekansları gösteren p_i değerleri yatay eksende, artan birikimli oransal toplam değeri gösteren q_i değeri düşey eksende gösterilerek çizilen grafikte, dağılım eşit olduğunda bir tek noktanın elde edildiği görülecek ve bu noktanın orijin ile birleştirilmesiyle eksenlere 45⁰’lik açı yapan bir doğru elde edilecektir. dağılımın eşit olmadığı durumlarda bu doğru bir eğri şeklini alacaktır. Bu eğriye "Lorenz eğrisi" veya "Toplanma eğrisi" adı verilmektedir.

Şekil 4.1.’de verilen grafikte eksenlere 45^0’lik açı yapan doğru ile Lorenz eğrisi görülmektedir.

Şekil 4.1

Şekil 4.1'de görüldüğü gibi, orijine 45⁰'lik açı yapan doğru veya köşegen arasında kalan alana toplanma alanı, toplanma alanının köşegen ile yatay eksen arasında kalan üçgenin alanına oranına ise, toplanma oranı adını alır. Eşit dağılım durumunda Lorenz eğrisi köşegen ile çakıştığından toplanma oranı 0, tam toplanma durumunda ise toplanma alanı 0AB Üçgeninin alanına eşit olacağından, toplanma oranıda (1)'e eşit olacaktır. Bu nedenle toplanma oranı (0) ile (1) arasında değişecektir.

Toplanma oranı grafik ile hesaplanabileceği gibi aşağıdaki formül yardımı ile de hesaplanabilir.

Toplanma oranının hesaplanmasını bir örnek ile gösterelim.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin toplanma oranını hesaplayarak grafik üzerinde gösteriniz.


Sınıflar	f_i	X_i	f_iX_i	Birikimli Frekans	Birikimli f_iX_i	p_i	qi	piqi
1-3	78	2	156	78	156	0,171	0,070	0,101
3-5	175	4	700	253	856	0,556	0,388	0,168
5-7	142	6	852	395	1708	0,868	0,774	0,094
7-9	51	8	408	446	2116	0,980	0,959	0,021
9-11	9	10	90	455	2206	1,000	1,000	0,000
	455		2206			2,575		0,384

Şekil 4.2

Toplama oranı yukarıda görülen formül ile hesaplanabildiği gibi Şekil 4.2'den de hesaplanabilir. Bu durumda toplanma oranı,

ifadesi ile hesaplanır.

Toplanma oranı milli gelir, servet, sermaye, ücret ve toprak dağılımlarının dengeli olup olmadığının belirlenmesinde kullanılabilir. Yukarıda söz edilen dağılımlar için hesaplanan toplanma oranının (0)'a yaklaşması durumunda dağılımın daha dengeli, (1)'e yaklaşması durumunda ise daha dengesiz olduğu sonucuna varılmaktadır.

4.2. ASİMETRİ ÖLÇÜLERİ

Serileri temsil etmek için hesaplanan ortalamaların, serilerin karşılaştırılmasında yeterli olmadıkları durumlarda değişkenlik ölçülerinin hesaplanması gerektiğinden daha önce söz edilmişti.

Değişkenlik ölçüleri serilerin değişkenliğini ölçebilmesine rağmen, onların dağılma şekilleri hakkında bilgi veremezler. Oysa ortalamaları ve değişkenlik ölçüleri birbirine eşit veya yakın olan serilerin dağılımları birbirinden farklı olabilir. Aşağıda iki farklı seri ile bu serilerin aritmetik ortalamaları ve standart sapmaları verilmiştir.


X_i	f_i	Y_j	f_j
1	3	1	6
2	17	2	8
3	10	3	15
5	4	4	5
6	4	6	4
7	2	7	2
	40		40

Örnekteki serilerin aritmetik ortalamaları birbirine eşit, standart sapmaları ise birbirine çok yakın olmasına rağmen serilerin dağılımlarının birbirinden farklı olduğu görülmektedir. Bu nedenle, serilerin sadece değişkenlik ölçüleri değil, dağılma şekillerinindi belirlenmesi gerekmektedir.

Serilerin dağılma şekillerini belirlemek için asimetri ölçüleri adı verilen ölçüler hesaplanmaktadır. Bu ölçüler yardımı ile dağılımın serinin belirli değerlerinde yoğun olup olmadığı belirlenebilir.

Asimetri ölçüleri ile dağılma şekilleri belirlenecek serilerin bir kısmi, belirli bir değere göre simetrik dağılım göstermektedirler. Böyle serilere simetrik seri adı verilir. Dağılımı simetrik olmayıp belirli değerlerde yoğunlaşan serilere ise asimetrik seri adı verilmektedir. Asimetrik seriler dağılımın yoğunlaştığı değerlere göre sağa veya sola asimetrik olabilirler.

Asimetri ölçülerinin hesaplanmasının bir diğer nedeni de serilerin dağılımının, normal dağılıma uygun olup olmadığının belirlenmesidir. Dağılımı çan eğrisine benzeyen, tek maksimumlu ve simetrik olan normal dağılım istatistikte önemli bir yere sahiptir ve bazı yöntemlerin uygulanması dağılımların normal dağılım olduğu varsayımına dayanmaktadır. Bu nedenle dağılımların normal dağılıma uygun olup olmadıklarının belirlenmesi gerekebilir.

Bir dağılımın normal dağılım olarak kabul edilebilmesi için simetri durumunun bulunması ve basıklık ölçüsünün hesaplanması gerekecektir. Basıklık ölçüsü ile bir dağılımın basıklığının, normal dağılım basıklığından farklı olup olmadığı belirlenmektedir. Bir serinin dağılımının simetrik olup olmadığının belirlenmesinde ise en kolay yol serinin grafiğini çizmektir. Ancak bu yolla incelemede bazı hatalar meydana gelebileceğinden, simetri durumunun asimetri ölçülerinden biri ile incelenerek, karara varılması daha doğru olacaktır. Bu bölümde ortalamalar, kartiller ve momentler ile hesaplanan asimetri ölçüleri anlatılacaktır.

4.2.1. Ortalamalar ve Kartiller Arası Farklar ile Hesaplanan
Asimetri Ölçüleri

Simetrik dağılım gösteren tek modlu serilerde aritmetik ortalama, mod ve medyan birbirine eşittir. Bu nedenle, herhangi bir serinin aritmetik ortalaması, modu ve medyanı birbirine eşit yani,

ise

seri simetriktir diyebiliriz. Bu değerler arasındaki fark arttıkça serinin eğikliği de artacaktır.

olduğunda seri sola eğik,

olduğunda ise seri sağa eğik olacaktır.

Şekil 4.3. (a) da simetrik, Şekil 4.3. (b)de sola eğik ve Şekil 4.3. (c)'de sağa eğik seriler görülmektedir.

(a)

(b) (c)

Şekil 4.3

Sağa ve sola eğikliği fazla olmayan serilerde, aritmetik ortalama ile mod arasındaki fark, aritmetik ortalama ile medyan arasındaki farkın yaklaşık üç katına eşittir. Bu eşitlik,

olarak gösterilebilir ve bu eşitlikten yararlanılarak Pearson asimetri ölçüleri olarak adlandırılan ölçüler hesaplanabilir. Bu ölçülerin hesaplanmasında farklı ölçü birimlerinin etkisini gidermek ve oransal bir ölçü elde edebilmek için, aritmetik ortalama ile mod veya medyan arasındaki farklar standart sapmaya bölünmektedir. ve sembolleri ile göstereceğimiz Pearson asimetri ölçülerinin formülleri aşağıda verildiği gibidir.

Bu formüllere göre,

Seri simetrik ise , olacağından

Seri sola eğik ise,

olacağından

Seri sağa eğik ise,

olacağından

olacaktır.

Bu nedenle veya , sıfır ise serinin simetrik olduğu, pozitif ise sağa eğik olduğu, negatif ise sola eğik olduğu belirlenmiş olacaktır. Diğer bir ifade ile asimetri ölçülerinin sıfır olması simetriyi, negatif olması sola ve pozitif olması sağa eğikliği ifade etmektedir.

Asimetri ölçüleri ortalamalar arası farka dayanarak hesaplanabildikleri gibi, kartiller arası farka dayanarak da hesaplanabilirler. Bu durumda simetrik serilerde 3. kartil ile 2.kartil arasındaki fark, 2.kartil ile 1.kartil arasındaki farka eşit olduğundan, serilerin simetrik olup olmadığı veya eğikliğinin yönü belirlenebilir. Bu açıklamalara göre,

Q₃ - Q₂ = Q₂ - Q₁

ise seri simetrik,

Q₃ - Q₂ < Q₂ - Q₁

ise seri sola eğik,

Q₃ - Q₂ > Q₂ - Q₁

ise seri sağa eğik olacaktır.

Kartiller arası farklara göre eğiklik Şekil 4.4'de görülmektedir.

(a)

(b) (c)

Şekil 4.4

Şekilde görüldüğü gibi

(Q₃ - Q₂) - (Q₂ - Q₁) = 0 ise seri simetrik (şekil 4.4.a ),

(Q₃ - Q₂) - (Q₂ - Q₁) < 0 ise sola eğik (şekil 4.4.b ),

(Q₃ - Q₂) - (Q₂ - Q₁) > 0 ise sağa eğik (şekil 4.4.c )

olacaktır. Serilerin simetri ve eğiklik durumlarını incelemek için yapılan hesaplamalarda, farklı ölçü birimlerinin etkisini gidermek ve oransal bir ölçü elde edebilmek için, kartiller arası farklar kartiller arası farklar toplamına bölünür. Bu şekilde elde edilen ölçü Bowley asimetri ölçüsü olarak adlandırılmaktadır. Bowley asimetri ölçüsü,

olarak gösterilir. Formüldeki parantezler açıldığında ölçü,

olarak elde edilir.

Bowley asimetri ölçüsüne göre elde edilen sonuç (+1) ile (-1) arasında değişmektedir. Sonuç (0) ise seri simetrik, (-) ise seri sola asimetrik ve (+) ise seri sağa asimetrik olacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda bir sınıflı seri verilmiştir.

Sınıflar	f_i	Artan Birikimli Frekanslar	X_i	f_iX_i
4-6	5	5	5	25	125
6-8	8	13	7	56	392
8-10	12	25	9	108	972
10-12	7	32	11	77	847
12-14	3	35	13	39	507
	35			305	2843

Bu serinin simetrik olup olmadığını,

- Grafiğini çizerek,

- Mod, medyan ve aritmetik ortalamasını karşılaştırarak,

- Pearson katsayılarını ve - Bowley asimetri ölçüsünü hesaplayarak inceleyiniz.

Şekil 4.5

Şekil 4.5'den dağılımın, simetrik kabul edilebileceği görülmektedir.

olduğundan seri sola asimetriktir.

Q₂ = M_e = 8,75

Sonuç negatif olduğundan, seri sola asimetriktir. Ancak asimetri katsayısının değeri sıfıra yakın olduğundan seri simetrik kabul edilebilir.

4.2.2. Momentler ile Hesaplanan Asimetri ve Basıklık
Ölçüleri

Daha önce belirtildiği gibi bir serinin simetri durumunun incelenmesinde, momentler ile hesaplanan asimetri ölçülerinin kullanılması durumunda daha doğru sonuçlar elde edilmektedir. Ayrıca momentler ile bir dağılımın basıklığının normal dağılıma uygun olup olmadığının belirlenmesinde kullanılan basıklık ve yükseklik ölçüleri de hesaplanabilmektedir. Momentler ile hesaplanan asimetri ve basıklık ölçülerini hesaplamadan önce, kısaca momentlerden söz edilmesi uygun olacaktır.

4.2.2.1. Momentler

Seri değerlerinin belirli bir orijine göre çeşitli derecelerden kuvvetlerinin ortalamalarına moment adı verilmektedir. Momentler genel olarak basit seriler için,

frekans serileri ve sınıflı seriler için,

formülleri ile ifade edilebilir. Formüllerde görülen a için farklı değerler kullanılabilirse de, uygulamada genellikle veya alınmaktadır. a = 0 olduğunda hesaplanan momentlere orijine veya sıfıra göre momentler (m), olduğunda hesaplanan momentlere ise ortalamaya göre momentler adı verilir. Formülde görülen q ise momentin derecesini gösterir ve uygulamada genellikle birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü dereceden momentler kullanılmaktadır.

Orjine göre momentler, basit seriler, frekans serileri ve sınıflı serilerde aşağıda verilen formüller ile hesaplanmaktadır.


Basit Seri	Frekans Serisi ve Sınıflı Seri

Görüldüğü gibi orjine göre birinci moment aritmetik ortalamaya, orjine göre ikinci moment ise kareli ortalamanın karesine eşittir.

Ortalamaya göre momentler ise basit seriler, frekans serileri ve sınıflı serilerde aşağıda verilen formüller ile hesaplanmaktadır.


Basit	Frekans Serisi ve Sınıflı Seri

Daha önce aritmetik ortalamanın özelliklerinde belirtildiği gibi, seri birimlerinin aritmetik ortalamadan farklarının toplamı sıfır olduğundan ortalamaya göre birinci moment sıfıra eşit olacaktır. Ortalamaya göre ikinci moment ise varyansa eşittir.

Yukarıda verilen ortalamaya göre moment formüllerinin kuvvetleri alınır ve gerekli kısaltmalar yapılırsa,

formülleri elde edilir. Serilerin orijine göre momentleri biliniyorsa, yukarıda verilen formüller ile ortalamaya göre momentleri hesaplanabilir.

ÖRNEK: Aşağıda verilen frekans serisinin orijine ve ortalamaya göre momentlerini hesaplayınız.


X_i	f_i	X_if_i	X_if_i²	X_if_i³	X_if_i⁴		f_i()	f_i()²	f_i()³	f_i()⁴
1	12	12	12	12	12	-2	-24	48	-96	192
2	17	34	68	136	272	-1	-17	17	-17	17
3	20	60	180	540	1620	0	0	0	0	0
4	21	84	336	1344	5376	1	21	21	21	21
5	10	50	250	1250	6250	2	20	40	80	160
	80	240	846	3282	13530		0	126	-12	390

- Orjine göre momentler

- Ortalamaya göre momentler

-Orjine göre momentler ile ortalamaya göre momentlerin hesaplanması

= 10,575 - (3)²

= 1,575

= 41,025 - 3 (3)(10,575) + 2(3)³

= 41,025 - 95,175 + 54

= - 0,15

= 169,125-4(3)(41,025)+ 6(3)²(10,575) - 3(3)⁴

= 169,125 - 492,3 + 571,05 – 243

= 4,875

4.2.2.2. Momentler ile Hesaplanan Asimetri Ölçüsü

Momentler ile asimetri ölçüsü hesaplanırken, ortalamaya göre 3. moment, ortalamaya göre 2. momentin 3/2. kuvvetine bölünür ve elde edilen asimetri ölçüsü ile ifade edilir.

katsayısı aşağıda verilen formül ile hesaplanır.

olduğundan

olacaktır.

Momentler ile hesaplanankatsayısı,

= 0 ise seri simetrik,

< 0 ise seri sola asimetrik,

> 0 ise seri sağa asimetrik

olacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen serinin simetrik olup olmadığını inceleyiniz.


Sınıflar	f_i	X_i	f_iX_i	X_i -	f_i(X_i -)	f_i(X_i -)²	f_i(X_i-)³
0-4	15	2	30	-7	-105	735	-5145
4-8	44	6	264	-3	-132	396	-1188
8-12	30	10	300	1	30	30	30
12-16	18	14	252	5	90	450	2250
16-20	13	18	234	9	117	1053	9477
	120		1080		0	2664	5424

olduğundan seri sağa asimetriktir.

4.2.2.3. Momentler ile Hesaplanan Basıklık Ölçüsü

Momentler ile basıklık ölçüsü hesaplanırken, ortalamaya göre 4. moment, ortalamaya göre 2. momentin karesine bölünür ve elde edilen basıklık ölçüsü ile ifade edilir.

katsayısı aşağıda verilen formül ile hesaplanır.

olduğundan

olacaktır. Momentler ile hesaplanan basıklık ölçüsünde serilerin basıklığı normal dağılımın basıklığı ile karşılaştırılmaktadır. Normal dağılım için = 3 olduğundan,

= 3 ise seri normal,< 3 ise seri basık,> 3 ise seri sivri veya yüksek

olacaktır.

ÖRNEK: Daha önce asimetrisini incelediğiniz sınıflı serinin basıklığını inceleyiniz.


Sınıflar	f_i	X_i	X_i -	f_i(X_i-)³	f_i(X_i-)⁴
0-4	15	2	-7	-5145	36015
4-8	44	6	-3	-1188	3564
8-12	30	10	1	30	30
12-16	18	14	5	2250	11250
16-20	13	18	9	9477	85293
	120			5424	136152

olarak hesaplanmıştı.

<3 olduğundan seri basıktır.

4.3. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1: Bir işletme 8 satış personeli ile ansiklopedi pazarlamaktadır. Personelin bir haftalık satışları aşağıda verilmiştir.


Personel	Satışlar (Adet)
A	12
B	21
C	35
D	8
E	14
F	7
G	26
H	17

Serinin,

Değişim aralığını,
Varyans ve standart sapmasını hesaplayınız.

Çözüm:

DA = X_max.- X_min = 35- 7 = 28

b)



12	-5,5	30,25
21	3,5	12,25
35	17,5	306,25
8	-9,5	90,25
14	-3,5	12,25
7	-10,5	110,25
26	8,5	72,25
17	-0,5	0,25
140	0	634,00

ÖRNEK 2: Bir süper markete tesadüfi olarak seçilen bir günde 880 müşteri gelmiş ve gelen müşterilerin aileleri ile ilgili bir anket yapılmıştır. Müşterilerin ankette yer alan "Evde kaç kişi yaşıyorsunuz?" sorusuna verdikleri cevaplar aşağıdaki gibi düzenlenmiştir.


Evde Yaşayan Kişi Sayıları	Müşteri Sayıları
1	30
2	177
3	209
4	264
5	114
6	71
7	15
	880

Dağılımın,

a)Değişim aralığını,

b)Varyans ve standart sapmasını,

c)S değerini hesaplayınız.

Çözüm:


X_i	f_i	f_iX_i		()²	f_i()²
1	30	30	-2,6	6,76	202,80
2	177	354	-1,6	2,56	453,12
3	209	627	-0,6	0,36	75,24
4	264	1056	0,4	0,16	42,24
5	114	570	1,4	1,96	223,44
6	71	426	2,4	5,76	408,96
7	15	105	3,4	11,56	173,40
	880	3168			1579,20

DA = X_max. - X_min = 7-1 = 6

c)

ÖRNEK 3: Bir turistik otele son 3 ayda gelen müşterilerin otelde kaldıkları gün sayılarına göre, düzenlenen seri aşağıda verilmiştir.


Kalınan Gün Sınıfları	Müşteri Sayısı
1-6	184
6-11	161
11-16	86
16-21	21
21-26	8
	460

Serinin,

a)Değişim aralığını,

b)Varyans ve standart sapmasını,

c) S değerini hesaplayınız.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	X_i	f_iX_i	f_iX_i²
1-6	184	3,5	644,0	2254,00
6-11	161	8,5	1368,5	11632,25
16-21	86	13,5	1161,0	15673,50
21-26	21	18,5	388,5	7187,25
	8	23,5	188,0	4418,00
	460		3750,0	41165,00

DA = X_max.- X_min = 26-1=25

= 89,4891 - 66,4225 = 23,0666

ÖRNEK 4: A işletmesinin 2009 yılı aylık satışlarının ortalaması 108,2 milyon TL. Ve standart sapması 19,7 milyon TL.dır. Ayni mali satan B işletmesinin ise 2009 yılı aylık satışlarının ortalamasının 465 adet ve standart sapmasının 38,4 adet olduğu belirlenmiştir. Bu dağılımları karşılaştırınız.

Çözüm:

B işletmesinde A işletmesine göre, aritmetik ortalama etrafında daha yoğun bir dağılım olduğu görülmektedir.

ÖRNEK 5: Bir serinin aritmetik, kareli ve geometrik ortalamaları aşağıda verilmiştir.

16,8 ; 11,7 ; 13,4

Serinin standart sapmasını hesaplayınız.

Çözüm: Bir seride aritmetik, kareli ve geometrik ortalamalar hesaplandığında,

G < < K

olduğundan,

G= 11.,7

= 13,4

K= 16,8 olacaktır.

ÖRNEK 6: Bir seri için aşağıdaki değerler hesaplanmıştır. Serinin standart sapmasını hesaplayınız.

Çözüm:

=

=

ÖRNEK 7: Aşağıda verilen değerlerden yararlanarak serinin aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

Çözüm:

ÖRNEK 8: Aşağıda bir seri için hesaplanan değerler verilmiştir. Serinin kareli ortalamasını hesaplayınız.

Çözüm:

ÖRNEK 9: Bir işletmede 220 işçi çalışmaktadır. İşçilerin aylık net ücretlerinin aritmetik ortalaması 1972800.- TL ve standart sapması 886500 TL. olarak belirlenmiştir. İşçilere 1200000 TL. Artı % 28 zam yapılması halinde, yeni Ücret dağılımının aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız.

Çözüm:

1200000 + 1,28

= 1200000 + 1,28 (1972800) = 3725184.- TL.

= 1,28

= 1,28 (886500) = 1134720.- TL.

ÖRNEK 10: Bir bölgede yaşayan ailelerin aylık ortalama gelirlerini belirlemek amacı ile iki ayrı araştırma yapılmıştır. Birinci araştırma 175 aileyi kapsamaktadır. Bu araştırma sonucunda aylık gelir ortalaması 3,5 milyon ve standart sapma 0,9 milyon lira olarak bulunmuştur. İkinci araştırma ise 280 aileyi kapsamaktadır. Bu araştırmaya göre ise aylık gelir ortalaması 3,2 milyon ve standart sapma 1,1 milyon lira olarak bulunmuştur. İki araştırmanın verilerini birleştirerek aylık gelirlerin ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız.

Çözüm:

n₁ = 175 = 3,5 = 0,9

n₂ = 280 = 3,2 = 1,1

ÖRNEK 11: Yapılan bir araştırma ile eşlerin yıllık gelirleri incelenmiş ve 120 aileyi kapsayan araştırma sonuçlarına göre erkeklerin gelirlerinin ortalaması 48 milyon ve standart sapması 7 milyon lira, kadınların gelirlerinin ortalaması 21 milyon ve standart sapması 6 milyon lira olarak bulunmuştur. Bu ailelerin yıllık gelirlerinin ortalamasını ve standart sapmasını hesaplayınız. (Kovaryans 18 olarak hesaplanmıştır.)

Çözüm:

= 48 + 21 = 67

= (7)² + (6)²+ 2(18)

= 49 + 36 + 2(18) = 121

ÖRNEK 12: Aşağıda 60 öğrencinin 5 üzerinden aldıkları matematik notları verilmiştir.


Notlar	Öğrenci Sayısı
1	7
2	13
3	21
4	10
5	9
	60

Bu not dağılımının, asimetri durumunu,

a)Grafiğini çizerek,

b)Aritmetik ortalama, mod ve medyan yardımı ile,

c)Pearson katsayıları ile,

d)Bowley asimetri ölçüsü ile inceleyiniz.

Çözüm:


X_i	f_i	f_iX_i	Artan Birikimli Frekanslar	f_iX_i²
1	7	7	7	7
2	13	26	20	52
3	21	63	41	189
4	10	40	51	160
5	9	45	60	225
	60	181		633

Grafikten serinin dağılımının simetrik dağılıma yakın olduğu anlaşılmaktadır.

M₀ = 3

M_e = 3

olduğundan dağılım simetrik olarak kabul edilebilir.

ve > 0 olduğundan seri hafif sağa asimetriktir. Simetrik kabul edilebilir.

Q_1/4 = 2

Q_1/4 = M_e = 3

Q_3/4 = 4

olduğundan seri simetriktir.

**ÖRNEK 13:**Aşağıda bir fabrikada çalışan 240 işçinin Ocak ayı toplam fazla mesai saatlerinin dağılımı verilmiştir.


Fazla Mesai Saati Sınıfları	İşçi Sayıları
0-20	23
20-40	45
40-60	121
60-80	37
80-100	14
	240

Serinin simetri durumunu,

a)Grafiğini çizerek,

b)Aritmetik ortalama, mod ve medyan yardımı ile,

c)Pearson katsayıları ile,

d)Bowley asimetri ölçüsü ile inceleyiniz.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	X_i	f_iX_i	Artan Birikimli Frekanslar	f_iX²
0-20	23	10	230	23	2300
20-40	45	30	1350	68	40500
40-60	121	50	6050	189	302500
60-80	37	70	2590	226	181300
80-100	14	90	1260	240	113400
	240		11480		640000

a)

Grafikten serinin dağılımının simetrik dağılıma yakın olduğu anlaşılmaktadır.

b)

47,83 < 48,59 < 49,5

< M_e < M_o

olduğundan seri sola asimetriktir.

c)

ve < 0 olduğundan seri sola asimetriktir.

d)

Q_2/4 = M_e = 48,59

olduğundan seri sola asimetriktir.

ÖRNEK 14: Aşağıda 50 personelin tesadüfi olarak seçilen bir hafta içinde işe geç geldikleri gün sayıları verilmiştir.


Gün Sayısı	Personel Sayısı
0	12
1	21
2	9
3	6
4	2
	50

Bu serinin asimetri durumu ve basıklığını inceleyiniz.

Çözüm:


X_i	f_i	f_iX_i		f_i()	f_i()²	f_i()³	f_i()⁴
0	12	0	-1,3	-15,6	20,28	-26,364	34,2732
1	21	21	-0,3	-6,3	1,89	-0,567	0,1701
2	9	18	0,7	6,3	4,41	3,087	2,1609
3	6	18	1,7	10,2	17,34	29,478	50,1126
4	2	8	2,7	5,4	14,58	39,366	106,2882
	50	65		0	58,50	45,000	193,0050

> 0 olduğundan seri sağa asimetriktir.

ÖRNEK 15: Aşağıda bir işletmede çalışan 150 personelin aylık net ücretlere göre Dağılımı verilmiştir. (1= 1000000.- TL)


Ücret Sınıfları	İşçi Sayısı
1-3	26
3-5	59
5-7	38
7-9	18
9-11	9
	150

Dağılımın asimetri ve basıklık ölçülerini hesaplayınız.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	X_i	f_iX_i		f_i()	f_i()²	f_i()³	f_i()⁴
1-3	26	2	52	-3	-78	234	-702	2106
3-5	59	4	236	-1	-59	59	-59	59
5-7	38	6	228	1	38	38	38	38
7-9	18	8	144	3	54	162	486	1458
9-11	9	10	90	5	45	225	1125	5625
	150		750		0	718	888	9286

> 0 olduğundan seri sağa asimetriktir.

<3 olduğundan seri basıktır.

ÖRNEK 16: Aşağıda 80 birimli bir serinin orjine göre momentleri verilmiştir.

m₁ = 4 ; m₂ = 25 ; m₃ = 164 ; m₄ = 1263

Serinin asimetri ve basıklık durumunu inceleyiniz.

Çözüm:

< 0 olduğundan seri sola asimetriktir.

> 3 olduğundan seri sivridir.

ÖRNEK 17: Aşağıda 200 kişinin 2009 yılı yıllık gelirlerinin dağılımı verilmiştir. (1=100 milyon TL)


Gelir Sınıfları	Kişi Sayısı
7,5-12,5	25
12,5-17,5	50
17,5-22,5	85
22,5-27,5	40
	200

Toplanma oranını hesaplayınız.

Çözüm:


Sınıflar	f_i	X_i	Artan Birikimli Frekanslar	f_iX_i	Birikimli f_iX_i	p_i	q_i	p_i-q_i
7,5-12,5	25	10	25	250	250	0,125	0,067	0,058
12,5-17,5	50	15	75	750	1000	0,270	0,270	0,105
17,5-22,5	85	20	160	1700	2700	0,729	0,729	0,071
22,5-27,5	40	25	200	1000	3700	1,000	1,000	0
	200					1,300		0,234

Toplanma oranı 0,18 olarak hesaplanmıştır. Bu sonuca göre gelir dağılımının adil olduğu söylenemez.

BÖLÜM 5

İNDEKSLER

Bazı istatistiksel araştırmalarda bir veya birkaç değişkenin mekan ve zaman içinde gösterdiği değişmelerin oransal olarak belirlenmesi istenebilir. Bu gibi durumlarda indekslerden yararlanılır. İndeksler birçok alanlarda kullanılabilmelerine rağmen daha çok iktisat ve işletme alanlarında kullanılmaktadır. İndeksler yardımı ile bir ülkede bölgeler arası üretim, fiyat, gelir dağılımı veya nüfus artışının zaman içinde gösterdiği değişmeler belirlenebilir.

5.1. İNDEKS KAVRAMI

İstatistik oranların bir türü olan indeksler kısaca sayısal değerlerin birbirlerine oranlanması ile elde edilir ve hesaplanabilmeleri için en az iki değerin bilinmesi gerekmektedir.

Bir olaya ait bir veya birden fazla değişkenin, farklı yerlerdeki veya zaman içindeki oransal değişimini belirlemek amacı ile hesaplanan sayılar, "indeks sayılar" olarak tanımlanır. İndeks sayılar, kısaca "indeksler" diye adlandırılmaktadır. İndeksler, fiyat, üretim, yatırım, ücret, satış değişmelerinin belirlenmesi gibi farklı olaylarda kullanılabilir.

İndeksler, hesaplandıkları seri türlerine göre zaman ve mekan indeksleri; hesaplandıkları madde sayısına göre basit ve bileşik indeksler olmak üzere ikiye ayrılırlar. Zaman ve mekan indeksleri aynı zamanda basit veya bileşik indeksler olabilir.

Zaman indeksleri hesaplanmalarında temel alınan devreye göre sabit ve değişken esaslı indeksler olarak, bileşik indeksleri ise hesaplanmalarına konu olan maddelerin önem derecelerine göre tartılı ve tartısız bileşik indeksler olarak ikiye ayrılırlar.

5.2. MEKÅN İNDEKSLERİ

Mekan serilerinin mekan içindeki oransal değişimini belirlemek için hesaplanan indekslere mekan indeksleri denir. Mekan indeksleri, nüfus, üretim, tüketim, fiyat gibi çeşitli değişkenlerin bölgeler, iller gibi mekan birimlerine göre oransal değişimlerinin belirlenmesi için kullanılırlar.

Mekan indeksleri seriyi oluşturan değerlerden her birinin serinin aritmetik ortalanmasına oranlanması ile hesaplanırlar.

Bu formülde;

I_i : Hesaplanan indeksleri

X_i : Seri değerlerini

: Seri değerlerinin aritmetik ortalamasını,

göstermektedir. Mekan indekslerinde aritmetik ortalamanın değeri 100 kabul edildiğinden bulunan sonuçlar, 100 den küçük veya büyük olması durumuna göre yorumlanırlar.

ÖRNEK: Beş ayrı bölgenin 2008 yılı buğday üretim miktarları aşağıda verilmiştir. (1=10.000 ton)

Bölgeler	Buğday Üretimi (1=10.000 ton) (X_i)
A	15
B	30
C	9
D	27
E	39
	120

Bölgelerin mekan indekslerini hesaplayınız.

Bölgelerin mekan indekslerini hesaplamak için serinin aritmetik ortalaması hesaplanacaktır.

Mekan indeksleri:

Bu sonuçlara göre, 2008 yılı buğday üretim miktarı, A,B,C,D,E bölgeleri ortalamasına göre, A bölgesinde % 37,5 (=100 - 62,5) C bölgesinde % 62,5 (=100 - 37,5) daha az, B bölgesinde % 12,5 (= 112,5 -100) ve E bölgesinde % 62,5 (= 162,5 -100) daha fazladır.

Mekan indekslerinde, seri değerleri aritmetik ortalamaya oranlanıp, 100 ile çarpıldığından hesaplanan indekslerin ortalamaları 100 olacaktır.

62,5+125+37,5+112,5+162,5 = 500

İndekslerin ortalaması =

olduğu görülmektedir.

5.3. ZAMAN İNDEKSLERİ

Zaman serilerinin oransal değişimini belirlemek için hesaplanan indekslere zaman indeksleri denir. Herhangi bir zaman birimine ait indeksin hesaplanmasında, zaman serisinin herhangi bir zaman biriminin değeri temel alınarak, diğerleri bu değere oranlanabileceği gibi, her zaman biriminin değeri bir önceki zaman biriminin değerine de oranlanabilir. Buna dayanarak zaman indeksleri "sabit esaslı" ve "değişken esaslı" olarak ikiye ayrılır.

5.3.1. Sabit Esaslı İndeksler

Zaman indekslerinde hesaplanacak zaman birimlerini devre olarak adlandırırsak; belirli bir devrenin değerini temel alıp, diğer devrelerdeki oransal değişmeleri bu değere göre belirlemek için hesaplanan indekslere, "sabit esaslı indeksler" denir.

Sabit esaslı indekslerde hesaplanmaya temel alınan devre, "temel devre" veya "esas devre" olarak adlandırılır ve değeri 100'e eşittir. Diğer devrelerin indeksleri ise, değerlerinin esas devre değerine oranlanması ile bulunacak ve esas devreye göre oransal artışları veya azalışları belirtecektir.

Bu indeksleri,

formülü ile hesaplayabiliriz.

Bu formülde;

I_i : i'nci devrenin indeks sayısını

X_i : indeksi hesaplanacak devrenin değerini

X₀ : esas devre değerini göstermektedir.

İndekslerde değişken genellikle X_i ile gösterilirse de, fiyat indekslerinde pi, miktar indekslerinde ise q_i değişkenleri X_i yerine kullanılmaktadır. Bu nedenle

sabit esaslı fiyat indeksleri,

sabit esaslı miktar indeksleri,

formülleri ile gösterilecektir.

ÖRNEK: Aşağıda bir malın 6 yıllık, satış fiyatları verilmiştir.

Yıllar	(p_i) A malı fiyatı (TL)	(2004=100)	(2007=100)
2004	35	100,0	125,0
2005	40	114,2	142,8
2006	32	91,4	114,2
2007	28	80,0	100,0
2008	50	142,8	178,5
2009	73	208,5	260,7

Bu verilerden yararlanarak,

2004 yılı temel yıl ve 2007 yılı temel yıl olarak alındığına göre 6 yıllık sabit esaslı indeksleri hesaplayınız.

2004= 100 (2004 temel yıl) ise:

Fiyat indeksleri;

p₀ = p₀₄ = 35

olacaktır. Malın fiyatları, 2004 yılına göre 2005 yılında % 14,2, 2003 yılında % 42,8, 2009 yılında % 108,5 artarken; 2006 yılında % 8,6, 2007 yılında % 20 azalmıştır.

Aynı yıllara ait indeksleri (2007 = 100) 2007 yılı temel yıl olmak üzere hesaplayalım.

p₀ = p₀₇ =28

Yorum: Malın fiyatları 2007 yılına göre 2004 yılında % 25, 2005 yılında % 42,8 2006 yılında % 14,2 2008 yılında % 78,5 ve 2009 yılında % 160,7 oranında yükselmiştir.

Sonuçların karşılaştırılması: 2004 ve 2007 yılı temel yıl olarak hesapladığımız indeksleri karşılaştırdığımızda aralarında büyük farklar olduğunu görürüz. Bu nedenle sabit esaslı indekslerin hesaplanmasında, temel devrenin indekslerin hesaplanma amaçlarına göre belirlenmesi gerekecektir.

Sabit esaslı indekslerin hesaplanmasında, bir devre yerine, birkaç devrelik bir dönemde temel alınabilir. Bu durumda birkaç devrelik dönemin aritmetik ortalaması alınarak, bu ortalama esas devre değeri kabul edilir ve diğer devre değerleri hesaplanan bu ortalamaya oranlanır. Ortalamanın hesaplanması için alınacak devre sayısı, indeks hesaplanmasının amacına göre belirlenir. Bu durumda temel dönemi oluşturan devrelerin indekslerinin aritmetik ortalaması 100 olacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda bir bölgenin yıllık kömür üretim miktarları verilmiştir.


Yıllar	Kömür Üretimi (1=10000 Ton)
2003	11
2004	18
2005	16
2006	19
2007	13
2008	21
2009	24

Bölgenin yıllık kömür üretimine ait sabit esaslı indeksleri 2003-2005 dönemi temel alarak hesaplayınız.

Yorum: Bölgenin yıllık kömür üretim miktarı 2003-2005 dönemine (2003-2005 yılları ortalamasına) göre; 2003'de % 16,7 daha az; 2004'de % 20, 2005'de
% 6,7 2006'da % 26,6 2008’de % 40, 2009'da % 60 daha fazla 2007'de ise % 13,4 daha az olmuştur.

Burada temel dönem yılları indekslerinin ortalaması,

olarak bulunur.

5.3.2. Değişken Esaslı İndeksler

Zaman indekslerinde, indeksi hesaplanacak devre değerinin bir önceki devre değerine oranlanması ile hesaplanacak indeksler "değişken esaslı indeksler" olarak adlandırılır.

Sabit esaslı indekslerdeki temel devre, değişken esaslı indekslerde indeksi hesaplanacak her devre için değişecektir ve değişken esaslı indeksler her devre indeksinin bir önceki devreye göre oransal artışını veya azalışını gösterecektir. Bu indekslerde hesaplanacak her devre için bir önceki devre 100 kabul edilmektedir.

Değişken esaslı indeksler,

formülü ile hesaplanmaktadır.

Sabit esaslı indekslerden farklı olarak formülde, X_i-1 bir önceki devre değerini ifade etmektedir.

Değişken esaslı fiyat ve miktar indeksleri,

formülü ile hesaplanmaktadır.

ÖRNEK: Aşağıda bir fabrika da üretilen yıllık buzdolabı miktarları verilmiştir.

Yıllar	Üretim Miktarı (q_i) (1=1000 Adet)	(D.E)
2005	5	-
2006	4	80
2007	3	75
2008	6	200
2009	8	133

Bu verilerden yararlanarak değişken esaslı indeksleri hesaplayınız.

2005 yılı indeksi bir önceki devrenin değeri bilinmediğinden hesaplanamaz.

Yorum: fabrikanın yıllık üretim miktarı, 2006 yılında 2005 yılına göre % 20 azalmış; 2007 yılında 2006 yılına göre % 25 azalmış; 2008 yılında 2007 yılına göre % 100 artmış; 2009 yılında 2008 yılına göre % 33 artmıştır.

Yukarıda incelenen ve ayrı ayrı örnek üzerinde hesaplanan sabit ve değişken esaslı indeksleri aynı seri üzerinde de hesaplayabiliriz.

ÖRNEK: Aşağıdaki serinin sabit ve değişken esaslı indekslerini hesaplayınız.


Devreler	X_i	(S.E; 1=100)	(D.E)
1	20	100	100
2	16	80	80
3	18	90	112,5
4	25	125	138,88
5	28	140	112
6	35	175	125

Sabit esaslı indeksler:

Değişken esaslı indeksler:

5.3.3. Sabit Esaslı İndekslerden Değişken Esaslı İndekslerin
Hesaplanması

Yapılan araştırma için değişken esaslı indeksler gerekiyorsa, ancak mevcut kaynaklardan sabit esaslı indeksler elde edilmişse, bu sabit esaslı indekslerin, değişken esaslı indekslere çevrilmesi gerekecektir.

Sabit esaslı indeksler,

formülü ile değişken esaslı indekslere dönüştürülmektedir.

ÖRNEK: Bir önceki örnekte hesaplanan sabit esaslı indeksler yardımı ile değişken esaslı indeksleri hesaplayınız.


Devreler	(1=100)
1	100
2	80
3	90
4	125
5	140
6	175

Görüldüğü gibi, bundan önceki örnekte gerçek verilerle hesaplanan sonuçlar ile, sabit esaslı indeksler yardımı ile hesaplanan sonuçlar aynıdır.

5.3.4. Değişken Esaslı İndekslerden Sabit Esaslı İndekslerin
Hesaplanması

Yapılan araştırma için sabit esaslı indeksler gerekiyorsa, ancak mevcut kaynaklardan değişken esaslı indeksler elde edilmişse, bu değişken esaslı indekslerin sabit esaslı indekslere çevrilmesi gerekecektir.

Değişken esaslı indeksler

formülü ile sabit esaslı indekslere dönüştürülebilir.

ÖRNEK: Bir önceki örnekte hesaplanan değişken esaslı indeksler yardımı ile sabit esaslı indeksleri hesaplayınız.


Devreler	(D.E)
1	-
2	80
3	112,5
4	138,88
5	112
6	125

Görüldüğü gibi yapılan dönüşümle önceki örnekte gerçek verilerle hesaplanan sonuçlar ile, sabit esaslı indeksler yardımı ile hesaplanan sonuçlar aynıdır.

5.3.5. Sabit Esaslı İndekslerde Temel Devrenin Değiştirilmesi

Herhangi bir devrenin esas alınması ile hesaplanan sabit esaslı indekslerde temel devre değiştirilebilir. Temel devreyi değiştirmek için kullanılacak formül aşağıdaki gibi olacaktır.

Bu formülde;

I_i,y : Yeni temel devreye göre hesaplanacak indeksi

I_i : Sabit esaslı indeksi

I_o,y : Yeni temel devrenin indeksini göstermektedir.

ÖRNEK:


Yıllar	X_i	I_i (2000=100)
2005	5	100
2006	6	120
2007	10	200
2008	8	160
2009	12	240

Yukarıda 2005 yılı temel yıl olarak düzenlenmiş indekslerle, yapılan dönüşümün kontrol edilebilmesi için bu indekslerin hesaplandığı gerçek değerler verilmiştir.

Temel yılı 2007 olarak değiştirelim.

Aynı indeksleri verilen gerçek değerleri ile hesaplayalım.

(2007=100)

Sonuçların temel devre değiştirilmesi ile elde edilen sonuçlarla aynı olduğu görülmektedir.

5.4. BİLEŞİK İNDEKSLER

İndekslerin hesaplandıkları madde sayısına göre basit ve bileşik indeksler olarak ikiye ayrıldığından daha önce söz etmiştik. Basit indeksler bir tek madde için hesaplanan indekslerdir. Buraya kadar yaptığımız açıklamalar basit indeksler ile ilgilidir. Bu bölümde ise bileşik indekslerle ilgili açıklamalar yer alacaktır.

Birden fazla madde için hesaplanan indekslere bileşik indeksler denilmektedir. Bir tek maddenin bir kaç madde yerine kullanılması sakıncalı olacağından, bu gibi durumlarda bileşik indeksler hesaplanmaktadır. Bileşik indeksler tartılı ve tartısız bileşik indeksler olmak üzere iki grupta incelenebilir. Ayrıca bileşik indeksler mekan ve zaman serileri için de hesaplanabilir.

5.4.1. Tartısız Bileşik İndeksler

Tartısız bileşik indeksler, indeks hesabına girecek olan maddelerin özelliklerine bağlı olarak farklı yöntemlerle hesaplanabilir.

5.4.1.1. Toplam Yöntemi

Bu yöntem de indeksler, indeks hesabına alınacak maddelerin, her devre için toplam değerleri bulunarak hesaplanır. Böylece toplam yönteminde sabit esaslı indeks formülü,

Değişken esaslı indeks formülü ise,

olacaktır. Bu formüllerde X yerine, fiyat indekslerinde p ve miktar indekslerinde q kullanılacaktır.

ÖRNEK: Aşağıda verilen 4 madde için tartısız bileşik fiyat indekslerini toplam yöntemi ile hesaplayalım.


		YILLAR
Maddeler	2006	2007	2008	2009
A	10	10	12	16
B	125	105	100	130
C	5	6	6	9
D	26	30	20	35
Toplam	166	151	138	190

Sabit esaslı indeksler: (2006=100)

Dört maddenin fiyatları 2006 yılına göre 2007 yılında % 9,1 ve 2008 yılında % 16,9 azalmış, 2009 yılında ise % 14,04 artmıştır.

Değişken esaslı indeksler:

Dört maddenin fiyatları, 2007 yılında 2006'ya göre % 9,1 ve 2008 yılında 2007 yılına göre % 8,7 azalmış, 2009 yılında ise 2008 yılına göre % 37,6 artmıştır.

5.4.1.2. Ortalamaların Kullanıldığı Yöntemler

Toplam yönteminde, indeks hesabında kullanılan maddelerin değerlendirilmesinde kullanılan ölçüler farklı olabilir. Farklı ölçülerin kullanıldığı durumlarda farklı sonuçlar elde edilecektir. Örneğin, bir önceki örnekte A malının çay olduğunu ve 100 gr.lık paket fiyatının verildiğini düşünürsek; fiyatı kilograma çevirmekle A malının fiyatı ile bileşik indekslerin hesaplanmasında kullanılan toplam fiyatları ve sonuç değişecektir. Bu değişiklikten kaçınmak için bileşik indekslerin hesabında ortalama kullanılmaktadır. Ortalama kullanımda, gerçek değerlerin yerine, her değişken için hesaplanan basit indekslerin ortalaması alınarak, ölçülerin farklılıkları giderilmiş olur.

Aritmetik Ortalama

Tartısız bileşik indekslerin hesaplanmasında, değişkenlerin basit indekslerinin aritmetik ortalamasının kullanılması durumunda,

formülü uygulanacaktır.

Bu formülde;

I_ib : Bileşik indeksi

I_ji : Basit indeksleri

n : Madde sayısını

göstermektedir.

Yukarıda görülen formülü tartısız bileşik indeks için yazarsak;

Sabit esaslı indeksler için;

Değişken esaslı indeksler için,

formülleri elde edilir.

Formüllerden de anlaşılacağı gibi burada iki farklı yolla hesaplama olanağı vardır.

İlk olarak her devre için basit indeksleri toplayıp değişken

sayısına bölerek
İkinci olarak veya oranlarını hesaplayıp ve bu oranların toplamını

ile çarparak bileşik indeksleri hesaplayabiliriz.

Bu hesaplama şekilleri, basit indekslerin aritmetik ortalaması veya oranların aritmetik ortalaması yöntemleri olarak adlandırılabilir. Bu yöntemlerden her ikisinin kullanılması durumunda aynı sonuçlar elde edilecektir.

ÖRNEK: A, B ve C malları yıllık ortalama fiyatları aşağıda verilmiştir. (1=1 TL)


		YILLAR
Maddeler	2007	2008	2009
A	3	5	6
B	100	110	130
C	48	48	60

Yukarıda verilen fiyatlardan yararlanarak bileşik fiyat indekslerini basit indekslerin ortalaması ve oranların ortalaması yöntemleri ile hesaplayınız.

Basit indekslerin aritmetik ortalaması yöntemi:

Sabit esaslı (2007=100)

A Malı

B Malı

C Malı

Sonuçları bir tabloda toplayalım.


		(2007=100)
Maddeler	2007	2008	2009
A	100	166,6	200
B	100	110	130
C	100	100	125

Bileşik indeksler: (2007=100)

Değişken esaslı

A Malı

B Malı

C Malı

Sonuçları bir tabloda toplayalım.


		(D.E)
Maddeler	2007	2008	2009
A	100	166,6	120
B	100	110	118,1
C	100	100	125

Bileşik indeksler:

Oranların Aritmetik Ortalaması

Oranların aritmetik ortalaması ile yapılacak hesaplamalar, basit indekslerin aritmetik ortalaması yöntemi ile aynı temele dayandığından aynı sonucu verecektir.

Sabit esaslı (2007=100)


		Fiyat Oranları
Maddeler	p₀₇/p₀₇	p₀₈/p₀₇	p₀₉/p₀₇
A	3/3=1	5/3=1,666	6/3=2
B	100/100=1	110/100=1,1	130/100=1,3
C	48/48=1	48/48=1	60/48=1,25
Toplam	3	3,766	4,55

Değişken esaslı

2007 ve 2008 yılı tartısız bileşik indeksleri aynı yılların sabit esaslı indeksleri ile aynı sonucu vereceğinden sadece 2009 yılı indeksi hesaplanacaktır.


Maddeler	p₀₉/p₀₇
A	6/5=1,2
B	130/110=1,181
C	60/48=1,25
Toplam	3,631

Görüldüğü gibi her iki yöntemde aynı sonuçları vermektedir.

Bileşik indekslerin hesaplanmasında aritmetik ortalama kullanılıyorsa, aritmetik ortalamanın serinin anormal değerlerinin etkisinde kalacağı unutulmamalıdır. Ayrıca tartısız bileşik indekslerin hesaplanmasında da aritmetik ortalamanın kullanıldığı durumlarda sabit esaslı indeksler ile değişken esaslı indeksler, veya değişken esaslı indeksler ile sabit esaslı indeksler hesaplanıyorsa bu hesaplanan indeksler gerçek değerlerinden sapacaktır. Aynı şekilde temel devre değiştirildiğinde de indeksler gerçek değerlerinden farklı olacaktır.

Geometrik Ortalama

Bileşik indekslerin hesaplanmasında aritmetik ortalama kullanılabildiği gibi geometrik ortalamada kullanılabilir. Ancak hangi ortalamanın kullanılacağına karar verilmeden önce geometrik ve aritmetik ortalamanın özelliklerinin göz önünde bulundurulması gereklidir.

Geometrik ortalamanın hesaplanması, aritmetik ortalamaya göre daha zor olmasına rağmen indekslerin hesabında geometrik ortalama kullanımı aritmetik ortalamaya göre bazı yararlarda sağlayabilir. Geometrik ortalama serinin anormal değerlerinden aritmetik ortalama kadar etkilenmez. Ayrıca, indekslerin hesaplanmasında geometrik ortalama kullanılıyorsa, aritmetik ortalama kullanımında söz edilen sapmalar olmayacaktır.

Bileşik indekslerin hesaplanmasında geometrik ortalama kullanıldığında formüller,

Sabit esaslı indeksler için;

Değişken esaslı indeksler için

olacaktır.

Hesaplamada logaritma kullanılıyorsa formüller.

olarak elde edilir.

ÖRNEK: Aşağıda A, B ve C mallarının fiyatları verilmiştir. (1=1 TL)


		YILLAR
Maddeler	2007	2008	2009
A	20	19	27
B	75	75	80
C	550	600	590

2007 yılını temel yıl alarak 2009 yılı sabit ve değişken esaslı bileşik indekslerini geometrik ortalama ile hesaplayınız.

Sabit esaslı (2007=100)

→ I₀₉ = 115,6

Değişken esaslı

→ I₀₉ = 114,2

5.4.2. Tartılı Birleşik İndeksler

Tartısız bileşik indeksler ile ilgili açıklamalarda, indekslerin hesaplanmasına giren maddelerin önem derecelerinin dikkate alınmadığı görülmektedir. Ancak bileşik indekslerin hesabına giren maddelerin önem derecelerinin farklı olduğu durumlarda tartısız bileşik indekslerin hesaplanması yanıltıcı sonuçlar verecektir. Bu nedenle bu gibi durumlarda tartılı bileşik indekslerin hesaplanması daha uygun olacaktır.

Maddelerin önem derecelerine göre dikkate alınarak hesaplanan bileşik indeksler tartılı bileşik indeks olarak adlandırılır. Tartı, malların önem derecelerini belirten ağırlıklardır. Tartılar tahmini olarak belirlenebilirse de, araştırma yapılarak belirlenmesi daha iyi sonuçlar verecektir.

Tartılı bileşik indeksler için, zaman indekslerinde, sabit ve değişken esaslı indeksler hesaplanabilir. Tartılar t ile ifade edildiğinde, sabit esaslı tartılı bileşik indeksler için

Değişken esaslı bileşik indeksler için,

formülleri kullanılacaktır. Formüllerden de anlaşılacağı gibi yapılan işlem, tartısız bileşik indekslerin tartılı aritmetik ortalamasının hesaplanmasıdır.

Tartılı bileşik indekslerde bir malın fiyat veya miktar indeksinin hesaplanmasında tartı olarak malın kıymeti (değeri) alınmaktadır. Malın kıymeti miktarı ile fiyatının çarpımı ile hesaplanır. Böylece malın kıymeti,

t = p.q

olarak gösterilebilir. Tartının belirlenmesinde t = p_o.q_o alınırsa; her hangi bir devrenin fiyat indeksi,

olacaktır. Bu formüle "Laspeyres" formülü denmektedir.

t = p_oq_i alınırsa,

olarak elde edilir. Bu formüle "Paasche" formülü denmektedir.

t= p_o(q_o+ q_i) alınırsa,

olarak elde edilir. Bu formülü de "Edgeworth Marshall" formülü denmektedir.

Laspeyres ve Paasche formüllerinin çarpımlarının kare kökü alınarak elde edilen formüle "Fisher" veya "İdeal İndeks" formülü denilmektedir.

formülü açıldığında,

şeklini almaktadır.

Sabit ve değişken esaslı, fiyat ve miktar indeksleri için, Laspeyres, Paasche, Edgeworth- Marshal ve Fisher formülleri aşağıda görülmektedir.

Laspeyres ()

Fiyat indeksi:

Sabit esaslı Değişken esaslı

Miktar indeksi :

Sabit esaslı Değişken esaslı

Paasche ()

Fiyat indeksi :

Sabit esaslı Değişken esaslı

Miktar indeksi:

Sabit esaslı Değişken esaslı

Edgeworth- Marshall ()

Fiyat indeksi :

Sabit esaslı Değişken esaslı

Miktar indeksi :

Sabit esaslı Değişken esaslı

Fisher (= İdeal İndeks)

ÖRNEK: Aşağıda A, B ve C mallarının üç yıllık fiyatları ve miktarları verilmiştir. (1=1 TL; 1=100 gram)


	A Malı		B Malı		C Malı
Yıllar	Fiyat(p)	Miktar(q)	Fiyat(p)	Miktar(q)	Fiyat(p)	Miktar(q)
2007	5	10	20	60	15	25
2008	6	14	25	60	20	30
2009	6	15	40	50	30	35

Bu bilgilerden yararlanarak,

a) 2007 yılı temel yıl olmak üzere, 2009 yılı sabit esaslı fiyat indeksini, Laspeyres, Paasche, Edgeworth-Marshal ve Fisher formülleri ile hesaplayınız.

b) Aynı şekilde 2009 yılı değişken esaslı bileşik fiyat indeksini hesaplayınız.

2009 yılı sabit esaslı indeksi (2007=100)

Laspeyres:

2009 yılında fiyatlar 2007 yılına göre %97,5 artmıştır.

Paasche :

2009 yılında fiyatlar 2007 yılına göre % 96,6 artmıştır.

Edgeworth - Marshall:

2009 yılında fiyatlar 2007 yılına göre % 96,8 artmıştır.

Fisher:

2009 yılında fiyatlar 2007 yılına göre % 97 artmıştır.

b) 2009 yılı değişken esaslı indeksi

Laspeyres :

2009 yılında fiyatlar 2008 yılına göre % 54,9 artmıştır.

Paasche :

2009 yılında fiyatlar 2008 yılına göre % 53,9 artmıştır.

Edgeworth-Marshall

2009 yılında fiyatlar 2008 yılına göre % 54,45 artmıştır.

Fisher :

2009 yılında fiyatlar 2008 yılına göre % 54,3 artmıştır.

ÖRNEK: Aşağıda üç maddenin üç yıllık fiyatları ve miktarları verilmiştir. (1=1 TL, 1=100 gram)


			Yıllar
	2007	2008	2009
Maddeler	P	Q	P	Q	P	Q
A	10	3	12	2	13	5
B	55	10	60	10	80	8
C	7	20	8	30	10	30

p: Fiyat

q: Miktar

2007 yılı temel yıl olmak üzere 2009 yılı bileşik miktar indeksini, Laspeyres, Paasche, Edgeworth-Marshall ve Fisher formülleri ile hesaplayınız.
2008 ve 2009 yılları değişken esaslı bileşik miktar indekslerini aynı formüllerle hesaplayınız.

2009 yılı sabit esaslı indeksi (2007 = 100)

Laspeyres :

2009 yılında miktarlar 2007 yılına göre % 2.8 azalmıştır.

Paasche:

2009 yılında miktarlar 2007 yılına göre % 3,3 azalmıştır.

Edgeworth - Marshall:

2009 yılında miktarlar 2007 yılına göre % 3,1 azalmıştır.

Fisher:

2009 yılında miktarlar 2007 yılına göre % 3,1 azalmıştır.

b) 2008 ve 2009 yılları değişken esaslı indeksleri

Laspeyres:

Paasche:

Edgeworth – Marshall:

Fisher:

5.5. CARİ FİYATLAR İLE HESAPLANMIŞ VERİLERİN
SABİT FİYATLAR İLE HESAPLANMIŞ
VERİLERE İNDİRGENMESİ

Cari fiyatlar ile hesaplanmış veriler enflasyondan etkilendiklerinden, farklı devrelerin değerlerinin karşılaştırılmasında gerçek artış veya azalışlar belirlenemeyecektir. Gerçek artış veya azalışların belirlenebilmesi için enflasyonun etkisinin ortadan kaldırılması gerekir. Enflasyonun etkisinin ortadan kaldırılması için, cari fiyatlar ile hesaplanmış değerlerin, fiyat indekslerinin 100'e bölünmesi ile elde edilen değere bölünerek, sabit fiyatlar ile hesaplanmış değerlere indirgenmiş olması gerekir. Bu indirgeme işlemi

formülü ile yapılmaktadır.

Bu formülde,

X_i,s : Sabit fiyatlar ile hesaplanan değerleri

X_i,c : Cari fiyatlar ile hesaplanan değerleri

: Sabit esaslı fiyat indekslerini ifade etmektedir.

İndirgeme işleminin yapılabilmesi için indekslerin sabit esaslı olması gerekmektedir. Değişken esaslı indekslerin bulunması durumunda bu indeksler sabit esaslı indekslere dönüştürülecektir. Ayrıca sabit esaslı indeksin temel devresi, indirgemede kullanılacak devreden farklı olduğu durumlarda sabit esaslı indeksin temel devresinin değiştirilmesi gerekecektir.

ÖRNEK: Aşağıda bir işçinin 4 yıllık ortalama aylık gelirleri ile toptan eşya fiyat indeksleri verilmiştir. (1=1 TL)


Yıllar	Ortalama Aylık Gelir (1=1 TL)	Toptan Eşya Fiyat İndeksi
2006	500	100
2007	800	172
2008	1425	283
2009	2500	469

İşçinin 2007, 2008 ve 2009 yılı ortalama aylık gelirlerini, 2006 yılı fiyatlarına indirgeyiniz.

İşçinin 2006 yılı fiyatları ile hesaplanan 2007, 2008 ve 20094 yılları ortalama aylık gelirlerinin 2006 yılı ortalama aylık gelirinden daha düşük olduğu görülmektedir.

5.6. GELİR FİYAT VE MİKTAR İNDEKSLERİ
ARASINDAKİ İLİŞKİ

Fiyat ile miktar çarpımı geliri vereceğinden, her devre için fiyat indeksi ile miktar indekslerinin çarpımının 100'e bölümü gelir indeksine eşit olacaktır.

Gelir indeksi

G_i = p_iq_i : İndeksi hesaplanacak devrenin geliri

G_o =p_oq_o : Temel devrenin geliri

olacağından,

olacak ve fiyat indeksi,

miktar indeksi

olduğundan eşitliği ile çarpıldığında

olarak elde edilir.

5.7. ÇÖZÜMLÜ ÖRNEKLER

ÖRNEK 1: Aşağıda bir malın 2009 yılının ilk 6 ayındaki fiyatları verilmiştir.

Aylar	Fiyatlar (1=1 TL)
Ocak	500
Şubat	500
Mart	490
Nisan	545
Mayıs	600
Haziran	575

a) Mayıs ve Haziran ayı sabit esaslı indekslerini, ocak ayını esas devre alarak hesaplayınız.

b) Mayıs ve haziran aylarına ait değişken esaslı indeksleri hesaplayınız.

c) Sonuçları karşılaştırınız.

Çözüm:

a) Sabit esaslı indeksler

b) Değişken esaslı indeksler

c) Mayıs ayı:

A malının fiyatı Mayıs ayında, Ocak ayına göre %20 artarken; Nisan ayına göre %10 artmıştır.

Haziran ayı:

A malının fiyatı Haziran ayında, Ocak ayına göre %15 artarken; Mayıs ayına göre %4 düşmüştür.

ÖRNEK 2: Aşağıda 5 devrenin sabit esaslı indeksleri verilmiştir.


Devreler	SEİ(1=100)
1	100
2	87
3	126
4	219
5	171

a) 3. Devre temel devre olduğuna göre 2. ve 5. devrelerin sabit esaslı indekslerini hesaplayınız.

b) 3. ve 5. devrelerin değişken esaslı indekslerini hesaplayınız.

Çözüm:

ÖRNEK 3: Aşağıda 6 yıllık değişken esaslı indeksler verilmiştir.


Yıllar	DEI
2004	122
2005	147
2006	93
2007	138
2008	224
2009	166

2006 yılı temel yıl olduğuna göre 2008 yılı sabit esaslı indeksini hesaplayınız.

Çözüm:

2007 yılı sabit esaslı indeksi 2008 yılına göre oransal değişimi verdiğinden, hesaplanan 2008 yılı değişken esaslı indeksinin temel yılı 2006 yılıdır. Bu nedenle 2006 yılı sabit esaslı indeksinin de hesaplanması ve temel devrenin değiştirilmesi gerekmektedir.

2006 yılı temel yıl olduğunda, 2008 yılı sabit esaslı indeksi 309,12 olarak hesaplanmıştır.

Bu çözüm yolu uzun bir yol olup, konunun açıklanması için verilmiştir. Aynı indeksin aşağıda görüldüğü gibi daha kısa yol ile hesaplanması mümkündür.

Temel yıl 2006 olacağına göre 2007 yılı değişken esaslı indeksi 2006 yılına göre oransal değişimi verecektir. Bu nedenle temel devre olmasını istediğimiz devreyi takip eden devreler için verilen formül uygulanırsa, yine aynı sonuçlar elde edilecektir.

ÖRNEK 4: Aşağıda 4 maddenin 3 yıllık fiyatları verilmiştir. (1=1 TL)


		Fiyatlar
Yıllar	A	B	C	D
2007	250	110	1050	460
2008	300	90	1200	450
2009	400	160	1750	500

2007 yılı temel yıl olduğuna göre 2009 yılı sabit esaslı tartısız bileşik fiyat indeksini "basit indekslerin aritmetik ortalaması" yönetimi ile
2009 yılı değişken esaslı tartısız bileşik fiyat indeksini "oranların aritmetik ortalaması" yönetimi ile hesaplayınız.

Çözüm:

Sabit esaslı basit indeksler (2007 = 100)

Tartısız bileşik indeks

ÖRNEK 5: Aşağıda 4 malın 5 yıllık fiyatları ve miktarları verilmiştir. (1=1 TL, 1=100 gram)


				Mallar
	A		B		C		D
Yıllar	p	q	p	q	P	q	p	q
2005	10	20	105	58	47	10	5	13
2006	8	23	105	60	50	9	6	15
2007	10	21	110	60	52	9	8	16
2008	12	18	108	65	48	12	7	13
2009	15	22	115	67	49	12	7	17

a) 2008 yılı sabit esaslı bileşik fiyat indeksini 2006 yılı temel yıl olduğuna göre Laspeyres formülü ile hesaplayınız.

b) 2009 yılının 2008 yılını temel alan bileşik miktar indeksini Paasche formülü ile hesaplayınız.

2005 yılı sabit esaslı bileşik miktar indeksini 2008 yılı temel yıl olduğuna göre Fisher formülü ile hesaplayınız.

Çözüm:

2008 yılında fiyatlar 2006 yılına göre % 3,8 artmıştır.

2005 yılında fiyatlar 2008 yılına göre % 10,56 daha azdır.

ÖRNEK 6: Aşağıda bir kişinin 3 yıllık gelirleri ile yıllık enflasyon oranları verilmiştir. (1=1000 TL)


Yıllar	Yıllık Gelir (1=1000TL)	Yıllık Enflasyon Oranı
2007	25	0,75
2008	34	0,57
2009	63	0,68

2007 yılı fiyatları ile 2008 ve 2009 yılı gerçek gelirlerini hesaplayarak, cari gelir artışları ile karşılaştırınız.

Çözüm:

2008 yılında fiyat artışı 2007 yılına göre 0,57 olduğundan 2008 yılı değişken esaslı fiyat artış indeksi 157 ve aynı şekilde 2009 yılı değişken esaslı fiyat artış indeksi 168 olacaktır. Bu indekslerin sabit esaslı indekslere çevrilerek kullanılması gerekmektedir. 2007 yılı temel yıl olacağından 2008 yılı sabit ve değişken esaslı indeksleri aynı olacaktır. 2007 yılı temel yıl olduğuna göre 2009 yılı sabit esaslı indeksi ise,

olarak bulunur. Hesaplanan sabit esaslı indeksler ile gerçek yıllık gelirler,

olarak bulunur.

Cari fiyatlar ile gelir artışları ise,

olacaktır. Cari fiyatlar ile gelir 2007 yılına göre 2008 yılında %36; 2009 yılında % 152 artmış ve 2007 yılı fiyatları ile indeksler,

olacaktır. Gelir 2007 yılına göre 2008 yılında % 13,4 ve 2009 yılında % 4,48 azalmıştır.



4	-6	36	8	-12	144
7	-3	9	14	-6	36
10	0	0	20	0	0
11	1	1	22	2	4
18	8	64	36	16	256
50		110	100		440



4	2	16	4	6	36	-4	-3	12
7	3	49	9	10	100	-1	-2	2
8	5	64	25	13	169	0	0	0
13	10	169	100	23	529	5	5	25
32	20	298	138	52	834			39



4	-6	36	8	-12	144
7	-3	9	14	-6	36
10	0	0	20	0	0
11	1	1	22	2	4
18	8	64	36	16	256
50		110	100		440



4	2	16	4	6	36	-4	-3	12
7	3	49	9	10	100	-1	-2	2
8	5	64	25	13	169	0	0	0
13	10	169	100	23	529	5	5	25
32	20	298	138	52	834			39

FilesExpand file tree

Temel İstatistik.md

Latest commit

History

Temel İstatistik.md

File metadata and controls

Daha önceki açıklamalarda değinildiği gibi anket formu bilgi kaynağına anketörler posta ve telefon ile ulaştırılabilir. Bu yöntemlerin fayda ve zararlarını şöyle özetleyebiliriz.



4	-6	36	8	-12	144
7	-3	9	14	-6	36
10	0	0	20	0	0
11	1	1	22	2	4
18	8	64	36	16	256
50		110	100		440



4	2	16	4	6	36	-4	-3	12
7	3	49	9	10	100	-1	-2	2
8	5	64	25	13	169	0	0	0
13	10	169	100	23	529	5	5	25
32	20	298	138	52	834			39