Yöneylem Araştırması_All.md

Bu ders notları Prof. Dr. Nalan CİNEMRE'nin **Yöneylem Araştırması** kitabından (İstanbul: Ekin Yayınları, 2011) yararlanılarak hazırlanmıştır.


# Yöneylem Araştırması

## BİRİNCİ BÖLÜM

## **YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI METODOLOJİSİ**

### 1.1. Gİrİş

Sanayi devrimiyle birlikte sınai işletmelerinin hızla büyümeleri sonucunda bir
kişinin bütün yöneticilik fonksiyonlarını tek başına gerçekleştirmesi olanaksız
hale gelmiştir. Bunun doğal sonucu olarak yönetim fonksiyonları ayrılmış,
böylece işletme bünyesinde üretim, pazarlama, finansman vb. farklı bölümler
ortaya çıkmıştır. Yönetim fonksiyonunun gittikçe artan sayıda bölümlere
ayrılması, yeni işletme sorunlarını da bereberinde getirmiştir. Bir bölüm için
en iyi olan davranış biçiminin bir başka bölüm için, iyi olmak bir yana,
genellikle yıkıcı olması bölümleri, birbirlerinin amaç ve faaliyetlerini göz
önünde bulundurmak zorunda bırakmıştır. Bu tip sorunlar ve bunlara daha iyi
çözüm bulma yaklaşımları da yöneylem araştırmasını doğurmuştur.

### 1.2. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TARİHÇESİ

Yöneylem araştırmasını anlamak için gelişme sürecinin bilinmesi uygun olur.
Günümüz yöneylem araştırmasında kullanılan bazı model ve tekniklerin
kullanılmaları çok eskiye dayansa da, yöneylem araştırması adı verilen
faaliyetin ilk olarak II. Dünya Savaşı sırasında gerçekleştirildiği kabul
edilmektedir. II. Dünya Savaşı sırasında İngiltere askeri yönetimi,
düşmanlarının hava akınları karşısında en iyi savunma şeklini belirlemek
amacıyla farklı disiplinlerden bilim adamlarıyla bir ekip çalışması başlatmış ve
böylece en iyi savunma şeklini bulmuştur. Bu çalışma için bir araya gelen bilim
adamlarından "yeni tip bombaların etkinliklerinin belirlenmesi ve radarların
etkili biçimde kullanımlarının sağlanması" problemini çözmeleri istenmiştir.
Çözüm sonuçlarının uygulamada çok başarılı olması, savunma sisteminin diğer
kesimlerinde; "radar denetim politikaları", "uçaksavar yangın kontrolü", "konvoy
büyüklüğü", "düşman denizaltılarının yerlerinin saptanması" gibi çeşitli askeri
problemlerin çözümünde benzer ekiplerin oluşturulmasını sağlamıştır. 1941
yılından başlayarak benzer ekipler İngiliz Silahlı Kuvvetleri’nin üç kanadında
daima aktif rol oynamış ve silahlı kuvvetlerin ayrılmaz bir parçası olmuşlardır.

İngiltere’de alınan başarılı sonuçlar müttefiklerin de dikkatini çekmiş, bu
ülkeler de askeri problemlerini farklı disiplinlerden bilim adamlarıyla
oluşturdukları ekiplerle çözmeye girişmişlerdir. Yöneylem araştırmasıyla
İngiltere’den çok sonra tanışmış olmakla birlikte, ABD’nin bu konudaki yoğun
çabaları yöneylem araştırmasında önemli ilerlemeler kaydedilmesini sağlamıştır.
ABD Hava Kuvvetlerinde Marshall K. Wood başkanlığında kurulan bir ekip, Leontief
tarafından önerilen girdi-çıktı modelini geliştirerek dağıtım problemlerinin
çözümünü gerçekleştirmiştir. Bu ekibin üyelerinden B. Dantzig büyük
organizasyonların gerçekleştirdikleri faaliyetlerin büyük bir bölümünün dağıtım
problemi olarak ele alınabileceğini ve en iyi plan-programa bir amaç
fonksiyonunun en küçüklenmesi ile ulaşılabileceğini açıklamış ayrıca, doğrusal
programlama problemlerinin klasik çözüm tekniği olan simpleks yöntemini
önermiştir. Simpleks çözüm tekniğinin geliştirilmiş olması doğrusal
programlamanın yalnızca dağıtım problemlerinde değil, benzer problemlerde de
kullanılmasını sağlamıştır. Savaş sırasında, askeri problemlerin çözümü için
oluşturulan ekiplerde aktif biçimde çalışan bilim adamları, savaş sonrasında
dikkatlerini benzer yaklaşımın sivil yaşam problemlerine uygulanabilirliği
üzerinde yoğunlaştırmışlardır. Bu bilim adamlarından bazıları üniversitelerine
dönüp çalışmalarını daha önce oldukça acele biçimde geliştirilen bir kısım
teknikler için sağlam temel oluşturma konusunda sürdürürlerken, bazı bilim
adamları yeni teknikler geliştirme çabalarına girişmişlerdir. Bilim adamlarının
büyük bir kısmı ise özel ekonominin değişik kesimlerindeki çalışmalarına dönerek
buralarda karşılaşılan problemleri benzer yaklaşımla çözmeye çalışmışlardır.
Bütün bu çalışmalar bilimsel bir uğraşı alanının doğuşuna yol açmıştır.

Yöneylem araştırmasını uygulayan ilk sivil kuruluşlar kâr amaçlı büyük
kuruluşlar olmuştur. Küçük boyutlu kuruluşlar yöneylem araştırmasının yalnızca
büyük işletmeler için değil, kendileri için de yararlı olduğunun farkına biraz
geç varmışlar ve araştırmacıların birbirlerinden farklı gibi görünmelerine
karşın pek çok problemin belirli bir başlık -stok, dağıtım, sıralama, kuyruk,
oyun- altında incelenebileceklerini farketmeleri ve bunlar için standart çözüm
teknikleri geliştirmelerinden çok sonra konuya ilgi göstermişlerdir. Birkaç
uygulama dışında yöneylem araştırmasının servis ağırlıklı endüstrilerde ve kamu
kesiminde kullanılması 1960’lı yılların ortalarında gerçekleşmiştir. Bununla
birlikte bugün banka, kütüphane, hastane, otel, okul gibi servis ağırlıklı pek
çok kuruluş servis verme etkinliğini artırmada yöneylem araştırmasından büyük
yarar sağlamaktadırlar. Bunlara ek olarak federal ve yerel devlet kuruluşları da
plan, program ve politika belirleme çalışmalarında yöneylem araştırmasını yaygın
biçimde kullanmaktadırlar. Yöneylem araştırmasının çok geniş bir uygulama alanı
bulması ve çok hızlı bir gelişme göstermesindeki en önemli faktör bilgisayar
teknolojisindeki gelişme olmuştur.

Yöneylem araştırmasının bir bilim olup olmadığı, doğuşunu izleyen günlerde
tartışılmaya başlanmıştır. 1950’li yılların başlarında sivil yöneylem
araştırması faaliyetlerinin ulaştığı gelişme düzeyi yöneylem araştırması adı
altında yeni bir bilim dalının doğmakta olduğu görüşünün benimsenmesine imkan
vermiştir. Yöneylem araştırması alanında çalışan bilim adamlarının ihtiyaçlarını
karşılamak amacıyla kurulan ilk yöneylem araştırması kuruluşu, 1952 yılında
ABD’de kurulan ORSA (The Operational Research Society of America)’dır.
Türkiye’de yöneylem araştırması çalışmalarının batıdan çok sonra başladığı
bilinmektedir. Ülkemizde de ilk yöneylem araştırması çalışmaları batıda olduğu
gibi savunma kesiminde başlamıştır. Savunma kesimi dışında ilk yöneylem
araştırması ekibi 1965 yılında Türkiye Bilimsel ve Teknik Araştırma Kurumu
(TÜBİTAK) bünyesinde kurulmuştur.

### 1.3. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ TANIMI

Yöneylem araştırması ile ilgili birbirlerinden farklı pek çok tanım verilebilir.
Sıkça karşılaşılan tanımlardan bazıları şöyledir: Yöneylem araştırması, geçmiş
40 yıl boyunca yöneylem araştırması adı altında tanımlanmış problemler,
teknikler ve çözümlerden oluşan bir bütündür. Yöneylem araştırması, gerçekten
savaşmadan savaş kazanma sanatıdır. Yöneylem araştırması, karmaşık bir süreç
veya bir faaliyettir. Yöneylem araştırmasının ilk bilimsel açıklamalarının yer
aldığı bir kaynakta verilen tanım, kazınımızca en kapsamlı ve tatminkar olandır:
Yöneylem araştırması, bir sistemde ortaya çıkan problemlere, sistemin
denetlenebilir elemanları cinsinden bilimsel yöntem, teknik ve araçların
uygulanmasıyla en iyi çözümün bulunmasıdır([1]).

Belirgin yaklaşımı, sistemin şans ve risk faktörleri ölçülerini içeren ve
alternatif karar, strateji ve kontrollerin sonuçlarını karşılaştırmaya olanak
sağlamak olan yöneylem araştırması insan, makine, malzeme ve paradan oluşan
endüstriyel, ticari, resmi ve askeri sistemlerin yönetilmesi ve
yönlendirilmesinde karşılaşılan problemlere bilimsel yöntemin uygulanmasıdır.
Amacı, yönetime politika ve faaliyetlerini bilimsel olarak belirlemede yardımcı
olmaktır. Genellikle kıt kaynakların sınırlayıcı koşullar altında, insan-makine
sistemlerinin en iyi biçimde tasarlanması ve çalıştırılması konusunun bilimsel
yaklaşımla kararlaştırılmasıdır. Bu yaklaşımda tahmin, kontrol veya en iyiye
ulaşma amaçları ile sistemin sayısal modeli geliştirilir.

### 1.4. YÖNEYLEM ARAŞTIRMASININ METODOLOJİSİ

Yöneylem araştırması belli başlı altı adımdan oluşan bir karar alma sürecidir.

1\. Problemin belirlenmesi

2\. Sistemin gözlenmesi

3\. Problemin matematiksel modelinin geliştirilmesi

4\. Modelden çözüm elde edilmesi

5\. Modelin ve çözümün kanıtlanması

6\. Çözümün uygulanması ve yorumlanması

Bu adımların hepsi yöneylem araştırması çalışmasının başarılı veya başarısız
olmasında aynı derecede önemli olmakla birlikte, yöneylem araştırmasını ilgili
disiplinlerden farklı kılan nokta; fonksiyonlar, eşitlikler ve eşitsizliklerden
oluşan matematiksel modellerin geliştirilmesine imkan sağlaması ve bu modellerin
en iyi çözümlerini verecek tekniklere sahip olmasıdır. Bu nedenle bu iki adım
kitapta ağırlıklı olarak incelenecektir.

**Adım 1**: Yöneylem araştırmasının ilk adımı problemin ne olduğunu açıklığa
kavuşturmak başka bir deyişle, problemi belirlemektir. Problemin belirlenmesi
konusunda değişik kaynaklarda değişik açıklamalara rastlanmaktadır. Bir kaynakta
problemin belirlenmesi ve doğru biçimde formüle edilebilmesi için öncelikle
problemin saptanması, bunun sağlanabilmesi için her şeyden önce bir problemin
bulunması gerekir denilmektedir. Bu nedenle, bir problemin varlığından söz
edilebilmesi için gerekli koşulların bilinmesi zorunludur. Bu koşullar aşağıda
açıklanmıştır.

1\. İhtiyaçları veya ulaşmak istediği hedef ve amaçları bulunan bir birey ya da
topluluğun bulunması gerekir. Alınacak karar üzerinde kontrolü olan bu birey ya
da topluluğa "karar verici" denir.

2\. Karar vericinin amacına ulaşma sürecinde dikkate alması gereken birden fazla
eylem biçiminin veya stratejisinin bulunması gerekir.

3\. Belirlenen amaç için en uygun stratejinin ne olduğu konusunda bir kuşkunun
veya bir belirsizliğin söz konusu olması gerekir.

4\. Çözülmek istenen problemin ait olduğu sistemle ilgili olan ve sistemin içinde
bulunduğu bir çevre bulunmalıdır.

Kısaca, bir problemin varlığından söz edebilmenin ön koşulu bir karar vericinin
bulunmasıdır. Ayrıca, karar vericinin ulaşmak istediği bir amacının olması, bu
amaca ulaşmada izlenebilecek alternatif stratejilerin bulunması ve bu
stratejilerden hangisinin amacı gerçekleştireceği konusunda kuşku içinde
bulunması gerekir. Ancak bu koşullarda bir problem vardır denir. Problemi
formüle edebilmek için öncelikle bu elemanlar üzerinde duralım.

Bilindiği gibi karar verici, alternatif stratejiler arasından en uygun olanını
seçme konusunda karar verme yetkisine sahip bir birey ya da topluluğa verilen
genel bir isimdir.

Karar vericinin genellikle de birbirleriyle çatışan çeşitli amaçları olabilir.
Bazı amaçlar belirli parasal büyüklükler ile ilgilidir. Karar vericinin amacı
veya amaçları; kâr, kazanç veya çıktı gibi pozitif değerlerin en büyüklenmesi
veya maliyet, zarar, girdi gibi negatif sonuçların en küçüklenmesi olabilir.
Amaçların bazıları parasal değildir. Pazar payının korunması ve geliştirilmesi,
müşteri iyi niyetinin veya güvenliğin belirli bir derecede tutulması gibi.
Parasal olmayan amaçlar, gizli amaçlar olarak değerlendirilir.

Alternatif stratejiler veya karar seçimleri, sistemin karar vericinin kontrolü
altındaki yüzünü yansıtırlar. Sistemin karar vericinin kontrol edemediği bazı
özellikleri de vardır. Sahip olunan parasal kaynaklar, insan gücü, makine
kapasitesi, karar seçimleriyle ilgili maliyetler veya kazançlar gibi. Sistemin
dışındaki elemanlar; sunum ve istem eğilimi, yasal kurallar, rakiplerin alacağı
kararlar da karar vericinin kontrolü dışındadır. Sistemin kontrol edilebilir ve
edilemez elemanları arasındaki fark konusunda çok kesin ve açık görüşler yoktur.
Bunlar genellikle probleme göre belirlenir. Sözgelimi, ürün veya hizmet istemini
kontrol edilemeyen eleman olarak dikkate alan bir karar verici, istemin belirli
bir miktarı aşması durumunda fiyat indirimi, muafiyetten yararlanma ve destek
alma gibi olası nedenlerden dolayı istemi kontrol edilebilir bir eleman olarak
değerlendirebilir.

Yöneylem araştırması yaklaşımında, problem kapsamında değerlendirilmesi
gerektiği düşünülen herhangi bir büyüklükle ilgili olarak öncelikle "bununla
ilgili bir şey yapılabilir mi?" ve "amaçla ilgili mi?" sorularının yanıtlanması
gerekir. Soruların her ikisinin yanıtı da evet ise bu sorunun muhatabı olan
büyüklük problemle ilgilidir. Birinci sorunun yanıtı hayır, ikincininki evet ise
bu büyüklük problemin çevresi ile ilgilidir. Her iki sorunun yanıtı hayır
olduğunda, soruların muhatabı olan büyüklüğün problemle ilgisi yoktur.

Karar problemlerinin çoğu belirsizlik altında karar alma ile ilgilidir. Kararla
ilgili sistemin şimdiki ve gelecekteki çevresinin tüm koşulları veya
elemanlarının hepsi hakkında kesin bilgiler bulunmayabilir. Belirsizlik derecesi
problemlerin üç ana başlık altında incelenmesine imkan verir. Belirsizlik söz
konusu değilse veya göz ardı edilebilecek kadar önemsizse "belirlilik durumunda
karar alma" dan söz edilir. Belirlilik durumunda, her bir stratejinin bilinen
yalnızca bir sonucu vardır. Belirsizlik durumunda ise herhangi bir stratejinin
olası sonuçlarının sayısı en az ikidir. Her bir strateji seçimi sonucu
gerçekleşecek olan sonuçların olasılık dağılımlarının biliniyor olması durumunda
belirsizlik bir ölçüde azalır ve belirsizlik durumunda karar alma problemi risk
durumunda karar alma problemine dönüşür.

**Adım 2**: Yöneylem araştırmasının ikinci adımı sistemin gözlenmesi, yani
probleme etki eden parametrelerin alacağı değerlerin tahminlenmesidir. Bu amaçla
veri derlenmesi, bu adımın çok önemli bir kısmını oluşturur. Tahmin değerleri
sabit sayılar olarak işleme tabi tutulurlar ve matematiksel modelin
geliştirilmesinde kullanılırlar. Problem elemanlarının duruma en uygun biçimde
belirlenebilmeleri için sistem yaklaşımı kullanılır. Söz konusu yaklaşıma
geçmeden önce sistem kavramı üzerinde duralım. Sistem nedir?

*Sistem*: Her biri belirli bir görevi veya işlevi yerine getiren ve aşağıdaki
özelliklere sahip birbirleriyle ilişkili parçalardan veya alt sistemlerden
oluşan kümeye sistem denir.

1\. Her parça sistemin amaçlarına katkıda bulunur. Bu katkılar bir bütün olarak
sistemin amaçları ile ölçülürler.

2\. Her bir parçanın etkinliği en azından diğer bir parçanın katkısına bağlıdır.
Bir başka deyişle, hiçbir parçanın sistem üzerindeki etkisi diğer bir parçanın
etkisinden bağımsız değildir.

3\. Sistemi oluşturan alt grupların hepsi yukarıda açıklanan ilk iki özelliğe
sahiptir. Bu nedenle parçalar bağımsız alt sistemler şeklinde
değerlendirilemezler.

4\. Sistemin tamamen dışında kalan her şey sistemin çevresini oluşturur. Çevre,
sisteme girdi sağlama ve sistemden çıktı alma özelliğine sahiptir. Herhangi bir
analiz sırasında sistem olarak ele alınan bir bütün, başka bir analizde sistemin
çevresi veya bir alt sistemi hatta bir parçası olabilir.

*Sistem Yaklaşımı*: Probleme ilişkin tüm unsurların incelenerek problemin
anlaşılması ve belirlenmesine ilişkin bir bakış açısı olarak tanımlanabilir.

Bu tanımda problemin belirlenmesi için, ilgili sistem ve çevresinin tümüyle
dikkate alınması gerektiği vurgulanmaktadır.

**Adım 3**: Problemin tanımlanması ve sistemin incelenmesinden sonra diğer bir
önemli aşama problemin kolayca çözümlenebilecek bir yapıya oturtulması, yani
modelinin kurulması aşamasıdır.

Bu aşama yöneylem araştırması yaklaşımının özünü oluşturur. Model nedir?

*Model*: İncelenen bir sistemin veya problemin temel yapısının veya özünün
soyutlanmış şekli olarak tanımlanabilir.

Modeller yapılarına, kullanım amaçlarına, zamanla olan ilişkilerine, çözümleme
şekillerine, oluşum düzeylerine ve diğer bazı bakış açılarına göre
sınıflandırılmaktadır. Sözgelimi, zamanla olan ilişkilerine göre modeller
dinamik ve statik modeller olarak iki başlık altında incelenebilir. Yapıları
dikkate alındığında ise sınıflandırma, 1. Uyuşum (iconic) modelleri, 2. Benzeşim
(analog) modelleri, 3. Sembolik veya matematiksel modeller şeklindedir.
Matematiksel model belirlilik durumunda karar alma problemine ilişkinse
deterministiktir. Karar alma, belirsizlik veya risk durumunda
gerçekleştiriliyorsa model, olasılıksal veya stokastiktir. Modeller amaçlarına
göre genel amaçlı ve özel amaçlı modeller olmak üzere iki gruba ayrılırlar.
Model, problemin karar değişkenleri ve bu değişkenler arasındaki fonksiyonel
ilişkilerin yapısı hakkında yapılan belirli varsayımları gerçekleştiriyorsa
genel amaçlı, yapısı bakımından yalnızca incelenen probleme uygunsa özel
amaçlıdır. Genel amaçlı modellerin çoğu için özel çözüm teknikleri
geliştirilmiştir. Bu nedenle genel amaçlı modellere teknikler de denir. Bu
kitapta incelenen konular açısından bizi ilgilendiren modeller başta genel
amaçlı sembolik veya matematiksel modeller olmak üzere olasılıksal ve simülasyon
modelleridir. Yöneylem araştırmasının karar vermeye en önemli katkısı
matematiksel modelleri kullanmasıdır. Diğer modeller gibi matematiksel modeller
de süreç, işlem veya sistem gibi bir gerçeğin bazı önemli varlıklarının
matematik gösterimle açıklanmasından ibarettir. Bu modeller bir sistemin
anlaşılması ve kavranmasında diğer modellerden daha kullanışlıdır. Ayrıca, diğer
modellere göre daha çok işleme tabi tutulma ve çözümlenebilme olanağı sağlarlar.
İyi bir modelin sahip olması gereken bazı nitelikleri vardır. Bu niteliklerden
en önemli olanları aşağıda açıklanmıştır.

1\. *Basitlik*: Bir modelin sahip olması gereken en önemli özelliğidir. Basit
modeller derin matematik bilgisi gerektirmedikleri gibi daha kolay anlaşılırlar.
Bu nedenle, yalnızca sistemin işleyişi bakımından önemli olduğu düşünülen
elemanları kapsayan model kurulmasına özen gösterilmelidir.

2\. *Güçlülük*: Model, modellenen sistem hakkında sorulacak olan sorulara verdiği
yanıtların doğruluğu oranında güçlüdür.

3\. *Uyarlanabilirlik*: İyi bir model, girdi değerlerinin değişmesi durumunda
önceden elde edilmiş olan çözümün kolayca yenilenmesine imkan verir. Değişen
parametre değerleri değil modelin ta kendisi bile olsa, yürürlükteki çözüm bu
yeni duruma kolayca uyarlanabilmelidir.

4\. *Eksiksiz olma*: Modellenen sistemin önemli bütün özellikleri modelde
bulunmalıdır.

5\. *Bağlantı kurabilme*: Model girdileri kolayca değiştirilebilmeli, bu
değişiklikler karşısında sistemde ortaya çıkabilecek değişiklerin neler olduğu
konusundaki sorular kolayca yanıtlanabilmelidir.

Basitlik sağlamak için ihmal edilmeleri sakınca yaratabilecek sistem elemanları
ihmal edilmemeli, eksiksiz olmayı sağlamak içinse sistemin işleyişi bakımından
önemli olmayan elemanların dikkate alınmamaları uygun olur.

Bir matematiksel modelde, modellenen sistemin kontrol edilebilir özelliklerine
karar değişkenleri denir. Karar değişkenlerinin değerleri karar verici
tarafından belirlenmiş değerler kümesinden seçilir. Sistemin kontrol edilemeyen
özellikleri kontrol edilemeyen değişkenler olarak değerlendirilirler. Kontrol
edilemeyen bir değişken, rastgele veya bir olasılık dağılımının herhangi bir
parametresi ya da teknolojik ve maliyet sabiti olabilir. Her bir karar
değişkeninin karar vericinin amaçlarına yaptığı katkı etkinlik ölçüsü adı
verilen fonksiyonel bir ilişki ile açıklanır. Değişkenler arasındaki diğer
davranışsal ve teknolojik ilişkiler modelin kısıtlayıcılarını da sağlarlar.
Kısıtlayıcılar, fonksiyonlar, eşitlikler veya eşitsizlikler şeklinde belirirler.

*Etkinlik Ölçüsü*: Her bir strateji veya karar değişkenlerinin değerine karşılık
gelen bir sonuç vardır. Sonuç değeri karar verici tarafından belirlenen bir ya
da daha fazla sayıda özellikle tanımlanır. Karar vericinin ilgilendiği
özellikler, karar vericinin amaçları bakımından sistemin işleyişinin
açıklanmasında kullanılabilecek özelliklerdir. Özelliklere yalnızca bu konuda
değil, karar seçimleri üzerine konan kısıtlayıcıların gerçekleşip
gerçekleşmediklerinin belirlenmesi konusunda da ihtiyaç vardır. Böylece
alternatif stratejilerin ortaya konulmaları için gerekli olan özelliklerin
belirlenmesinde önemli olan faktörler, amaçlar ve kısıtlayıcılardır.

Amaçlar ve özellikler arasında bire-bir bir ilişki vardır. Sözgelimi, A’dan B’ye
doğru bir yolculuk yapmak istediğimizi düşünelim. Amaç A’dan B’ye en kısa sürede
ulaşmak ise "A’dan B’ye ulaşma zamanı", bu amacın gerçekleşip gerçekleşmediğini
kesin olarak ölçer. Bir başka örnek tanımlayalım. Hemen hemen bütün işletmeler
faaliyetlerini etkin bir biçimde sürdürebilmek için stok bulundururlar.
İşletmenin amacı "stok bulundurma sonucu ortaya çıkan maliyeti en küçüklemek"
olabilir. Bu durumda, önceki örnekten farklı olarak tek bir özelliğin değil stok
miktarı, stok ikmal zamanı, sipariş miktarı gibi özelliklerin dikkate alınması
gerekir.

Sistemin işleyişinin geliştirilmesi amacına yönelik olarak özellik belirleme
çabalarının sonuçsuz kalması da mümkündür. Bu durumlarda gerçek özellikler
yerine onları temsil ettikleri düşünülen temsili özelliklerin tanımlanması
gerekir.

Özellikler etkinlik ölçüsünün girdileridir. Karar vericinin gerçekleşmesini
istediği bir amacı (veya amaçları) varsa en iyilenmek durumunda olan etkinlik
ölçüsüne "amaç fonksiyonu" denir. Adından anlaşılacağı gibi amaç fonksiyonu
amacın sayısal formda bir fonksiyon olarak açıklanmasıdır. Bununla birlikte,
amaç fonksiyonunun sayısal formda açıklanması zorunlu değildir.

Alternatif stratejilerin sayısı yeterince küçükse, etkinlik ölçüsünün matris
veya tablo şeklinde açıklanması uygun olur. Tablonun (matrisin) giriş elemanları
olay ve stratejilerin her bir birleşimi sonucu ortaya çıkan sonuçların sayısal
değerlerini gösterir. Ortaya çıkması olası olayların sütunlarda, alternatif
stratejilerin satırlarda gösterildiklerini düşünelim. Buna göre her olay için
bir sütun, her strateji için bir satır olmak üzere matris aşağıdaki tabloda
gösterildiği gibidir. Tablo 1.1’de gösterilen bu matrise "karar matrisi" denir.
Belirlilik durumunda bir karar alma problemine ilişkin karar matrisinin tek bir
sütunu vardır. Çünkü ortaya çıkması muhtemel tek bir olay vardır veya her bir
strateji için tek bir sonuç söz konusudur. Belirsizlik durumunda olay sayısı en
az ikidir. Ortaya çıkması olası iki olay varsa, her bir strateji için iki sonuç
bulunur. Olayların gerçekleşmesi olasılıkları biliniyorsa problem belirsizlik
durumunda karar alma problemi olma özelliğini yitirir ve risk durumunda karar
alma problemine dönüşür.

##### Tablo 1.1

|          | Olay |     |     |     |     |     |
|----------|------|-----|-----|-----|-----|-----|
| Strateji | O1   | O2  | ... | Oj  | ... | On  |
| S1       | a11  | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| S2       | a21  | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| ..       | ..   | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Si       | ai1  | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| ..       | ..   | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Sm       | am1  | am2 | ... | amj | ... | amn |

Karar vericinin aynı anda gerçekleştirmek istediği birden fazla amacı olabilir.
Bu durumda etkinlik ölçüsünün her bir strateji için tek bir sayı olarak değil,
ölçülen her amaç için bir sayı karşılık gelmek üzere sayılar kümesi veya vektör
olarak açıklanması gerekir. Süreklilik durumunda olduğu gibi çok veya sınırsız
sayıda strateji varsa etkinlik ölçüsünün, karar değişkenleri arasındaki
fonksiyonel ilişkinin analitik olarak açıklanması yoluyla değerlendirilmesi daha
uygun olur.

Karar vericinin amaçları cinsinden herhangi bir stratejinin yararı veya değeri
sıklıkla parasal olarak açıklanır. Bu nedenle kârlar veya maliyetler etkinlik
ölçüsü için son derece doğal seçimler olurlar.

Sonuç değerlerinin parasal olarak açıklanamadığı durumlarla da karşılaşılır.
Sözgelimi, güvenliğin, eğlencenin, adaletin veya güzelliğin parasal değeri
nedir? Sayısal olmayan sonuçlar veren stratejilerin değerini ölçmek için sayısal
olmayan sonuçların sayısallaştırılması yöntemleri kullanılır.

Bir taraftan modelin kolayca işlenebilmesi için basit olması istenirken, diğer
taraftan gerçeğin en yakın temsilcisi olabilmesi için dikkatle hazırlanmış ve
yeterince kapsamlı olması beklenir. Modellerin basitliği bazı yaklaşıklamalarla
gerçekleştirilebilir. Hangi tip yaklaşıklamalar kullanılabilir?

1\. *Değişkenlerin ihmal edilmesi*: Sistemin amacı bakımından çok fazla önem
taşımayan veya diğer değişkenler gibi davranma eğiliminde olan değişkenler göz
ardı edilebilir. Herhangi bir değişkenin etkinlik ölçüsü üzerindeki etkisinin
önemi sezgisel olarak değil, değişik teknikler aracılığıyla belirlenmelidir. Bu
amaçla kullanılabilecek tekniklerin başlıcaları; varyans-kovaryans analizi,
korelasyon-regresyon analizi ve bazı istatistiksel önemlilik testleridir.

2\. *Değişkenlerin birleştirilmesi*: Sistemin işleyişi bakımından çok önemli
olmamakla birlikte ihmal edilmelerinin sakınca yaratacağı düşünülen
değişkenlerin tek tek değil birleştirilerek analiz edilmeleri uygun olur.

3\. *Değişkenlerin yapısının değiştirilmesi*: Aslında sürekli olan değişkenler
kesikli, kesikli değişkenler ise sürekli değişkenlere dönüştürülebilir.
Değişkenler sabitler olarak da işleme tabi tutulabilirler. Sözgelimi, herhangi
bir değişken yerine o değişkenin ortalaması kullanılarak çözüm yöntemi
basitleştirilebilir.

4\. *Değişkenler arasındaki ilişkinin yaklaşıklaması*: Değişkenler arasındaki
gerçek fonksiyonel ilişki yerine, gerçek duruma çok ters düşmeyen ve üzerinde
işlem yapmak daha kolay olan bir fonksiyonel ilişkinin kullanılması. Gerçekte
doğrusal olmayan bir ilişkinin doğrusal veya kuadratik (kareli) formla
açıklanması uygun olabilir.

5\. *Kısıtlayıcıların ihmal edilmesi*: Problemin çözümünü kolaylaştırmak için
problem önce kısıtlayıcılar dikkate alınmadan çözülür. Ulaşılan çözüm bazı
kısıtlayıcıları gerçeklemiyorsa gerçeklenmeyen kısıtlayıcılar probleme sonradan
eklenir.

6\. *Modellenen varlığın parçalara ayrılması*: Tüm sistemi kapsayan bir model çok
karmaşık olabileceğinden çözümü zor olabilir. Bu koşullarda problemi küçük alt
problemlere ayırarak alt problemleri çözmek, alt problemlerin çözüm sonuçlarını
birleştirerek orijinal problemin çözümüne ulaşmaya çalışmak uygun olur.

**Adım 4**: Problemin matematiksel olarak modellenmesinden sonra sıra modeli
çözmeye gelir. Modelin yapısına bağlı olarak en uygun çözüm tekniğinin
belirlenmesi önemlidir. Genel anlamda modelin çözümünden karar değişkenlerinin
amaç fonksiyonunu en iyileyen (en küçük veya en büyük yapan) değerlerinin
bulunması anlaşılır. Modellerin yapılarına göre geliştirilen çözüm teknikleri
şöyle sıralanabilir:

\- Analitik çözüm,

\- Ardışık sayısal çözüm,

\- Simülasyon ile çözüm,

\- Yordamlama yardımıyla çözüm.

\- Analitik çözüm: Problemin Lagrange çarpanları, diferansiyel ve integral
hesapları ile koşullu en iyi çözümünün bulunmasıdır. Analitik çözümde yalnızca
matemağin değil iktisat kuramının da temel kuralları kullanılır.

\- Ardışık sayısal çözüm: Fonksiyonların özelliklerinden dolayı veya modelin
geniş kapsamlı olması yüzünden analitik çözüm çok zor hatta olanaksız olabilir.
Bu koşullarda problemin en iyi çözümünün adım adım araştırılması uygun olur.
Belirli bir sıra içinde gerçekleştirilen matematiksel ve mantıksal işlemler
kümesine "algoritma" denir. En güçlü sayısal yöntemler belirli bir algoritma
esasında uygulanan yöntemlerdir. Algoritma, problemin uygun bir başlangıç
çözümüne uygulanır. Uygulama sonucunda başlangıç çözümünden daha iyi olan yeni
bir çözüm elde edilir. Bu kez bu yeni çözüm başlangıç noktası kabul edilerek
yeni bir çözüm elde edilmesine geçilir. Bir çözümden hareketle daha iyi olan bir
çözüme ulaşmayı sağlayan işlemler dizisine "iterasyon" denir. İterasyonlar
belirli koşulların sağlandığı durma noktasına ulaşılana dek sürdürülür. Durma
noktasına gelindiğinde problemin en iyi çözümüne ulaşılmış olabileceği gibi,
problemin uygun çözümünün bulunmadığı veya çözümün sınırsız olduğu
kararlaştırılabilir. Yöneylem araştırmasında kullanılan çözüm tekniklerinin çoğu
algoritma başlığı altındadır. Algoritmanın uygulanabilir bir yöntem olabilmesi
için şu özellikleri sağlaması gerekir.

1\. Her yeni çözüm kendisinden bir önce gelen çözümden daha gelişmiş bir çözüm
olmalıdır.

2\. Çözümler giderek bir en iyi çözüme yaklaşmalıdır.

3\. Belirli sayıda iterasyondan sonra en iyi çözüme ulaşılmasını sağlamalıdır.

4\. İterasyonlar az sayıda aritmetik işlem gerektirmelidir.

\- Simülasyon ile çözüm: Karar problemlerinin çözümünde kullanılan diğer bir
çözüm tekniği simülasyondur. Simülasyon, analitik yaklaşımla çözüme
ulaştırılamayan, karmaşık olasılıksal sistemlerin işleyişini açıklamak ve
kestirimlerde bulunmak amacıyla kullanılan bir istatistiksel örnekleme
tekniğidir. En önemli özelliği kontrol edilebilir olmasıdır.

\- Yordamlama yardımıyla çözüm: Yöneylem araştırmasının amacı en iyi çözümün
belirlenmesi olmakla birlikte zaman zaman tam sonuca ulaşmayı sağlayacak olan
matematiksel formülasyon çok karmaşık olabilir. Sonuçta en iyi çözüm elde edilse
bile gerekli işlemler uygulamayı imkansız kılacak kadar çok olabilir. Bu durumda
yordamlama yaklaşımıyla çözüm en uygun çözüm yöntemi olarak belirir. Yordamlama
yaklaşımı sezgiye veya bazı deneysel kanıtlara dayanan karar kuralları ile
belirli sayıda adımdan sonra en iyi olmasa da tatminkar bir çözümü verir.

**Adım 5**: Modelin kurulması ve çözülmesinden sonra, çözümü uygulamaya koymadan
veya rafa kaldırmadan önce gerçeğe uygunluğunun kanıtlanması gerekir. Çözümün
geçerliliği belli başlı iki yolla incelenebilir. Birinci yol, eldeki çözümü
geçmiş dönem verilerini kullanarak tekrarlamak, bu yolla elde edilen sonuçları
sistemin geçmiş dönem sonuçlarıyla karşılaştırmayı öngörmektedir. Eğer çözüm
sistemin geçmiş dönem sonuçlarını aynen veya daha olumlu bir biçimde sağlıyorsa,
modelin ve çözümün geçerli olduğu kabul edilir. Sistemin kullandığı aynı
girdilerle geçmiş sonuçları sağlayamayan model dolayısıyla çözüm geçerli
değildir. İkinci yaklaşım, çözümün sistemin gelecekteki davranışının dikkate
alınmasıyla test edilmesidir. Ancak burada bir nokta çok önemlidir. Gelecek
henüz gerçekleşmediğine göre çözümün test edilmesinde kullanılacak girdi
olmayacaktır. Bu tip sistemler için simülasyona baş vurulması uygun olur.

**Adım 6**: Çözümün geçerliliği kanıtlandıktan sonra hayata geçirilmesi gerekir.
Matematiksel çözüme ulaşan ekip, sonuçları uygulayacak olanlara uygulama
sürecini açık bir biçimde göstermeli ve uygulamada yardımcı olmalıdır.
Uygulamanın nasıl yapılacağı yöneylem araştırmacısı tarafından uygulayıcılara
bir rapor halinde sunulur. Uygulama planının açıklandığı rapor anlaşılır ve
basit olmalıdır. Özetlemek gerekirse, yöneylem araştırmacısı ile uygulayıcılar
arasında çok iyi bir haberleşme sistemi kurulmalıdır. Yöneylem araştırmasının
planlanmasında yukarıdaki altı temel aşama, genel anlamıyla yöneylem
araştırmasında izlenen bir modeldir. Bu aşamaların yukarıda belirtilen sıra
çerçevesinde ve eksiksiz uygulanması gerekir. Ancak yöneylem araştırmasının
kalıplaşmış bir dizi işlemlerden oluşmadığını, sürekli yenilendiğini, yeni buluş
ve tekniklerle daha da etkin bir yaklaşım olma yönünde hızla geliştiğini
belirtmeliyiz.

## BEŞİNCİ BÖLÜM

## TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMA

### 5.1. GİRiŞ

Doğrusal programlamanın bölünebilirlik varsayımı göz ardı edildiğinde, diğer
bütün varsayımlar aynı kalmak koşuluyla, doğrusal programlama tamsayılı doğrusal
programlamaya dönüşür. Kısaca tamsayılı programlama, model değişkenlerinden
bazılarının veya hepsinin tamsayı değerler alması koşulunu içeren bir
programlama türüdür. Problemin farklı fonksiyonları değişkenlerin tamsayı
değerleri için tanımlandıklarından, tamsayılı programlama aslında doğrusal
olmayan bir programlamadır. Bununla birlikte, değişkenlerin tamsayı olma koşulu
ihmal edildiğinde problem doğrusal programlama problemine eşdeğer oluyorsa,
tamsayılı programlama doğrusal programlama olarak ele alınabilir. Aksi halde,
doğrusal olmayan ilişkiler içeren bir problem söz konusu olur ki, çözüm için
doğrusal olmayan programlama çözüm yöntemlerinin uygulanması gerekir. Bu bölümde
tamsayı olma koşulu ihmal edildiğinde doğrusal programlamaya dönüşen tamsayılı
doğrusal programlama açıklanacaktır.

## 5.2. TAMSAYILI DOĞRUSAL PROGRAMLAMAYA GİRİŞ

Bütün değişkenleri tamsayı olan doğrusal programlamaya "tamamen tamsayılı
doğrusal programlama" denir. Tamamen tamsayılı programlamaya örnek olmak üzere
aşağıdaki modeli göz önünde bulunduralım.

Zenb = 3X1 + 6X2

4X1 + 3X2 ≤ 10

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

Yukarıdaki tamsayılı doğrusal programlama modeli ile buna karşılık gelen
doğrusal programlama modeli arasındaki tek fark, değişken değerlerinin tamsayı
olmasını ifade eden "X1, X2 tamsayı" ek koşuludur.

Değişkenlerden bazılarının tamsayı değerler alması durumunda "karma tamsayılı
doğrusal programlama" söz konusu olur. Sözgelimi, aşağıdaki problemde X2 tamsayı
olmadığından, problem karma tamsayılı doğrusal programlama problemidir.

Zenb = 3X1 + 2X2 + 4X3

X1 + X2 ≤ 4

X1 + 2X2 + X3 ≤ 6

X1, X2, X3 ≥ 0

X1, X3 tamsayı

Tamsayılı programlama problemlerinin çoğunda değişkenlerin bir kısmı veya hepsi
sıfır veya 1 değeri ile sınırlandırılır. Bunun nedeni, tamsayı karar
değişkeninin (Xi) genellikle bir faaliyetin yapılması (Xi = 1) veya yapılmaması
(Xi = 0) ile ilgili olmasıdır. Bu gibi durumlarda "sıfır-1 programlama" söz
konusu olur. Sıfır-1 programlama yalnızca değişkenlerin iki değerli olması
durumlarında değil, orijinal değişkenlerin küçük bir bölümünün ikiden çok değere
sahip olması durumlarında da kullanılır. Karar değişkenleri için ikiden çok
mümkün durum varsa bu değişkenler sıfır-1 sistemi ile tanımlanarak işlemlerde
büyük kolaylıklar sağlanabilir. Özellikle X tamsayı değişkenin değeri,

0 ≤ X ≤ U, (2N-1 \< U ≤ 2N)

şeklinde kısıtlanmış ise X değişkeninin uygun her bir değeri,

Xi =
![](media/20daeca2fcdf3ece9fcd47733d2b26f8.png)

olmak üzere tek bir şekilde gösterilebilir. Bağıntıdaki yi, sıfır veya 1
değerini alan çift değerli değişkendir. Bu nedenle, X değişkeni (N + 1) adet
çift değerli değişken içeren bu toplamla değiştirilebilir.

Tamsayı olma koşulu göz ardı edildiğinde ortaya çıkan programlamaya, tamsayılı
doğrusal programlamanın "doğrusal programlamaya gevşetilmiş biçimi" veya kısaca
"gevşek biçim" denir. Özetle, herhangi bir doğrusal tamsayılı programlama,
kendisine karşılık gelen gevşek biçimin tamsayı ve/veya sıfır veya 1 olma
koşulunu içeren halidir. Gevşek problem kendisine karşılık gelen tamsayılı
programlamadan daha az sayıda kısıt içerdiğinden daha esnektir. Bu nedenle,
gevşek problemin çözüm bölgesi, kendisine karşılık gelen tamsayılı problemin
çözüm bölgesini bütünüyle kapsar. Tamsayılı programlamanın en iyi çözümü ile
buna ilişkin gevşek biçimin en iyi çözümü arasındaki ilişki tamsayı
problemlerinin çözüm sonuçlarının incelenmesi bakımından çok önemlidir. Bu
ilişki, "herhangi bir en büyükleme amaçlı tamsayılı programlamanın amaç
fonksiyonunun en iyi değeri, kendisine karşılık gelen doğrusal programlamanın
amaç fonksiyonunun en iyi değerine eşit veya küçüktür" şeklinde özetlenebilir.
Bir başka deyişle, en büyükleme problemlerinde gevşek problemin en iyi çözümünün
Z değeri, tamsayılı programlama probleminin en iyi çözümü için üst sınırdır.
Problem en küçükleme amaçlı olduğunda bu ilişki, tamsayılı programlama
probleminin en iyi çözüm değeri kendisine karşılık gelen gevşek problemin en iyi
çözüm değerine eşit veya ondan büyük olur şeklinde açıklanır. Yani, en küçükleme
amaçlı tamsayılı programlama problemlerinde gevşek problemin en iyi çözümünün Z
değeri, tamsayılı problemin en iyi çözümü için alt sınırdır.

Tamsayılı programlama problemlerinin diğer özelliklerini açıklayabilmek
bakımından aşağıdaki basit problemi ele alalım. Burada amaç fonksiyonu,

Zenb = 10X1 + 8X2

kısıtlayıcı fonksiyon,

6X1 + 4X2 ≤ 15

negatif olmama koşulu,

X1, X2 ≥ 0

tamsayılılık koşulu,

X1, X2 tamsayı olarak verilmiş olsun.

Problemde iki değişken bulunduğundan çözümü grafik yöntemiyle belirleyelim.
Problemin grafik çözümü Şekil 5.1’de gösterilmiştir.

![](media/810f8548989e57f667e2b25ea07ec686.png)

Şekil 5.1

Gevşek biçimin uygun çözüm bölgesi Şekil 5.1’deki gri alan olup, en iyi çözüm;
X1 = 0, X2 = 3.75, Zenb = 30 olarak belirlenmiştir. Buna göre 30, tamsayılı
problemin en iyi çözümü için üst sınırdır. Şekil 5.1’den görüleceği gibi
tamsayılı programlamanın çözüm bölgesi doğrusal programlamanın çözüm bölgesinden
farklıdır. Doğrusal programlamanın çözüm bölgesi konveks iken, tamsayılı
programlamanın çözüm bölgesi bu konveks küme içinde bulunan sınırlı sayıdaki
noktadan oluşan bir alt küme durumundadır. Doğrusal programlamanın en iyi çözümü
konveks bölgenin uç noktalarından birinde belirirken, tamsayılı programlamanın
en iyi çözümü mümkün çözüm noktalarından birinde gerçekleşir. Tamsayılı
programlamanın en iyi çözümünün ortaya çıktığı noktayı bulmak için önce bu
noktaların belirlenmesi gerekir. Tamsayılı problemin çözüm bölgesinin Şekil
5.1’de () ile gösterilen 8 noktadan oluştuğu görülebilir. Bu noktaların
koordinatlarının belirlenmesiyle tamsayılı probleminin uygun çözüm kümesi,

S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (2, 0), (1, 1), (1, 2)}

olarak düzenlenir. Problemin en iyi çözümüne ulaşmak için her bir noktaya
ilişkin koordinatların amaç fonksiyonuna yerleştirilmesi ve fonksiyonun bu
noktalarda aldığı değerlerin hesaplanması gerekir. Problemin niteliğine göre,
amaç fonksiyonu değerini en büyük veya en küçük yapan nokta en iyi çözüm
noktasıdır. Hesaplanan Z değerleri, aşağıda gösterilmiştir.

Z(0, 0) = 10(0) + 8(0) = 0

Z(0, 1) = 10(0) + 8(1) = 8

Z(0, 2) = 10(0) + 8(2) = 16

Z(0, 3) = 10(0) + 8(3) = 24

**Z(1, 2) = 10(1) + 8(2) = 26**

Z(1, 0) = 10(1) + 8(0) = 10

Z(2, 0) = 10(2) + 8(0) = 20

Z(1, 1) = 10(1) + 8(1) = 18

Yukarıdaki sonuçlar incelendiğinde, tamsayılı programlamanın en iyi çözümüne (1,
2) noktasında ulaşıldığı görülebilir. Burada olduğu gibi, tamamen tamsayılı
programlamanın gevşek biçiminin çözüm bölgesi sınırlı ise, buna karşılık gelen
tamamen tamsayılı programlamanın uygun çözüm bölgesi sınırlı sayıda nokta içeren
bir kümedir. Kuramsal olarak, tamamen tamsayılı doğrusal programlamanın en iyi
çözümü, uygun çözüm noktalarının koordinatlarının amaç fonksiyonuna
yerleştirilmesiyle belirlenebilir. Ancak, gerçek tamsayılı programlamanın pek
çoğunda çok fazla uygun nokta bulunduğundan yerine koyma ile çözümün
uygulanabilir bir yaklaşım olduğu söylenemez.

Tamsayılı doğrusal programlamanın çözümünde kullanılan diğer bir yaklaşım şu
şekilde özetlenebilir. Önce tamsayılı doğrusal programlamayı gevşetmek,
böylelikle normal doğrusal programlama problemi haline gelen problemi çözmek ve
değişkenler için elde edilen ondalık sayıları tamsayı olacak şekilde
yuvarlamaktır. Yuvarlama ile çözüm bulma işlemini doğrusal programlama
gevşeğinin en iyi çözümü olarak belirlenen X1 = 0, X2 = 3.75 çözümüne
uygulayalım. X1 zaten tamsayı olduğundan yuvarlanması gerekmez. 3.75 için en
uygun tamsayı 4’dür. 3.75’in 4’e yuvarlanması durumunda (0, 4) olarak
belirlenecek olan çözümün uygun olmadığı (uygun çözüm bölgesinin dışında)
görüleceğinden, 3.75’in aşağıya doğru, yani 3’e yuvarlanması uygun olur. (0, 3)
uygun bir nokta olduğundan, buna ilişkin çözüm uygun bir çözümdür. Şimdi (0, 3)
çözümünün en iyi olup olmadığı üzerinde duralım. (0, 3) için Z = 24 olarak
hesaplanacaktır. Bu çözümün en iyi olmadığı (24 \< 26) görülebilir. Özetle
gevşek programlamanın tamsayı olmayan en iyi çözüm değerlerini yuvarlayarak
tamsayılı problemin en iyi çözümüne ulaşmak, özellikle küçük değerli
değişkenlerde, her zaman mümkün olmaz. Ayrıca, sıfır-1 programlamada yuvarlama
da söz konusu olamaz. Yuvarlama ile en iyi çözüme ulaşma, değişkenlerin çok
büyük değerli olmaları durumunda uygun olabilir. Yapılan açıklamaların ortaya
koyduğu gibi tamsayılı doğrusal programlamanın çözüm bölgesi, normal doğrusal
programlama çözüm bölgesinin bir alt kümesi olmakla birlikte, tamsayı
programlama problemini çözmek genellikle daha zordur.

## 5.3. TAMSAYILI PROGRAMLAMA İLE MODELLEME

Bu kesimde tamsayılı programlama problemlerinin nasıl formülleneceği örnek
problemlerle açıklanacaktır. Bu amaçla literatürde yaygın biçimde kullanılan ve
uygulamada sıkça ortaya çıkan bazı özel problemler ele alınacaktır. Bu
problemler; sermaye bütçeleme problemleri, sabit harcama problemleri, kapsayan
küme problemleri, sırt çantası problemleri, atama problemleri olarak
gruplandırılabilmektedir.

**Sermaye Bütçeleme Problemleri**: Kuruluşlar veya kişiler çok sık olarak
belirli sayıdaki seçenekler arasından bir veya birkaçının seçilmesi problemiyle
karşılaşırlar. Bu tip problemlerde genellikle, güvenilirlik, risk, gelir, net
bugünkü değer, büyüme vb. faktörler açısından farklılıklar gösteren
seçeneklerden hangilerine ne miktarda yatırım yapılırsa gelir en büyük veya risk
en düşük ya da güvenilirlik en yüksek olur sorularına yanıt aranır. Bu tip
problemlerin tamsayılı programlama problemi olarak değerlendirilmesine örnek
olması bakımından aşağıdaki problemi inceleyelim.

Örnek 5.1: Kâryap yatırım kuruluşu yatırım seçeneklerini Tablo 5.1’deki gibi
düzenlemiştir. Yatırımların net bugünkü değerleri (milyar TL) ile her bir
yatırımın gerektirdiği yatırım miktarları (milyar TL) aynı tabloda
gösterilmiştir. Her bir yatırım seçeneği en fazla bir kez değerlendirilmek
istenmektedir. Kuruluşun yatırım için ayırdığı parası 28 milyar TL’dir.
Kuruluşun amacı yatırımlarla ilgili toplam net bugünkü değeri (NBD) en
büyüklemektir. Problemin tamsayılı programlama modelini kurunuz.

Tablo 5.1

| Yat. Seçeneği | NBD | Yat. Miktarı |
|---------------|-----|--------------|
| 1             | 16  |  5           |
| 2             | 18  |  9           |
| 3             | 20  | 10           |
| 4             | 22  | 11           |

**Çözüm 5.1**: Doğrusal programlama modellemesinde olduğu gibi öncelikle karar
değişkenleri tanımlanmalıdır. Karar değişkenleri, kuruluşun almak zorunda olduğu
her bir karar için bir değişken tanımlayarak belirlenebilir. Bir yatırım
seçeneği seçilir veya seçilmez. Seçime ilişkin başka alternatif olmadığından,

Xi = 1 i (i = 1, 2, 3, 4) yatırım seçeneği seçilmişse

Xi = 0 i (i = 1, 2, 3, 4) yatırım seçeneği seçilmemişse

yazılabilir. Bu yolla, değeri ya sıfır veya 1 olan karar değişkenleri
tanımlanmış olur. Buna göre, problemin modeli sıfır-1 tamsayılı programlama
modeli olacaktır. Amaç toplam net bugünkü değeri en büyükleyecek yatırım planını
belirlemek olduğundan amaç fonksiyonu,

Z = Toplam Net Bugünkü Değer = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4

olmak üzere aşağıdaki gibi olur.

Zenb = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4

Xj = 1 ise, toplam net bugünkü değer eşitliği i yatırımının net bugünkü değerini
kapsar. Aksi halde, yani Xj = 0 ise, kapsamaz. Bu, hangi yatırım veya yatırımlar
seçilmiş olursa olsun eşitliğin yatırım planına ilişkin toplam net bugünkü
değeri vereceği anlamındadır. Sözgelimi, 1 ve 3 nolu yatırım seçeneklerinin
değerlendirilmesi durumunda, X1 = X3 = 1, X2 = X4 = 0 olacağından toplam net
bugünkü değer aşağıdaki gibi hesaplanır.

Toplam Net Bugünkü Değer = 16(1) + 18(0) + 20(1) + 22(0)

= 36 milyar TL

Kuruluşun elindeki nakit miktarı 28 milyar TL’dir. Amaç fonksiyonunun
formüllenmesinde olduğu gibi nakit miktarı aşağıdaki gibi yazılabilir.

Toplam yatırım Miktarı = 5X1 + 9X2 + 10X3 + 11X4

Sözgelimi, X1 = X2 = X3 =1 ve X4 = 0 ise kuruluş ilk üç seçeneği seçer ve

Toplam yatırım Miktarı = 5(1) + 9(1) + 10(1) + 11(0)

= 24 milyar TL

değerinde yatırım yapar.

En fazla 28 milyar TL’lik yatırım yapılabileceğinden, nakit kısıtlayıcısı
aşağıdaki gibi olur.

5X1 + 9X2 +10X3 + 11X4 ≤ 28

Amaç fonksiyonu, nakit kısıtlayıcısı ve "Xi = 0 veya 1" koşulunun
düzenlenmesiyle sıfır-1 programlama modeli, aşağıdaki gibi olur.

Zenb = 16X1 + 18X2 + 20X3 + 22X4

5X1 + 9X2 + 10X3 + 11X4 ≤ 28

Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, 3, 4)

Problemin en iyi çözümü, X1 = 1, X2 = 0, X3 = 1, X4 = 1 ve Zenb = 58 milyar TL
olarak belirlenmiştir. Buna göre, 1, 3 ve 4 nolu yatırım seçenekleri
değerlendirilecek ve 28 milyar TL bu seçenekler arasında sırasıyla, 5, 10 ve 11
olarak paylaştırılacaktır. Bu yolla toplam net bugünkü değerin en büyük olması
sağlanacaktır. En iyi çözüme 26 milyar TL harcayarak (tamsayı olma koşulu
yüzünden 2 milyar TL elde kalmıştır) ulaşıldığı görülebilir. Gevşek problemin en
iyi çözümü, X1 = 28, X2 = X3 = X4 = 0, Zenb = 89.6 milyar olarak belirlenmiştir.
Bu kez eldeki tüm paranın yatırıldığı görülebilir. Tamsayı olma koşulunun
problemi nasıl değiştirdiği, çözüm sonuçlarının karşılaştırılmasıyla belirgin
biçimde ortaya çıkmaktadır.

**Sabit Harcama Problemleri**: Sabit harcama problemleri, herhangi bir faaliyet
için katlanılan maliyetin, faaliyetin düzeyinden bağımsız olduğu durum
problemleridir. Karar vericinin herhangi bir hizmet için yer belirleme durumunda
olması halinde beliren problem de, sabit harcama problemi olarak
değerlendirilebilir. Burada yer belirlemeye konu olan bina, depo, ofis gibi
vasıtaların maliyetleri sabit harcamalar olarak düşünülebilir.

**Örnek 5.2**: Çeliktaş işletmesi üç farklı rulman üretmeyi planlamaktadır.
Rulmanların her birinin üretimi farklı özellikte makine ile
gerçekleştirilmektedir. İşletme rulman tipine uygun makineleri kiralamayı
düşünmektedir. Rulmanların her biri farklı işçilik zamanı ile farklı miktarda
alaşım gerektirmektedir. İşletmenin haftalık işçilik zamanı kapasitesi 40
saattir. Haftada 100 kg çelik alaşımı tedarik edilebilmektedir. Değişken birim
maliyet, kaynak gereksinmeleri, makine kiraları ve rulman satış fiyatları
aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Çözümü, toplam kârın en büyük olmasını
sağlayacak değişken değerlerini verecek olan modeli kurunuz.

**Tablo 5.2**

|   Rulman | Makine Kirası (TL) | Satış Fiyatı (TL) | Değişken Maliyet (TL) | Zaman (saat) | Alaşım (kg) |
|----------|--------------------|-------------------|-----------------------|--------------|-------------|
| A        | 20                 | 30                |  5                    |  2           | 6           |
| B        |  40                |  60               |  8                    |  3           |  9          |
| C        | 55                 |  85               | 10                    |  4           |  15         |

**Çözüm 5.2**: Her zamanki gibi öncelikle karar değişkenlerini tanımlayalım.
Problemin karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

X1 = A tipi rulman üretim miktarı

X2 = B tipi rulman üretim miktarı

X3 = C tipi rulman üretim miktarı

Kiralama maliyeti üretim miktarına değil, yalnızca üretilecek rulman tipine
bağlı olduğundan sabit maliyet olarak değerlendirilir. Bu nedenle kiralama
maliyetleri aşağıda tanımlanan değişkenlerle açıklanabilir.

y1 = 1 A tipi rulman üretiliyorsa, y1 = 0 A tipi rulman üretilmiyorsa,

y2 = 1 B tipi rulman üretiliyorsa, y2 = 0 B tipi rulman üretilmiyorsa,

y3 = 1 C tipi rulman üretiliyorsa, y3 = 0 C tipi rulman üretilmiyorsa,

Kısaca Xi \> 0 ise, yi = 1 ve Xi = 0 ise, yi = 0 olur. Bu tanımlamalardan sonra
işletmenin haftalık kârı aşağıdaki gibi açıklanabilir.

Kâr = Satış Geliri - (Değişken Maliyet + Kiralama Maliyeti)

Kârı (hafta bazında )oluşturan elemanlar aşağıdaki gibi formüllenir.

Kiralama Maliyeti = 20y1 + 40y2 + 55y3

Bu denklem, işletmenin ürettiği rulman çeşidinin gerektirdiği makine(lerin)
kirasını yansıtır. Sözgelimi, A tipi rulman üretiliyorsa; X1 \> 0, dolayısıyla
y1 = 1 ve C tipi rulman üretiliyorsa; X3 \> 0, dolayısıyla y3 = 1 olur. Bu
durumda A ve C tipi rulman üretimi sonucu haftalık kiralama maliyeti aşağıdaki
gibi olur.

Haftalık Kiralama Maliyeti = 20(1) + 40(0) + 55(1)

Haftalık Kiralama Maliyeti = 75 TL

Kiralama maliyeti, üretim miktarlarına bağlı olmadığından sabit maliyettir.
Sabit maliyetlerin model kurmayı zorlaştırdıkları unutulmamalıdır.

Haftalık Değişken Maliyet = 5X1 + 8X2 +10X3

Haftalık Satış Geliri = 30X1 + 60X2 + 85X3

saptamalarının ardından haftalık kâr (=Z), aşağıdaki eşitlikle ifade edilir.

Haftalık Kâr = (30X1 + 60X2 + 85X3) - (5X1 + 8X2 +10X3) - (20y1 + 40y2 + 55y3)

Hedef bu toplamın en büyüklenmesi olduğundan, amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi
olur.

Zenb = 25X1 + 52X2 + 75X3 - 20y1 - 40y2 - 55y3

Bu toplamın en büyüklenmesi, işletmenin üretim zamanı ve alaşım miktarı
kısıtlayıcı koşulları ile çevrelenmektedir.

Aşağıda gösterildiği gibi, üretim için ayrılan zaman (2X1 + 3X2 + 4X3) işçilik
zamanı kapasitesine (40 saat) eşit veya küçük olabilir.

2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 40

Üretim miktarlarını kısıtlayan diğer bir faktör alaşım miktarı olup, bu faktör
için düzenlenen kısıtlayıcı fonksiyon aşağıda gösterilmiştir.

6X1 + 9X2 + 15X3 ≤ 100

X1, X2, X3 değişken değerlerinin tamsayı oldukları ve yi = 0 veya 1 olduğunun
göz önünde bulundurulmasıyla, problemin modeli aşağıdaki gibi yazılır.

Zenb = 25X1 + 52X2 + 75X3 - 25y1 - 50y2 - 65y3

2X1 + 3X2 + 4X3 ≤ 40

6X1 + 9X2 + 15X3 ≤ 100

X1, X2, X3 ≥ 0

X1, X2, X3 tamsayı

y1, y2, y3 = 0 veya 1

Problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 11, X3 = 0, y1 = y2 = y3 = 0 ve Zenb = 572
olarak belirlenmiştir. En iyi olduğu belirlenen bu çözümün uygulanamayacağı
açıktır. Çünkü, y1 = y2 = y3 = 0 belirlemesi işletmenin makinesiz üretim yaptığı
anlamını taşır ki, bu mümkün değildir. Bu durumdan kurtulmak için yukarıdaki
modele, Xi \> 0 ise, yi = 1 koşulunun eklenmesi gerekir. Bu koşul basit bir hile
ile gerçekleştirilebilir. Şimdi bunu açıklayalım. M1, M2, M3 çok büyük pozitif
sayılar olsun. Buna göre,

X1 ≤ M1y1

X2 ≤ M2y2

X3 ≤ M3y3

eşitsizlikleri modele eklendiklerinde modelin çözümü Xi \> 0 ise, yi = 1
olmasını sağlayacaktır. Bunu açıklamak için ilk eşitsizliği inceleyelim. X1 \> 0
ise, y1 = 0 olamaz. y1 = 0 ise X1 \< 0 veya X1 = 0 olabilir. Buna göre X1 \> 0
ise, y1 = 1 olması, böylece amaç fonksiyonunun kiralama maliyetini içermesi
sağlanır. y1 = 1 olduğunda X1 ≤ M1y1 eşitsizliği X1 ≤ M1 eşitsizliğine dönüşür.
M1 çok büyük olduğundan, bu eşitsizlik X1’in değerini etkilemez. Eklenen
eşitsizliklerin değişkenlerin değerlerini etkilememesi için Mi değerlerinin
Xi’nin en büyük değerinden daha büyük seçilmeleri gerekir. Bunun için, gerek
zaman gerekse alaşım kapasitesinin tamamıyla yalnızca A veya yalnızca B ya da
yalnızca C tipi rulman üretildiği kabul edilir. Yalnızca A tipi rulman
üretildiğini düşünelim. Bu durumda, zaman kısıtı dikkate alındığında, A tipi
rulmandan en fazla 20 (= 40/2) adet, alaşım kısıtı dikkate alındığında, en fazla
16 (= 100/6) adet üretilebilir. Kısaca tüm kapasite ile A tipi rulmandan en
fazla 16 adet üretilebilecektir. Bu durumda, M1 = 16 seçilmesi, X1  0 ise y1 =
1 olması için yeterlidir. Benzer şekilde, X2 ve X3’ün en büyük değerleri
sırasıyla, 11 ve 6 olarak belirlenir. M1 = 16, M2 = 11, M3 = 6 belirlemesiyle
yeniden formüllenen problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 11, X3 = 0, y1 = 0, y2
= 1, y3 = 0, Zenb = 532 olarak elde edilmiştir. Görüldüğü gibi, X1 = 0 iken y1 =
0, X3 = 0 iken y3 = 0, X2 \> 0 iken y2 = 1’dir.

**Kapsayan Küme Problemleri**: Kapsayan küme problemlerinde biri diğerini
tamamiyle kapsayan iki küme söz konusudur. Bu tür problemlerde amaç, kapsama
konumunda olan kümenin eleman sayısının en küçük olmasını sağlamaktır. Kapsayan
küme problemleri havayolu uçuş programlaması, bölgelere ayırma, dağıtım
planlaması, yer seçimi gibi uygulama problemlerinin çözümünde kullanılmaktadır.

**Örnek 5.3**: Özel bir sağlık kuruluşu yedi yerleşim merkezinden oluşan bir
bölgeye acil servis istasyonları kurmak istemektedir. Kuruluş en az sayıdaki
servis istasyonuyla, normal koşullarda her bir yerleşim merkezine en fazla 15
dakikada ulaşmayı istemektedir.

Yerleşim merkezleri arasındaki sürüş zamanı aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.
Kurulması gereken istasyon sayısı ile bunların hangi merkezlere kurulacağının
belirlenmesinde kullanılacak tamsayılı programlama modelini kurunuz.

**Tablo 5.3**

| Yer. Mer.  | YM 1 | YM 2 | YM 3 | YM 4 | YM 5 | YM 6 | YM 7 |
|------------|------|------|------|------|------|------|------|
| YM 1       |  0   | 18   | 20   |  20  | 10   | 25   | 30   |
| YM 2       | 18   |  0   | 20   | 10   | 20   | 10   | 20   |
| YM 3       | 20   | 20   |  0   | 20   | 15   | 30   | 35   |
| YM 4       | 20   | 10   | 20   |  0   | 20   | 15   | 10   |
| YM 5       | 10   | 20   | 15   | 20   |  0   | 20   | 25   |
| YM 6       |  25  | 10   | 30   | 15   | 20   |  0   | 25   |
| YM 7       |  30  | 20   | 35   | 10   | 25   | 25   |  0   |

**Çözüm 5.3**: Kuruluş, 7 yerleşim merkezinin her biri için o merkeze istasyon
kurulsun mu kurulmasın mı kararı vermek zorundadır. Bu durumu göz önünde
bulundurarak aşağıdaki tanımları yapalım.

Xi = 1 i (i = 1, 2, 3, ..., 7) yerleşim merkezine istasyon kurulmuşsa

Xi = 0 i (i = 1, 2, 3, ..., 7) yerleşim merkezine istasyon kurulmamışsa

Bu tanıma göre acil servis istasyon sayısı aşağıdaki gibi elde edilecektir.

Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7

Amacın Z’yi en küçüklemek olduğu bellidir.

Problemle ilgili kısıtlayıcılar servis istasyonları arasındaki sürüş süresi ile
ilgilidir. Kısıtlayıcılar, bir yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık
uzaklıkta olan en az 1 servis istasyonu bulunmalıdır şeklinde açıklanabilir. 7
yerleşim merkezi bulunduğundan, 7 kısıtlayıcı fonksiyon yazılacaktır.
Kısıtlayıcıların yazılabilmesi için öncelikle, her bir yerleşim merkezine 15
dakikalık sürüş uzaklığında olan merkezleri belirleyelim. Birbirlerine 15
dakikalık sürüş uzaklığında bulunan merkezler Tablo 5.5’de gösterilmiştir.

**Tablo 5.5**

| Merkez | Merkezler  |
|--------|------------|
| 1      | 1, 5       |
| 2      | 2, 4, 6    |
| 3      | 3, 5       |
| 4      | 2, 4, 6, 7 |
| 5      | 1, 3, 5    |
| 6      | 2, 4, 6    |
| 7      | 4, 7       |

Buna göre birinci yerleşim merkezi için,

X1 + X5 ≥ 1

yazılır. Söz konusu eşitsizliğin X1 = X5 = 0 alternatifini ortadan kaldırdığı,
X1 veya X5’den en az birinin 1’e eşit olmasına imkan verdiği görülebilir. Bu
yolla birinci yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık sürüş uzaklığında olan en
az 1 istasyon bulunması sağlanmış olur.

Benzer şekilde ikinci yerleşim merkezi için,

X2 + X4 + X6 ≥ 1

yazılmasıyla, ikinci yerleşim merkezine en fazla 15 dakikalık sürüş uzaklığında
en az 1 acil servis istasyonu kurulması sağlanır.

Diğer yerleşim merkezleri için benzer kısıtlayıcıların yazılmasıyla problemin
sıfır-1 programlama modeli aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

Zenk = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 + X7

X1 + X5 ≥ 1 (YM 1 kısıtlayıcısı)

X2 + X4 + X6 ≥ 1 (YM 2 kısıtlayıcısı)

X3 + X5 ≥ 1 (YM 3 kısıtlayıcısı)

X2 + X4 + X6 + X7 ≥ 1 (YM 4 kısıtlayıcısı)

X1 + X3 + X5 ≥ 1 (YM 5 kısıtlayıcısı)

X2 + X4 + X6 ≥ 1 (YM 6 kısıtlayıcısı)

X4 + X7 ≥ 1 (YM 7 kısıtlayıcısı)

Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, ... , 7)

Problemin en iyi çözümü; X4 = X5 = 1, X1 = X2 = X3 = X6 = X7 = 0 ve Zenk = 2
olarak belirlenmiştir. Buna göre biri dördüncü, diğeri beşinci yerleşim
merkezine kurulacak iki servis istasyonu ile tüm yerleşim merkezlerinin servis
istemi karşılanmış olacaktır. Görüldüğü gibi problemde biri yerleşim
merkezlerinden, diğeri acil servis istasyonlarından oluşan iki küme söz
konusudur. İki servis istasyonunun bulunduğu küme kapsayan durumunda olup yedi
merkezin oluşturduğu kümeyi tamamiyle kapsamaktadır.

**Atama Problemleri**: Uygulamada karşılaşılan taşıma, aktarmalı taşıma, atama
ve benzeri dağıtım problemlerinde de karar değişkenlerinin tamsayı değerler
alması zorunludur. 3.8. kesimde açıklanan atama problemleri bu tür problemlerin
en önemlilerindendir. Bir atama probleminin sıfır-1 tamsayılı programlama olarak
modellenmesiyle ilgili basit bir örnek aşağıda verilmiştir.

**Örnek 5.5** : En kısa sürede tamamlanması gereken 4 farklı iş (1, 2, 3, 4) ile
bu işleri yapabilecek dört işçi (A, B, C, D) bulunmaktadır. İşçilerin
yetenekleri birbirlerinden farklı olup her bir işçinin her bir işi tamamlama
süresine ait değerler aşağıda gösterilmiştir. Amaç işlerin en kısa sürede
tamamlanmasını sağlayacak iş-işçi eşleşmesini belirlemektir. Atama modelini
kurunuz.

**Tablo 5.5**

|      | İş  |    |    |    |
|------|-----|----|----|----|
| İşçi | 1   | 2  | 3  | 4  |
| A    |  3  |  8 |  6 |  4 |
| B    |  10 |  6 |  7 |  9 |
| C    |  16 | 10 |  5 |  9 |
| D    |  7  |  8 | 10 |  6 |

**Çözüm 5.5**: Önce karar değişkenlerini tanımlayalım. Bir işçi dört işten
yalnızca birine atanacak, bir iş dört işçiden yalnızca biri tarafından
yapılacaktır. Hangi işçinin hangi işe veya hangi işe hangi işçinin atanmasının
toplam süreyi en kısa yapacağı belirlenmek istendiğinden karar değişkenleri
iş-işçi bire bir eşleşmesini sağlayacak biçimde aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Xij = 1 i (i = A, B, C, D) sembollü işçi j (j = 1, 2, 3, 4) nolu işe atanmışsa

Xij = 0 i (i = A, B, C, D) sembollü işçi j (j = 1, 2, 3, 4) nolu işe atanmamışsa

A sembollü işçiyi ele alalım. A, 1 nolu işi yaparsa XA1 = 1, XA2 = XA3 = XA4 = 0
olur. A, 2 nolu işe atanırsa; XA2 = 1, XA1 = XA3 = XA4 = 0 olur. A’nın 3 veya 4
nolu işlere atanması durumunda 3 nolu iş için; XA3 = 1 diğer değişkenler sıfır,
4 nolu iş için XA4 = 1, XA1 = XA2 = XA3 = 0 olur. A mutlaka bir işe atanmak
zorundadır. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle açıklanır.

XA1 + XA2 + XA3 + XA4 = 1

Benzer şekilde B, dört işten birini yapmak zorundadır. B’nin bir işe atanması
gerektiği koşulu aşağıdaki eşitlikle açıklanır.

XB1 + XB2 + XB3 + XB4 = 1

C ve D’nin de birer işe atanmasıyla ilgili olarak,

XC1 + XC2 + XC3 + XC4 = 1

XD1 + XD2 + XD3 + XD4 = 1

yazılmasıyla işçilerin atanmaları koşulları sağlanmış olur. Diğer taraftan her
iş mutlaka yapılmak zorundadır. 1 nolu işi ele alalım. Bu iş ya A ya B veya C ya
da D tarafından yapılacaktır. Buna göre birinci işin yapılması koşulu aşağıdaki
denklemle ifade edilir.

XA1 + XB1 + XC1 + XD1 = 1

Benzer şekilde diğer üç işin yapılmaları koşulu, her iş için bir eşitlik
yazılmasıyla aşağıdaki gibi elde edilecek, böylece kısıtlayıcıların düzenlenmesi
işlemi tamamlanmış olacaktır.

2 nolu iş için; XA2 + XB2 + XC2 + XD2 = 1

3 nolu iş için; XA3+ XB3 + XC3 + XD3 = 1

4 nolu iş için; XA4 + XB4 + XC4 + XD4 = 1

Amaç, işleri en kısa sürede tamamlamak olduğundan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi
formüllenir.

Zenk = 3XA1 + 10XB1 + 16XC1 + 7XD1 + 8XA2 + 6XB2 + 10XC2 + 8XD2 + 6XA3+ 7XB3

\+ 5XC3 + 10XD3 + 4XA4 + 9XB4 + 9XC4 + 6XD4

Böylece, problemin tüm değişkenleri yalnızca sıfır veya 1 değerini alan 0-1
tamsayılı programlama modeli kurulmuş olur. Problemin en iyi çözümü, XA1 = XB2 =
XC3 = XD4 = 1, Zenk = 20 olarak belirlenmiştir.

**Gezgin Satıcı Problemleri**: Tamsayılı programlama olarak formüllenen
problemlerden bir kısmı gezgin satıcı problemleri başlığı altında incelenir. Bu
tip problemlerde amaç, başlangıç yerleşim merkezine geri dönmek ve her merkeze
yalnızca bir kez uğramak koşuluyla birinci, ikinci, üçüncü, ... olarak hangi
merkezlere gidileceğinin planlanmasıdır. Tüm dikkat, gezi planının katedilen
yolun veya toplam gezi masraflarının ya da harcanan zamanın en küçüklenmesini
sağlaması üzerine yoğunlaştırılır. Gezi planının düzenlenebilmesi için gezi
güzergahı üzerindeki merkezler arasındaki uzaklıkların bilindiği varsayılır. i
ve j (i  j) herhangi iki merkez olmak üzere bunlar arasındaki uzaklık Cij ile
gösterilir. Cij = Cji veya Cij  Cji olabilir.

Başlangıç noktası 1 nolu yerleşim merkezi olsun. Satıcının i = 1, 2, ..., (n -
1) için seyahatini i’den i + 1’e ve n’den 1’e doğru olmak üzere planladığını
düşünelim. Bu plan "1, 2, ..., n; 1." olarak gösterilir. Plan; 1’den 2’ye, 2’den
3’e, ..., n’den 1’e geçildiğini açıklamaktadır. Görüldüğü gibi her bir merkeze
yalnızca 1 kez girilmekte, her merkez yalnızca bir ama bir kez terkedilmekte ve
tekrar başlangıç noktasına dönülmektedir. Burada olduğu gibi her merkeze bir
kere giren ve her merkezi bir kere terkeden sıralamaya "tur" denir. Tur kavramı
göz önünde bulundurulduğunda başlangıç yerleşim merkezinin önemsiz olduğu
görülecektir. Bununla birlikte anlatımı genelleştirmek amacıyla başlangıç
yerleşim merkezini 1 nolu merkez olarak sabitleyelim. 1 nolu merkezden yola
çıkan bir kişi kalan (n - 1) merkezden herhangi birine gidebilir. Yani, yola
çıkacak birinin gidebileceği (n - 1) sayıda merkez vardır. Bu merkezlerden
birine gelindiğinde kalan (n - 2) sayıda merkezden birine gidilebilir. Bu
durumda n merkezli gezgin satıcı problemlerinde mümkün turların sayısı (n - 1)(n
\- 2)...(2)(1) = (n - 1) dir.

Problem (n - 1)! sayıdaki turun listelenmesi yaklaşımıyla çözülebilirse de bu
yaklaşımın uygulanabilirliği seyahat güzergahı üzerindeki merkez sayısıyla
sınırlıdır. Sözgelimi n = 10 için listelenmesi gerekli tur sayısı 9! yani,
362880’e eşittir. Listelenmesi gereken tur sayısının büyüklüğü problemin
listeleme ile çözümünü imkansız kılmaktadır. Gezgin satıcı problemlerinin
tamsayılı programlama olarak formüllenmesi ve çözülmesi en uygun yaklaşımdır.

Bu tür problemlere sayısal örnek vermeden önce aşağıdaki genel tanımların
incelenmesi doğru olur.

**** (n - 1) sayıdaki mümkün turdan herhangi biri olsun. Bu tur için tamsayı
karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Xij = 1 i şehrinden j şehrine gidiliyorsa

Xij = 0 i şehrinden j şehrine gidilmiyorsa

Her tur bir atamadır. Tur olmayan atamalar da vardır. {(1, 2), (2, 1), (3, 4),
(4,3)}’ün bir atama olmakla birlikte tur olmadığı görülebilir. Tüm merkezleri
tarayan bu atamalar tek bir devre oluşturmamaktadır. Atama planı içinde {(1, 2),
(2, 1)} ve {(3, 4), (4,3)} olmak üzere iki alt tur bulunduğu görülebilir. Bu
açıklamalar çerçevesinde gezgin satıcının problemi aşağıdaki gibi formüllenir.

Zenk =
![](media/f9d8fb990fcf767479bf540522a8d211.png)

![](media/36a26fefb397711a10463c415ad0f1c0.png)=
1 j = 1, 2, ..., n

![](media/8c9d37a7aec0d6efcb215b97eab2aabe.png)=
1 i = 1, 2, ..., n

Xij = 0 veya 1 bütün i, j’ler için

X = (Xij) tur ataması

**Örnek 5.5**: Bir satış elemanının sorumlu olduğu dört şehir vardır. Satış
elemanı her ay bu dört şehre giderek satış işlerini kontrol etmek zorundadır.
Satış elemanının yaşadığı şehir (1) dahil 5 şehir arasındaki uzaklıklar
aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Satış elemanının gidiş faaliyetleri sırasında
katedeceği mesafenin en kısa olmasını sağlayacak gezi planını bulunuz.

**Tablo 5.6**

| ![](media/25e9ea0681605cb33906e1f47faa8f7c.png)j i  |   1 |   2 |   3 |   4 |   5 |
|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 1                                                                                                                                |    | 27  | 43  | 16  | 30  |
| 2                                                                                                                                | 7   |    | 16  | 1   | 30  |
| 3                                                                                                                                | 20  | 13  |    | 35  | 5   |
| 4                                                                                                                                | 21  | 16  | 25  |    | 18  |
| 5                                                                                                                                | 12  | 46  | 27  | 48  |    |

**Çözüm 5.5**: Önce karar değişkenlerini tanımlayalım. Karar değişkenleri satış
elemanının o anda bulunduğu şehirden sonra hangi şehre gideceği ile ilgili
olarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

Xij = 1 i’den hemen sonra j’ye gidilmişse

Xij = 0 i’den hemen sonra j’ye gidilmemişse

Xii = 0 olmak zorundadır. Xii’lerin sıfır olmasını sağlamak için Cii’ler çok
büyük pozitif sayılar olarak alınır. Büyük Cii değerleri tabloda  ile
gösterilmiştir.

Satış elemanının, 1 nolu şehirde bulunduğu herhangi bir turu incelemekte
olduğunu düşünelim. Satıcı 1 nolu şehirdeyse; 2, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden
birine gidebilir. Aynı anda birden fazla şehre gitmek mümkün olmadığından, 1
nolu şehirden ayrılma kısıtı olarak düzenlenen kısıtlayıcı fonksiyon aşağıda
gösterilmiştir.

X12 + X13 + X14 + X15 = 1

Satıcının 1 nolu şehirden ayrıldığını ve başka bir şehre ulaştığını düşünelim.
Bu durumda satıcı 2, 3, 4 veya 5 nolu şehirlerden birinde bulunur. Satıcının 2
nolu şehirde bulunduğunu düşünelim. Bu durumda satıcı 1, 3, 4 veya 5 nolu
şehirlerden birine doğru yola çıkacaktır. Bu koşul, 2 nolu şehirden ayrılma
kısıtı olarak, aşağıdaki eşitlikle açıklanır.

X21 + X23 + X24 + X25 = 1

Benzer şekilde 3, 4 ve 5 nolu şehirlerden yola çıkma kısıtları şöyle olur:

3 nolu şehir için; X31 + X32 + X34 + X35 = 1

4 nolu şehir için; X41 + X42 + X43 + X45 = 1

5 nolu şehir için; X51 + X52 + X53 + X54 = 1

Bu yolla her şehirden yalnızca bir kez ayrılma koşulu sağlanmış olur. Bir
şehirden ayrılmak için önce o şehre gitmiş olmak gerektiği açıktır.

Önce 1 nolu şehre dönüşü planlayalım. 1 nolu şehre 2’den, 3’den, 4’den veya
5’den gelinebilir. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle açıklanır.

X21 + X31 + X41 + X51 = 1

Şimdi de 2 nolu şehre geliş üzerinde duralım. Bu şehre, 1, 3, 4 veya 5 nolu
şehirlerden birinden gelinebilir. Bu koşul aşağıdaki eşitlikle ifade edilir.

X12 + X32 + X42 + X52 = 1

Benzer yaklaşımla 3, 4 ve 5 nolu şehirlere gelişlerle ilgili olarak yazılan
eşitlikler aşağıda gösterilmiştir.

3 nolu şehir için; X13 + X23 + X43 + X53 = 1

4 nolu şehir için; X14 + X24 + X34 + X54 = 1

5 nolu şehir için; X15 + X25 + X35 + X45 = 1

Beş tanesi her şehre bir kez gitme, beş tanesi de her şehirden bir kez ayrılma
koşuluyla ilgili olarak toplam 10 (= 2n) kısıtlayıcı fonksiyonun yazılması
tamamlanmış olur. Şimdi de amaç fonksiyonunu yazalım.

Zenk = MX11 + 27X12 + 43X13 + 16X14 + 30X15 + 7X21 + MX22 + 16X23 + 1X24 + 30X25
\+ 20X31 + 13X32 + MX33 + 35X34 + 3X35 + 21X41 + 16X42 + 25X43 + MX44

\+ 18X45 + 12X51 + 46X52 + 27X53 + 48X54 + MX55

Amaç fonksiyonunun düzenlenmesiyle gezgin satıcı problemi atama problemi olarak
modellenmiş olur. Modele Xij’lerin tur oluşturmaları gerektiği koşulunun
eklenmesiyle modelleme işlemi son bulur. Problem, 5.4. kesimde açıklanacak olan
dal-sınır tekniğiyle çözülmüş ve en iyi çözüm, X14 = X42 = X23 = X35 = X51 = 1,
Zenk = 65 olarak belirlenmiştir.

**Ya-Veya Kısıtlayıcıları**

Matematiksel programlama problemlerinde çok sık olarak değişkenlerin,

f(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0 5.1

g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0 5.2

kısıtlarından en az birini sağlayacak değerler alması garantilenmek istenir. Bu
durumu sağlamanın yolu problem formülasyonuna, aşağıdaki kısıtları eklemektir.

f(X1, X2, ..., Xn) ≤ My 5.1

g(X1, X2, ..., Xn) ≤ M(1 - y) 5.2

5.1 ve 5.2’de bulunan y, sıfır-1 değişken, M ise problemin diğer
kısıtlayıcılarını sağlayan Xi’ler için f(X1, X2, ..., Xn) ≤ M ve g(X1, X2, ...,
Xn) ≤ M olmasını garanti edecek büyüklüğe sahip bir sayıdır. Eklenen bu iki
kısıtlayıcı f(X1, X2, ..., Xn ) ≤ 0 ve g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0
kısıtlayıcılarından en az birinin gerçekleşmesini sağlayacaktır. 5.1 ve 5.2
ile açıklanan eşitsizliklerin modele dahil edilmesi 5.1 veya 5.2’den en az
birinin gerçekleşmesini sağlayacaktır. Çünkü, y = 0 veya y = 1’dir. y = 0 ise,

f(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0

g(X1, X2, ..., Xn) ≤ M

olur. Böylece, 5.1 ile açıklanan kısıtlayıcı gerçeklenir. y = 1 ise,

f(X1, X2, ..., Xn) ≤ M

g(X1, X2, ..., Xn) ≤ 0

olur, yani 5.2 eşitsizliği sağlanır. Kısaca y = 0 veya y = 1 olması 5.1 veya 5.2
ile açıklanan kısıtlayıcılardan en az birinin sağlanmasını garanti eder. Aşağıda
ya-veya kısıtlayıcılarının kullanıldığı bir örnek problem verilmiştir.

**Örnek 5.6**: Bir beyaz eşya fabrikası gelecek yıl için üretim planı
yapmaktadır. Fabrikada; buzdolabı, fırın ve çamaşır makinası üretilmektedir. Her
mamülün bir birim üretimi için gerekli olan zaman ve hammadde miktarları ile
birim kârları aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Planlama dönemi için eldeki
hammadde miktarı 22 ton, üretim zamanı ise 9000 saattir. Üretimin ekonomik
olabilmesi için, herhangi bir ürünün üretilmesi durumunda üretim miktarının
350’den az olmaması gerekmektedir. İşletmenin karını en büyükleyecek tamsayılı
programlama modelini kurunuz.

**Tablo 5.7**

|   Ürün           | Hammadde (kg) | Zaman (saat)  | Kâr (milyon TL) |
|------------------|---------------|---------------|-----------------|
| Buzdolabı        | 20            | 6             | 5               |
| Fırın            | 11            |  3            | 3               |
| Çamaşır Makinesi | 16            | 4,5           | 4               |

**Çözüm 5.6**: Her mamulden üretilecek miktarlar belirlenmek istendiğine göre,
karar değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlanabilir.

X1: Buzdolabı üretim miktarı

X2: Fırın üretim miktarı

X3 : Çamaşır makinesi üretim miktarı

Amaç üç ürün için toplam kârı, yani 5X1 + 3X2 + 4X3 toplamını en büyüklemek
olduğundan amaç fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanacaktır.

Zenb = 5X1 + 3X2 + 4X3

Üretimin ekonomik olması, herhangi bir mamulün üretilmesi durumunda, mamul
üretim miktarının en az 350 olmasına bağlıdır. O halde, i = 1, 2, 3 için ya Xi ≤
0 veya Xi ≥ 350 olmalıdır.

Bu koşul her mamul için ayrı ayrı aşağıdaki gibi yazılır.

1\. X1 ≤ 0 veya X1 ≥ 350

2\. X2 ≤ 0 veya X2 ≥ 350

3\. X3 ≤ 0 veya X3 ≥ 350

Hammadde miktarı ve çalışma zamanı kısıtlı olduğundan üretim miktarları
aşağıdaki kısıtlayıcı fonksiyonları sağlamalıdır.

4\. 20X1 + 11X2 + 16X3 ≤ 22000 (Hammadde kısıtlayıcısı)

5\. 6X1 + 3X2 + 4,5X3 ≤ 9000 (Zaman kısıtlayıcısı)

Ya-veya türündeki kısıtlarla ilgili açıklamalar çerçevesinde, yukarıda 1, 2 ve 3
ile numaralandırılmış ya-veya kısıtlayıcılarını oluşturalım. X1’den başlayalım.
X1 ≤ 0 veya X1 ≥ 350 olmasını sağlamak için aşağıdaki tanımları yapalım.

f(X1, X2, X3) = X1

g(X1, X2, X3) = 350 - X1

Bu tanımları kullanarak 1 nolu kısıtlayıcı fonksiyonu aşağıdaki kısıtlayıcı
fonksiyon çiftiyle değiştirelim. Bu işlemle elde edilen eşitsizlikler aşağıda
gösterilmiştir. y1 = 0 veya 1 olduğu unutulmamalıdır.

X1 ≤ M1y1

(350 - X1) ≤ M1(1 - y1)

Hem X1, hem de (350 - X1) değerlerinin M1’den küçük olmasını sağlayacak M1
değeri nedir? Bunun için yalnızca buzdolabı üretildiğini düşünelim. Bu durumda
hammadde miktarı 22 ton olduğundan en fazla 1100(= 22000/20) adet buzdolabı
üretileceği açıktır. Zaman kısıtı dikkate alındığında, bu rakam 1500 olur.
Özetle, M1 = 1100 olarak seçilmesi uygun olur. X1 = 1100 ise, X2 = X3 = 0 olur.

Benzer işlemlerin 2 nolu kısıtlayıcı için gerçekleştirilmesiyle elde edilen
eşitsizlikler sistemi aşağıda gösterilmiştir. y1 = 0 veya 1 ve M2 = 2000 olduğu
unutulmamalıdır.

X2 ≤ M2y2

(350 - X2) ≤ M2(1 - y2)

Benzer şekilde 3 nolu kısıtlayıcı fonksiyon yerine aşağıdaki eşitsizlikler çifti
yazılabilir.

X3 ≤ M3y3

(350 - X3) ≤ M3(1 - y3), y3 = 0 veya 1, M3 = 1375

Sonuçta, problemin tamsayılı programlama modeli aşağıdaki gibi olur.

Zenb = 5X1 + 3X2 + 4X3

X1 ≤ 1100y1

(350 - X1) ≤ 1100(1 - y1)

X2 ≤ 2000y2

(350 - X2) ≤ 2000(1 - y2)

X3 ≤ 1375y3

(350 - X3) ≤ 1375(1 - y3)

20X1 + 11X2 + 16X3 ≤ 22000

6X1 + 3X2 + 4.5X3 ≤ 9000

X1, X2, X3 ≥ 0

X1, X2, X3 tamsayı

y1, y2, y3 = 0 veya 1

Problemin en iyi çözümü, X2 = 2000, y2 = 1, X1 = X3 = y1 = y3 = 0, Zenb = 6
olarak belirlenmiştir.

İse-Olur Kısıtlayıcıları

Uygulamada sıkça karşılaşılan bir durum da, kısıtlayıcılardan birinin
gerçekleşmesinin başka bir kısıtlayıcının gerçekleşmesini sağlamasıdır. Bu
durum, f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 ise g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 eşitsizlikleri ile
açıklanır. Bu koşullarda dikkat edilmesi gerekli en önemli nokta, f(X1, X2, ...,
Xn) ≥ 0 eşitsizliğinin gerçekleşmemesinin, g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 koşulunun da
gerçekleşmemesine yol açmayacağıdır. f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 eşitsizliği
sağlanmazsa, g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 veya g(X1, X2, ..., Xn) \< 0 olabilir.
Burada amaç, f(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0 olması durumunda g(X1, X2, ..., Xn) ≥ 0
olmasını sağlayacak koşulların yaratılmasıdır.

Bu koşullar, problemin formülasyonuna 0-1 değerli y değişkeninin kullanıldığı ve
aşağıdaki gibi düzenlenen kısıtlayıcıların eklenmesiyle gerçekleştirilir.

\-g(X1, X2, ..., Xn) ≤ My 5.3

f(X1, X2, ....,Xn) ≤ M(1 - y) 5.4

Diğer bazı kısıtlayıcılarda olduğu gibi burada da M, problemin diğer
kısıtlayıcılarını gerçekleyen tüm X1, X2, ..., Xn değerleri için f ≤ M ve -g ≤ M
olmasını sağlayacak büyüklükte bir pozitif sayıdır. Modele eklenen
kısıtlayıcıları inceleyelim. f  0 ise 5.4’ün sağlanması için y = 0 olması
gerektiği görülebilir. Bu durumda 5.3, -g ≤ 0 veya g ≥ 0 olmak üzere arzulanan
sonucu sağlar. O halde f  0 ise, 5.3 ve 5.4, g ≥ 0 olmasını sağlar. Diğer
taraftan, f  0 eşitsizliği gerçekleşmiyorsa 5.4, y = 0 veya y = 1 olmasına
sebep olur. y = 1 olduğunu düşünelim. Bu durumda, 5.3 kendiliğinden sağlanır. f
 0 sağlanmıyorsa, X1, X2, ..., Xn değişkenlerinin değerleri sınırlandırılmamış
olduğundan g  0 veya g ≥ 0 durumlarının her ikisi de olabilir.

Bu kısıtlayıcıların uygulamalardaki kullanımını açıklamak için kapsayan küme
problemlerine örnek olarak verdiğimiz probleme dönelim.

**Örnek 5.7**: Örnek 5.4’deki probleme, 3 nolu merkeze istasyon kurulmuşsa 2 ve
5 nolu merkezlere istasyon kurulamaz kısıtını ekleyiniz

**Çözüm 5.7**: 3 nolu merkeze istasyon kurulmuşsa X3 = 1 olur. 2 ve 5 nolu
merkezler için kullanılan değişkenler X2 ve X5 olduğundan, eklenecek kısıtlayıcı
matematiksel olarak aşağıdaki gibi açıklanabilir.

X3 = 1 ise X2 = X5 = 0 olur 5.5

Xi sıfır-1 değişken olduğundan 5.5 ile açıklanan kısıt aşağıdaki gibi olur.

X3  0 ise X2 + X5 ≤ 0 veya -X2 - X5 ≥ 0 5.5

İse-olur kısıtlayıcıları ile ilgili açıklamalar doğrultusunda,

\-g(X1, X2, X3, X4, X5) = X2 + X5

f(X1, X2, X3, X4, X5) = X3

olarak tanımlandığında, 5.3 ve 5.4 nolu eşitsizliklerin kullanılmasıyla, 5.5
yerine y = 0 veya 1 olmak üzere aşağıdaki eşitsizlikler çifti konulabilir.

X2 + X5 ≤ My

X3 ≤ M(1 - y)

Hem -g hem de f’nin 2’den büyük olamayacağı dikkate alındığında, M = 2 seçiminin
uygun olduğu anlaşılır. M = 2 için,

X2 + X5 ≤ 2y

X3 ≤ 2(1 - y)

olarak belirlenen kısıtlayıcı fonksiyonlar modele yerleştirildiklerinde, 1 nolu
merkezin seçilmesi durumunda 2 ve 5 nolu merkezlerin seçilmemesi sağlanmış olur.

## 5.4. TAMSAYILI PROGRAMLAMA ÇÖZÜM YÖNTEMLERi

Tamsayılı doğrusal programlama problemlerinin çözümünde kullanılan belli başlı
yöntemler; dal-sınır algoritması ile Gomory kesme düzlemi algoritmasıdır.
Yöntemlerin her ikisi de doğrusal programlama için önerilen çözüm yöntemleri
üzerine kurulmuştur. Yöntemleri açıklamadan önce tamsayılı programlama
problemlerinin çözümü ile ilgili basit ama önemli bir konu üzerinde duralım.

Herhangi bir tamsayılı programlamanın gevşek biçiminin en iyi çözümünde tamsayı
olması istenen değişkenlerin hepsi tamsayı ise, bu çözüm tamsayılı
programlamanın da en iyi çözümü olur. Bu durumu aşağıdaki basit problemin çözümü
üzerinde gösterelim.

Zenb = 8X1 + 12X2

X1 + X2 ≤ 3

X1, X2 ≥ 0,

X1, X2 tamsayı

Gevşek problemin en iyi çözümü, X1 = 0, X2 = 3, Zenb = 36 şeklinde
belirlenmiştir. Gevşek problemin uygun çözüm bölgesi Şekil 5.2’de OAB üçgen
alanıyla, tamsayılı problemin çözüm noktaları ise () ile gösterilmiştir. Bu
noktaların koordinat değerlerini kullanarak tamsayılı programlamanın en iyi
çözümüne ulaşmaya çalışalım.

Şekil 5.2’den görüldüğü gibi, tamsayılı problemin çözümü olabilecek çözüm
noktaları şunlardır:

(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (2, 0), (3, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1).

Amaç fonksiyonuna en büyük değeri (Zenb = 36) kazandıran A(X1 = 0, X2 = 3),
tamsayılı problemin en iyi çözümüdür. Böylece, herhangi bir tamsayılı doğrusal
programlamanın gevşek biçiminin en iyi çözümünde tamsayı olması istenen
değişkenler tamsayı iseler, bu çözüm tamsayılı doğrusal programlama probleminin
de en iyi çözümüdür açıklaması kanıtlanmış olur.

![](media/42fcbea1343786ac9304e4c90b56bcfa.png)

**Şekil 5.2**

### 5.4.1. Dal-Sınır Algoritması

Dal-sınır algoritması hem tamamen tamsayılı hem de karma tamsayılı programlama
problemlerinin çözümünde kullanılabilen genel bir yaklaşımdır. Tamsayılı
programlama problemlerinin çözümünde kullanılan bilgisayar paket programlarının
çoğunda bu yaklaşım esas alınmıştır. Dal-sınır yöntemi, tamsayılı uygun
çözümlerin hepsinin sistematik biçimde listelendiği etkin bir yöntemdir.

Bilindiği gibi, tamsayılı problemlerin çözümünde kullanılabilecek pratik bir
yaklaşım, problemin doğrusal programlamaya dönüştürülmüş şeklini çözmek, çözüm
sonucu tamsayı olmayan değerleri yuvarlamak, yani tamsayıya dönüştürmektir. Bir
an için tamsayı olması istenen X1, X2 değişkenleri için, 2.5 ve 5.4 değerlerine
ulaştığımızı düşünelim. Bu durumda tamsayı çözüm için (2, 5), (2, 6), (3, 5),
(3, 6) olmak üzere dört seçenek vardır.

X1’in gerçek en iyi tamsayı çözümü bu aday çözümlerden hiçbirine karşılık
gelmeyebilir. X1 için 2’den küçük veya 3’den büyük olan tamsayı çözüm elde
edilebilir. X1 için tamsayı en iyi çözüm, X1 ≤ 2 veya X1 ≥ 3 koşulunu
sağlamalıdır. Benzer şekilde X2’nin gerçek en iyi tamsayı çözümü, X2 ≤ 5 veya X2
≥ 6 olabilir.

Dal-sınır algoritmasının esaslarını sayısal bir örnek üzerinde açıklayalım.

**Örnek 5.8**: Aşağıdaki problemi dal-sınır algoritmasıyla çözünüz .

Zenb = 7X1 + 3X2

3X1 + 2X2 ≤ 13

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

**Çözüm 5.8**: Dal-sınır algoritmasının ilk adımı tamsayılı problemi gevşetmek
(tamsayı olma koşulunu göz ardı etmek) ve bu problemin en iyi çözümünü
bulmaktır. Problemin normal doğrusal programlamaya dönüştürülmüş biçimi alt
problem 1 (AP-1) olarak isimlendirilir. AP-1’in en iyi çözümünde tamsayı olması
istenen değişkenler tamsayı iseler, bu çözüm tamsayı problemin de en iyi çözümü
olur. AP-1 için en iyi çözüm, X1 = 4.33, X2 = 0, Zenb = 30.333 (bkz. Şekil 5.3)
olarak elde edilmiştir.

![](media/497a4e821fd61a5e6ab36aaf938bc3e1.png)

**Şekil 5.3**

AP-1’in en iyi çözümü tamsayılı olmadığından dal sınır algoritmasıyla orijinal
problemin en iyi çözümü bulununcaya kadar çözüm bölgesinin düzenlenmesine devam
edilir. Daha önce açıklandığı gibi, en büyükleme amaçlı bir tamsayılı problemin
en iyi Z değeri ile gevşek biçiminin en iyi Z değeri arasında,

**Tamsayılı programlamanın en iyi Z değeri ≤ Gevşek Biçimin en iyi Z değeri**

eşitsizliği ile açıklanan bir ilişki vardır.

Bu ilişki, bu tamsayılı problemin amaç fonksiyonunun en büyük değerinin
30.333’den büyük olamayacağını açıklamaktadır. Bu durumda, 30.333 tamsayılı
programlama probleminin en iyi çözümü için üst sınır kabul edilir. Algoritmanın
ismindeki sınır sözcüğü buradan gelmektedir.

Yöntemin yeni adımı, gevşek problemin çözüm bölgesini parçalara ayırmaktır. Bu
yolla tamsayılı problemin en iyi çözümünün araştırılacağı alan küçültülmüş olur.
Parçalama işleminde, tamsayı olması istenen ama tamsayı olmayan değişkenlerin
seçilmesi esastır. Gevşek biçimin en iyi çözümünde X2 tamsayı olduğundan,
parçalama işlemi için tamsayı olmayan X1’in seçilmesi gerekir. X1’in tamsayı
olmayan (4.333) çözüm değerine en yakın iki tamsayı 4 ve 5’dir. Tamsayılı
programlamanın çözüm bölgesindeki her nokta X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 koşulunu
sağlamalıdır. Bu ikiye ayırma koşulu dallanma kavramının öne çıkmasına neden
olur. X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 şeklindeki parçalama işlemi 4.333 değerine ikinci kez
rastlama şansını ortadan kaldırır. Kısaca, X1 ≤ 4 veya X1 ≥ 5 belirlemesiyle,
yani X1’in dallandırılmasıyla gevşek biçimin çözüm bölgesi iki parçaya ayrılmış
olur. Parçalar aşağıda tanımlanmış olan farklı alt problemlere karşılık gelir.

AP-2: AP-1 + X1 ≤ 4

AP-3: AP-1 + X1 ≥ 5

Özetle AP-1, biri AP-2 diğeri AP-3 olmak üzere iki problemle yer değiştirmiştir.
Ne AP-2 ne de AP-3 X1 = 4.333 değerini içerir. Şekil 5.4’de gösterildiği gibi
gevşek biçimin en iyi çözümü bir daha ortaya çıkamaz.

![](media/d4387d22e3c13d9fb7c4e8fbc2dc19e2.png)

**Şekil 5.4**

Orijinal problemin en iyi çözümü ya AP-2’de veya AP-3’dedir. Dolayısıyla bu
problemler çözülmelidir. Önce hangi alt problemin çözülmesi gerektiği konusunda
genel bir kural bulunmamakla birlikte eğilim, en yeni alt problemin seçilmesi
yönündedir. Bu nedenle önce AP-3’ü çözelim. Şekilden görüldüğü gibi, AP-3’ün
çözüm bölgesi ile AP-1’in çözüm bölgesinin hiçbir ortak noktası olmadığından
AP-3’den elde edilecek herhangi bir çözüm uygun olmayacaktır. Bu nedenle,
AP-3’den hareketle belirlenecek bir çözüm en iyi olamaz. Bunu ifade etmek için
uygun çözümü olmayan alt problemler  ile işaretlenir (bkz. Şekil 5.5). AP-3’ün
dallandırılması tamsayı çözüm hakkında bilgi sağlamayacağından, bundan sonraki
işlemlerde AP-3’ün dikkate alınmasına gerek yoktur. AP-2’ye geçelim. AP-2’nin en
iyi çözümü; X1 = 4, X2 = 0.5 ve Zenb = 29.5 olarak belirlenmiştir.

Şu ana kadar yapılanlar Şekil 5.5’de özetlenmiştir. Görüldüğü gibi her bir alt
probleme bir düğüm, alt problem yaratmada kullanılan her bir kısıtlayıcıya bir
dal karşılık gelmektedir. Bir alt problemi diğerinden ayıran kısıtlayıcı, ilgili
alt problemler arasındaki dal üzerine yazılmaktadır. Ayrıca alt problemlerin
hangi sırada çözüldükleri düğümlerin yan taraflarına t = sıra no şeklinde
belirtilmektedir.

![](media/a9d1b6909bf4f41140767c314c201697.png)

**Şekil 5.5**

AP-2’nin en iyi çözümünde; X2 tamsayı olmadığından, X2 dallandırma değişkeni
olur. Dallandırma ile AP-2’nin uygun çözüm bölgesi, X2 ≤ 0 ve X2 ≥ 1 noktalarını
kapsayan iki bölgeye ayrılır.

Bu yolla yaratılan yeni problemler (AP-4 ve AP-5) aşağıda ve bunların çözüm
bölgeleri Şekil 5.6’da gösterilmiştir.

AP-4: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≤ 0 = AP-2 + X2 ≤ 0

AP-5: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 = AP-2 + X2 ≥ 1

Çözülmemiş problemler AP-4 ile AP-5’dir. Çözüm için en yeni olan AP-5
seçilecektir.

![](media/a77a112e243e55e2705c5a75a7f78f38.png)

**Şekil 5.6**

AP-5’in en iyi çözümü; X1 = 3.667, X2 = 1 ve Zenb = 28.667’dir.

Alt problemler ve çözüm sonuçları Şekil 5.7’de gösterilmiştir.

![](media/1f70e30cc9e11c28f05dfeb1571fc86f.png)

**Şekil 5.7**

AP-5’in çözümünde X1 tamsayı olmadığından, (X1 = 3.667) AP-4’ü çözmeden önce X1
dallandırılır. X1 ≤ 3’le belirlenen AP-6 ve X1 ≥ 4’le belirlenen AP-7 aşağıda
gösterilmiştir.

AP-6: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 + X1 ≤ 3 = AP-5 + X1 ≤ 3

AP-7: AP-1 + X1 ≤ 4 + X2 ≥ 1 + X1 ≥ 4 = AP-5 + X1 ≥ 4

AP-6 ve AP-7’nin uygun çözüm bölgeleri Şekil 5.8’de gösterildiği gibidir.

![](media/26eba9ad329e27a5053a61119d514301.png)

**Şekil 5.8**

İkisi yeni (AP-6 ve AP-7), diğeri önceden tanımlanmış ve hala çözülmemiş olan
(AP-4) üç alt problem vardır. Yukarıda açıklandığı gibi alt problemlerin
çözümüne en yeni olandan başlanır. En yeni olanlar arasından seçim rastgele
yapılır. Biz AP-6’yı seçelim. AP-6’nın en iyi çözümü X1 = 3, X2 = 2 ve Zenb = 27
olarak belirlenmiştir (bkz. Şekil 5.9). Çözümde değişkenler tamsayı
olduklarından AP-6’dan sağlanan çözüm tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya
adaydır. Z’nin 27 olarak belirlenen değeri, bundan sonra çözülecek alt
problemlerin Z değerleri için bir alt sınır oluşturur. Yani, bu aşamadan sonra
elde edilecek bir çözümün en iyi olabilmesi için Z değeri en az 27’ye eşit
olmalıdır.

Çözülmemiş iki alt problemin daha bulunduğu bu aşamada, son giren ilk çıkar
kuralı doğrultusunda, AP-7 seçilmelidir. AP-7’nin çözümü uygun olmadığından,
çözülmemiş tek alt problem olan AP-4’e geçilir. AP-4’ün en iyi çözümü X1 = 4, X2
= 0 ve Zenb = 28 olarak belirlenmiştir. Bu çözüm de (değişkenler tamsayı
olduğundan) tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya adaydır. Ayrıca AP-4 için
belirlenen Z = 28 değeri AP-6 için belirlenen çözümün en iyi olmadığına işaret
etmektedir. İki aday çözümün belirlendiği bu problemde en büyük Z değerini veren
çözüm AP-4’ün çözümüdür.

Tüm alt problemler ve çözümleri Şekil 5.9’da özetlenmiştir.

![](media/addab61788593203912b47623ced7714.png)

**Şekil 5.9**

Dal sınır algoritmasını bir kez de bir sıfır-1 programlama problemi üzerinde
açıklayalım. Sıfır-1 programlamada her değişken ya sıfır veya 1’e eşit
olduğundan, değişken dallandırılması Xi = 1 ve Xi = 0 şeklindedir. Bu özellik,
yöntemin uygulanmasında büyük kolaylık sağlar. Öyleki, problemin doğrusal
programlama gevşeği dahil tüm alt problemleri ve bu problemlerin çözümleri basit
bir incelemeyle belirlenebilirler.

Bu açıklamalar doğrultusunda aşağıdaki sırt çantası problemini çözelim.

**Örnek 5.9**: Otostopçu bir genç taşıma kapasitesi 5 kg olan bir sırt çantasına
ağırlıkları farklı 4 eşyayı yerleştirmek istemektedir. Her eşyanın birim
ağırlığı (kg) ve sağladığı kazanç aşağıdaki gibidir. Buna göre 5 kg’lık sırt
çantasına hangi eşyalar yerleştirildiğinde toplam kazanç en büyük olur.

**Tablo 5.8**

| Eşya No | Ağırlık  | Kazanç |
|---------|----------|--------|
| 1       | 3        | 20     |
| 2       | 2        | 16     |
| 3       | 2        | 10     |
| 4       | 1        | 8      |

**Çözüm 5.9**: Çözüme geçmeden önce problemin sıfır-1 programlama modelini
kuralım. Kurulan model aşağıda gösterilmiştir.

Zenb = 20X1 + 16X2 + 10X3 + 8X4

3X1 + 2X2 + 2X3 + X4 ≤ 5

Xi = 0 veya 1 (i = 1, 2, 3, 4)

Ürün kazanç değerleri incelendiğinde akla ilk gelen, çantaya en önce kazanç
değeri en büyük olan 1 nolu eşyayı yerleştirilmektir. Ancak, ağırlıkları göz
ardı edip yalnızca kazançların dikkate alınmasıyla gerçekleştirilecek bir
yerleştirme planı en iyi olmayabilir. Kazanç ile ağırlık arasında bir ilişki
kurmak, yerleştirme planını bu ilişki bazında oluşturmak uygun olur. Amaç
fonksiyonu katsayıları Ci, kısıtlayıcı fonksiyon katsayıları ai olmak üzere i
nolu eşyadan beklenen fayda (Ci / ai) olarak açıklanabilir. Fayda katsayısı en
büyük olan eşya çantaya ilk yerleştirilecek olandır. Çantada kalan boş yer
kapasitesine bağlı olarak sırasıyla fayda katsayısı ikinci, üçüncü, dördüncü
sırada olan eşyalar yerleştirilir. Gevşek problemi bu açıklamaları kullanarak
çözelim. Önce fayda katsayılarını hesaplayalım ve eşyaları fayda katsayılarının
büyüklüğüne göre sıralayalım. Fayda katsayıları ve eşyaların önem dereceleri
Tablo 5.9’da gösterilmiştir. Tablodan görüldüğü gibi 2 ve 4 nolu eşyaların
sıralama dereceleri 1.5’dir. Bunun nedeni, bu eşyaların fayda katsayılarının
eşit olması sonucu, sıralama derecelerinin 1 ile 2’nin ortalaması olarak
alınmasıdır.

**Tablo 5.9**

|   Eşya | Fayda Ci /ai  | Sıralama  (1 = En iyi, 4 = En kötü) |
|--------|---------------|-------------------------------------|
| 1      | 20/3          | 3                                   |
| 2      | 16/2          | 1.5                                 |
| 3      | 10/2          | 4                                   |
| 4      | 8/1           | 1.5                                 |

Sıra değerleri incelendiğinde, yerleştirilecek ilk eşyanın eşit sıralama
katsayılı, yani faydaları aynı olan 2 veya 4 nolu eşya olduğu görülecektir. Eşya
2 seçilmiş olsun. Bu durumda X2 = 1 olur. Bu eşyanın yerleştirilmesiyle çantada
3 kg’lık boş yer kalır. Bu durumda orijinal problem, 3 kg taşıma kapasiteli
çantaya 1, 3 ve 4 nolu eşyaların yerleştirilmesi problemine dönüşmüş olur.
Sıralamada 2 nolu eşya ile aynı yeri paylaşan 4 nolu eşyanın ağırlığı 1 kg
olduğundan çantaya yerleştirilen ikinci eşya 4 nolu olandır. Bu durumda X4 = 1
olur. 2 ve 4 nolu eşyaların yerleştirilmesinden sonra çantada 2 kg’lık boş yer
kalır. Sıralamada 3. sırada bulunan eşya 1’in ağırlığı 3 kg olduğundan X1 = 2/3
olur. 3 nolu eşya için yer kalmamıştır (X3 = 0) . Böylece tamsayı olmayan en iyi
çözüm; X1 = 2/3 , X2 = 1, X3 = 0, X4 = 1 ve Zenb = 37.333 olarak belirlenmiş
olur. Tamsayı olmayan bu çözümün, gevşek formun en iyi çözümü olduğu
unutulmamalıdır. Tamsayılı en iyi çözüme ulaşmak için X1 dallandırılmalıdır. X1
= 0 veya 1 olduğundan, dallandırma X1 = 1 ve X1 = 0 şeklinde yapılır.
Dallandırmayla belirlenen problemler ve çözüm sonuçları Şelil 5.10’da
gösterilmiştir.

![](media/a1761c700f4f0317172a36086015be33.png)

**Şekil 5.10**

Şekilden görüldüğü gibi, sıfır-1 tamsayılı problemin en iyi çözümü üçüncü sırada
çözülen AP-3’den elde edilmiştir.

Bilindiği gibi karma tamsayılı programlama problemlerinde değişkenlerden
bazıları tamsayıdır. Bu tip problemler de dal-sınır algoritmasıyla çözülebilir.
Bu kez, dallandırma için yalnızca tamsayı olması istenen değişkenlerin dikkate
alınması yeterli olur. Tamsayı olması gerekmeyen değişkenler hiçbir zaman
dallandırma değişkeni olarak seçilmezler.

Konuyu açıklamak için aşağıdaki karma tamsayılı programlama probleminin çözümünü
araştıralım. Bu kez en küçükleme amaçlı bir problem çözülecektir.

**Örnek 5.10**: Aşağıdaki karma tamsayılı programlama problemini dal-sınır
algoritmasıyla çözünüz.

Zenk = 6X1 + 7X2

6X1 + 3X2 ≥ 40

3X1 + 2X2 ≥11

X1, X2 ≥ 0

X1 tamsayı

**Çözüm 5.10**: Tamamen tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde olduğu
gibi, öncelikle problem gevşetilmeli ve gevşek problemin en iyi çözümü
bulunmalıdır.

Gevşek biçimin en iyi çözümü; X1 = 6.667, X2 = 0 ve Zenk = 40 olarak
bulunmuştur. 40 olarak belirlenen Z değerinin tamsayılı problemin en iyi çözümü
için bir alt sınır oluşturduğu unutulmamalıdır. Problem en küçükleme amaçlı
olduğundan, orijinal problemin en iyi Z değeri en az 40 olacaktır.

Tamsayı olması istenen değişken X1 olduğundan, dallandırma X1 üzerinde
gerçekleştirilecektir. X1’in tamsayı olmasını sağlayacak dallandırma, X1 ≤ 6 ve
X1 ≥ 7 şeklindedir.

Bu dallandırma ile,

AP-2: AP-1 + X1 ≤ 6

AP-3: AP-1 + X1 ≥ 7

yazılır.

Çözülecek alt problem olarak AP-3’ü seçelim. AP-3’ün çözümünde; X1 = 7, X2 = 0
ve Zenk = 42 olarak belirlenmiştir. Çözümde X1 tamsayı olduğundan AP-3’ün çözümü
tamsayılı problemin en iyi çözümü olmaya adaydır. Ayrıca orijinal problemin en
iyi (en küçük) değeri konusunda Z = 42’nin bir üst sınır olduğu söylenebilir.

Yeni bir dallandırma gerekmediğinden, AP-2’ye geçilir. AP-2’nin en iyi çözümü;
X1 = 6, X2 = 1.333 ve Zenk = 45.333 olarak belirlenmiştir. X1 tamsayı
olduğundan, bu çözüm de en iyi olma şansına sahiptir. Bununla birlikte AP-2’den
hesaplanan Z değeri (45.333), AP-3’ten hesaplanan Z değerinden (42) büyük
olduğundan bir en iyi çözüm olamaz. AP-3 tamsayılı programlamanın en iyi
çözümünü sağlamıştır.

Yaratılan alt problemler ve çözümleri aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

![](media/45ffd8c7b43589f10e5157c266413c8e.png)

**Şekil 5.11**

**5.4.2. Kesme Düzlemi Algoritması**

Tamsayılı programlama problemlerinin çözümünde kullanılan diğer bir teknik kesme
düzlemi algoritmasıdır. Dal-sınır algoritmasında olduğu gibi, kesme düzlemi
algoritması uygulamasına da tamsayılı problemin gevşetilmiş biçiminin en iyi
çözümüyle başlanır. Bu en iyi çözümde, tamsayı olması istenen değişkenler
tamsayı iseler tamsayılı problem çözülmüş olur. Gevşek problemin en iyi çözümü
tamsayılı programlamanın en iyi çözümü olma özelliğini taşımıyorsa, kesme
düzlemi algoritması uygulamasına geçilebilir. Kesme düzlemi algoritmasında da,
dal-sınır algoritmasında olduğu gibi, tekrarlı bir şekilde özel kısıtlayıcılar
ekleyerek çözüm uzayında gerekli düzeltmeler yapılır. Özel kısıtlayıcı ekleme
işlemi tamsayı olma koşulunu gerçekleyecek bir en iyi çözüme ulaşılıncaya değin
sürdürülür.

Kesme düzlemi algoritmasının nasıl kullanılacağını dal-sınır yöntemi ile çözülen
örnek 5.8’deki problem üzerinde açıklayalım.

**Örnek 5.11**: Aşağıdaki problemi kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.

Zenb = 7X1 + 3X2

2X1 + X2 ≤ 9

3X1 + 2X2 ≤ 13

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

**Çözüm 5.11**: Kesme düzlemi algoritması klasik doğrusal programlama
probleminin simpleks yöntemle elde edilen en iyi çözüm tablosundan işe başlar.
Tamsayı olma koşulunun göz ardı edilmesiyle belirlenen gevşek problemin en iyi
çözümünün yer aldığı simpleks çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.

**Tablo 5.10**

| TDV     | X1 | X2     | S1 | S2     | ÇV     |
|---------|----|--------|----|--------|--------|
| S1      | 0  | -0.333 | 1  | -0.667 | 0.333  |
| X1      | 1  |  0.667 | 0  |  0.333 | 4.333  |
| Zj      | 7  |  4.669 | 0  |  2.331 | 30.333 |
| Zj - Cj | 0  |  1.669 | 0  |  2.331 | -      |

Elde edilen en iyi çözümde, X2 (= 0) tamsayı olmakla birlikte, X1 (= 4.333)
tamsayı olmadığından bu çözüm aranan en iyi çözüm olamaz. Tamsayılı
programlamanın en iyi çözümü için ek bir kısıtlayıcı koşul yaratılması gerekir.
Bunun için öncelikle tamsayı olması istenen ancak çözüm değeri tamsayı olmayan
değişken(ler) belirlenir. Birden fazla değişken arasından seçim yapılacak olması
durumunda, kesirli kısmı en büyük olan değişkenin seçilmesi uygun olur. Tamsayı
yapılacak değişkenin belirlenmesinden sonra en iyi çözümün bulunduğu simpleks
tablosundan o değişkenin bulunduğu satır elemanları işaretlenir. İşaretlenen bu
elemanlar kısıtlayıcı koşul yaratmada kullanılır. Burada yalnızca X1 değişkeni
temelde bulunduğundan, bu değişkene ilişkin kısıtlayıcı koşul yaratılacağı
açıktır. Tablo 5.10’daki sonuç değerlerinden yaratılan denklem aşağıda
gösterilmiştir.

(1)X1 + (0.667)X2 + (0)S1 + (0.333)S2 = 4.333 5.6

Kısıtlayıcı koşul yaratmada gerçekleştirilen işlemleri genelleştirmek için şu
tanımı yapalım. X, X’e eşit veya daha küçük en büyük tamsayı olsun. Buna göre,
sözgelimi 2.25 = 2, -3.16 = -4 olur. Bu durumda herhangi bir kesirli sayı
X + f olarak açıklanabilir. Buradaki f, X’in tamsayı olmayan, yani kesirli
kısmıdır. Sözgelimi, 2.25 = 2 + 0.25 ve -3.16 = -4 + 0.84 olarak yazılabilir.
Kesirli bir sayının bu biçimde ifade edilmesi kısıtlayıcı koşul yaratmanın
esasını oluşturur. Bu açıklamalar doğrultusunda 5.6’nın tamsayı olmayan değişken
katsayılarını "X + f" formunda yazalım. Buna göre,

(1 + 0)X1 + (0 + 0.667)X2 + (0)S1 + (0 + 0.333)S2 = 4 + 0.333

veya

(1 + 0)X1 + (0)X2 + (0.667)X2 + (0)S1 + (0)S2 + (0.333)S2 = 4 + 0.333

olur.

Katsayıları tamsayı olan bütün terimlerin eşitliğin sol tarafında, diğerlerinin
eşitliğin sağ tarafında gösterilmesiyle ulaşılan eşitlik aşağıda gösterilmiştir.

(1)X1 + (0)X2 + (0)S1 + (0)S2 - 4 = 0.333 - (0.667)X2 - (0.333)S2 5.7

5.7’nin sağ tarafı için,

0.333 - (0.667)X2 - (0.333)S2 ≤ 0 5.8

yazılabilir.

5.8 ile açıklanan fonksiyona "kesme" denir. Kesme düzlemi algoritmasının esasını
oluşturan kesmenin iki önemli özelliği aşağıda açıklanmıştır.

1\. Tamsayılı programlama için uygun olan bir nokta kesmeyi sağlar

2\. Gevşek biçim için en iyi olduğu belirlenen nokta kesmeyi sağlamaz.

Bu iki özelliğinden dolayı bir kesme, gevşek problemin en iyi çözümünü dışta
bırakırken, tamsayılı programlamanın uygun çözümlerine dokunmaz. Kesme
oluşturmada kullanılan değişkenin tamsayıya ulaştırılabilmesi için kesmenin,
gevşek biçimin en iyi çözümünün bulunduğu simpleks tablosuna yeni bir
kısıtlayıcı olarak eklenmesi gerekir. Bu eklemeden sonra simpleks yöntemin
klasik işlemleriyle tamsayı en iyi çözüm elde edildiğinde, problem çözülmüş
olur. Kesme eklenmesiyle düzenlenen problemin en iyi çözümünde hala tamsayı
olmayan değişken var ise, yeni bir kesme tanımlanır. Bu işlemler istenen çözüme
ulaşıncaya kadar tekrarlanır. Sınırlı sayıda kesme ile tamsayı en iyi çözüme
ulaşılır. Gevşek probleme kesme eklenmesi ve sonrasında yapılan işlemlere
geçmeden önce kesmenin yukarıda açıklanan iki özelliği gerçekleyip
gerçeklemediği konusu üzerinde duralım.

Önce birinci özellik üzerinde duralım. Bu amaçla tamsayılı programlama için
uygun olan bir nokta seçelim. Bu noktada X1 ve X2 tamsayı değerler alacaktır.
Tamsayılı programlama için uygun olan bu nokta gevşek problem için de uygundur.
5.7 nolu denklem, en iyi çözüm tablosunun X1 değişken satırının amaca uygun
olarak düzenlenmiş biçimi olduğundan, tamsayılı programlama için uygun olan
nokta 5.7’yi sağlamak zorundadır. Tamsayılı programlamanın uygun bir çözümünde,
S1 ≥ 0 ve S2 ≥ 0 olmak zorundadır. 0.333 \< 1 olduğundan, tamsayılı
programlamanın uygun herhangi bir çözümü için 5.7’nin sağ tarafı ≤ 1olur. Ayrıca
böyle bir nokta için 5.7’nin sol tarafı bir tamsayıya eşittir. Sonuç olarak,
tamsayılı programlamanın herhangi bir uygun çözümü için, 5.7’nin sağ tarafı 5.6
ile belirlenenden küçük bir tamsayıdır.

Şimdi de gevşek problemin en iyi çözümünün kesmeyi sağlamayacağını gösterelim.
Gevşek problemin en iyi çözümünde, X2 = 0, S2 = 0 olarak belirlenen değerleri
5.8 nolu eşitsizlikle açıklanan kesme denklemine yerleştirelim. Bu durumda,

0.333 - (0.667)(0) - (0.333)(0) = 0.333

elde edilir.

0.333 \> 0 olduğundan kesme tatmin edilmemiş, yani gevşek biçimin en iyi çözümü
kesmeyi sağlamamıştır.

İstenirse kesmenin grafiği çizilebilir. Anılan grafiği çizmek için kesme
denkleminin X1, X2 cinsinden yazılması gerekir. İkinci kısıtlayıcıdan S2 için
belirlenen 13 - 3X1 - 2X2 bağıntısı, 5.8’le açıklanan kesme denklemine
yerleştirildiğinde sırasıyla,

0.333 - (0.667)X2 - (0.333)(13 - 3X1 - 2X2) ≤ 0

0.333 - (0.667)X2 - 4.329 - (0.999)X1 - (0.666)X2 ≤ 0

0.333 - (0.667)X2 - 4.329 + (0.999)X1 + (0.666)X2 ≤ 0

(0.999)X1 ≤ 4

elde edilir. Buna göre kesme Şekil 5.12’deki gibi çizilir.

![](media/b892a776dc5a7cb297c60bbfc1435c9a.png)

**Şekil 5.12**

Kesmenin en iyi çözüm tablosuna yerleştirilmesi için önce sağ tarafında sabit
olacak biçimde, yani (-0.667)X2 - (0.333)S2 ≤ -0.333 olarak yazılması, daha
sonra sol tarafına bir aylak değişken (S3) ekleyerek eşitlik biçimine
dönüştürülmesi gerekir. Açıklanan bu işlemlerin tamamlanmasıyla,

(- 0.667)X2 - (0.333)S2 + (1) S3 = - 0.333

elde edilir.

Kesmenin eklenmesiyle elde edilen simpleks çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.

**Tablo 5.11**

| TDV     | X1 | X2     | S1 | S2     | S3 | ÇV     |
|---------|----|--------|----|--------|----|--------|
| S1      | 0  | -0.333 | 1  | -0.667 | 0  | 0.333  |
| X1      | 1  |  0.667 | 0  |  0.333 | 0  | 4.333  |
| S3      | 0  | -0.667 | 0  | -0.333 | 1  | -0.333 |
| Zj      | 7  | 4.669  | 0  |  2.331 | 0  | 30.333 |
| Zj - Cj | 0  | 1.669  | 0  |  2.331 | 0  | -      |

Tablo 5.11’den görüldüğü gibi eklenen kesme çözümün en iyi olma olma özelliğini
(tüm Zj – Cj ≥ 0) etkilememiştir. Ancak, S3’ün negatif olması çözümün uygun
olmamasına yol açmıştır. Uygun çözüm için dual simpleks yöntem([2])
uygulanmalıdır. Dual simpleks yöntemin değişken seçimi kuralına göre S3 temeli
terkedecek, en küçük oran veren X2 girecektir. Simpleks çözümün ardışık
işlemleriyle oluşturulan tablo aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 5.12

| TDV     | X1 | X2 | S1 | S2     | S3     | ÇV     |
|---------|----|----|----|--------|--------|--------|
| S1      | 0  | 0  | 1  | -0.501 | -0.499 | 0.499  |
| X1      | 1  | 0  | 0  | 0      | 0.999  | 4.0    |
| X2      | 0  | 1  | 0  | 0.499  | -1.499 | 0.499  |
| Zj      | 7  | 3  | 0  | 1.497  | 2.496  | 29.497 |
| Zj - Cj | 0  | 0  | 0  | 1.497  | 2.496  | -      |

Tablo 5.12’deki çözüm hem en iyi hem de uygun olmakla birlikte X2 = 0.5
olduğundan, tamsayılı değildir. X2’nin esas alınmasıyla yeni bir kesme
tanımlanması zorunludur.

Kesmenin oluşturulması ve çözüm için uygun şekle dönüştürülmesi ile ilgili
işlemler aşağıda gösterilmiştir.

(0)X1 + (1)X2 + (0)S1 + (0.499)S2 (- 1.499)S3 = 0.499

(0.499)S2 + (0.501)S3 = 0.499

(0.499) - (0.499)S2 - (0.501)S3 ≤ 0

(-0.499)S2 - (0.501)S3 ≤ -0.499

(-0.499)S2 - (0.501)S3 +(1) S4 = -0.499

Bu kısıtlayıcı koşulun en iyi çözüm tablosuna eklenmesiyle yeni çözüm tablosu
aşağıdaki gibi elde edilir.

**Tablo 5.13**

| TDV     | X1 | X2 | S1 | S2     | S3     | S4 | ÇV     |
|---------|----|----|----|--------|--------|----|--------|
| S1      | 0  | 0  | 1  | -0.501 | -0.499 | 0  | 0.499  |
| X1      | 1  | 0  | 0  | 0      | 0.999  | 0  | 4.0    |
| X2      | 0  | 1  | 0  | 0.499  | -1.499 | 0  | 0.499  |
| S4      | 0  | 0  | 0  | -0.499 | -0.501 | 1  | -0.499 |
| Zj      | 7  | 3  | 0  | 1.497  | 2.499  | 0  | 29.497 |
| Zj - Cj | 0  | 0  | 0  | 1.497  | 2.499  | 0  | -      |

Tablo 5.13’den görüldüğü gibi çözüm en iyi olmakla birlikte uygun değildir.
Negatif çözüm değerli S4’ün temelden çıkması, yerine mutlak değerce en küçük
oranı veren S2’nin girmesi gerekir. Gerekli işlemlerden sonra aşağıdaki tabloda
gösterilen yeni çözüme ulaşılır.

**Tablo 5.14**

| TDV     | X1 | X2 | S1 | S2 | S3     | S4    | ÇV    |
|---------|----|----|----|----|--------|-------|-------|
| S1      | 0  | 0  | 1  | 0  | 0      | -1    | 0.999 |
| X1      | 1  | 0  | 0  | 0  | 0.999  | 0     | 4.0   |
| X2      | 0  | 1  | 0  | 0  | -1.998 | 0.998 | 0     |
| S2      | 0  | 0  | 0  | 1  | 1.0    | -2    | 1.0   |
| Zj      | 7  | 3  | 0  | 0  | 0.999  | 2.994 | 28.0  |
| Zj - Cj | 0  | 0  | 0  | 0  | 0.999  | 2.994 | -     |

Tablo 5.14’de sunulan çözümde X1 ve X2 tamsayı bulunmuşlardır. Böylece tamsayı
çözüme ulaşılmıştır. Kesme düzlemi algoritması ile ulaşılan çözümde, X1 = 4, X2
= 0, Zenb = 28 dir. Böylece dal-sınır yöntemi ve kesme düzlemi algoritması çözüm
sonuçları aynı olmaktadır.

Dal-sınır ve kesme düzlemi algoritmalarının hangisinin tercih edileceği
konusunda genel kabul görmüş bir kanı olmadığını belirtmeliyiz. İki yöntemden
hiçbiri, sürekli daha iyi (az işlem, kısa zaman) sonuç vermemektedir. Yine de
deneyimler, dal-sınır algoritmasının daha başarılı olduğunu göstermektedir.

**PROBLEMLER**

**1**. FB basketbol takımı koçu ilk beş oyuncuyu belirlemek istemektedir. Koçun
elinde her biri farklı özellikte yedi oyuncu vardır. Oyuncuların her birinin top
tutma, şut atma, geri sekme ve savunma yetenekleri gözlenmiş ve yetenekleri
derecelendirilmiştir. 1 kötüye, 2 iyiye, 3 mükemmele karşılık gelmek üzere her
bir oyuncu için belirlenen dereceler ile oyuncuların takım içindeki pozisyonları
aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

| Oyuncu | Pozisyon          | Top Tutma | Şut Atma | Geri Sekme | Savunma |
|--------|-------------------|-----------|----------|------------|---------|
| 1      | Pota Altı         | 3         | 3        | 1          | 3       |
| 2      | Orta              | 2         | 1        | 3          | 2       |
| 3      | Pota Altı - İleri | 2         | 3        | 2          | 2       |
| 4      | İleri - Orta      | 1         | 3        | 3          | 1       |
| 5      | Pota Altı - İleri | 1         | 3        | 1          | 2       |
| 6      | İleri - Orta      | 3         | 1        | 2          | 3       |
| 7      | Pota Altı - İleri | 3         | 2        | 2          | 1       |

Oyunu başlatacak ilk 5 oyuncunun aşağıdaki koşulları sağlaması istenmektedir.
Takımın savunma yeteneğini en büyüklemekte kullanılacak modeli düzenleyiniz.

**a**. Pota altı pozisyonuna uygun en az 4 oyuncu olmalıdır. En az 2 oyuncu
ileri oynayabilmeli, en az 1 orta oyuncusu bulunmalıdır.

**b**. Takımın top tutma, şut atma ve geri sekme ortalaması en az 2 olmalıdır.

**c**. 3 nolu oyuncu ilk 5’de ise, 6 nolu oyuncu ilk 5 arasında bulunmamalıdır.

**d**. 1 nolu oyuncu ilk 5 arasındaysa, 4 ve 5 nolu oyuncuların her ikisi ilk 5
arasında bulunmalıdır.

**e**. 2 veya 3 nolu oyuncu ilk 5 arasında bulunmalıdır.

**2.** Yöneylem Araştırması Bölüm mezunu olabilmek için en az iki matematik, iki
yöneylem araştırması, iki de bilgisayar dersi almak gerekmektedir. İsimleri
matematik, yöneylem araştırması, bilgisayar olmamakla birlikte bazı dersler bu
derslerin yerine geçebilmektedir. Analize giriş, matematik yerine; yöneylem
araştırması matematik ve yöneylem araştırması yerine; veri tabanı düzenlemesi,
bilgisayar ve matematik yerine; işletme istatistiği, matematik ve yöneylem
araştırması yerine; simülasyon, yöneylem ve bilgisayar yerine; bilgisayara
giriş, bilgisayar yerine; tahmin yöntemleri, yöneylem araştırması ve matematik
yerine geçmektedir.

Bazı dersler ön koşulludur. İşletme istatistiği için analize giriş; simülasyon
ve veri tabanı düzenlemesi için bilgisayara giriş; tahmin yöntemleri için
işletme istatistiği dersleri önceden alınması gereken derslerdir.

En az sayıda ders alarak mezun olmayı sağlayacak tamsayılı doğrusal programlama
modelini kurunuz

**3.** Çevre halkına içme suyu sağlayan bir baraj gölünde insan sağlığı için
tehlikeli iki madde (A ve B) bulunmaktadır. Gölün bu maddelerden temizlenmesi
için kontrol istasyonları kurulması kararlaştırılmıştır. Kontrol istasyonu için
üç ayrı yer (I, II, III) düşünülmektedir.

Suyun temiz sayılabilmesi için yasa gereği en az 800 ton A, en az 500 ton B’nin
sudan çıkarılması gerekmektedir. Problemle ilgili olarak bilinmesi gerekenler
aşağıdaki tabloda verilmiştir. Yasa gereğini en düşük maliyetle sağlayacak
istasyon yerleşim planını belirleyiniz.

|       |   Maliyetler (TL)       | 1 Ton Sudan Çıkarılan Tehlikeli Madde Miktarı (ton) |      |      |
|-------|-------------------------|-----------------------------------------------------|------|------|
|   Yer | İstasyon Kurma Maliyeti | 1 Ton Su İşleme Maliyeti                            |   A  |   B  |
| I     | 100000                  | 20                                                  | 0.40 | 0.30 |
| II    |  60000                  | 30                                                  | 0.25 | 0.20 |
| III   |  40000                  | 40                                                  | 0.20 | 0.25 |

**4.** Bir üretici firma birim kârları sırasıyla 2 ve 5 TL olan iki ürün (I, II)
üretmeyi planlamaktadır. Bir birim I üretimi için 3 birim, bir birim II üretimi
için 6 birim hammadde gerekmektedir. Toplam hammadde miktarı 120 birimdir. I’in
hazırlık maliyeti 10 TL, II’nin hazırlık maliyeti 20 TL’dir. Kârın en
büyüklenmesine yönelik tamsayılı programlama modelini kurunuz.

**5.** Büyük bir kuruluş Ege, Marmara ve Batı Karadeniz bölgelerinin istemlerini
karşılamak için İstanbul, Bursa, Zonguldak ve İzmir’e depo kurmayı
düşünmektedir. Her bir deponun yükleme kapasitesi 100 birimdir. Depo işletme
maliyeti bulunduğu şehre bağlı olup, İstanbul için 400 TL, Bursa için 500 TL,
Zonguldak için 300 TL, İzmir için 150 TL’dir.

Ege bölgesinin haftalık ürün gereksinimi 80 birim, Marmara bölgesinin 70 birim,
Batı Karadeniz bölgesinin 40 birimdir. Taşıma maliyetleri aşağıdaki tabloda
gösterilmiştir.

Aşağıda bir liste halinde verilen kısıtları sağlamak koşuluyla haftalık istemin
en küçük ulaştırma maliyetiyle karşılanması istenmektedir. Problemi tamsayılı
programlama problemi olarak modelleyiniz.

| Depo Yeri | Ege | Marmara | Batı Karadeniz |
|-----------|-----|---------|----------------|
| İstanbul  | 20  | 40      | 50             |
| Bursa     | 48  | 15      | 26             |
| Zonguldak | 26  | 35      | 18             |
| İzmir     | 24  | 50      | 35             |

**a**. İstanbul’a depo kurulması durumunda Bursa’ya da bir depo kurulmalıdır.

**b**. En az iki depo açılmalıdır.

**c**. Ya İzmir ya da Bursa’da bir depo bulunmalıdır.

**6.** Farklı iki üretim hattında üç çeşit (A, B, C) yapıştırıcı üretilmektedir.
Her bir hatta yedi işçi çalışabilmektedir. Birinci üretim hattında çalışanlara
haftada 500 TL, ikinci üretim hattında çalışanlara haftada 900 TL ödenmektedir.
Birinci üretim hattının haftalık maliyeti 1000 TL, ikinci üretim hattının
haftalık maliyeti 2000 TL’dir. Üretim hatlarının haftalık üretim kapasiteleri
aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Her hafta en az 120 adet A, en az 150 adet B
ve en az 200 adet C üretilmektedir. Haftalık üretim maliyetlerini en
küçükleyecek tamsayılı programlama modelini kurunuz.

| Üretim Hattı | A  | B  | C  |
|--------------|----|----|----|
| 1            | 20 | 30 | 40 |
| 2            | 50 | 35 | 45 |

**7.** İki çeşit (A, B) bilgisayar üretilmektedir. Problemle ilgili veriler
aşağıda gösterilmiştir. Üreticinin elinde 3000 adet çip ile 1200 saat çalışma
zamanı vardır. Kârı en büyükleyecek tamsayılı programlama modelini kurunuz.

| Bilgisayar | Zaman  | Çip | Donanım Maliyetleri | Satış Fiyatı |
|------------|--------|-----|---------------------|--------------|
| A          | 1 saat | 2   | 5000                | 400          |
| B          | 2 saat | 5   | 7000                | 900          |

**8.** Müstakil ev ve apartmanlardan oluşan büyük bir site ile ilgili bir proje
üzerinde çalışılmaktadır. Siteye 10000’e kadar ikametgah birimi yerleştirmek
mümkündür. Projede ya havuz ve tenis sahası ya da marina projesi bulunmak
zorundadır. İki proje aynı anda gerçekleştirilememektedir. Marina yapılırsa,
müstakil evlerin sayısı apartman dairelerinin sayısının en az üç katı olmak
zorundadır. Marinanın maliyeti 1.2 milyon TL, yüzme-tenis kompleksinin maliyeti
2.8 milyon TL’dir. Apartman dairelerinin net bugünkü değerleri 46000 TL,
müstakil evlerin ise 48000 TL’dir. Apartman dairesi ve ev inşa etme maliyeti
40000 TL’dir. En büyük kâr amaçlı tamsayılı programlama modelini kurunuz.

**9.** Yatırım için 10 milyon TL’si bulunan bir yatırımcının yatırım
yapabileceği beş seçeneği vardır. Yatırım seçeneklerinin net bugünkü değerleri
ile yatırım miktarları aşağıda verilmiştir. S1 ve S2 aynı anda
değerlendirilemeyen seçeneklerdir. S3 ve S4 yatırımlarını da aynı
değerlendirilmek mümkün değildir. S2’ye yatırım yapabilmek için S4’e yatırım
yapılması zorunludur. Buna göre net bugünkü değerin en büyük olmasını sağlayan
yatırım planını belirleyiniz.

| Yatırım Seçeneği | Yatırım Miktarı | Net Bugünkü Değer |
|------------------|-----------------|-------------------|
| S1               | 2               | 16                |
| S2               | 4               | 22                |
| S3               | 3               | 18                |
| S4               | 2               | 14                |
| S5               | 4               | 25                |

**10.** Tarkan’ın son parçalarından oluşan bir uzun çalar tasarlanmaktadır. Uzun
çaların her yüzündeki parçaların toplam uzunluğu 14 ile 16 dakika arasında
olmalıdır. Tür ve uzunlukları aşağıda gösterilen parçaların uzun çaların A ve B
yüzlerine aşağıdaki koşulları gerçekleyecek biçimde yerleştirilmesini sağlayacak
tamsayılı programlama modelini formülleyiniz.

| Parça | Tür          | Uzunluk  |
|-------|--------------|----------|
| 1     | Yavaş        | 4        |
| 2     | Hızlı        | 5        |
| 3     | Yavaş        | 3        |
| 4     | Hızlı        | 2        |
| 5     | Yavaş        | 4        |
| 6     | Hızlı        | 3        |
| 7     | -            | 5        |
| 8     | Yavaş, Hızlı | 4        |

**a**. Her iki tarafta tam 1’er yavaş parça olmalı.

**b**. A yüzünde en az 3 hızlı parça bulunmalı.

**c**. 5 veya 6 nolu parça A yüzünde bulunmalı.

**d**. 2 ve 4 nolu parçalar A yüzündeyse, 5 nolu parça B yüzünde olmalı

**e.** 8 nolu parça B yüzünde bulunmalıdır.

**11**. Bir gemiye dört çeşit eşya yüklenecektir. Eşyaların birim ağırlık, hacim
ve değerleri aşağıda gösterilmiştir. Yük için maksimum ağırlık 124 ton, hacim
ise 120 m3’dür. Tamsayılı doğrusal programlama modelini kurunuz ve çözümü
gerçekleştiriniz.

|   Eşya | Ağırlık (ton) | Hacim (m3) | Değer (000 TL) |
|--------|---------------|------------|----------------|
| 1      | 5             | 3          | 7              |
| 2      | 8             | 6          | 8              |
| 3      | 4             | 1          | 6              |
| 4      | 5             | 2          | 7              |

**12.** Aşağıdaki tamsayılı programlama problemlerini, dal-sınır yöntemi ve
kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.

![](media/c4556f46d90cf81afe27576d07794de7.png)

**a**. Zenb = 3X1 + X2

5X1 + 2X2 ≤ 10

4X1 + X2 ≤ 7

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

**b**. Zenk = 3X1 + X2

X1 + 5X2 ≥ 8

X1 + 2X2 ≥ 4

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

**c**. Zenk = 6X1 + 8X2

3X1 + X2 ≥ 4

X1 + 2X2 ≥ 4

X1, X2 ≥ 0

X1, X2 tamsayı

**d**. Zenk = 3X1 + X2

2X1 - X2 ≤ 6

4X1 + X2 ≤ 4

X1, X2 ≥ 0

X1 tamsayı

**1**

**Yöneylem Araştırması**

**12.** Aşağıdaki problemleri kesme düzlemi algoritmasıyla çözünüz.

**a**. Zenb = 5X1 - 7X2 + 10X3 + 3X4 - X5

\-X1 - 3X2 + 3X3 - X4 - 2X5 ≤ 0

2X1 - 5X2 + 3X3 -2X4 - 2X5 ≤ 3

X2 + X3 + X4 - X5 ≥ 2

X1, X2, X3, X4, X5 = 0 veya 1

**b**. Zenk = 15X1 + 9X2 + 10X3

8X1 + 13X2 + 8X3 ≤ 10

X1 + 9X2 + X3 ≥ 7

X1, X2, X3 = 0 veya 1

## SEKİZİNCİ BÖLÜM

## *KARAR KURAMI*

### 8.1. GİRİŞ

Şimdiye kadar karar ortamının analizi için gerekli tüm bilgilerin bulunduğu,
başka bir deyişle alternatif karar seçeneklerine ilişkin sonuç değerleri ile
olayın yapısı hakkında bilinmesi gereken her şeyin bilindiği varsayılmış ve
karar problemlerinin tamamı bu varsayıma göre modellenmiştir. Bu durum
literatürde, "belirlilik durumunda karar alma" başlığı altında incelenir.
Açıklamalardan anlaşılacağı gibi, belirlilik durumu deterministik yapıya
sahiptir. Oysa, gerçek hayat problemlerinin çoğu olasılıksal yapıdadır.

Karar kuramı, karar vericiye karar alma ve karar sürecini geliştirme konularında
yol gösteren bir yaklaşımdır. Söz konusu yaklaşım, karar verilecek duruma
ilişkin bilgi miktarına göre üç başlık altında incelenir.

\- Belirlilik durumunda karar alma

\- Risk durumunda karar alma

\- Belirsizlik durumunda karar alma

Yukarıda açıklandığı gibi belirlilik durumunda, karar vericinin aralarından
seçim yapacağı karar seçeneklerine ilişkin sonuç değerleri ile olayın yapısı
hakkındaki bilgisinin eksiksiz olduğu varsayılır. Doğal olarak en iyi sonucu
verecek olan alternatif seçilir. Doğrusal programlama belirlilik durumunda karar
alma probleminin bir örneğidir. Konuya açıklık kazandırmak bakımından basit bir
doğrusal programlama problemi tanımlayalım. Bunun için beslenme gereksinmemizi
en düşük maliyetle karşılayacak besin maddeleri miktarlarını belirlemek
istediğimizi düşünelim. Besin maddelerinin birim maliyetleri (Cj) sabit sayılar
olsun. j ürünü tüketim miktarı Xj, değeri bilinen bir sabit sayı olarak kabul
edildiğinde, j ürününün maliyete olan katkısı CjXj de sabit bir sayı olur.

Risk durumunda problemin seçeneklerine ilişkin değerler ve olayın yapısı
olasılıklar ile açıklanırken, belirsizlik durumunda sonuç değerleri bir ölçüde
bilinse de olayın yapısına ilişkin olasılıklar hakkında hiçbir bilgi
edinilememektedir. Özetle, "belirlilik" ve "belirsizlik" verilerle ilgili bilgi
derecesi bakımından iki aşırı ucu temsil ederken, "risk" bu iki uç arasında
bulunur. Risk ve belirsizlik durumlarını açıklamak için beslenme problemi
örneğine dönelim. Risk durumunda maliyet katsayısı Cj sabit sayı olma özelliğini
yitirir ve kesin değeri bilinmeyen ancak, istendiğinde değeri ilgili olasılık
yoğunluk fonksiyonu cinsinden açıklanabilen bir rasgele değişken olur. Buna göre
Cj, olasılık yoğunluk fonksiyonu f(Cj) ile gösterilen bir rasgele değişken
olarak tanımlanabilir. Bu durumda, kendisine ait bir olasılık yoğunluk
fonksiyonu tanımlanmaksızın, Cj hakkında konuşmak fazla anlamlı olmaz. Bunun
sonucunda, Xj’nin belirli bir değeri için j’inci değişkenin kâra olan katkısı
CjXj’de kesin değeri bilinmeyen bir rasgele değişken olur.

Belirsizlik durumunda ise, f(Cj) olasılık yoğunluk fonksiyonu bilinmez veya
belirlenemez. Ancak, bu konudaki bilgi eksikliği problem hakkında hiçbir bilgi
yoktur şeklinde yorumlanmamalıdır. Sözgelimi, karar verici Cj’nin
![](media/c2bba11662712195d796e44946c15313.png)değerlerinden
birine eşit olduğunu bilebilir ancak, bu bilgi duruma ilişkin olasılıkların
belirlenmesinde yetersiz kalır. Bu durum belirsizlik ortamında karar alma
durumudur. Karar probleminin nasıl formüle edileceği ve çözüleceği doğrudan
doğruya karar verenin problemin bileşenleri hakkındaki bilgi derecesine
bağlıdır. Bu konuyu açıklamak amacıyla beslenme problemi örneğine dönelim.
Belirlilik varsayımının geçerli olması, yani maliyetlerin (Cj, j = 1, 2, ..., n)
biliniyor olması durumunda, Z = CjXj şeklinde tanımlanan bağıntının karar
ölçütü olarak kullanılması son derece anlamlıdır. Risk durumunda, Cj’ler sabit
değerler olmadıklarından bunlarla ilgili olasılıklar tanımlanmaksızın Z’nin
karar ölçütü olarak kullanılması fazla anlamlı olmayacaktır. Belirsizlik
durumunda ise, ne Cj’ler ne de bunlara ilişkin olasılıklar belirli
olmadıklarından, Z karar ölçütü olarak kullanılamaz. Bu basit incelemeden
anlaşılacağı gibi, yetersiz veri daima daha karmaşık karar modellerinin
kullanılmasını gerektirir. Ayrıca ulaşılan sonuçlar fazla tatminkar
bulunmayabilir. Ancak, gerçek hayat problemlerinin çoğu veri yetersizliği
koşulları altında çözülmek durumunda olduklarından bundan kaçınmak o kadar kolay
değildir.

Belirlilik durumunda evrensel biçimde kabul görmüş karar alma ölçütü, kârın en
büyüklenmesi veya maliyetin en küçüklenmesi iken, belirsizlik ve risk
durumlarında karar almada değişik ölçütler söz konusu olur. Sözgelimi, risk
ortamında karar almada ortalama (beklenen) kârın en büyüklenmesi karar ölçütü
olarak kabul edilebilirse de bu ölçüt bütün durumlar için uygun olmayabilir.

### 8.2. KARAR PROBLEMLERİNİN ORTAK ÖZELLİKLERİ

Birden fazla olay ve birden fazla karar seçeneğinin (eylem biçimi, strateji)
bulunması, sistemin davranış ölçeğinin her bir stratejiye göre farklı değer
alması ve bu değerlerin bilinmemesi durumundaki bir probleme "karar problemi"
denir. Tanımdaki sistemin davranış ölçeği, strateji, olay ve diğer bazı önemli
kavramlar aşağıda açıklanmıştır.

Karar Verici: Sisteme maksadına göre hedefler koyan, bu hedeflere ulaşmak için
amaçlar, stratejiler ve taktikler tanımlayan, bu tanımlar uyarınca sistemin
davranışlarını planlayan, örgütleyen, denetleyen, sapmalar karşısında gerekli
düzenlemeyi yapan birey ya da topluluğa karar verici denir.

Strateji (Eylem Biçimi): Karar vericinin amaç veya amaçlarına ulaşmasını
sağlayacak değişik yollar veya hareket tarzlarının her birine strateji veya
eylem biçimi denir. Stratejilerin belirlenmesi ve tanımlanması karar vericinin
en önemli görevlerindendir. Stratejiler karar vericinin kontrolünde olan
faktörlerdir.

Olay (Doğal Durum): Karar vericinin davranışını etkileyen ve alabileceği
değerlerde karar vericinin hiçbir etkisi olmayan faktörlerdir. Olaylar, karar
vericinin içinde bulunduğu karar ortamını oluştururlar. Sayıları ne olursa olsun
gelecekte yalnızca bir olayın gerçekleşeceği unutulmamalıdır.

Sonuç: Her bir strateji ve olay bileşimi sonucu ortaya çıkan değerdir. Sonuç
değerlerine ödeme, yarar veya kayıp denir ve bunlar genellikle parasal değer
cinsinden açıklanır.

Risk veya belirsizlik ortamındaki bir karar probleminin matris biçiminde
gösterilmesi, problemin değerlendirilmesi ve çözülmesinde büyük kolaylıklar
sağlar. Alternatif stratejiler, olası olaylar ve sonuç değerlerinden oluşan
matrise "karar matrisi" denir. Karar matrisi kavramı son derece genel olup,
bunun yerine sonuç, kazanç, ödeme veya kâr-zarar matrisi deyimleri de
kullanılmaktadır.

Tablo 8.1

|          | Olay |     |     |     |     |     |
|----------|------|-----|-----|-----|-----|-----|
| Strateji | O1   | O2  | ... | Oj  | ... | On  |
| S1       | a11  | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| S2       | a21  | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| ..       | ..   | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Si       | ai1  | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| ..       | ..   | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Sm       | am1  | am2 | ... | amj | ... | amn |

Tablo 8.1’de gösterildiği gibi, matrisinin satırlarını stratejiler, sütunlarını
olaylar oluşturmaktadır. Matrisin aij elemanları ise R(Si, Oj) sonuç
değerleridir. Karar matrisini iyi kavrayabilmek için basit bir örnek verilmesi
uygun olur.

Örnek 8.1: Bir spor malzemeleri satış mağazası yaz aylarındaki tenis şortu
istemini karşılamak amacıyla sipariş miktarını araştırmaktadır. Üretici firma,
siparişin bir kerede ve 100’lük kutular halinde verilmesini şart koşmaktadır.
Satın alma fiyatı sipariş miktarına göre değişmektedir. Sipariş miktarına göre
önerilen birim fiyatlar şöyledir.

Tablo 8.2

| Sipariş Miktarı  | Birim Fiyat  |
|------------------|--------------|
| 100              | 70           |
| 200              | 60           |
| 300              | 50           |

Yaz aylarında 100 TL’ye satılan şortların, bu aylar dışındaki fiyatı 35 TL’dir.
Sipariş miktarından fazla satış yapılamayacağı açıktır. İstemin
karşılanmamasının işletmeye maliyeti şort başına 5 TL’dir. Mağaza sahibi geçmiş
dönem deneyimlerinden yaz aylarındaki şort isteminin 100, 150, 200 veya 250 adet
olacağını bilmektedir. Sonuç değerlerinin kâra karşılık geldiği durumdaki karar
matrisini düzenleyiniz.

Çözüm 8.1: Mağaza sahibinin; 100, 200 veya 300 adet sipariş vermek gibi üç
stratejisi vardır. O1, O2, O3 ve O4 ile simgelenen olaylar sırasıyla, istemin
100, 150, 200 ve 250 adet olduğu karar ortamını açıklar. Karar matrisinin
elemanları farklı sipariş ve istem miktarı birleşimlerinin sonucu elde edilecek
kâr olarak tanımlanmıştır. Sonuç değerlerinin belirlenmesiyle ilgili olarak
sipariş miktarının 100 olduğunu düşünelim. Bu miktarda sipariş için satın alma
maliyeti, 70 TL’dir. Sipariş miktarı 100 iken istem düzeyi de 100 olursa, mağaza
sahibi şort başına 30 (= 100 - 70) TL kazanarak kârının 3000 TL olmasını sağlar.
Sipariş miktarı 100 iken istem 200 olduğunda, 100 birimlik istemin
karşılanmayacağı açıktır. Bunun maliyeti, kaçan fırsat değeri olarak 500 (= 5 X
100) TL’dir. Bu değerin, 100 adet şort satışından elde edilen kârdan
çıkartılmasıyla net kâr 2500 TL olarak hesaplanır. Bu yaklaşımla hesaplanan
değerlerin kullanılmasıyla hazırlanan karar (kâr) matrisi aşağıda gösterilmiştir

Tablo 8.3

| Sipariş | İstem Miktarı |       |       |       |
|---------|---------------|-------|-------|-------|
| Miktarı |  100          |  150  |  200  |  250  |
| 100     |  3000         |  2750 |  2500 |  2250 |
| 200     |  1000         |  4750 |  8000 |  7750 |
| 300     |  2000         |  5250 |  8500 | 11750 |

Karar matrisinin oluşturulmasından sonra karar alma işlemine geçilebilir. Hangi
miktarda sipariş vermenin uygun olacağı sorusunun yanıtı, karar vericinin
olaylar hakkındaki bilgi düzeyine ve seçim yapmada benimseyeceği ölçütlere
bağlıdır. Hangi olayın gerçekleşeceği kesinlikle bilindiğinde seçim yapmak son
derecede kolaydır. Sözgelimi, mağaza sahibi istemin 250 birim olacağından yüzde
yüz emin olsa, 300 adet sipariş vermeyi kararlaştırır. Çünkü bu istem miktarı
için 100 adetlik siparişle 2250 TL, 200 adet siparişle 7750 TL net kâr
sağlanırken, 300 adetlik siparişle kâr en yüksek değerine ulaşarak 11750 TL
olmaktadır.

Hangi olayın gerçekleşeceği önceden bilinmediğinde, yani belirsizlik durumunda
karar verme oldukça zordur. Belirsizlik durumunda karar alma konusu izleyen
kesimde açıklanmıştır.

### 8.3. BELİRSİZLİK DURUMUNDA KARAR ALMA

Bu kesimde, olayların gerçekleşme olasılıklarının bilinmemesi veya
belirlenememesi koşullarında ortaya çıkan belirsizlik durumunda karar alma
konusu açıklanacaktır. Belirsizlik durumunda karar vericinin değişik stratejiler
arasından seçim yapmasında esas alabileceği belli başlı ölçütler şunlardır:

*1.* Laplace

*2.* Minimaks (maksimin)

*3.* Maksimaks (minimin)

*4.*  Savage

*5.* Hurwicz

Uygun ölçütün seçilmesi karar ortamının yapısına, karar vericinin deneyim ve
eğilimine bağlıdır. Sözgelimi, minimaks ölçütünü seçen karar verici ile
karşılaştırıldığında, Laplace ölçütünü benimseyen karar vericinin daha iyimser
olduğu söylenebilir. Hurwicz ölçütünü benimseyen karar vericinin ise minimaks
ölçütü ile maksimaks ölçütü arasında bir denge bulmaya çalıştığı kabul edilir.
Kısaca bu ölçütler arasında seçim yapmada genel kabul görmüş bir kural yoktur.
Yukarıdaki ölçütlerden birini kullanacak olan karar vericinin zeki bir rakibinin
bulunmadığı, tek rakibinin doğa olduğu kabul edilir. Doğanın karar vericinin
kaybına yol açmayı hedefleyen bir rakip olduğunu söylemek için yeterli bilgi
olmadığı açıktır. Bununla birlikte, akıllı bir rakibin doğanın yerine geçtiği
problemlerle de karşılaşılabilir. Her iki rakibin de akıllı olduğu ve birinin
diğerine üstünlük sağlamak istediği durumlar, ileride rekabet ortamında karar
alma (oyun kuramı) başlığı altında incelenecektir.

Laplace Ölçütü: Laplace ölçütü muhtemel olayların ortaya çıkması ile ilgili
olasılıkların birbirlerine eşit olduğu ilkesine dayanır. Olayların ortaya
çıkması olasılıkları belirlenebildiğinden problem belirsizlik durumunda karar
alma problemi olmaktan çıkarak, risk durumunda karar alma problemine dönüşür.
Laplace ölçütü, olayların gerçekleşmesi olasılıklarının farklı olduğuna ilişkin
bir kanıt olmaması durumunda kullanılabilir. Anılan olasılıkların eşit kabul
edilmesi ilkesine "yetersiz sebep ilkesi" denir.

Problemde iki olay olduğunu düşünelim. Ölçüt gereği her bir olay eşit olasılıkla
gerçekleşeceğinden, her bir olayın ortaya çıkması olasılığı 1/2 olacaktır. Olay
sayısı üç olduğunda, eşit olasılıklar 1/3 olarak belirlenir. Olasılıklarla
ilgili bu açıklama, olay sayısı n olduğunda, olasılıklar (1/n)’ye eşit olur
şeklinde genelleştirilir. Olasılıkların belirlenmesinden sonra, her bir
stratejinin beklenen değerinin hesaplanması gerekir. Beklenen değerlerin
karşılaştırılarak, duruma göre en büyük veya en küçük değerli beklenen değerin
işaret ettiği stratejinin en iyi olduğuna karar verilir.

Örnek 8.2: Karar matrisi aşağıda tekrarlanan Örnek 8.1’deki mağaza sahibi
Laplace ölçütüne göre hangi miktarda sipariş verir?

Tablo 8.4

| Sipariş  | İstem Miktarı |       |       |       |
|----------|---------------|-------|-------|-------|
| Miktarı  |  100          |  150  |  200  |  250  |
| 100      |  3000         |  2750 |  2500 |  2250 |
| 200      |  1500         |  4750 |  8000 |  7750 |
| 300      |  2000         |  5250 |  8500 | 11750 |
| Olasılık |  1/4          | 1/4   |  1/4  | 1/4   |

Çözüm 8.2: Karar matrisinin Laplace ölçütü için düzenlenen biçimi yukarıdaki
tabloda verilmiştir. Görüldüğü gibi gerçekleşme olasılıkları eşit 4 olay vardır.
Bu eşit olasılıkların kullanılmasıyla her bir stratejinin beklenen değeri
aşağıdaki gibi hesaplanır.

E(100) = 1/4(3000) + 1/4(2750) + 1/4(2500) + 1/4(2250) = 2625 TL

E(200) = 1/4(1500) + 1/4(4750) + 1/4(8000) + 1/4(7750) = 5500 TL

E(300) = 1/4(2000) + 1/4(5250) + 1/4(8500) + 1/4(11750) = 6875 TL

Kâr söz konusu olduğundan, beklenen değerlerden en büyük (6875 TL) olanının
işaret ettiği miktarda, yani 300 birimlik sipariş verilmesi uygun olur. Bir de
sonuç değerlerinin kârdan farklı büyüklüklere karşılık gelmesi durumuna örnek
olması bakımından aşağıdaki problemi çözelim.

Örnek 8.3: Bir karar probleminin 4 X 4 karar matrisi aşağıdaki tabloda
gösterilmiştir. Laplace ölçütünü kullanarak i. Sonuç değerlerinin kazançları,
ii. Sonuç değerlerinin kayıpları göstermesi durumundaki en iyi stratejileri
belirleyiniz.

#### Tablo 8.5

|          | Olay |    |    |    |
|----------|------|----|----|----|
| Strateji | O1   | O2 | O3 | O4 |
| S1       | 26   | 26 | 18 | 22 |
| S2       | 22   | 34 | 30 | 18 |
| S3       | 28   | 24 | 34 | 26 |
| S4       | 22   | 30 | 28 | 20 |

Çözüm 8.3: Ortaya çıkması olası 4 olay vardır. Eşit olasılık ilkesine göre,
olasılıklar birbirine eşit, yani 1/4 olacaktır. Buna göre, sonuç değerleri ister
kazanç ister kayıp göstersin stratejilere karşılık gelen beklenen değerler
aşağıdaki gibi hesaplanır.

E(S1) = 1/4(26) + 1/4(26) + 1/4(18) + 1/4(22) = 23

E(S2) = 1/4(22) + 1/4(34) + 1/4(30) + 1/4(18) = 26

E(S3) = 1/4(28) + 1/4(24) + 1/4(34) + 1/4(26) = 28

E(S4) = 1/4(22) + 1/4(30) + 1/4(28) + 1/4(20) = 25

**i**. Hesaplanan değerlere göre, sonuç değerlerinin kazançlara karşılık gelmesi
durumunda en yüksek beklenen kazancı sağlayan S3 seçilecektir. **ii**. Sonuç
değerlerinin kayıpları göstermesi durumunda beklenen değerin en küçük olmasını
sağlayan S1’in seçilmesi uygun olur.

Maksimin veya Minimaks Ölçütü: Bu ölçüt yaklaşımlarında tutucu, kötümser karar
vericilerin benimsedikleri karar ölçütüdür. Bu yaklaşım, hangi strateji seçilmiş
olursa olsun daima o eylem için en kötü olan olayın gerçekleşeceği varsayımına
dayanır. Bu nedenle, her bir strateji için öncelikle o eylem için en kötü olan
olayın ortaya çıkması nedeniyle oluşan en kötü sonuç belirlenir. Bu yolla
bulunan en kötü sonuçlar arasından en iyi olanının işaret ettiği stratejinin
seçilmesiyle en iyi hareket tarzı belirlenmiş olur. Karar matrisi elemanları;
gelir, kâr, kazanç gibi büyük olması arzulanan değerlere karşılık geliyorsa
ölçüt en küçüklerin en büyüğü anlamına gelen maksimin; gider, zarar, kayıp gibi
küçük olması arzulanan değerlere karşılık geliyorsa en büyüklerin en küçüğü
anlamını ifade eden minimaks ölçütü adını alır.

Örnek 8.4: Maksimin (minimaks) ölçütüyle Örnek 8.3’deki karar matrisini
oluşturan sonuç değerlerinin i. Kazançlara, ii. Kayıplara karşılık gelmeleri
durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.

Çözüm 8.4: Sonuç değerlerinin kazançlara karşılık gelmesi durumunda, satır en
küçüklerinin belirlenmesi ve bunlardan en büyük olanına karşılık gelen
stratejinin uygulamaya konması gerekir. Satır en küçük değerlerinin satır
sırasıyla; 18, 18, 24 ve 20 olduğu görülebilir. Buna göre bu değerlerden en
büyük olan 24’ün işaret ettiği üçüncü eylem (S3) maksimin ölçütüyle belirlenen
en iyi stratejidir.

Sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmesi durumunda herhangi bir eylem için
en kötü olay en büyük sonuç değeri sağlayandır. Bu nedenle satır en büyüklerinin
belirlenmesi ve bunlardan en küçük olanına karşılık gelen stratejinin uygulamaya
konması gerekir. Satır en büyük değerlerinin sırasıyla; 26, 34, 34 ve 30 olduğu
görülebilir. Buna göre bu değerlerden en küçük olan 26’nın işaret ettiği S1,
minimaks ölçütüyle belirlenecek en iyi stratejidir.

Maksimaks veya Minimin Ölçütü: Bu ölçüte göre hangi strateji seçilirse seçilsin
o strateji için en iyi olan olayın gerçekleşeceği düşünülür. Bu düşüncenin ürünü
olarak belirlenen en iyi sonuçlardan en iyi olanının işaret ettiği strateji,
karar vericinin en iyi seçimi olur. Karar matrisi elemanlarının büyük olması
arzulanan değerlere karşılık gelmesi durumunda ölçüt maksimaks (en büyüklerin en
büyüğü) ölçütüdür. Matris elemanlarının küçük olması arzulanan değerlere
karşılık gelmesi durumunda ölçüt minimin (en küçüklerin en küçüğü) ölçütü adını
alır. Bu ölçütün kullanılmasıyla en iyi stratejinin belirlenmesini aşağıdaki
örnek yardımıyla açıklayalım.

Örnek 8.5: Tablo 8.5’deki karar matrisini kullanarak, maksimaks (minimin)
ölçütüyle sırasıyla, sonuç değerlerinin kazançlara ve sonuç değerlerinin
kayıplara karşılık gelmeleri durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.

**Çözüm 8.5**: Bu ölçüte göre hangi eylem uygulanırsa uygulansın çeşitli olaylar
arasından en iyi olanı ile karşılaşılacağından; karar matrisi elemanlarının
kazanç değerlerine karşılık gelmesi durumunda satır en büyüklerinin, karar
matrisi elemanlarının kayıp değerlerine karşılık gelmesi durumunda satır en
küçüklerinin bulunması gerekir.

Tablo 8.5’in satır en büyükleri ile satır en küçükleri Tablo 8.6’nın enb ve enk
sütun başlıkları altında gösterilmişlerdir. Bu ölçüte göre stratejiler arasından
seçim, en iyilerin en iyisinin seçilmesi biçiminde yapılacağından, kazanç
durumunda en iyi seçenek karar vericiye 34 birim kazanç sağlayan S2 ve S3
seçenekleridir. En küçüklerin dikkate alınması durumunda en iyi seçenekler en
düşük kaybı sağlayacak olan S1 ve S2 seçenekleridir.

Tablo 8.6

| Strateji | Enb   | Enk   |
|----------|-------|-------|
| S1       | 26    | 18\*  |
| S2       |  34\* |  18\* |
| S3       |  34\* |  26   |
| S4       | 30    |  22   |

Savage Ölçütü: Bu ölçüt en büyük fırsat kaybının en küçüklenmesi esasına
dayanır. Bu nedenle minimaks fırsat kaybı ölçütü olarak da bilinir. Ölçütün
uygulanması için öncelikle fırsat kaybı veya pişmanlık matrisinin oluşturulması
gerekir. Fırsat kaybı matrisinin oluşturulmasına geçmeden önce fırsat kaybı
kavramı üzerinde duralım.

Fırsat kaybı her bir olay için en iyi sonucu sağlayacak stratejibnin
uygulanmaması sonucu vazgeçilen kazanç veya katlanılan kayıp miktarıdır. Fırsat
kayıpları genellikle pozitif değerler ve rakamlarla açıklanır. Karar tablosu
gelirler cinsinden ifade edildiğinde, ele alınan her bir olaya ilişkin fırsat
kaybı değerleri; en iyi olan eylemin seçilmesi durumunda sağlanacak olan
gelirden diğer seçeneklerin sağlayacağı gelirlerin çıkartılmasıyla
hesaplanırlar. Karar matrisinin maliyetleri göstermesi durumunda fırsat kaybı
değerleri en iyi seçimin maliyet değerinin diğer eylemlerin maliyet
rakamlarından çıkartılması ile belirlenirler. Bu ölçüt ile strateji seçimini
aşağıdaki örnek yardımıyla açıklayalım.

Örnek 8.6: Örnek 8.3-8.5’deki 4 X 4 karar matrisi, izleme kolaylığı sağlamak
bakımından, aşağıda tekrarlanmıştır. Savage ölçütüyle sırasıyla; sonuç
değerlerinin kazançlara ve sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmeleri
durumunda en iyi stratejiyi belirleyiniz.

Tablo 8.7

|          | Olay |      |     |     |
|----------|------|------|-----|-----|
| Strateji | O1   | O2   | O3  | O4  |
| S1       | 26   |  26  |  18 |  22 |
| S2       |  22  |  34  |  30 |  18 |
| S3       |  28  |  24  |  34 |  26 |
| S4       |  22  |  30  |  28 |  20 |

Çözüm 8.6: Savage ölçütünün kullanılabilmesi için fırsat kaybı matrisi
düzenlenmelidir. Önce, karar matrisi elemanlarının kazançları gösterdiğini
düşünelim. Buna göre, ortaya çıkan olay O1 ise, en yüksek kazancı sağlayan S3
seçilmelidir. Bu durumda karar verici en yüksek kazancı sağlayacağından hiçbir
fırsatı kaçırmayacaktır. Buna göre bu seçimin fırsat kaybı, 28 - 28 = 0 olur.
Aynı olay (O1) için en yüksek kazancı sağlayan S3 yerine S1 seçilirse, 28 yerine
26 TL, yani 2 TL daha az kazanılacak böylece karar verici kaçırdığı 2 TL için
pişmanlık duyacaktır. S2 seçildiğinde, S3’ün seçilmemiş olması yüzünden, kaçan
fırsat 6 TL olacak bu kez karar verici 6 TL daha az kazanmanın pişmanlığını
duyacaktır. Bu işlemin karar matrisinin tüm elemanlarına uygulanması sonucu
belirlenen fırsat kaybı değerleriyle düzenlenen fırsat kaybı matrisi satır en
büyük değerleriyle birlikte aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 8.8

|          | Olay | Satır |     |    |            |
|----------|------|-------|-----|----|------------|
| Strateji | O1   | O2    | O3  | O4 | En Büyüğü  |
| S1       | 2    |  8    |  16 |  4 |  16        |
| S2       | 6    |  0    |  4  |  8 |  8         |
| S3       | 0    | 10    |  0  |  0 |  10        |
| S4       | 6    |  4    |  6  |  6 |  6\*       |

Fırsat kaybı matrisinin düzenlenmesinden sonra sıra, her bir stratejiye ilişkin
en yüksek fırsat kaybının saptanmasına gelir. En yüksek fırsat kayıpları, fırsat
kaybı matrisinin en sağına eklenen sütunda gösterilmişlerdir. Karar vericinin
amacı fırsat kaybını en düşük düzeyde tutmak olduğundan en büyük pişmanlıklar
arasından en küçük olanının işaret ettiği stratejinin seçilmesiyle en iyi
hareket biçimi belirlenmiş olur. Savage ölçütüne göre en küçük değeri veren S4
seçilmelidir.

Sonuç değerlerinin kayıplara karşılık gelmesi durumunda, her bir olay için en
iyi strateji en düşük kaybı sağlayandır. Bu durumda her bir olay için kaybın en
küçük değeri dikkate alınacak ve fırsat kaybı matrisi elemanları her bir olay
için en iyi olan değerin diğer değerlerden çıkartılmasıyla belirlenecektir. Bunu
karar matrisinin ilk sütununa uygulayalım. O1 gerçekleştiğinde, en iyi strateji
22 TL’lik kayıp gösteren S2 ve S4 seçenekleridir. Bu seçeneklerin fırsat
kayıpları sıfırdır. O1 gerçekleştiğinde S1’in fırsat kaybı 26 - 22 = 4, S3’ün
fırsat kaybı 28 - 22 = 6 TL olur. Bu yaklaşımla oluşturulan fırsat kaybı matrisi
aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 8.9

|          | Olay | Satır |    |    |           |
|----------|------|-------|----|----|-----------|
| Strateji | O1   | O2    | O3 | O4 | En Küçüğü |
| S1       | 4    |  2    |  0 | 4  |  4\*      |
| S2       | 0    | 10    | 12 | 0  | 12        |
| S3       | 6    |  0    | 16 | 8  | 16        |
| S4       | 0    | 6     | 10 | 2  | 16        |

Pişmanlık matrisinin düzenlenmesinin ardından her bir strateji için en büyük
fırsat kaybı belirlenir. En büyük fırsat kayıpları, önceden olduğu gibi, fırsat
kayıpları matrisinin en sağına eklenen sütunda gösterilmiştir. Savage kuralına
göre en büyük kayıplardan en küçük değerli olanının işaret ettiği S1 stratejisi
en iyi hareket biçimidir. Savage ölçütü maliyet verilerinden oluşan orijinal
matrise minimaks ölçütünün, kazanç verilerinden oluşan orijinal matrise maksimin
ölçütünün uygulanmasına benzer. Bununla birlikte benimsenecek eylemlerin aynı
olmak zorunda olmadıkları unutulmamalıdır.

Hurwicz Ölçütü: Hurwicz’e göre, karar vericinin ne aşırı derecede iyimser, ne de
aşırı derecede kötümser olmasını gerektiren güçlü gerekçeleri yoktur. Bu
nedenle, karar vericinin maksimin ölçütünün aşırı kötümserliği ile maksimaks
ölçütünün aşırı iyimserliği arasında bir denge kurması uygun olur. Bu nedenle bu
ölçüte "ağırlıklı ortalama" veya "gerçekçilik ölçütü" de denir. Hurwicz ölçütü,
seçilen her strateji için iyimserlik koşullarında ortaya çıkan sonuçlar ile
kötümserlik koşullarında ortaya çıkan sonuçların ağırlıklandırılması esasına
dayanır. Bunun için iyimserlik katsayısı olarak bilinen  kullanılır.  sıfır
ile 1 arasında değişir. Çok kötümser bir karar vericinin  için seçeceği değer
sıfır, aşırı derecede iyimser bir karar vericinin seçeceği değer 1 olur. ’nın
değeri karar vericinin iyimserlik derecesine göre değişir. Karar verici ’nın
değeri hakkında kararsızsa,  = 0.5 seçmesi akılcı olur. Yukarıdaki
açıklamaların ortaya koyduğu gibi, Hurwicz ölçütünün karar verme kuralı olarak
kullanılabilmesi için öncelikle ’nın belirlenmesi gerekir. ’nın
belirlenmesinden sonra karar matrisindeki her bir strateji için en iyi ve en
kötü sonuç değerlerinin sırasıyla  ve (1 - ) ile çarpılarak sonuçların
toplanması gerekir. Toplama işlemiyle belirlenen değerler stratejilerin beklenen
değerleri olarak yorumlanır ve beklenen değerler taranarak; karar matrisi kazanç
değerlerinden oluşmuşsa en büyük, maliyet değerlerinden oluşmuşsa en küçük
beklenen değere sahip stratejinin uygulanması önerilir.

Değişik ölçütlerle belirlenmiş olan strateji seçimlerinin kararlaştırılmasını
sağlamak için önceki örneklerde kullanılan karar matrisini ele alalım.

Örnek 8.7: Tablo 8.7’deki karar (kazanç) matrisine Hurwicz ölçütünü uygulayarak
sırasıyla ;  = 0,  = 1 ve  = 0.6 için en iyi stratejiyi belirleyiniz*.*

Çözüm 8.7:  = 0 seçildiğinde her strateji için yalnızca en küçük değerli
sonuçların dikkate alındığı görülebilir. Kural gereği bu en küçük değerlerden en
büyük olanı seçileceğinden,  = 0 için Hurwicz ölçütü maksimin ölçütüne
eşdeğerdir. Buna göre,  = 0 için S3 (bkz. Örnek 8.4) seçilecektir.

 = 1 seçildiğinde, her eylem seçeneği için yalnızca en büyük değerli sonuçların
dikkate alındığı görülebilir. Kural gereği, en büyük değerlerden en büyük
olanının seçilmesi gerektiğinden  = 1 için, Hurwicz ölçütü maksimaks ölçütüne
eşdeğerdir (bkz. Örnek 8.5). Buna göre, satır en büyük değerlerinden en büyüğünü
sağlayan S2 ya da S3 seçilecektir.

 = 0.6 seçildiğinde, stratejilerin beklenen değerleri satır en büyüklerinin
0.6, satır en küçüklerinin 0.4 ile çarpımlarının toplamı olarak Tablo 8.10’daki
gibi hesaplanacaklardır.

Tablo 8.10

|          | Kazanç İçin | Beklenen |          |
|----------|-------------|----------|----------|
| Strateji | Enb         | Enk      | Kazanç   |
| S1       | 26          | 18       | 22.8     |
| S2       | 34          | 18       | 27.6     |
| S3       | 34          | 24       |  30.0\*  |
| S4       | 30          | 20       | 26.0     |

Karar verici en yüksek beklenen kazancı hedeflediğinden, S3’ü seçecektir. Karar
matrisi elemanlarının kayıplara karşılık gelmesi durumunda stratejilerin
beklenen değerleri satır en küçüklerinin 0.6, satır en büyüklerinin 0.4 ile
çarpımlarının toplamı olarak hesaplanacaklardır.

Hesap sonuçları, Tablo 8.11’de beklenen kayıp başlıklı sütunda gösterilmiştir.
Buna göre beklenen kaybın en küçük olmasını sağlayan S1 benimsenecektir.

Tablo 8.11

|          | Kayıp İçin | Beklenen |         |
|----------|------------|----------|---------|
| Strateji | Enb        | Enk      | Kayıp   |
| S1       | 18         | 26       |  21.2\* |
| S2       | 18         | 34       | 24.4    |
| S3       | 24         | 34       | 28.0    |
| S4       | 20         | 30       | 24.0    |

## 8.4. RİSK DURUMUNDA KARAR ALMA

Daha önce açıklandığı gibi olayların gerçekleşme olasılıklarının bilinmesi
durumundaki karar problemi, risk durumunda karar problemidir. Risk durumunda
karar almada kullanılan başlıca ölçütler şunlardır:

*1.*  En yüksek olabilirlik

*2.*  Beklenen değer

*3.*  Beklenen fırsat kaybı veya beklenen pişmanlık

En Yüksek Olabilirlik Ölçütü: Bu ölçüte göre karar verici tüm dikkatini
olabilirliği en yüksek olan olay üzerinde yoğunlaştırır. Gerçekleşme olasılığı
en büyük olan olayın belirlenmesinden sonra bu olay için en yüksek (en büyükleme
durumunda en büyük, en küçükleme durumunda en küçük) sonucu sağlayan stratejinin
uygulanmasına karar verilir.

Örnek 8.8: En yüksek olabilirlik ölçütünü Tablo 8.12’deki kazanç matrisine
uygulayarak en iyi stratejiyi kararlaştırınız. Olayların gerçekleşmesi
olasılıkları aynı tablonun son satırında verilmiştir.

Tablo 8.12

|          | Olay |     |      |      |
|----------|------|-----|------|------|
| Strateji | O1   | O2  | O3   | O4   |
| S1       | 26   | 26  | 18   | 22   |
| S2       | 22   | 34  | 30   | 18   |
| S3       | 28   | 24  | 34   | 26   |
| S4       | 22   | 30  | 28   | 20   |
| Olasılık | 0.2  | 0.5 |  0.2 |  0.1 |

**Çözüm 8.8**: Tablo 8.12’nin son satırında görüldüğü gibi olabilirliği en
yüksek olay O2’dir. Karar verici gelecekte O2’nin gerçekleşeceğini düşünerek
kendisine en yüksek kazancı sağlayacak olan S2 stratejisini uygulayacaktır.

Bu kural özellikle mümkün olaylardan birine ilişkin olasılık diğer olaylara
ilişkin olasılıklardan önemli derecede büyükse uygundur. Diğer olayları ve
bunların sonuçlarını göz ardı etmesi ölçütün zayıf tarafıdır.

Beklenen Değer Ölçütü: Beklenen değer ölçütü olayların ortaya çıkması
olasılıklarının bilinmesi durumunda, her bir stratejiye ilişkin beklenen değerin
hesaplanarak bunlar arasından en iyi olanın işaret ettiği stratejinin seçilmesi
esasına dayanır.

Beklenen değer ölçütü kuralını aynı açıklayıcı örnek probleme uygulayalım.

Örnek 8.9: Beklenen değer kuralını Tablo 8.12’deki 4 X 4 kazanç matrisine
uygulayınız.

Çözüm 8.9: Olayların gerçekleşmesi olasılıkları sırasıyla; 0.2, 0.5, 0.2, ve 0.1
olarak verildiğinden stratejilerin beklenen değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.

S1 için = 0.2(26) + 0.5(26) + 0.2(18) + 0.1(22) = 24.0

S2 için = 0.2(22) + 0.5(34) + 0.2(30) + 0.1(18) = 29.2

S3 için = 0.2(28) + 0.5(24) + 0.2(34) + 0.1(26) = 27.0

S4 için = 0.2(22) + 0.5(30) + 0.2(28) + 0.1(20) = 27.0

En yüksek beklenen kazancı S2 seçeneği sağladığından, karar vericinin en iyi
kararı S2’yi seçmek olacaktır. Sonuç değerleri kayıp değerlerine karşılık gelse
idi karar verici en küçük beklenen değerli S1’i seçerdi.

Beklenen Fırsat Kaybı veya Beklenen Pişmanlık Ölçütü: Risk durumunda karar
almada kullanılabilecek diğer bir ölçüt beklenen fırsat kaybı veya beklenen
pişmanlık ölçütüdür. Bu ölçütün beklenen değer ölçütünden çok farklı olmadığı
görülebilir. İki ölçüt arasındaki tek fark, dikkate aldıkları sonuç
değerleridir. Fırsat kaybı sonuçlarının dikkate alınması durumunda beklenen
değer ölçütü beklenen fırsat kaybı ölçütü adını alır.

Beklenen fırsat kaybı ile beklenen değer ölçütleri arasındaki benzerliği
görebilmek için beklenen fırsat kaybı ölçütünü aynı örnek probleme uygulayalım.

Örnek 8.10: Tablo 8.12’deki karar (kazanç) matrisine beklenen fırsat kaybı
ölçütünü uygulayarak karar vericinin en iyi stratejisini belirleyiniz.

Çözüm 8.10: Beklenen fırsat kaybı ölçütünde fırsat kayıpları esas alındığından
önce fırsat kayıpları matrisinin düzenlenmesi gerekir. Daha önce açıklandığı
gibi orijinal karar matrisinin kazanç değerlerinden oluşması durumunda, fırsat
kaybı matrisi, orijinal matrisin sütun değerlerinin her birinin, sütun en büyük
değerinden çıkartılmasıyla aşağıdaki gibi düzenlenecektir.

Tablo 8.13

|          | Olay |     |     |     |
|----------|------|-----|-----|-----|
| Strateji | O1   | O2  | O3  | O4  |
| S1       | 2    |  8  | 16  | 4   |
| S2       | 6    |  0  |  4  | 8   |
| S3       | 0    | 10  | 0   | 0   |
| S4       | 6    |  4  | 6   | 6   |
| Olasılık | 0.2  | 0.5 | 0.2 | 0.1 |

Fırsat kaybı matrisinin oluşturulmasından sonra olayların gerçekleşmesi
olasılıklarından yararlanarak her bir eylem için beklenen fırsat kaybı değerleri
hesaplanmalıdır. Söz konusu değerler aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

S1 için = 0.2(2) + 0.5(8) + 0.2(16) + 0.1(4) = 8.0

S2 için = 0.2(6) + 0.5(0) + 0.2(4) + 0.1(8) = 2.8

S3 için = 0.2(0) + 0.5(14) + 0.2(0) + 0.1(6) = 5.0

S4 için = 0.2(6) + 0.5(4) + 0.2(6) + 0.1(6) = 5.0

Sonuçta, beklenen fırsat kaybı ölçütüne göre en iyi strateji en küçük beklenen
fırsat kaybı değerini veren S2 olacaktır. Bu ölçütle en iyi olduğu
kararlaştırılan S2’nin daha önce beklenen değer ölçütüyle en iyi olduğu
belirlenen strateji olduğuna dikkat edilmelidir.

Tam Bilginin Beklenen Değeri: Karar problemlerinin çoğunda, ön bilgilerle
yetinilip yetinilmemesi konusu kararsızlığa neden olmaktadır. Daha fazla bilgiye
sahip olunduğunda belirsizlik azalacağından, alınan karara duyulan güven
artacaktır. Ancak, daha fazla bilgi sağlamak için yapılan örnekleme, test ve
çeşitli deneylerin bir maliyeti olacağı unutulmamalıdır. Bu nedenle ek bilgi
sağlamak için katlanılması gereken maliyetin katlanmaya değer olup olmadığının
araştırılması gerekir. Bunun için tam bilgiden beklenen gelirle başka bir
deyişle, tam bilginin beklenen değeriyle ek bilgiye ulaşmanın yaratacağı
maliyetin karşılaştırılması uygun olur. Tam bilgi fayda sağlıyor ise tam bilgiye
başvurmak, aksi halde eldeki bilgilerle yetinmek akılcı bir yaklaşım olur. Tam
bilginin beklenen değeri kavramını açıklayıcı örnek problem üzerinde gösterelim.

Örnek 8.11: Örnek 8.1’deki mağaza sahibinin tam bilgi durumundaki beklenen
kârını hesaplayarak, tam bilgi altında kârdaki artışı bulunuz.

Tablo 8.14

| Sipariş  | İstem Miktarı |      |      |       |
|----------|---------------|------|------|-------|
| Miktarı  | 100           | 150  | 200  | 250   |
| 100      | 3000          | 2750 | 2500 |  2250 |
| 200      | 1500          | 4750 | 8000 |  7750 |
| 300      | 2000          | 5250 | 8500 | 11750 |
| Olasılık | 0.2           | 0.3  | 0.3  | 0.2   |

Çözüm 8.11: İstem miktarı kesin olarak bilindiğinde, en iyi sipariş miktarı da
aynı kesinlikle kolayca belirlenebilir. Sözgelimi, istemin 100 adet olacağından
emin olunsa, 100 adet siparişle kazancın en büyük olması sağlanır. İstemin 100
adet olması olasılığı 0.2 olduğundan, 100 birimlik istem için beklenen kazanç
şöyle olur:

0.2 X 3000 = 600 TL

Benzer şekilde istemin 150 olması durumunda en yüksek kâr 300 adet siparişle
sağlanır. Bu olay-strateji çifti için en yüksek kazanç 5250 TL olduğundan
beklenen kâr bu olayın gerçekleşme olasılığı (0.3) ile 5250’nin çarpılmasıyla
1575 TL olarak hesaplanır. Benzer işlemlerle istemin 200 ve 250 adet olması
durumları için beklenen kârlar sırasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır.

0.3 X 8500 = 2550 TL

0.2 X 11750 = 2350 TL

Tam bilgi altında beklenen kâr her bir olay için en iyi stratejinin seçilmesi
sonucu gerçekleşen beklenen kazançların toplamına eşittir. Buna göre tam bilgi
altındaki beklenen kazanç (TBABK) aşağıdaki gibi elde edilir.

TBABK = 0.2(3000) + 0.3(5250) + 0.3(8500) + 0.2(11750)

= 7075 TL

Tam bilgi altında hesaplanan 7075 TL’lik kazanç istemin değeri hakkında kesin
bilgiye sahip olunması durumunda kazanılacak en yüksek miktardır. Bu yolla hangi
stratejinin uygun olacağı konusunda bir öneride bulunulmadığına dikkat
edilmelidir. Burada saptanan yalnızca belirlilik durumunda kârın en fazla 7075
TL olabileceğidir. Kârı bu düzeye çıkarmak için istem miktarlarının olasılıkları
hakkında daha fazla bilgi edinmek istendiğini düşünelim. Bu durumda, ek bilginin
kârda sağlayacağı artış ile gerçekleştirilmesi düşünülen çalışmanın maliyeti
karşılaştırılmalıdır. Ek bilgiyle sağlanacak kâr ek bilgiye ulaşma maliyetinden
fazla ise ek bilgiye başvurulacak aksi halde, eldeki veri ile yetinilerek risk
ortamında beklenen değer ölçütüyle karar verme benimsenecektir. Ek bilginin
beklenen değeri, tam bilgi altındaki beklenen değer ile risk durumundaki
beklenen değer arasındaki farka eşittir.

Risk durumunda en yüksek kâr 6875 TL’dir. Tam bilgi altında en yüksek kâr 7075
TL olduğundan ek bilginin beklenen değeri aşağıdaki gibi hesaplanır.

Ek Bilginin Beklenen Değeri = 7075 - 6875 = 200 TL

Bu değer tam bilgi durumunda kârdaki artışı gösterir. Buna göre ek bilgi
sağlamak için yapılacak çalışmanın maliyeti 200 TL’den fazlaysa mağaza sahibinin
ek bilgi sağlamaktan vazgeçmesi uygun olur. Açıklamalarımız için gerekli
olduğundan problemi bir de beklenen fırsat kaybı ölçütünü kullanarak çözelim.
Problemin fırsat kaybı tablosu aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 8.15

|          | Olay | Beklenen |      |      |              |
|----------|------|----------|------|------|--------------|
| Strateji | O1   | O2       | O3   | O4   | Fırsat Kaybı |
| S1       | 0    | 2500     | 6000 | 9500 | 4450         |
|  S2      | 1500 | 500      | 500  | 4000 | 1400         |
|  S3      | 1000 | 0        | 0    | 0    |  200         |
| Olasılık | 0.2  | 0.3      | 0.3  | 0.2  | -            |

Hesaplanan beklenen fırsat kayıpları, fırsat kayıpları tablosuna eklenen
"Beklenen Fırsat Kaybı" başlıklı sütunda gösterilmiştir. Görüldüğü gibi en küçük
beklenen fırsat kaybı ek bilginin beklenen değerine eşittir. Bu durum yalnızca
bu problem için değil her zaman böyledir. En küçük beklenen fırsat kaybı
belirsizliğin maliyeti olarak değerlendirilir. Her bir strateji için beklenen
kâr ile beklenen pişmanlık değerleri toplamının, tam bilginin beklenen değerine
eşit olduğu gösterilebilir. Bu durumun açıklanmasına örnek olması için S1’i
inceleyelim. S1 için beklenen kâr olan 2625 TL ile S1 için beklenen fırsat kaybı
4450 TL’nin toplamı 7075 TL’ye eşittir.

# 8.5. KARAR AĞACI ANALİZİ

Şimdiye kadar, sonuçların matris veya tablo biçiminde gösterilmesinin mümkün
olduğu "bir olaylar kümesi-bir strateji seçimi"olarak özetlenebilecek durumların
karar problemleri incelenmiştir. Oysa karar verme genellikle, birden fazla
olaylar kümesinin bulunduğu, her küme için bir eylem seçiminin söz konusu olduğu
çok aşamalı bir süreçtir. Bu, birden fazla noktada karar verme durumunda olmak
demektir. Bu tip problemlerin matris veya tablo yaklaşımıyla çözülmesi doğru
değildir. Matris yerine karar ağacı oluşturulması uygun olur.

Karar Ağacı: İlk olay veya stratejiyle son sonuçlara ulaşılma aşamasına kadar
ortaya çıkan tüm olay ve eylemlerin tarih sırasına göre düzenlenmesiyle oluşan
bir grafiktir. Grafik ağaca benzediğinden "ağaç grafiği" vaya "karar ağacı"
denir. Özünde bir grafik olduğundan karar ağacı düğümler ve çizgilerden oluşan
bir kümedir.

Karar vericinin karar aldığı her bir nokta karar noktası olup karar noktaları
ağaç üzerinde bir kare ile gösterilir. Bu kareden çıkan dallar karar vericinin
stratejilerine karşılık gelir. Karar vericinin kontrolü dışında olan olaylar
ağaç üzerinde dairelerle gösterilirler. Bu noktalara "olay düğüm noktası" veya
"şans noktası" denir. Daire biçimindeki olay düğüm noktalarından çıkan her dal,
bir olayı simgeler. Olayı simgeleyen sembol ve olayın ortaya çıkma olasılığı ait
olduğu dal üzerinde gösterilir. Şans noktasından çıkan dallar, karar vericiyi
bir başka şans noktasına veya bir karar noktasına götürebilir.

Karar probleminin karar ağacı ile çözümünde, dinamik programlamada[3] olduğu
gibi, sondan başa doğru hesaplama yaklaşımı uygulanır. Bunun için oluşturulan
karar ağacının en son aşamasındaki uç noktalardan başlanır ve ağaç üzerinde başa
doğru gidilir. Bu ilerleyiş sırasında karşılaşılan karar noktalarının her
birinde o düğümün beklenen değeri hesaplanır. Beklenen değerlerden en iyi olanı
o düğümün üzerine yazılır. Başlangıç noktasına ulaşıldığında çözüm işlemi
tamamlanmış olur.

Karar ağacı yaklaşımını sipariş miktarının belirlenmesiyle ilgili örnek probleme
uygulayalım.

Örnek 8.12: Örnek 8.1’deki problemin karar ağacını düzenleyerek net kârı en
büyükleyen sipariş miktarını bulunuz.

Çözüm 8.12: Problemi karar ağacı yaklaşımıyla çözebilmek için öncelikle karar
ağacı oluşturulmalıdır. Karar ağacının düzenlenebilmesi için önce karar noktası
sayısı belirlenir. Bilindiği gibi mağaza sahibinin sipariş miktarını belirlemek
gibi tek bir sorunu, yani almak istediği tek bir karar vardır. Bu nedenle karar
noktası tektir. Bu nokta K ile işaretlenecektir. Sipariş miktarı için 100, 200
veya 300 olmak üzere 3 seçenek bulunduğundan bu noktadan 3 dal çıkacaktır. Karar
ağacının bu kısmı aşağıda gösterilmiştir.

![](media/ba270dcd3557b744f7d83e1577db9f89.png)

Şekil 8.1

Bir an için sipariş miktarının 100 olarak belirlendiğini düşünelim. İstem düzeyi
100, 150, 200 veya 250 olabilir. İstem düzeyindeki bu belirsizlik olay düğüm
noktası olarak işaretlenir. Olay düğüm noktasından olay sayısı kadar dal çıkacak
ve dalların her biri ayrı bir istem düzeyine karşılık gelecektir. Olaylara
ilişkin olasılıkların ait oldukları dallar üzerinde, olaylara ilişkin kârların
dalların uç noktalarında gösterilmesiyle karar ağacının 100 birimlik sipariş
verilmesi durumunu açıklayan kısmı aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

![](media/748bbf77ed43ba9fd81e9292b506cfa3.png)

Şekil 8.2

Dallardan geriye doğru giderek 1 nolu düğüm noktasındaki beklenen kârı (BK1)
hesaplayalım.

BK1 = 3000(0.2) + 2750(0.3) + 2500(0.3) + 2250(0.2)

= 2625 TL

Saptanan 2625 TL tutarındaki beklenen kâr 1 nolu olay düğüm noktasının üzerine
yazılır.

Aynı yöntemle 200 ve 300 birimlik sipariş miktarları için 2 ve 3 nolu olay düğüm
noktalarındaki beklenen kârlar aşağıdaki gibi hesaplanır.

BK2 = 1500(0.2) + 4750(0.3) + 8000(0.3) + 7750(0.2) = 5675 TL

BK3 = 2000(0.2) + 5250(0.3) + 8500(0.3) + 11750(0.2) = 6875 TL

Beklenen kârların O2 ve O3 noktalarına yazılmasıyla karar ağacı aşağıdaki gibi
tamamlanmış olur.

![](media/3e8d9e32a5a545947384226c28ba2830.png)

Şekil 8.3

Her bir olay düğüm noktasının beklenen değerleri hesaplandıktan sonra K ile
simgelenen karar noktasına ulaşırız. Bu nokta; sipariş miktarının 100, 200 veya
300 olması eylemlerinden birinin seçilmesi durumunu gösterir. 300 dalı 100 ve
200 dallarından daha fazla kâr sağladığından mağaza sahibi 100 ve 200 dallarını
değil, 300 dalını seçecektir. Seçilmeyen dallar "//" ile işaretlenir.

Daha önce değindiğimiz gibi karar ağacı yaklaşımı, özellikle birden fazla
noktada karar almanın söz konusu olduğu karar problemlerinin çözümünde etkindir.
Bu nedenle daha karmaşık bir karar problemi çözelim.

**Örnek 8.13**: Piyasaya sürülecek yeni bir ürünün tanıtımı için bir reklam
kampanyası düzenlenecektir. Reklam için ya TV ya da gazete seçilecektir. TV ile
kampanyanın başarılı olması olasılığı 0.6, başarısız olması olasılığı 0.4’dür.
Başarılı bir TV kampanyası sonucunda üreticinin kârı 90 TL olmaktadır. Kampanya
başarısız olduğunda firmanın, ürünün üretim haklarını 10 TL’ye devretmek veya
ürünü yeniden tasarlayarak yeni bir kampanya başlatmak gibi iki stratejisi
vardır.

Yeni tasarımlı ürünün başarılı olması şansı 0.7 olup bu durumda beklenen kâr 70
TL, başarısız olması şansı 0.3 olup beklenen kâr -20 TL’dir. Kampanya gazete ile
yapıldığında başarılı olma olasılığı 0.8, başarısız olma olasılığı 0.2’dir.
Başarılı olunduğunda kâr 60 TL olmaktadır. Başarısız olunması durumunda üretim
haklarının devredilmesi veya reklam ajansının değiştirilmesi mümkündür. Üretim
haklarının devredilmesi durumunda net kâr 25 TL’dir. Ajansın değiştirilmesi
kararlaştırıldığında; yeni kampanyanın başarılı olması olasılığı 0.7, başarısız
olması olasılığı 0.3’dür. Başarılı yeni kampanya 40 TL’lık net kâra, başarısız
yeni kampanya 15 TL net zarara neden olmaktadır. Firmanın en iyi stratejisini
saptayınız.

Çözüm 8.13: Önce karar noktası sayısını belirleyelim. İlk karar TV ile gazete
arasından seçim yapılmasına ilişkindir. Bu karar noktası karar ağacında K1 ile
gösterilmiştir. Bir an için reklam için TV’nin seçildiğini düşünelim. Bu
kampanyanın nasıl sonuçlanacağı belirsizlik içindedir. Bu belirsizlik, E1 olay
düğüm noktasında kampanyanın başarılı veya başarısız olması olaylarına karşılık
gelen dallarla açıklanmıştır. Bu olaylardan başarısızlık durumunun
gerçekleştiğini düşünelim. Bu durumda karar verici K2 ile gösterilen karar alma
noktasına gelir.

K2 ikinci aşama karar noktası olup ürünün yeniden tasarlanarak yeni bir kampanya
başlatılması veya üretim haklarının devredilmesi seçenekleri arasından seçim
yapılması durumunu gösterir. Bu aşamada yeni tasarım-yeni kampanya alternatifi
seçilirse E3 olay düğüm noktasından çıkarılan iki dal ile gösterilmiş olan
belirsizlikle karşılaşılır.

Başlangıçta reklam kampanyası için gazetenin seçilmiş olduğunu düşünelim. Bu
seçimin sonucu da belirsizlik içermektedir. Kampanyanın başarısı ile ilgili bu
belirsizlik E2 olay düğüm noktasından çıkan iki dalla açıklanmıştır. Bu
olaylardan başarısızlık durumunun ortaya çıkması halinde firma K3 ile gösterilen
ikinci aşama karar noktasına gelir. Bu karar noktası reklam ajansının
değiştirilmesi veya üretim haklarının satılması seçenekleri arasından bir seçim
yapılması durumunu gösterir.

Ajansın değiştirilmesine karar verildiğini düşünelim. Bu kararın uygulanması
sonucunda kampanya ya başarılı ya da başarısız olacaktır. Bu belirsizlik E4 olay
noktasından çıkarılan iki dalla açıklanmıştır.

Karar ve olay noktaları ile dallarının belirlenmesinden sonra ağacın en
sağındaki uç noktalara karşılık geldikleri kârların yazılmasıyla karar ağacı
aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

70 TL’lik kâr; TV seçimi, başarısızlık, yeni tasarı-yeni kampanya, başarılı olma
eylem-olay bileşenleri sonucu ortaya çıkar. Şimdi de karar ağacının en sağından
başlayıp, ilk karar noktasına doğru dalları izleyerek her bir olay düğüm
noktasındaki beklenen kârları hesaplayalım.

Önce E3 olay düğüm noktasını inceleyelim. Bu noktadaki kârın beklenen değeri,

70(0.7) + (-20)(0.3) = 43 TL

olarak hesaplanmıştır.

Hesaplanan bu değer E3 düğümünün üzerinde gösterilmiştir. 43 TL’lik kâr hakların
satılması durumunun sağladığı 10 TL’lik kârdan yüksek olduğundan hakların
satılması dalı hiçbir zaman seçilmeyecektir. Bu durum bu dal üzerine konulan
"//" işaretiyle açıklanmıştır.

E3’den başa doğru gidildiğinde karşılaşılan E1’deki beklenen kârı
hesaplayabiliriz. E1’deki kâr,

90(0.6) + 43(0.4) = 71.2 TL

olarak hesaplanmıştır.

Hesaplanan bu değer E1 üzerine yazılmıştır.

Şimdi de E4’den başlayıp başlangıç karar noktasına doğru dallar üzerinde
ilerleyerek beklenen kârları hesaplayalım. E4’de beklenen kâr, karar ağacında
gösterildiği gibi,

40(0.7) + (-15)(0.3) = 23.5 TL

olarak hesaplanmıştır.

Ajansın değiştirilmesi durumundaki beklenen kâr, hakların satılması durumunda
sağlanacak olan kârdan az olduğundan ajansın değiştirilmesi düşünülmeyecek yani,
bu dal iptal edilecektir.

E4’den sonra E2’deki beklenen kârı hesaplayalım. E2’deki kâr,

60(0.8) + 25(0.2) = 53 TL

olarak hesaplanmıştır.

Bu değer gazete reklam kampanyasının işletmeye sağlayacağı kârdır. E2’deki kârın
hesaplanmasıyla problem çözülmüş olur.

TV seçiminin sağlayacağı kâr (71.2 TL), gazete seçiminin sağlayacağı kârdan
(53.0 TL) yüksek olduğundan kampanyanın TV ile sürdürülmesine karar verilir.

Böylece belirlenen karar ağacı Şekil 8.4’de gösterilmiştir.

![](media/d65732825ac1a15ac5d990acf6e5ff2e.png)

Şekil 8.4

# 8.6. BAYESGİL KARAR KURALI: SONRAKİ ANALİZ

Şimdiye kadar muhtemel olaylardan hangisinin gerçekleşeceği konusunda kesin
bilgiye sahip olunmadan ön (önsel) olasılıklarla karar alma üzerinde
durulmuştur. Oysa, kararın olayların önsel olasılıklarının gözden geçirilerek ek
bilgilerle gerekli düzeltmelerin yapılması veya önsel olasılık değerlerinin bir
kez daha onaylanmasından sonra alınması daha uygun olur. Bu yolla, alınacak
karara duyulan güven artacaktır. Çünkü alınan kararın isabetliliği, herşeyden
önce belirsizlik derecesinin azaltılmasına bağlıdır. Belirsizlik derecesinin
azaltılması ek bilgilerle gerçekleştirilir. Ön olasılıklar ek bilgilerle daha az
belirsizlik gösteren sonraki (sonsal) olasılıklara dönüştürülür. Sonsal
olasılıkların elde edilmesi veya önsel olasılıkların güncelleştirilmesi için
Bayes kuralı veya Bayes yaklaşımından yararlanılır. Bayes yaklaşımı, deneyin
mümkün sonuçları ile ilgili olasılıkların gözden geçirilerek gerekli
düzeltmelerin yapılmasına olanak sağlayan son derecede faydalı bir yaklaşımdır.

Beklenen değer yaklaşımının bir uzantısı olan Bayes yaklaşımında da beklenen
değer kavramı kullanılır. Bayesgil yaklaşımının beklenen değer yaklaşımından
farkı olasılıkların sonsal oluşudur. Bayes yaklaşımı aşağıdaki formülle
açıklanır.

![](media/6b0c02129e3ea7b7c8919734e369e982.png)

Burada; H1, H2, ..., Hn birleşimleri S örneklem uzayını veren ayrık olaylar, E
örneklem uzayının herhangi bir olayıdır. Bayes formülü için daha açık olarak
aşağıdaki gibi yazılır.

![](media/f86ed3bf4cb7584af77407e87c99bf4a.png)
i = 1, 2, ..., n

Burada,

P(Hi), i = 1, 2, ..., n ek bilgiye ulaşılmadan önceki (önsel) olasılıklardır.

P(Hj / E), j = 1, 2, ..., n ek bilgiye ulaşıldıktan sonraki (sonsal)
olasılıklardır.

Karar verme problemlerinde Bayes formülü kullanımını sipariş miktarının
belirlenmesiyle ilgili örnek problemle açıklayalım.

Örnek 8.14: Mağaza sahibinin istem miktarına ilişkin önsel olasılıklara
güvenmediğini, daha güvenilir olasılıklara ulaşmak için pazar araştırması
kuruluşuyla anlaştığını düşünelim. Araştırma sonucu 4 farklı örnek grubunun
ortaya çıkabileceğini ve bu grupların aşağıdaki raporları sunacaklarını
düşünelim. Bu raporlar çerçevesinde olayların gerçekleşmesi olasılıklarını
gözden geçirerek bunlara ilişkin yeni değerleri elde ediniz

R1: İstem 100 adet olacak.

R2: İstem 150 adet olacak.

R3: İstem 200 adet olacak.

R4: İstem 250 adet olacak.

**Çözüm 8.14**: Pazar araştırmasıyla elde edilen ek bilgiye "gösterge" veya
"örnek bilgi" denir. Buna göre her rapor bir göstergedir. Amaç bu göstergeler
çerçevesinde olayların gerçekleşme olasılıklarını gözden geçirmek; ya onların
değerlerini onaylamak ya da gereken düzeltmeleri yapıp yeni değerlerini elde
etmektir. Araştırma sonucunda ulaşılan bilgiler her zaman yüzde yüz doğru
olmayabilirler. Ulaşılan bilgiden gereğince yararlanabilmek için göstergeler
(R1, R2, R3, R4) ve olaylar (O1, O2, O3, O4) arasındaki olasılık ilişkileri
hakkında bilgi sahibi olunması gerekir. Bunun için pazar araştırması kuruluşunun
daha önce buna benzer bir çalışma yaptığını ve geçmiş dönem kayıtlarından pazar
araştırması raporlarının gerçekleşmesi olasılıklarını Tablo 8.16’daki gibi
belirlediğini varsayalım.

Tablo 8.16

|         | Araştırma Raporu |      |      |      |
|---------|------------------|------|------|------|
| Olay    | R1               | R2   | R3   | R4   |
| O1: 100 | 0.70             | 0.10 | 0.05 | 0.15 |
| O2: 150 | 0.05             | 0.85 | 0.05 | 0.05 |
| O3: 200 | 0.10             | 0.05 | 0.75 | 0.10 |
| O4: 250 | 0.05             | 0.05 | 0.10 | 0.80 |

Tabloda verilenler koşullu olasılıklardır. Sözgelimi, tablonun ilk gözesindeki
0.70, istem 100 adet olarak gerçekleşmişken, araştırma kuruluşunun R1 ile
simgelenen raporu sunması olasılığı, yani P(R1/O1)’dir. Aynı şekilde, P(R2/O1) =
0.10, P(R3/O1) = 0.05, P(R4/O1) = 0.15’dir. Diğer olasılıklar; P(R1/O2) = 0.05,
P(R2/O2) = 0.85, ..., P(R2/O3) = 0.05, P(R3/O3) = 0.75, ..., P(R1/O4) = 0.05,
... ve P(R4/O4) = 0.80’dir.

Bu olasılık tahminleri ile sunulan rapora daha fazla güven duyulabilir. Çünkü,
istem 100 adet olarak gerçekleştiğinde gösterge de %70 olasılıkla bu durumu
rapor edecektir. Benzer şekilde istem 150 adet olduğunda, araştırma raporunun
"istem 150 adet olacak" şeklinde olması olasılığı %85’dir. Benzer şekilde istem
200 olduğunda raporun bunu destekler nitelikte olma olasığı %75; istem 250
olduğunda raporun bunu destekler nitelikte olma olasığı %80’dir.

Önsel ve koşullu olasılıklarla sunulan raporun Ri (i = 1, 2, 3, 4) olması
olasılıkları (P(Ri)) hesaplanabilir. Raporun niteliği ne olursa olsun, istem
miktarı mümkün dört değerinden birini alır. Buna göre bu olasılıklar aşağıdaki
gibi hesaplanır.

P(R1) = P(R1 O1) + P(R1 O2) + P(R1 O3) + P(R1 O4)

= P(O1)(R1 /O1) + P(O2)(R1 /O2) + P(O3)(R1 /O3) + P(O4)(R1 /O4)

= 0.2(0.70) + 0.3(0.05) + 0.3(0.10) + 0.2(0.05)

= 0.14 + 0.015 + 0.03 + 0.01 = 0.195

P(R2) = P(R2 O1) + P(R2 O2) + P(R2 O3) + P(R2 O4)

= P(O1)(R2 /O1) + P(O2)(R2 /O2) + P(O3)(R2 /O3) + P(O4)(R2 /O4)

= 0.2(0.10) + 0.3(0.85) + 0.3(0.05) + 0.2(0.05)

= 0.02 + 0.255 + 0.015 + 0.01 = 0.30

P(R3) = P(R3 O1) + P(R3 O2) + P(R3 O3) + P(R3 O4)

= P(O1)(R3 /O1) + P(O2)(R3 /O2) + P(O3)(R3 /O3) + P(O4)(R3 /O4)

= 0.2(0.05) + 0.3(0.05) + 0.3(0.75) + 0.2(0.10)

= 0.01 + 0.015 + 0.03 + 0.16 = 0.27

P(R4) = P(R4 O1) + P(R4 O2) + P(R4 O3) + P(R4 O4)

= P(O1)(R4 /O1) + P(O2)(R4 /O2) + P(O3)(R4 /O3) + P(O4)(R4 /O4)

= 0.2(0.15) + 0.3(0.05) + 0.3(0.10) + 0.2(0.80)

= 0.03 + 0.015 + 0.03 + 0.16 = 0.235

Şimdi de raporun R1 raporu olması durumunda; olayların gerçekleşme
olasılıklarının yeni değerlerini, yani sonsal olasılıkları hesaplayalım.

**a**. R1: "İstem 100 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4
olaylarına ilişkin sonsal olasılıklar Tablo 8.17’deki gibi hesaplanır.

Tablo 8.17

|           | Olasılık      |                     |                       |                       |
|-----------|---------------|---------------------|-----------------------|-----------------------|
|   Olay Oi |  Önsel  P(Oi) | Koşullu   P(R1 /Oi) |  Birleşik   P(R1 Oi) | Sonsal   P(Oi /R1)    |
| O1        | 0.20          | 0.70                | 0.140                 | 0.140 / 0.195 = 0.718 |
| O2        | 0.30          | 0.05                | 0.015                 | 0.015 / 0.195 = 0.077 |
| O3        | 0.30          | 0.10                | 0.030                 | 0.030 / 0.195 = 0.154 |
| O4        | 0.20          | 0.05                | 0.010                 | 0.010 / 0.195 = 0.051 |
| Toplam    | 1.00          |                     | 0.195                 | -                     |

Tablo 8.17’nin sonsal başlıklı sütun değerleri incelendiğinde; göstergenin R1
olması durumunda; P(O1) için 0.20 yerine 0.718, P(O2) için 0.30 yerine 0.077,
P(O3) için 0.30 yerine 0.154 ve P(O4) için 0.20 yerine 0.051 değerlerinin
hesaplandığı görülebilir.

Sonsal olasılıklara göre beklenen kârın hesaplanması ile ilgili işlemler Tablo
8.18’de gösterilmiştir.

Tablo 8.18

|          |          |  Olay    |          |          | Beklenen |
|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr      |
| 100      | 3000     | 2750     | 2500     |  2250    | 2865.5   |
| 200      | 1500     | 4750     | 8,000    |  7750    | 3070.0   |
| 300      | 2,000    | 5250     | 8500     | 11750    | 3748.5   |
| P(Oi)    | 0.718    | 0.077    | 0.154    | 0.051    | -        |

Sunulan rapor R1 olduğunda; Tablo 8.18’ün son sütununda gösterildiği gibi en
yüksek kârı 300 birimlik sipariş sağladığından bu miktarda sipariş verecektir.

**b**. Şimdi de göstergenin R2 olması durumu üzerinde duralım.

R2: "İstem 150 adet olacak." raporu verildiğinde olayların (O1, O2, O3, O4)
sonsal olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır.

Tablo 8.19

|         | Olasılık    |                   |                      |                        |
|---------|-------------|-------------------|----------------------|------------------------|
| Olay Oi | Önsel P(Oi) | Koşullu P(R2 /Oi) |  Birleşik  P(R2 Oi) |  Sonsal   P(Oi /R2)    |
| O1      | 0.20        | 0.10              | 0.020                | 0.020 / 0.300 = 0.0667 |
| O2      | 0.30        | 0.85              | 0.255                | 0.255 / 0.300 = 0.8500 |
| O3      | 0.30        | 0.05              | 0.015                | 0.015 / 0.300 = 0.0500 |
| O4      | 0.20        | 0.05              | 0.010                | 0.010 / 0.300 = 0.0333 |
| Toplam  | 1.00        | -                 | 0.300                | -                      |

Böylece gösterge R2 olduğunda, O1’in önsel olasılığı 0.20 yerine 0.0666, O2’nin
önsel olasılığı 0.30 yerine 0.85, O3’ün önsel olasılığı 0.30 yerine 0.05 ve
O4’ün önsel olasılığı 0.20 yerine 0.033 elde edilmiştir.

Olayların gerçekleşme olasılıklarının yeni değerleriyle hesaplanan beklenen
değerler Tablo 8.20’de gösterilmiştir.

Tablo 8.20

|          |  Olay      | Beklenen |         |         |         |
|----------|------------|----------|---------|---------|---------|
| Strateji |  O1 (100)  | O2(150)  | O3(200) | O4(250) | Kâr     |
| 100      | 3000       | 2750     | 2500    | 2250    | 2737.5  |
| 200      | 1500       | 4750     | 8000    | 7750    |  495.5  |
| 300      | 2,000      | 5250     | 8500    | 11750   | 5412.0  |
| P(Oi)    | 0.0667     | 0.850    | 0.0500  | 0.0333  | -       |

İstem 150 adet olacak raporu gerçekleştiğinde en yüksek beklenen kâr 300 adet
siparişle sağlandığından bu miktarda sipariş verilmesi kararlaştıracaktır.

**c**. Şimdi de göstergenin R3 olması durumu üzerinde duralım.

"İstem 200 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4 olaylarına ilişkin
sonsal olasılıklar Tablo 8.21’deki gibi hesaplanır.

Tablo 8.21’in sonsal başlıklı sütunundan görüleceği gibi göstergenin R3 olması
durumunda, olayların gerçekleşme olasılıkları; P(O1) = 0.20 yerine 0.037, P(O2)
= 0.30 yerine 0.555, P(O3) = 0.30 yerine 0.833 ve P(O4) = 0.20 yerine 0.074
olarak elde edilmiştir.

Tablo 8.21

|         | Olasılık     |                    |                    |                      |
|---------|--------------|--------------------|--------------------|----------------------|
| Olay Oi | Önsel  P(Oi) | Koşullu  P(R3 /Oi) | Birleşik P(R3 Oi) | Sonsal  P(Oi /R3)    |
| O1      | 0.20         | 0.05               | 0.010              | 0.010 / 0.27 = 0.037 |
| O2      | 0.30         | 0.05               | 0.015              | 0.015 / 0.27 = 0.055 |
| O3      | 0.30         | 0.75               | 0.225              | 0.225 / 0.27 = 0.833 |
| O4      | 0.20         | 0.10               | 0.020              | 0.020 / 0.27 = 0.074 |
| Toplam  | 1.00         | -                  | 0.270              | -                    |

Olasılıkların yeni değerleriyle hesaplanan beklenen kârlar Tablo 8.22’nin son
sütununda gösterilmiştir. Tablonun beklenen kâr sütunu incelendiğinde en yüksek
kârı (8317.93 TL) sağlayan 300 birimlik sipariş verme seçeneği seçilecektir.

Tablo 8.22

|          | Olay     | Beklenen |          |          |          |
|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr      |
| 100      | 3000     | 2750     | 2500     | 2250     | 2512.63  |
| 200      | 1500     | 4750     | 8000     | 7750     | 7556.63  |
| 300      | 2000     | 5250     | 8500     | 11750    | 8317.93  |
| P(Oi)    | 0.037    | 0.055    | 0.833    | 0.074    | -        |

**d**. Son olarak göstergenin R4 olması durumu üzerinde duralım.

R4: "İstem 250 adet olacak." raporu verildiğinde O1, O2, O3, O4 olaylarına
ilişkin sonsal olasılıklar aşağıdaki gibi hesaplanırlar.

Tablo 8.23

|         | Olasılık     |                    |                      |                        |
|---------|--------------|--------------------|----------------------|------------------------|
| Olay Oi | Önsel  P(Oi) | Koşullu  P(R4 /Oi) |  Birleşik   P(R4Oi) | Sonsal  P(Oi /R4)      |
| O1      | 0.20         | 0.15               | 0.030                | 0.030 / 0.235 = 0.1276 |
| O2      | 0.30         | 0.05               | 0.015                | 0.015 / 0.235 = 0.0638 |
| O3      | 0.30         | 0.10               | 0.030                | 0.030 / 0.235 = 0.1276 |
| O4      | 0.20         | 0.80               | 0.160                | 0.160 / 0.235 = 0.6808 |
| Toplam  | 1.00         | -                  | 0.235                | -                      |

Olay olasılıklarının yeni değerleriyle hesaplanan beklenen değerler Tablo
8.24’ün son sütununda gösterilmiştir. Söz konusu sütun değerlerinin ortaya
koyduğu gibi gösterge R4 olduğunda mağaza sahibi en yüksek kârı veren 300
birimlik sipariş seçeneğini seçecektir.

Tablo 8.24

|          | Olay     | Beklenen |          |          |          |
|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| Strateji | O1 (100) | O2 (150) | O3 (200) | O4 (250) | Kâr      |
| 100      | 3000     | 2750     | 2500     | 2250     |  2425.25 |
| 200      | 1500     | 4750     | 8000     | 7750     |  6791.45 |
| 300      | 2000     | 5250     | 8500     | 11750    | 10088.85 |
| P(Oi)    | 0.1276   | 0.0638   | 0.1276   | 0.6808   | -        |

Özetle araştırma grubu,

R1 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,

R2 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,

R3 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,

R4 ile simgelenen raporu sunduğunda 300 adet,

sipariş verilmesi uygun olacaktır.

Kuşkusuz bu kararların alınabilmesi için raporun türünün biliniyor olması
gerekir. Her bir raporun gerçekleşme olasılıklarının yukarıda önsel olasılıklar
ile koşullu olasılıkların kullanılmasıyla hesaplanan birleşik olasılıklara eşit
yani, P(R1) = 0.195, P(R2) = 0.30, P(R3) = 0.27, P(R4) = 0.235 olsunlar. Buna
göre pazar araştırması raporuna dayanarak alınacak kararın sağlayacağı beklenen
kâr aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

**Tablo 8.25**

|   Rapor |   Olasılık | En İyi Stratejinin Beklenen Kârı | Beklenen Değer |
|---------|------------|----------------------------------|----------------|
| R1      | 0.195      |  3748.50                         |  730.98        |
| R2      | 0.300      |  5412.00                         | 1623.60        |
| R3      | 0.270      |  8317.93                         |  2245.84       |
| R4      | 0.235      |  10088.85                        |  2370.88       |
| -       | -          | -                                |  6971.28       |

Görüldüğü gibi örnek bilgi altında beklenen kazanç 6971.28 TL olacaktı. Burada
olduğu gibi, örnek bilgi altında beklenen kazanç her zaman tam bilgi altında
beklenen kazançtan küçüktür.

# 

**PROBLEMLER**

**1**. Ana bayiden 8 TL’ye alınan bir gazete 10 TL’ye satılmakta, gününde
satılmayan bir gazete ana bayiye 5 TL’ye iade edilmektedir. Günlük satış
miktarını kesin olarak bilmeyen satıcı geçmiş 50 günü gözlemiş, istem miktarının
24 ile 30 arasında değiştiğini belirlemiştir. Bayinin istemle ilgili sahip
olduğu diğer bilgiler aşağıda verilmiştir.

Gazete bayinin her gün kaç gazete satın almasının uygun olacağına karar veriniz.

| Günlük İstem:  | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
|----------------|----|----|----|----|----|----|----|
| Gün Sayısı :   | 5  | 6  | 7  | 7  | 10 | 6  | 4  |

**2**. Geçmiş dönem kayıtlarından günlük ekmek satış miktarları aşağıdaki gibi
belirlenmiştir.

| Günlük Satış (Adet):  | 0  | 50 | 100 | 200 | 250 |
|-----------------------|----|----|-----|-----|-----|
| Gün Sayısı :          | 10 | 20 | 20  | 40  | 10  |

**a.** Beklenen satış miktarını belirleyiniz.

**b.** Bir adet ekmeğin maliyeti 4 TL, satış fiyatı 6 TL’dir . Üretildiği gün
satılmayan ekmekler bir süt üretme çiftliğine tanesi 3 TL’den satılmaktadır.
Beklenen değer ölçütüyle en iyi üretim miktarını belirleyiniz.

**3**. Genç bir çocuk, yaz tatilinde dondurma veya mısır satma arasında seçim
yapmak istemektedir. Dondurma satması durumunda; yaz mevsimi çok sıcak olursa
5000 TL, mevsim ılık geçerse 3000 TL kazanmayı ummaktadır. Mısır satması
durumunda; yaz mevsimi çok sıcak olursa 2500 TL, ılık geçerse 6,000 TL kâr
beklemektedir. Yaz mevsiminin sıcak olması olasılığı %65’dir. Buna göre çocuk
dondurma veya mısırdan hangisini satmalıdır?

**4**. Bir işletme yeni bir ürünün üretimine geçmeyi planlamaktadır. İşletme A
ve B ile gösterilen ürünlerin üretimi için gerekli kaynaklara sahiptir.
Yöneticiler adı geçen ürünlerden yalnızca birinin üretimini benimsemişlerdir.
İki ürünün istemine ilişkin yapılan pazar araştırması sonucu belirlenen
olasılıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

|      | İstem Düzeyi |      |       |
|------|--------------|------|-------|
| Ürün | Yüksek       | Orta | Düşük |
| A    | 0.70         | 0.20 | 0.10  |
| B    | 0.60         | 0.20 | 0.20  |

Ürün çeşidi ve istem düzeyi eşleşmelerine göre hesaplanan kârlarla düzenlenen
karar matrisi aşağıda gösterilmiştir.

|      | İstem Düzeyi  |      |       |
|------|---------------|------|-------|
| Ürün | Yüksek        | Orta | Düşük |
| A    | 30            | 10   |  5    |
| B    | 40            | 15   | -5    |

Problemi beklenen değer yaklaşımıyla çözerek hangi ürünün üretilmesinin uygun
olacağını kararlaştırınız.

**5**. Bir karar verici yatırım seçeneklerini, yatırımlarla ilgili gelirleri ve
olasılıkları aşağıdaki tabloda gösterildiği gibi belirlenmiştir. Beklenen değer
ölçütüyle en uygun yatırım seçeneğini belirleyiniz.

|       | Yatırım Gelirleri Olasılıkları |     |     |
|-------|--------------------------------|-----|-----|
| Gelir | A                              | B   | C   |
| -50   | 0.4                            | 0.2 | 0.2 |
|  0    | 0.0                            | 0.0 | 0.1 |
|  60   | 0.4                            | 0.2 | 0.1 |
| 100   | 0.2                            | 0.4 | 0.6 |
| 150   | 0.0                            | 0.2 | 0.0 |

**6**. Bir alışveriş merkezi için uygun jenaratör büyüklüğüne karar
verilecektir. Merkezde tüketilecek elektrik enerjisi miktarı kesinlikle
bilinmediğinden jenaratör büyüklüğü de belirsizlik arz etmektedir. Enerji
miktarı-jenaratör büyüklüğü eşleşmelerine göre oluşacak masraflar aşağıda
gösterilmiştir.

| Enerji  | Jenaratör Büyüklüğü |      |       |          |
|---------|---------------------|------|-------|----------|
| Miktarı | Küçük               | Orta | Büyük | Olasılık |
| Az      | 50                  | 100  | 150   | 0.2      |
| Orta    | 140                 | 100  | 150   | 0.7      |
| Çok     | 190                 | 190  | 150   | 0.1      |

**a**. Fırsat kaybı tablosunu düzenleyiniz.

**b**. En uygun jenaratör büyüklüğünü kararlaştırınız.

**c**. Tam bilginin beklenen değerini hesaplayınız.

**7**. Saç bakım ürünleri üreticisi bir işletme ürün yelpazesine yeni bir ürün
katmayı planlamaktadır. Yeni ürün üretimi 500000 TL ek harcama gerektirmektedir.
Üretilmesi durumunda satılan her bir yeni ürün işletmenin kârında 1 TL artış
sağlamaktadır. Yeni ürünün istem dağılımı aşağıda gösterildiği gibi tahmin
edilmiştir.

| İstem (000) | Olasılık |
|-------------|----------|
| 30          | 0.05     |
| 40          | 0.10     |
| 50          | 0.20     |
| 60          | 0.30     |
| 70          | 0.35     |

**a.** Yeni ürünün üretilmesi uygun mudur? Beklenen kâr nedir?

**b.** Tam bilginin beklenen değerini hesaplayınız.

**c.** İstemin 30000 olması olasılığı 0.10, 70000 olması olasılığı 0.30 olursa
tam bilginin değeri ne olur?

**8**. Şampuan üreticisi bir firma, yeni bir şampuan üretmeyi planlamaktadır.
Üretim kapasitesini dikkate alan firma; A, B ve C şampuanlarından birini seçmek
durumundadır. A seçildiğinde üretimin başlama zamanı ile ilgili bir belirsizlik
söz konusu olmaktadır. Üretimin gecikme olasılığı 0.80’dir. Üretim geciksin veya
gecikmesin A’nın fiyatıyla ilgili olarak "yüksek fiyat" ve "düşük fiyat" olmak
üzere iki seçenek vardır. Üretimin gecikmesi ve yüksek fiyata karar verilmesi
durumunda istemin yüksek olma olasılığı 0.30 olup, birim net kâr 6 TL’dir. Aynı
koşulda satışların orta düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.70 olarak tahmin
edilmiştir. Bu durumda birim net kâr -0.5 TL olmaktadır. A için düşük fiyata
karar verilmesi durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşmesi olasılığı,
satışların düşük düzeyde gerçekleşmesi olasılığına eşittir. Yüksek istem
düzeyinde birim net kâr 3 TL, düşük istem düzeyinde birim net kâr 1 TL’dir.

B’nin seçilmesi durumunda üretimin gecikmesi söz konusu değildir. Tıpkı A gibi
B’nin fiyatıyla ilgili olarak "yüksek fiyat" ve "düşük fiyat" olmak üzere iki
seçenek vardır. Yüksek fiyata karar verilmesi durumunda satışların yüksek olması
olasılığı 0.30 olup birim net kâr 16 TL, satışların orta düzeyde gerçekleşme
olasılığı 0.70, birim net kâr -0.5 TL’dir. B için düşük fiyata karar verilmesi
durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşme olasılığı 0.40, düşük düzeyde
gerçekleşme olasılığı 0.60’dır. İstem fazla olduğunda birim net kâr 8 TL, düşük
olduğunda birim net kâr 6 TL’dir.

C’ye karar verilmesi durumunda üretimin zamanında başlaması söz konusu değildir.
C’nin yüksek fiyatla satışına karar verilmesi durumunda satışların yüksek olması
olasılığı 0.25 olup birim net kâr 16 TL’dir. İstemin orta düzeyde gerçekleşmesi
olasılığı 0.70 olup bu durumda birim net kâr -0.5 TL’dir. C için düşük fiyata
karar verilmesi durumunda satışların yüksek düzeyde gerçekleşme olasılığı,
satışların düşük düzeyde gerçekleşmesi olasılığına eşittir. Yüksek satış
durumunda birim net kâr 13 TL, düşük satış durumunda birim net kâr 8 TL’dir.
Karar ağacını çizerek, beklenen değer yaklaşımıyla hangi şampuanın üretilmesinin
uygun olacağına karar veriniz.

**9**. Fotoğraf makinesi üretiminin gerçekleştirildiği bir işletmede biri
standart diğeri otomatik olmak üzere iki tip fotoğraf makinesi üretilmektedir.
İşletme, yeni yılın ilk haftasında oluşması muhtemel yüksek istemi karşılamak
amacıyla toplam üretim miktarını belirlemek istemektedir. Standart makinenin
değişken maliyeti 10 TL, otomatik makinenin değişken maliyeti 20 TL’dir.
Standart makinenin satış fiyatı 20 TL, otomatik makinenin satış fiyatı 35
TL’dir. Her bir makinenin istem miktarıyla ilgili olasılık dağılımı aşağıdaki
gibi tahminlenmiştir. Yeni yılın ilk haftasında satılmayan fotoğraf makineleri
hurda fiyatına elden çıkarılmaktadır. Standart makinenin hurda fiyatı 5 TL,
otomatik makinenin hurda fiyatı 10 TL’dir. Satış miktarı olasılıklarının
birbirlerinden bağımsız ve üretim miktarının sınırsız olduğu varsayılmaktadır.
Buna göre her bir makineden kaçar adet üretilmesi gerektiğini ve üretim
miktarlarına göre ortalama beklenen değerleri hesaplayınız.

|  Standart | Otomatik |       |          |
|-----------|----------|-------|----------|
| İstem     | Olasılık | İstem | Olasılık |
| 6000      | 0.30     | 2000  | 0.20     |
| 8000      | 0.70     | 4000  | 0.80     |

**10**. Yukarıdaki problemde toplam üretim miktarı 10000 ile
sınırlandırılmıştır. Bu durumu yansıtan karar ağacını çiziniz ve buna göre
üretim miktarlarını hesaplayınız.

**11**. Büyük bir çiftlik sahibi çiftliğinin su ihtiyacını karşılamak için kuyu
açmayı düşünmektedir. Daha önce çiftliğin bulunduğu bölgede açılan kuyuların
%70’inde suya 200 metre derinlikte rastlanmıştır. Bu derinlikte suya
rastlanmaması durumunda iki seçenek söz konusudur: kuyu açmaktan vazgeçmek veya
kuyuyu 50 metre daha derinleştirmek. Kuyunun 50 metre daha derinleştirilmesi
durumunda 250 metre derinlikte suya rastlama olasılığı %20’dir. Kuyu açma
maliyeti 50 TL/m dir. Kuyu açmak yerine suyu komşu çiftlikten satın almak da
mümkündür. Suyun satın alınması durumunda su sahibine 10 yıl için 15000 TL
ödenmesi gerekmektedir. Uygun karar ağacını çizerek beklenen değer yaklaşımıyla
çiftlik sahibi için en uygun kararı belirleyiniz.

**12**. Bilgisayar üreticisi bir şirket bilgisayarların üretiminde kullanılacak
bir parçayı satın almak istemektedir. Parça için; 1. Elle kontrol (EK), 2.
Sayısal kontrol (SK), 3. Otomatik kontrol(OK) olmak üzere üç alternatif vardır.
Parçaların sermaye maliyeti 1’den 3’e doğru artmaktadır.

Alınan karara bağlı olarak sonuçta ulaşılacak olan kâr bilgisayarların
sunulacağı pazarın büyüklüğüne bağlıdır. Pazarın büyüklüğü konusunda üç durum
söz konusudur: küçük, orta, büyük. Pazar büyüklüğü ve parça türüne bağlı olarak
beklenen kârlar (negatif değerli olanlar kayıplar olmak üzere) aşağıdaki
gösterilmiştir.

|       | Pazar  |      |       |
|-------|--------|------|-------|
| Parça | Küçük  | Orta | Büyük |
| EK    |  0.5   | 1.0  | 1.5   |
| SK    |  0.0   | 1.5  | 2.5   |
| OK    | -1.5   | 0.5  | 3.5   |

Pazarın büyüklüğüne ilişkin olasılıklar küçük için 0.30, orta için %50, büyük
için %20 olarak belirlenmiştir. Marketin büyüklüğünün araştırılması için bir
araştırma grubuyla anlaşılmıştır. Araştırma grubunun marketin büyüklüğünü doğru
tesbit etmeleriyle ilgili koşullu olasılıklar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

| Gerçek | Belirlenen Durum |      |       |
|--------|------------------|------|-------|
| Durum  | Küçük            | Orta | Büyük |
| Küçük  | 0.7              | 0.2  | 0.1   |
| Orta   | 0.2              | 0.7  | 0.1   |
| Büyük  | 0.0              | 0.2  | 0.8   |

**a.** Koşullu beklenen olasılık tablosunu düzenleyerek tam bilginin beklenen
değerini hesaplayınız.

**b.** Araştırma grubu tarafından sunulan bilgi doğrultusunda koşullu beklenen
şans tablosunu düzenleyiniz.

**c.** Pazar araştırması grubuna araştırma yetkisinin verilebilmesi için
araştırma grubunun istem edebileceği en yüksek fiyat ne olabilir.

**13**. Bir yatırımcı A ve B seçeneklerinden hangisine yatırım yapmasının uygun
olacağını araştırmaktadır. Yatırımcının alternatif stratejileri yatırım yapmamak
da dahil olmak üzere şöyledir: A’yı seçmek. A’nın seçilmesi ve başarılı olunması
durumunda yatırımcı ya hiçbir şey yapmadan beklemekte ya da elde ettiği kazançla
B’ye yatırım yapmaktadır. Bunun tersi de geçerlidir. A’da başarılı olma
olasılığı 0.70, B’de başarılı olma olasılığı 0.40’dır. Her iki yatırım
seçeneğinin gerektirdiği yatırım miktarı da 2000 TL olup, başarısız olunması
durumunda kazanç –2000 TL olmaktadır. A’nın başarılı olması durumunda 3000 TL
(yatırım miktarı dahil), B’nin başarılı olması durumunda 5000 TL (yatırım
miktarı dahil) elde edilmektedir. Karar ağacını çizerek en uygun stratejiyi
belirleyiniz.

**14**. Bir petrol arama şirketinin petrol haklarını satın almak istediği bir
yer için iki alternatif bölge (X ve Y) vardır. İki bölgeden yalnızca biri
seçilecektir. Aynı bölgede en fazla iki kez arama yapılabilmektedir. X’e karar
verilmiş olsun. İlk aramada X’de petrole rastlama olasılığı 0.40 ve beklenen kâr
net 14 milyon TL’dir. İlk aramada petrole rastlanmaması durumunda ya aramadan
vazgeçilmekte veya ikinci kez arama yapılmaktadır. Aramadan vazgeçilmesi
durumunda beklenen zarar 3 milyon TL’dir. X’deki ikinci aramada petrole rastlama
ve rastlamama olasılıkları birbirine eşittir. Bu aramada petrole rastlandığında
net kâr 12 milyon, rastlanmadığında net zarar 5 milyon TL olmaktadır. Y’ye karar
verilmiş olsun. İlk aramada Y’de petrole rastlama olasılığı ile rastlamama
olasılığı 0.50’ye eşittir. İlk aramada petrole rastlanması durumunda net kâr 10
milyon TL’dir. Aramadan vazgeçildiğinde işletme arama masraflarından oluşan 3
milyon TL’lik zarara katlanmak zorundadır. İkinci bir aramada petrole rastlama
olasılığı 0.70’dir. İkinci aramada petrole rastlanması durumunda işletmenin kârı
net 8 milyon TL, rastlanmaması durumunda net zarar 5 milyon TL olmaktadır.
İşletmenin hangi bölgede arama yapmasının uygun olacağını kararlaştırınız.

## dokuzuncu BÖLÜM

###### Oyun KuramI

## 9.1. GİRİŞ

Şimdiye kadar, tek bir karar vericinin bulunduğu karar problemleri üzerinde
durulmuştur. Problemde tek bir karar vericinin bulunduğundan, amaç fonksiyonu bu
karar vericinin kararına bağlı kalarak değerlendirilmiştir. Uygulamada iki veya
daha çok sayıda karar vericinin bulunduğu karar problemleriyle karşılaşmak daha
olağandır. Esas amacı, birbirlerine rakip olan ve çıkarları çatışan taraflara
akılcı davranış kurallarının belirlenmesinde yardımcı olmak olan oyun kuramı, bu
tür karar ortamlarını açıklayan matematiksel bir yaklaşımdır. Oyun kuramında
karar vericilerin her biri bir oyuncudur. Farklı hedef ve amaçlara sahip olan
oyuncuların kaderleri birbirlerine bağlıdır. Matematiksel olarak bu, "her
oyuncunun kendisine ait bir amaç fonksiyonu vardır ve amaç fonksiyonlarının en
iyi değerleri yalnızca ait olduğu karar vericinin benimseyeceği stratejiye
değil, diğer karar verici(ler)nin strateji(ler)sine de bağlıdır" şeklinde
yorumlanabilir. Bu durum, tam anlamıyla bir çatışma durumudur. Çatışma durumları
daha çok oyunlarda, spor karşılaşmalarında, iktisatta ve askeri hareketlerde
ortaya çıkar. Rakiplerini dikkate almayan bir oyuncunun başarılı olması
beklenmemelidir.

Oyun kuramı ilk kez Fransız matematikçisi Emile Borel tarafından 1921 yılında
ortaya atılmış olmakla birlikte, sistematik olarak matematikçi John von Neumann
ile iktisatçı Oscar Morgenstern tarafından geliştirilmiştir. Oyun kuramının
temel ilkeleri bu iki yazarın 1944 yılında yayınladıkları "The Theory of Games
and Economic Behaviour" isimli çalışmalarında açıklanmıştır. O günden bu yana
oyun kuramı büyük gelişmeler kaydetmiş, John Nas oyun kuramına yaptığı katkılar
için 1994 ekonomi nobel ödülüyle ödüllendirilmiştir. Nash tarafından
geliştirilen "Nash dengesi ve Nash pazarlık problemi" modern oyun kuramının köşe
taşları kabul edilmektedir.

## 9.2. Temel Kavramlar

Bir oyun eksiksiz biçimde tanımlanmış kurallara uygun olarak sürdürülen ve
oyuncuların kendileri için uygun olan stratejileri ve bunlardan herhangi birinin
seçimi ile ilgili mücadele sonuçlarını bildikleri varsayılan bir sistemdir. Daha
basit olarak oyun, birbirleriyle rekabet eden ve her biri kazanmayı isteyen iki
veya daha fazla sayıda karar vericinin (oyuncunun) bulunduğu karar ortamı
şeklinde tanımlanabilir.

Oyunlar çeşitli özelliklerine göre farklı gruplarda sınıflandırılır. Temelde
oyunlar "şans oyunları" ve "strateji oyunları" olmak iki grup altında incelenir.
Oyunlar oyuncu sayısına göre de iki grupta sınıflandırılır. Oyuna katılan iki
oyuncu varsa "iki kişili", ikiden fazla oyuncu varsa genel olarak "n kişili"
oyunlardan söz edilir. Oyunların bir başka sınıflandırılması oyunun sayısal
sonucuna göre yapılır. Oyuncuların kazançlarının toplamı sıfır ise yani,
oyunculardan biri tam diğer tarafın kaybettiği kadar kazanıyorsa oyun, "sıfır
toplamlı" bir oyundur. Sıfır toplamlı oyunlarda oyuncuların çıkarları birbirine
tamamiyle zıttır. Sayısal sonucu sıfırdan farklı oyunlara sabit toplamlı oyunlar
denir. Sabit toplamlı bir oyunda da tarafların çıkarları tamamiyle birbirine
zıttır. Çünkü taraflardan birinin kazancındaki bir birim artış diğer tarafın
kazancında bir birim azalış demektir. Oyuncuların yaptığı ödemeler toplamının
sıfırdan farklı olması durumunda sıfırdan farklı veya sabit toplamlı oyunlardan
söz edilir. Oyuncuların kazançları toplamının sabit bir sayı olmaması durumunda
oyun sabit toplamlı olmayan bir oyundur. Bu tür oyunlarda tarafların çıkarları
tamamiyle zıt değildir. Taraflar birlikte hareket ederek çıkar sağlayabilirler.
Oyunların bir başka sınıflandırılması oyuncuların strateji sayılarının dikkate
alınmasıyla yapılabilir. Herhangi bir oyuncunun stratejilerinin sayısı belirsiz
ise oyun "sonsuz oyun" olur. Her oyuncunun strateji sayısı sonlu ise oyun "sonlu
oyun" dur. Oyunlar her oyuncunun rakibinin hareketleri hakkındaki bilgisinin
derecesi ve cinsine göre de sınıflandırılabilir. Eğer bir oyunda her oyuncu her
hamleyi yaparken daha önce yapılmış olan bütün kişisel veya talih hareketlerinin
sonuçlarını biliyorsa "tam bilgili" oyun söz konusu olur. Sözgelimi satranç ve
dama tam bilgili oyunlardır. Tam bilgili olmayan oyunlarda oyuncular böyle bir
tam bilgiden yoksundurlar. Örneğin pokerde oyuncular rakiplerinin ellerindeki
kağıtları bilmezler. Uygulamada genellikle tam bilgili olmayan oyunlarla
karşılaşılır. Çünkü, çatışma durumunun esas bileşeni tarafların birbirlerinin
hareketlerini bilmemesidir.

Oyun kuramının temel kavramlarından birisi de strateji kavramıdır. Karar kuramı
bölümünde sıkça karşılaştığımız strateji kavramı, oyun söz konusu olduğunda
aşağıdaki gibi tanımlanır.

Strateji: Oyunun devamı sırasında ortaya çıkabilecek bütün durumlar için
oyuncuların seçişlerini belirten kuralları kapsayan kümeye strateji denir.

Oyuncuların amacı en iyi stratejileri, yani kendilerine en fazla kazanç
sağlayacak eylem biçimlerini belirlemektir. Strateji kavramının anlamlı olması
için oyunda kişisel hareketler bulunmalıdır. Bir kişisel hareket, verilen
durumda mümkün olan hareketlerden birinin oyunculardan biri tarafından bilinçli
olarak seçilmesidir. Bir kişisel hareket oyuncuların daha önce yapmış oldukları
hareketlere bağlıdır. Barbut veya rulet gibi salt şans oyunlarında hiçbir
strateji yoktur. Şans oyunları yalnızca şans hareketlerinden oluşur.

## 9.3. İkİ Kİşİlİ SIfIr ToplamlI Oyunlar

Daha önce açıklandığı gibi bir oyunda iki oyuncu varsa oyun iki kişili bir
oyundur. İki kişili bir oyunda oyuncuların kazançları toplamı sıfırsa oyun
iki-kişili sıfır-toplamlıdır. Bu bölümde iki-kişili sıfır-toplamlı sonlu oyunlar
üzerinde durulacaktır. İki-kişili sıfır-toplamlı sonlu bir oyunda,

1\. Biri satır oyuncusu, diğeri sütun oyuncusu olarak isimlendirilen iki oyuncu
vardır. Satır oyuncusu yerine bizim taraf, sütun oyuncusu yerine de karşı taraf
deyimlerine rastlanabilir.

2\. Satır oyuncusu için m, sütun oyuncusu için n tane mümkün strateji vardır. Bu
oyun kısaca mXn oyun olarak isimlendirilir.

3\. Satır oyuncusunun stratejileri R1, R2, ..., Rm ile sütun oyuncusunun
stratejileri C1, C2, ..., Cn ile gösterilsin. Oyuncuların strateji seçimlerinin
türlü birleşimlerinden sonuçlanan kazanç veya kayıplarını bildiğimizi
varsayalım. Satır başlıkları satır oyuncusunun Ri stratejileri, sütun başlıkları
sütun oyuncusunun Cj stratejileri olmak üzere bu değerler bir tablo (matris)
şeklinde yazılabilir. Bu tabloya ödül, ödeme, kazanç veya kısaca "oyun matrisi"
denir. Bir mXn oyunun kazanç matrisi Tablo 9.1’de gösterildiği gibidir.

**Tablo 9.1**

| Satır Oyuncusu Stratejisi |   Sütun Oyuncusu Stratejisi |     |     |     |     |     |
|---------------------------|-----------------------------|-----|-----|-----|-----|-----|
|                           | C1                          | C2  | ... | Cj  | ... | Cn  |
| R1                        | a11                         | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| R2                        | a21                         | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| ..                        | ..                          | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Ri                        | ai1                         | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| ..                        | ..                          | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Rm                        | am1                         | am2 | ... | amj | ... | amn |

Sıfır toplamlı bir oyunun matrisi geleneksel olarak yalnızca oyunculardan
birisinin kazancı ile açıklanır. Buna göre oyunculardan birinin kazanç matrisi
diğer oyuncunun kazanç matrisinden belirlenebilir. Bir oyuncunun kazanç
matrisinin tüm elemanlarının ters işaretlilerinden oluşan matris diğer oyuncunun
kazanç matrisidir.

Satır oyuncusunun Ri, sütun oyuncusunun Cj gibi belirli bir stratejiyi kabul
ettiklerini varsayalım. Oyun matrisi satır oyuncusuna göre düzenlenmiş ise aij
satır oyuncusunun kazancını (sütun oyuncusunun kaybını) gösterir.

Örnek 9.1: Satır oyuncusunun iki (R1, R2), sütun oyuncusunun dört (C1, C2, C3,
C4) stratejisinin bulunduğu bir oyunun, satır oyuncusunun kazançlarına göre
düzenlenen matrisi aşağıda gösterilmiştir. Oyuncuların stratejilerinin değişik
birleşimlerinden herhangi iki tanesi için oyuncuların kazanç ve kayıplarını
bulunuz.

Tablo 9.2

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu  Stratejisi |    |    |    |
|---------------------------|----------------------------|----|----|----|
|                           | C1                         | C2 | C3 | C4 |
| R1                        | 3                          | -2 |  5 | 6  |
| R2                        | 2                          |  1 | -2 | 4  |

**Çözüm 9.1**: Satırdaki oyuncunun R2’yi sütundaki oyuncunun C3’ü seçmesi
durumunda satır oyuncusunun kazancı a23 olur. a23 = -2 olduğundan satır oyuncusu
için negatif kazanç yani kayıp, sütun oyuncusu için negatif kayıp yani, kazanç
söz konusudur. Satır oyuncusunun R1, sütun oyuncusunun C4’ü seçmeleri durumunda
satır oyuncusunun kazancı a14 kadar, yani 6 birim olacaktır. Bu sütun
oyuncusunun 6 birim kaybetmesi demektir.

**9.3.1. İki-Kişili Sıfır-Toplamlı Oyunların Temel Varsayımları**

İki-kişili sıfır-toplamlı oyunların en önemli varsayımı, her oyuncunun rakibinin
kendisinin hangi stratejiyi seçeceği hakkında tam bilgisi olmasına karşın,
kendisi için en iyi olan stratejiyi seçme şansına sahip olduğudur.

İki-kişili sıfır-toplamlı oyunları oynama kuralı bu varsayıma dayanır. Söz
konusu oyunlar ile ilgili kuram John von Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından
geliştirilmiştir. Bu varsayımı kullanarak oyuncuların stratejilerini nasıl
belirlediklerini sayısal bir örnek üzerinde açıklayalım.

Örnek 9.2: Oyunculardan her birinin üçer stratejisinin bulunduğu bir 3X3 oyunun
kazanç matrisi Tablo 9.3’de verildiği gibidir. Söz konusu kazanç matrisini
dikkate alarak, oyuncuların oyunu hangi stratejilerle oynayacağını
belirleyiniz*.*

Tablo 9.3

| Satır  Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  Küçüğü |    |   |
|----------------------------|---------------------------|------------------|----|---|
|                            | C1                        | C2               | C3 |   |
| R1                         | 16                        | 10               | 7  | 7 |
| R2                         | 8                         | 9                | 4  | 4 |
| R3                         | 9                         | 1                | 2  | 1 |
| Sütun  En Büyüğü           | 16                        | 10               | 7  | - |

Çözüm 9.2: Tablo 9.3’den görüleceği gibi her bir oyuncunun üçer stratejisi
bulunduğundan oyun bir 3X3 oyundur. İlk önce satır oyuncusunu ele alalım. Bu
oyuncu R1 stratejisini seçerse, sütun oyuncusu C3 stratejisini seçerek kendi
kaybını, dolayısıyla rakibinin kazancını mümkün olan en düşük düzeyde tutar. Bu
değer yukarıdaki oyun matrisine eklenen "satır en küçüğü" başlıklı sütunda
gösterildiği gibi 7’dir. Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi seçmesi durumunda
sütundaki oyuncu yine kendisi için en az (4) kayıp sağlayacak olan stratejiyi
yani, üçüncü stratejiyi seçecektir. Satır oyuncusu üçüncü stratejiyi seçerse
sütun oyuncusu ikinci stratejiyi seçerek yine kendi kaybını dolayısıyla
rakibinin kazancını en düşük kazanç olan 1’de tutmayı başarır. Bu açıklamaların
ortaya koyduğu gibi satır oyuncusu dikkatini satır en küçüklerinin en büyüğüne
karşılık gelen strateji üzerinde yoğunlaştırmak durumundadır. Böylece,
kendisinin her stratejisi için rakibinin seçimi ne olursa olsun rakibinin
kendisine garanti ettiği en düşük kazancı en büyüklemiş olur. Kısaca, enb(7, 4,
1) = 7 olduğundan satır oyuncusu için en iyi strateji R1’dir.

Satır oyuncusunun strateji seçimiyle ilgili bu açıklamalar, satır oyuncusu için
en iyi hareketin satır en küçük değerlerinden en büyük olanının işaret ettiği
stratejiyi seçmek olduğunu ortaya koymaktadır. Yukarıda açıklandığı gibi bu,
sütundaki oyuncu ne yaparsa yapsın satırdaki oyuncunun kazanacağından emin
olduğu miktardır. Bu miktara oyunun "alt değeri" veya "maksimini",  ile
gösterilen bu değere karşılık gelen stratejiye de "maksimin strateji" denir.
Maksimin strateji satır oyuncusunun en iyi stratejisidir. Tek bir stratejiye
bağlı kalındığında  değeri satır oyuncusunun garantileyeceği en büyük
kazançtır.

Problemi bir de sütun oyuncusu açısından ele alalım. Sütundaki oyuncu C1
stratejisini seçerse, satırdaki oyuncu buna kendisine en yüksek kazancı (sütun
en büyüğü) garanti eden birinci strateji ile karşılık verir. Sütun oyuncusunun
ikinci stratejiyi seçmesi durumunda satır oyuncusu yine birinci stratejiyi
seçecek ve kazancının en yüksek olmasını sağlayacaktır. Sütun oyuncusunun üçüncü
stratejiyi seçmesi durumunda satır oyuncusu için en iyi strateji yine kendisine
en yüksek kazancı garanti eden birinci satırdaki strateji olur. Satır
oyuncusunun kazancı sütun oyuncusunun kaybına eşit olduğundan, sütun oyuncusu
kaybını en düşük düzeyde tutmak için sütun en büyüklerinin en küçüğünü sağlayan
stratejiyi seçmek durumundadır. Sütun en büyükleri Tablo 9.3’ün en alt satırında
"sütun en büyüğü" başlığı altında gösterilmiştir. Sütun oyuncusunun strateji
seçimiyle ilgili olarak yapılan bu açıklamalardan sütun oyuncusunun sütun en
büyük değerlerinden en küçük olanının işaret ettiği stratejiyi seçmesi gerektiği
anlaşılır. Bu durumda, satırdaki oyuncu ne yaparsa yapsın sütundaki oyuncunun
kaybı en az olur. Bu miktara oyunun "üst değeri" denir ve  ile gösterilir. ’ya
karşılık gelen stratejiye "minimaks strateji" denir. Minimaks strateji sütun
oyuncusunun en iyi stratejisidir.

Stratejilerin kararlı olduğu bazı oyunlar vardır. Bunlar alt ve üst değerleri
eşit olan oyunlardır. Bu tür oyunlara "tepe noktalı oyun"lar denir. Tepe noktası
aynı zamanda bir denge noktası olup hiç bir oyuncu denge durumunu bozmaz.  = 
ise bunların ortak değerine "oyunun değeri" denir. Oyunun değeri g ile
gösterilecektir. Oyun matrisinin satır oyuncusuna göre düzenlendiğini kabul
edelim. g pozitif ise oyunun sonunda satır oyuncusu ortalama g birim
kazanacağından oyun satır oyuncusu için çekicidir. g negatif ise oyunun sonunda
satır oyuncusu g birim kaybedeceğinden oyun sütun oyuncusu için çekicidir.
Herhangi bir oyunun birden fazla tepe noktası olabileceği gibi hiçbir tepe
noktası bulunmayabilir. Tepe noktasının en önemli özelliği oyuncuların en iyi
stratejilerine sadık kalmaları gerektiğine işaret etmesidir. Bir başka deyişle,
oyunculardan herhangi biri rakibi en iyi stratejisine sadık iken kendisi en iyi
stratejisinden ayrılırsa en iyi koşullarda kazancı aynı kalır genellikle de
azalır. Şu halde, satır oyuncusu en iyi stratejisini oynarken, sütun oyuncusu en
iyi stratejisini oynamaktan vazgeçmekle satır oyuncusunun kazancını azaltamaz.
Rakibinin kazancı en kötü ihtimalle aynı kalır, genellikle de artar. Benzer
şekilde, sütun oyuncusu en iyi stratejisini kullanırken, satır oyuncusu
kendisinin en iyi stratejisinden vazgeçerse sütun oyuncusunun kaybı, dolayısıyla
satır oyuncusunun kazancı asla artmaz genellikle de azalır. Açıklamaların ortaya
koyduğu gibi, tepe noktalı bir oyunda oyuncuların en iyi stratejilerinin bir
kararlılığı vardır. En iyi stratejiler çifti bu anlamda bir "denge konumu" dur.
Bu koşullarda ön bilginin oyunculardan hiçbirine hiçbir yarar sağlamadığını
kaydedelim. Tepe noktalı bir oyunda her iki taraf da kendi en iyi stratejilerine
bağlanırsa, ortalama kazanç oyunun değeri olan ve hem alt hem de üst değere eşit
olan g olacaktır.

Yukarıdaki örnek problem esas alındığında, sözgelimi sütun oyuncusu en iyi
stratejisi olan üçüncü stratejisini oynarken, satır oyuncusu kendisi için en iyi
olan birinci stratejisinden vazgeçerse kazancı ikinci stratejiyi seçmesi
durumunda en fazla 4, üçüncü stratejiyi seçmesi durumunda ise en fazla 2 olur.
Benzer şekilde, satır oyuncusu en iyi stratejisini oynarken sütun oyuncusu
kendisi için en iyi olan üçüncü stratejiden vazgeçerek birinci stratejiyi
oynarsa kaybı 7 yerine 16, ikinci stratejiyi oynarsa 10 birim olur.

Arı (Sade) Strateji: Oyun kaç kez tekrar edilirse edilsin oyunun her bir
tekrarında hep seçilen stratejiye sade strateji denir.

Sade stratejiler tepe noktasının belirlediği stratejilerdir.

Bir oyununun tepe noktasını belirleme sürecini sayısal bir örnek üzerinde
gösterelim.

Örnek 9.3: Aşağıdaki kazanç matrisine sahip 4X4 oyunun tepe noktasını bulunuz.

Tablo 9.4

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü |       |    |        |
|---------------------------|---------------------------|-----------------|-------|----|--------|
|                           | C1                        | C2              | C3    | C4 |        |
| R1                        | -8                        |  7              |  2    | 3  | -8     |
| R2                        |  1                        | -6              | -2    | 5  | -6     |
| R3                        |  7                        |  5              |  3    | 4  |  **3** |
| R4                        | 4                         | -4              | -8    | 6  | -8     |
| Sütun En Büyüğü           | 7                         | 7               | **3** | 6  | 3 = 3  |

Çözüm 9.3: Oyunda tepe noktası bulunup bulunmadığını belirleyebilmek için önce
her satırın en küçük değeriyle satır en küçüğü başlıklı sütunu, daha sonra her
sütunun en büyük değeriyle sütun en büyüğü başlıklı satırı oluşturalım.
Oluşturulan sütunu oyun matrisinin sütunlarına, satırı ise satırlarına
ekleyelim. Şimdi de sırasıyla oyunun alt değeri () ile üst değerini ()
bulalım. Oyunun alt ve üst değerleri aşağıda gösterilmiştir.

Oyunun alt değeri =  = enb(-8, -6, 3, -8) = 3

Oyunun üst değeri =  = enk(7, 6, 3, 6) = 3

3 = 3 olduğundan, oyunun tepe noktası vardır. Bu noktada kesişen iki stratejiden
R3 satır oyuncusunun, C3 sütun oyuncusunun en iyi stratejileridir. Oyunun
ortalama değeri g = 3 olduğundan oyun satır oyuncusu için çekicidir.

Uygulamada tepe noktalı bir oyunla karşılaşma olasılığı, tepe noktası bulunmayan
bir oyunla karşılaşma olasılığından daha küçüktür. Eşit olmayan alt ve üst
sınırlarla, yani tepe noktasız oyunlarla karşılaşmak daha geneldir.

Örnek 9.4: Kazanç matrisi aşağıdaki gibi olan oyunun tepe noktasını bulunuz.

Tablo 9.5

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü |    |    |        |
|---------------------------|---------------------------|-----------------|----|----|--------|
|                           | C1                        | C2              | C3 | C4 |        |
| R1                        | 8                         | -7              | 12 | 13 | -7     |
| R2                        | 1                         | 6               | -2 | 5  | **-2** |
| R3                        | 10                        | 5               | -4 | 4  | -4     |
| Sütun En Büyüğü           | 10                        | **6**           | 12 | 13 | 6  -2 |

Çözüm 9.4: Örnek 9.3’deki gibi önce her satırın en küçük değeriyle satır en
küçüğü başlıklı sütunu, daha sonra her sütunun en büyük değeriyle sütun en
büyüğü başlıklı satırı oluşturalım. Oluşturulan sütunu ödemeler matrisinin
sütunlarına, satırı ise ödemeler matrisinin satırlarına ekleyelim. Şimdi de
sırasıyla oyunun alt ve üst değerlerini bulalım. Söz konusu değerler aşağıda
gösterilmiştir.

Oyunun alt değeri =  = enb(-7, -2, -4) = -2

Oyunun üst değeri =  = enk(10, 6, 12, 13) = 6

\-2  6 olduğundan bu oyunun tepe noktası yoktur. Oyunun tepe noktası
bulunmadığından maksimin ve minimaks stratejilerden dolayısıyla sade
stratejilerden söz edilemez. Tepe noktası bulunmayan oyunlarda strateji
belirleme yöntemi ileride açıklanacaktır.

**Örnek 9.5**: Satır oyuncusu sütun oyuncusuna göstermeden elindeki kağıda 1 ile
20 arasında bir sayı yazar ve sütun oyuncusuna sayıyla ilgili doğru veya yalan
söyler. Sütun oyuncusu ya buna inanır veya rakibinin doğru söylemediğini
düşünerek sayıyı kendisine göstermesini ister. Satır oyuncusunu suçsuz yere
suçlaması durumunda sütun oyuncusu satır oyuncusuna 15 TL öder. Sütun
oyuncusunun satır oyuncusunun kendisine yalan söylediğini doğru tesbit etmesi
durumundaki kazancı 20 TL’dir. Sütun oyuncusu satır oyuncusunun doğru
söylediğini kabul ederse satır oyuncusu sütun oyuncusuna 5 TL öder. Satır
oyuncusu yalan söylediği halde sütun oyuncusu buna inanırsa satır oyuncusu 5 TL
kazanır. Oyun matrisini düzenleyiniz ve oyuncuların sade stratejilerini bulunuz.

**Çözüm 9.5**: Görüldüğü gibi satır oyuncusunun doğru veya yalan söylemek gibi
iki stratejisi vardır. Sütun oyuncusunun da satır oyuncusuna inanmak veya
inanmamak gibi iki stratejisi vardır. Dolayısıyla oyun 2X2 boyutundadır. Bu
belirlemenin ardından düzenlenen ödemeler matrisi Tablo 9.6’da gösterilmiştir.
Sütun en büyükleriyle oluşturulan satır ve satır en küçükleriyle oluşturulan
sütun da tabloda gösterilmiştir.

#### Tablo 9.6

| Satır Oyuncusu Strateji | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü |        |
|-------------------------|---------------------------|-----------------|--------|
|                         | İnanmak                   | İnanmamak       |        |
| Doğru Söylemek          | -5                        | 15              | -5     |
| Yalan Söylemek          |  5                        |  -20            |  -20   |
| Sütun En Büyüğü         |  5                        | 15              | -5  5 |

 = enb(-5, -20) = -5   = enk(5, 15) = 5 olduğundan oyunun tepe noktası
yoktur. Dolayısıyla oyuncuların sade stratejilerinden söz edilemez.

**Örnek 9.6**: İki oyuncu aynı anda taş, kağıt veya makas demektedirler.
Söylenen kelimeler aynı olduğunda beraberlik söz konusu olmaktadır. Aksi halde,
diğerinden daha güçlü olan nesnenin adını söyleyen oyuncu rakibinden 1 TL
almaktadır. Makas kağıdı kestiğinden makas kağıttan, kağıt taşı sardığından
kağıt taştan, taş makası kırdığından taş makastan güçlüdür. Oyunun kazanç
matrisini düzenleyerek oyuncuların sade stratejilerini belirleyiniz.

**Çözüm 9.6**: Her iki oyuncunun taş, kağıt veya makas demek olmak üzere üçer
stratejisi vardır. Yani oyun 3X3 boyutundadır. Buna göre ödemeler matrisi
aşağıdaki gibi düzenlenecektir.

#### Tablo 9.7

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En Küçüğü |       |                                                                                                                                  |
|---------------------------|---------------------------|-----------------|-------|----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
|                           | Taş                       | Kağıt           | Makas |                                                                                                                                  |
| Taş                       | 0                         |  -1             |  1    | **-1**                                                                                                                           |
| Kağıt                     | 1                         |  0              |  -1   | **-1**                                                                                                                           |
| Makas                     |  -1                       |  1              |  0    | **-1**                                                                                                                           |
| Sütun En Büyüğü           | **1**                     | **1**           | **1** | -1 ![C:\\DENEME\\images\\Aspose.Words.85eeec5e-b4c6-4998-992c-bf8be3e8673a.026.png](media/4348ea901b03fc86f1e422329235131a.png)1 |

 = enb(-1, -1, -1) = -1   = enk(1, 1, 1) = 1 olduğundan oyunun tepe noktası
yoktur. Dolayısıyla oyuncuların sade stratejilerinden söz edilemez.

**9.3.2. Tepe Noktasız Oyunlar ve Karma Stratejiler**

Bir m X n oyunun tepe noktası yoksa, özellikle m ve n’nin büyük değerleri için
çözüm zor olabilir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa oyunu çözmeden
önce mümkünse m ve n değerlerinin küçültülmesi, yani bazı stratejilerin devre
dışı bırakılmaları uygun olur. Bu işlem ancak bazı özel stratejilerin
belirlenmesiyle gerçekleştirilir. Boyut küçültmede kullanılabilecek iki çeşit
strateji vardır: 1. Eş strateji, 2. Üstünlük stratejisi. İlk olarak eş strateji
kavramını ele alalım. Biri diğerine tercih edilemeyen stratejilere "eş strateji"
ler denir. Genel olarak bir oyun matrisinin bir satır/sütunun tüm elemanları
başka bir satır/sütunun karşılıklı elemanlarına eşit ise bu stratejilere eş
stratejiler denir. Eş stratejilerden rasgele seçilen biri dışındakiler matristen
çıkartılarak oyunun çözümü kolaylaştırılır. Boyut indirgenmesi sonucu ulaşılan
çözüm orijinal problemin de çözümüdür.

Boyut indirgenmesine sayısal bir örnek olması bakımından aşağıdaki 4X4 oyunu göz
önüne alalım.

**Örnek 9.7**: Kazanç matrisi aşağıda verilen oyunun eş stratejilerini
belirleyiniz.

**Tablo 9.8**

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi |    |    |    |
|---------------------------|---------------------------|----|----|----|
|                           | C1                        | C2 | C3 | C4 |
| R1                        | 1                         | 2  | 3  | 1  |
| R2                        | 3                         | 6  | 1  | 3  |
| R3                        | 0                         | 5  | 4  | 0  |
| R4                        | 1                         | 2  | 3  | 1  |

Çözüm 9.7: C1 ve C4 stratejileri için kazançların, bire bir olmak üzere eşit
oldukları görülebilir. Bunlardan biri diğerine tercih edilemez. Bu yüzden biri,
C4 veya C1, göz ardı edilebilir. Bu yolla oyunun boyutu 4X4’den 4X3’e
indirgenmiş olur. Benzer şekilde, R1 ve R4 stratejileri de eş stratejiler
olduklarından biri dışta bırakılarak oyun 3X3 boyutuna indirgenmiş olur.

Oyunda yeğlenen ve stratejilerden bazılarını devre dışı bırakan stratejilere
"üstün stratejiler", bu yolla devre dışı kalan stratejilere ise "mahkum
stratejiler" denir. Genel olarak bir oyunun tepe noktası yoksa, oyunu çözmeden
önce yapılacak ilk iş varsa bütün eş ve mahkum stratejileri devre dışı
bırakmaktır.

Örnek 9.8: Aşağıdaki kazanç matrisine sahip oyunun üstün stratejilerini
bulunuz*.*

Tablo 9.9

| Satır Oyuncusu  Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır  En Küçüğü |    |    |       |
|----------------------------|---------------------------|------------------|----|----|-------|
|                            | C1                        | C2               | C3 | C4 |       |
| R1                         |  1                        |  0               | 3  | 1  | 0     |
| R2                         |  7                        | -1               | 6  | 3  | -1    |
| R3                         | -3                        |  0               | 5  | 1  | -3    |
| R4                         |  2                        |  3               | 4  | 5  |  2    |
| Sütun En Büyüğü            | 7                         | 3                | 6  | 5  | 2  3 |

Çözüm 9.8: Yukarıdaki tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun alt ve üst
değerleri eşit olmadıklarından oyunun tepe noktası yoktur. Bu açıklamanın
ardından oyunun boyutunun indirgenip indirgenemeyeceğini inceleyelim. R1
satırının her elemanı R4 satırının bire bir karşılık gelen her elemanından
küçüktür. Başka bir deyişle, R1 her zaman R4’den daha az kârlıdır. Bu nedenle
satır oyuncusu R1 stratejisini asla kullanmayacaktır. Bu durumda, R4 stratejisi
R1 stratejisine üstündür veya R1 stratejisi R4 stratejisine mahkumdur. Mahkum
strateji R1 göz ardı edildiğinde oyun 3X4 boyutuna indirgenmiş ve oyun matrisi
aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

Tablo 9.10

| Satır Oyuncusu  Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır  En Küçüğü |    |    |        |
|----------------------------|---------------------------|------------------|----|----|--------|
|                            | C1                        | C2               | C3 | C4 |        |
| R2                         |  7                        | -1               | 6  | 3  | -1     |
| R3                         | -3                        |  0               | 5  | 1  | -3     |
| R4                         |  2                        |  3               | 4  | 5  |  **2** |
| Sütun En Büyüğü            | 7                         | **3**            | 6  | 5  | 2  3  |

Diğer taraftan, indirgenmiş matrisin üçüncü sütunun elemanlarının C2 sütununun
karşılıklı elemanlarından büyük olduğu görülebilir. C3, C2’den daha az kazanç
sağladığından sütun oyuncusu C3 stratejisini asla kullanmayacaktır. Bu nedenle
C2 stratejisine mahkum olan C3 devre dışı bırakılmalıdır. Bu yolla bir önceki
aşamada 3X4 boyutuna indirgenen oyun bu elemeyle 3X3 boyutuna indirgenmiş olur.

Tablo 9.11

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  |    |        |
|------------------|---------------------------|-----------|----|--------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | C4 | Küçüğü |
| R2               |  7                        | -1        | 3  | -1     |
| R3               | -3                        |  0        | 1  | -3     |
| R4               |  2                        |  3        | 5  |  **2** |
| Sütun  En Büyüğü | 7                         | **3**     | 5  | 2  3  |

3X3 boyutuna indirgenen oyunun daha da indirgenip indirgenemeyeceği üzerinde
duralım. Tablo 9.11 incelendiğinde C4 sütun elemanlarının C2 sütununun
karşılıklı elemanlarından büyük olduğu görülebilir. Bu nedenle C4 devre dışı
bırakılmalıdır. Bu elemeyle oyun en basit durumu olan ve Tablo 9.12’de
gösterilen 3X2 boyutuna indirgenmiş olur.

Tablo 9.12

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  |        |
|------------------|---------------------------|-----------|--------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | Küçüğü |
| R2               |  7                        | -1        | -1     |
| R3               | -3                        |  0        | -3     |
| R4               |  2                        |  3        |  **2** |
| Sütun  En Büyüğü | 7                         | **3**     | 2  3  |

Bilindiği gibi 4X4 boyutundaki orijinal oyun matrisinden alt değer 2, üst değer
3 olarak belirlenmiş ve tepe noktasının olmadığı kararlaştırılmıştır.
İndirgenmiş matrisin yer aldığı tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun
alt değeri tekrar 2, üst değerleri yine 3 olarak belirlenmiştir. Özetle
indirgeme oyunun alt ve üst değerlerinde herhangi bir değişikliğe yol
açmamıştır. Bu bir kuraldır.

Daha önce açıklandığı gibi oyunlar arasında tepe noktasız oyunlarla karşılaşmak
daha olağandır. Tepe noktasız bir oyunda, oyuncuların maksimin ve minimaks
stratejileri bulunamayacağına göre oyuncular stratejilerini nasıl seçeceklerdir?

Örnek 9.9: Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun tepe noktasını belirleyerek
oyuncuların en iyi stratejilerini bulunuz.

Tablo 9.13

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır  En |    |    |         |
|------------------|---------------------------|-----------|----|----|---------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | C3 | C4 | Küçüğü  |
| R1               |  10                       | 10        | 8  | 17 |  8      |
| R2               |  17                       | -13       | 26 | 23 | -13     |
| R3               | -30                       | 30        | 25 | 13 | -30     |
| R4               |  24                       | 32        | 14 | 25 |  **14** |
| Sütun En Büyüğü  | **24**                    | 32        | 26 | 25 | 14  24 |

Çözüm 9.9: Tablo 9.13’ün son gözesinde gösterildiği gibi oyunun alt değeri (14)
ile üst değeri (24) eşit olmadıklarından oyunun tepe noktası yoktur. Bu durumda
maksimin ve minimaks stratejilerden dolayısıyla, sade stratejilerden söz
edilemez.

Örnek 9.10: Kazanç matrisi aşağıda gösterilen oyunun sade stratejilerini
belirleyiniz.

Tablo 9.14

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  |        |
|------------------|---------------------------|-----------|--------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | Küçüğü |
| R1               | 3                         | 5         | 3      |
| R2               | 6                         | 4         | **4**  |
| Sütun  En Büyüğü | 6                         | **5**     | 4  5  |

**Çözüm 9.10**: Tablo 9.14’ün son gözesinde gösterildiği gibi oyunun tepe
noktası yoktur. Bu durumda sade stratejilerden söz edilemez. Bu nedenle, karma
strateji kavramının açıklanması gerekir.

Karma Strateji: Belirli bir oranda kullanılmış sade stratejilerin rasgele
sıralanışından ibaret birleşik stratejilere karma strateji denir.

Buna göre bir sade strateji, stratejilerden birinin kullanılma olasılığı 1,
ötekilerin kullanılma olasılığı sıfır olan bir karma stratejinin özel bir durumu
olarak düşünülebilir.

Örnek 9.10’daki oyunu oynayan oyuncuların karma stratejilerini belirleyelim.
Soruna önce satır oyuncusu açısından bakalım. Satır oyuncusunun birinci
stratejiyi seçmesi olasılığına p dersek, ikinci stratejiyi seçmesi olasılığı (1
\- p) olur. Satır oyuncusunun amacı kazancını en büyük yapacak p değerini
belirlemektir. p’nin hesaplanmasında izlenen yaklaşım aşağıda açıklanmıştır.

Sütun oyuncusu daima birinci stratejiyi (C1) oynarsa, satır oyuncusunun
kazancının beklenen değeri (E1) aşağıdaki gibi olur.

E1 = 3p + 6(1 - p)

= 3p + 6 - 6p

= 6 - 3p

Sütun oyuncusu daima ikinci stratejiyi (C2) oynarsa, satır oyuncusunun
kazancının beklenen değeri (E2) aşağıdaki gibi elde edilir.

E2 = 5p + 4(1 - p)

= 5p + 4 - 4p

= p + 4

Oyunun her bir tekrarında sütun oyuncusu E1 ve E2’yi daha düşük düzeyde tutacak
stratejiyi seçer. Bu durumda satır oyuncusunun amacı bu en küçük değerleri
mümkün olduğunca büyütmektir. Çözüm, E1 ve E2’nin birlikte çözülmesiyle bulunur.
E1 ve E2’nin eşitlenmesi ve çözülmesiyle p aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

E1 = E2

p + 4 = 6 - 3p

p = 1/2 ve 1 - p = 1/2

Buna göre, oyunun n kez tekrarlanması durumunda oyunun değeri (E1 veya E2’den)
4.5 ((E1 = 1/2 + 4 veya E2 = 6 - 3(1/2)) olarak bulunur. Satır oyuncusu ortalama
4.5 birim kazanmayı umar.

Bulgularımızı şekil üzerinde gösterelim. Bunun için yatay eksen p’yi, dikey
eksen beklenen kazancı göstermek üzere bir koordinat sistemi oluşturalım. p’nin
sıfır ile 1 arasında değiştiği göz önünde bulundurulduğunda ilgilenilen alan p =
0 ve p = 1 dikmeleri (I, II) ile belirlenecektir.

![](media/8382a144734b7abab62eefb39f46993a.png)

**Şekil 9.1**

Şekil 9.1’den görüldüğü gibi satır oyuncusu için en iyi durum, E1 ve E2
doğrularının belirlediği alt zarfın K ile gösterilen en üst noktasıdır. Satır
oyuncusu E1 = E2 olmasını sağlayan olasılıklardan uzaklaşırsa sütun oyuncusu
oyunun değerinin 4.5’den daha düşük olmasını sağlayacak sade bir stratejiye
sahip olur.

Oyuna bir de sütun oyuncusu açısından bakalım. Sütun oyuncusunun birinci
stratejiyi seçmesi olasılığına q dersek, ikinci stratejiyi seçmesi olasılığı (1
\- q) olur. Sütun oyuncusunun amacı kaybını en küçük yapacak q değerini
belirlemektir. q’nun belirlenmesinde izlenen yaklaşım aşağıda açıklanmıştır.

Satır oyuncusu daima birinci stratejiyi (R1) oynarsa, sütun oyuncusunun kaybının
beklenen değeri (F1) aşağıdaki gibi olur.

F1 = 3q + 5(1 - q)

= 3q + 5 - 5q

= -2q + 5

Satır oyuncusu daima ikinci stratejiyi (R2) oynarsa, sütun oyuncusunun kaybının
beklenen değeri aşağıdaki gibi olur.

F2 = 6q + 4(1 - q)

= 6q - 4q + 4

= 2q + 4

Oyunun her bir tekrarında satır oyuncusu F1 ve F2’yi daha yüksek düzeyde tutacak
stratejiyi seçer. Bu nedenle sütun oyuncusunun amacı, bu en büyük değerleri
mümkün olduğunca küçültmektir. Çözüm, F1 ve F2’nin birlikte çözülmesiyle
bulunur. Çözüm aşağıda gösterilmiştir.

F1 = F2

5 - 2q = 2q + 4

q = 1/4, 1 - q = 3/4

Buradan da g, F1 veya F2’den 4.5 (satır oyuncusu için gerçekleştirilen çözümde
olduğu gibi) olarak bulunur. Bulgularımızı şekil üzerinde gösterelim. Bunun için
yatay eksen q’yu, dikey eksen beklenen kazancı göstermek üzere bir koordinat
sistemi oluşturalım. q’nun 0 ile 1 arasında değiştiği dikkate alındığında
ilgilenilen alan q = 0 ve q = 1 dikmeleri (I, II) ile belirlenecektir.

![](media/9ff06a1f3c34c244a4dbbefc9d1c4fe3.png)

**Şekil 9.2**

Şekil 9.2’den görüldüğü gibi sütun oyuncusu için en iyi durum F1 ve F2
doğrularının belirlediği üst zarfın en alt noktasıdır. Sütun oyuncusu F1 = F2
olmasını sağlayan olasılıklardan uzaklaşırsa satır oyuncusu oyunun değerinin
daha büyük olmasını sağlayacak sade bir stratejiye sahip olur. Özetle, sütun
oyuncusu grafikte M ile işaretlenen noktadan uzaklaşmamalıdır. Sözgelimi, sütun
oyuncusu C1’i 1/4, C2’yi 3/4 yerine eşit olasılıkla oynarsa satır oyuncusu
oyunun her bir tekrarında ikinci stratejiyi oynayarak rakibinin kendisine olan
ödemesinin 4.5 yerine, F2 = 6(1/2) + 4(1/2) = 10/2 = 5 olmasını sağlar. Özetle,
sütun oyuncusunun amacı F1 ve F2’nin en büyüğünün en küçüklenmesi iken, satır
oyuncusunun amacı E1 ve E2’nin en küçüğünün en büyüklenmesidir. Her iki oyuncu
bunu yaparsa oyunda denge kurulmuş olur.

**Örnek 9.11**: Kazanç matrisi Tablo 9.15’de verilen 2X2 oyunu çözerek
oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.

Tablo 9.15

| Satır  Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  Küçüğü |        |
|----------------------------|---------------------------|------------------|--------|
|                            | C1                        | C2               |        |
| R1                         |  1                        | -1               | **-1** |
| R2                         | -1                        |  1               | **-1** |
| Sütun  En Büyüğü           | **1**                     | **1**            | -1  1 |

Çözüm 9.11: Tablonun son gözesinde gösterildiği gibi oyunun tepe noktası
olmadığından, karma stratejilerin belirlenmesi gerekir. Bu amaçla ilk olarak
satır oyuncusunu ele alalım ve satır oyuncusunun kazancının beklenen değerini
hesaplayalım. Örnek 9.10’da olduğu gibi satır oyuncusunun birinci stratejiyi
kullanması olasılığına p, diğerini seçmesi olasılığına (1 - p) diyelim. Buna
göre, sütun oyuncusu daima birinci stratejiyi kullanırsa satır oyuncusu
aşağıdaki kadar (E1) kazanmayı bekler.

E1 = 1(p) + (-1)(1 - p)

= 2p -1

Sütun oyuncusu hep ikinci stratejiyi oynarsa, satır oyuncusunun kazancı
ortalama,

E2 = -(p) + 1(1 - p)

= -2p + 1

kadar olur. p’nin en iyi değeri E1 = E2’nini çözümünden aşağıdaki gibi
hesaplanır.

2p - 1 = -2p + 1  4p = 2  p = 1/2, (1 - p) = 1/2

p = 1/2 değeri E1 veya E2’ye yerleştirildiğinde g = 0 elde edilecektir.

Benzer şekilde sütun oyuncusunun birinci stratejiyi oynaması olasılığına q,
diğerini oynaması olasılığına (1 - q) dersek, satır oyuncusunun birinci
stratejiyi oynaması durumunda sütun oyuncusunun beklenen kaybı aşağıda
gösterildiği gibi 2q - 1 kadar olur.

F1 = q + (-1)(1 - q)

= q - 1 + q

= 2q - 1

Satır oyuncusunun ikinci stratejiyi oynaması durumunda sütun oyuncusunun
beklenen kaybı,

F2 = -q + (1)(1 - q)

= -q + 1 - q

= -2q + 1

olarak elde edilecektir. q’nun en iyi değeri için F1 = F2 bağıntısının, yani

2q - 1 = -2q + 1

eşitliğinin çözülmesiyle,

q = 1/2, (1 - q) = 1/2

elde edilir. Bu değerler F1 veya F2’ye yerleştirildiklerinde g = 0 olarak
hesaplanacaktır. Şu halde her oyuncu için en iyi strateji sade stratejilerden
her ikisini rasgele kullanmaktır. Fakat stratejiler eşit sayıda kullanılmalıdır.
Oyunun değeri sıfırdır. Bilindiği gibi böyle bir oyuna "insaflı oyun" denir.

**9.3.3. mX2 ve 2Xn Oyunların Çözümü**

Önceki kesimde herhangi bir 2X2 oyunun basit bir grafik kullanarak nasıl kolayca
çözülebileceğini açıkladık. Aynı yöntem oyunculardan birinin iki, diğerinin
ikiden fazla stratejisinin bulunduğu oyun problemlerinin çözümünde de
kullanılabilir. Grafik yaklaşımı ile herhangi bir 2Xn veya mX2 oyunun 2X2 oyuna
indirgenmesi amaçlanmaktadır. Boyutun 2X2’ye indirgenmesinden sonra problem 2X2
durumunda olduğu gibi çözülebilmektedir. Önce satır oyuncusunun R1 ve R2 olmak
üzere iki, sütun oyuncusunun ise C1, C2, ..., Cn olmak üzere n stratejisinin
bulunduğu yani, 2Xn boyutundaki bir oyunu çözelim. 2Xn durumunda sütun
oyuncusunun n stratejisi n tane doğru tanımlar. 2X2 durumunda olduğu gibi oyunun
çözümü bu doğruların belirlediği alt zarfın en üst noktasında ortaya çıkar.
Oyunun çözümü bu noktanın ordinat ve absisini kullanarak doğrudan bulunabilir.
Çözümün belirlenmesinde kullanılabilecek bir başka yaklaşım şudur: Oyunun
çözümünün ortaya çıktığı noktada kesişen Ci ve Ck gibi bir strateji çifti daima
vardır. Eğer bu noktada ikiden fazla strateji kesişiyorsa, bunlardan herhangi
ikisi rasgele seçilir. Seçilen bu stratejiler sütun oyuncusunun karma
stratejisini oluşturur. Satır oyuncusunun iki stratejisi bulunduğundan ve sütun
oyuncusunun strateji sayısı ikiye indirgendiğinden oyunun boyutu artık 2Xn değil
2X2 dir. 2X2 oyunun çözümü aynı zamanda orijinal 2Xn oyunun da çözümüdür.

2Xn oyunların çözümüne örnek olması bakımından aşağıdaki 2X4 oyunu çözelim.

Örnek 9.12: Kazanç matrisi aşağıda verilmiş olan 2X3 oyunu çözünüz.

Tablo 9.16

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır  En |    |       |        |
|------------------|---------------------------|-----------|----|-------|--------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | C3 | C4    | Küçüğü |
| R1               | -6                        | 4         | 3  | 5     | -6     |
| R2               | 6                         | 5         | 6  | -5    | **-5** |
| Sütun En Büyüğü  | 6                         | **5**     | 6  | **5** | -5  5 |

Çözüm 9.12:  (= -5)   (= 5) olduğundan oyunun tepe noktası yoktur. Bu yüzden
çözüm bir karma strateji çifti olacaktır. Şimdi karma strateji çiftini
belirleyelim. Oyunun çözümünü strateji sayısı 2 olan satır oyuncusuyla
başlatalım. Önceden olduğu gibi R1’in seçilmesi olasılığını p, R2’nin seçilmesi
olasılığını (1 - p) ile gösterdiğimizde, sütun oyuncusunun C1 stratejisine
karşılık satır oyuncusunun beklenen kazancı aşağıdaki gibi olur.

C1 için, E1 = -6p + 6(1 - p)

= -6p + 6 - 6p

= -12p + 6

Diğer taraftan sütun oyuncusunun C2’yi seçmesi durumunda satır oyuncusunun
beklenen kazancı aşağıdaki gibi belirlenecektir.

C2 için, E2 = 4p + 5(1 - p)

= 4p + 5 - 5p

= -p + 5

Benzer şekilde, sütun oyuncusunun C3, C4 strateji seçimlerine karşılık satır
oyuncusunun beklenen kazançları aşağıdaki gibi elde edilecektir.

C3 için, E3 = 3p + 6(1 - p) C4 için, E4 = 5p - 5(1 - p)

= 3p + 6 - 6p = 5p -5 + 5p

= -3p + 6 = 10p - 5

Sütun oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak belirlenen kazançların her biri
bir doğru tanımlar. Oyunun çözümü için önce bu doğruların çizilmesi gerekir.
Doğruların çizilmesinin ardından istenen çözüm kolayca belirlenir. Oyunun
grafiği Şekil 9.3’de gösterilmiştir.

![](media/e8922196a65411c927ba368848491187.png)

**Şekil 9.3**

C1, C2, C3 ve C4 ile gösterilen doğrular sütun oyuncusunun stratejilerine
karşılık gelmektedir. p’nin her bir değeri için doğruların o noktadaki
yüksekliği sütun oyuncusunun ödemesini gösterir.

Herhangi bir Cj stratejisi için en küçük kazancın en büyük olacağı bir karma
strateji bulmak istediğimize göre, C1, C2, C3, C4 stratejileri için bir alt
sınır çizeriz. Şekil 9.3’de bu alt sınır kalın çizilmiş AKB kırık çizgisidir.

Bu durumda sütun oyuncusunun en iyi stratejisi, alt sınırın en üst noktası olan
K’da kesişen C1 ve C4 sade stratejilerinin bir karması olur. K’nın yatay eksene
olan uzaklığının değeri (burada sıfır) oyunun değerine eşittir.

C2, C3 stratejileri devre dışı kaldığından oyun, 2X2 boyutuna indirgenmiş olur.
Şimdi bu 2X2 oyunu çözerek önce satır oyuncusunun karma stratejisini
belirleyelim. Mahkum stratejilerin devre dışı bırakılmasıyla elde edilen
indirgenmiş oyunun kazanç matrisi aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 9.17

| Satır  Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  Küçüğü |        |
|----------------------------|---------------------------|------------------|--------|
|                            | C1                        | C4               |        |
| R1                         | -6                        | 5                | -6     |
| R2                         | 6                         | -5               | **-5** |
| Sütun  En Büyüğü           | 6                         | **5**            | -5  5 |

Oyunu satır oyuncusu için çözelim: Satır oyuncusunun R1’i seçme olasılığı p,
R2’yi seçme olasılığı (1 - p) olduğuna göre, sütun oyuncusunun C1 ve C4
stratejilerine karşılık satır oyuncusunun beklenen kazancı sırasıyla şöyle
olacaktır.

C1 için, E1 = -6p + 6(1 - p)

= -6p + 6 - 6p

= -12p + 6

C4 için, E4 = 5p - 5(1 - p)

= 5p - 5 + 5p

= 10p - 5

E1 = E4 bağıntısından, p = 1/2, (1 - p) = 1/2 bulunur. p = 1/2’nin E1 veya E4’e
yerleştirilmesiyle g = 0 olduğu yani, oyunun insaflı olduğu belirlenir.

Oyuncuların karma stratejileri genellikle bir satır vektörle gösterilir. Satır
oyuncusunun karma strateji vektörü **p** = (p1, p2, ..., pm), sütun
oyuncusununki **q** = (q1, q2, ..., qn) şeklindedir. Buna göre, Örnek 9.10’daki
satır oyuncusunun karma strateji vektörü, **p** = (1/2, 1/2) olur.

Şimdi de sütun oyuncusunun C1 ve C4 stratejilerini seçme olasılıklarını bulalım.
C1’in seçilme olasılığına q dersek, C4’ün seçilme olasılığı (1 - q) olur. Buna
göre satır oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak sütun oyuncusunun beklenen
kazancı şöyle olur:

R1 için, F1 = -6q + 5(1 - q) R2 için, F2 = 6q - 5(1 - q)

= -6q + 5 - 5q = 6q - 5 + 5q

= -11q + 5 = 11q - 5

F1 = F2 bağıntısından, -11q + 5 = 11q – 5 elde edilecektir. Eşitliğin
çözülmesiyle q = 5/11, (1 - q) = 6/11 olarak elde edilir. q = 5/11 değerinin F1
veya F2’ye yerleştirilmesiyle, g = 0 bulunur. Buna göre, sütun oyuncusunun karma
strateji vektörü **q** = (5/11, 0, 0, 6/11) olur.

Satır oyuncusunun m, sütun oyuncusunun iki stratejisinin bulunduğu bir mX2 oyun
için problem tamamen 2Xn oyuna benzer şekilde çözülebilir. Yalnızca bu kez,
kazançların alt sınırı yerine üst sınırının çizilmesi gerektiği unutulmamalıdır.

Ayrıca oyunun değerini veren nokta üst sınır üzerinde en aşağıdaki noktadır. mX2
oyunların çözümüne örnek olarak matrisi aşağıda gösterilen 4X2 oyunu göz önüne
alalım.

Örnek 9.13: Bir 4X3 oyunun kazanç matrisi aşağıda verilmiştir. Oyunu grafik
yöntemiyle çözerek oyuncuların strateji seçimlerini ve oyunun değerini bulunuz.

Tablo 9.18

| Satır Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  Küçüğü |        |
|---------------------------|---------------------------|------------------|--------|
|                           | C1                        | C2               |        |
| R1                        | 3                         | 4                |  **3** |
| R2                        | 2                         | 4                |  2     |
| R3                        | 6                         | 2                |  2     |
| R4                        | 4                         | -2               | -2     |
| Sütun  En Büyüğü          | 6                         | **4**            | 3  4  |

Çözüm 9.13: Oyunun alt değeri 3, üst değeri 4 olduğundan, tepe noktası yoktur.
Bu yüzden çözüm bir karma strateji çifti olacaktır. Strateji sayısı iki olan
oyuncu sütun oyuncusu olduğundan çözüm bu oyuncunun stratejileri ile başlatılır.
Sütun oyuncusunun C1’i seçme olasılığına q dersek, C2’yi seçme olasılığı (1 - q)
olur. Buna göre satır oyuncusunun R1, R2, R3 ve R4 strateji seçimlerine bağlı
olarak sütun oyuncusunun beklenen kazancı şöyledir:

R1 için, F1 = 3q + 4(1 - q) R2 için, F2 = 2q + 4(1 - q)

= 3q + 4 - 4q = 2q + 4 - 4q

= -q + 4 = -2q + 4

R3 için, F3 = 6q + 2(1 - q) R4 için, F4 = 4q - 2(1 - q)

= 6q + 2 - 2q = 4q - 2 + 2q

= 4q + 2 = 6q - 2

Yukarıdaki gibi belirlenen beklenen kazançların temsil ettikleri doğrular Şekil
9.4’deki gibi çizilmiştir. Şekil 9.4’de gösterildiği gibi oyunun çözümü
kazançların üst sınırı (kalın çizgiyle çizilmiş) ile belirlenen üst zarfın alt
noktasında ortaya çıkar.

![](media/f3a7b3fa578922c3c8699b484da32a87.png)

**Şekil 9.4**

K ile gösterilen noktanın yatay eksene olan uzaklığının oyunun değerine eşit
olduğu bilinmektedir. K, R3 ve R1 stratejilerine karşı gelen doğrularla
belirlendiğinden, satır oyuncusu oyunu R2 ve R4 stratejilerini devre dışı
bırakarak oynayacaktır. Bu stratejilerin devre dışı bırakılmasıyla, 4X2oyun 2X2
oyuna dönüştürülmüştür. 2X2 oyunun kazanç matrisi Tablo 9.19’da gösterilmiştir.

Tablo 9.19

| Satır  Oyuncusu Stratejisi | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  Küçüğü |       |
|----------------------------|---------------------------|------------------|-------|
|                            | C1                        | C2               |       |
| R1                         | 3                         | 4                | **3** |
| R3                         | 6                         | 2                | 2     |
| Sütun  En Büyüğü           | 6                         | **4**            | 3  4 |

Şimdi bu basit oyunu çözelim. Satır oyuncusunun stratejisine bağlı olarak sütun
oyuncusunun beklenen kazancı aşağıdaki gibi elde edilir.

R1 için, F1 = 3q + 4(1 - q) R3 için, F3 = 6q + 2(1 - q)

= -q + 4 = 4q + 2

F1 = F3 bağıntısından q = 2/5, 1 - q = 3/5 olarak hesaplanır. q = 2/5 olduğu göz
önünde bulundurulduğunda, g = 18/5 olur.

Benzer şekilde, sütun oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak satır
oyuncusunun kazancı aşağıdaki gibi olur.

C1 için, E1 = 3p + 6(1 - p) C2 için, E2 = 4p + 2(1 - p)

= -3p + 6 = 2p + 2

Bu iki kazancın eşit oldukları dikkate alındığında satır oyuncusunun strateji
seçimine ilişkin olasılıklar, p = 4/5, (1 - p) = 1/5, g = 18/5 olarak
belirlenir.

**9.3.4. mXn Oyunların Doğrusal Programlama İle Çözümü**

Şimdiye kadar, oyunculardan en az birinin iki stratejisinin bulunduğu oyunların
çözümü üzerinde durulmuştur. Genel olarak, oyuncuların strateji sayıları
büyüdükçe oyunun çözümü güçleşir. Artan güçlük kesinlikle teoride değil işlem
sayısının hızla artmasındadır. Orjinalinde 2Xn veya mX2 olmayan ya da bu
boyutlardan birine indirgenemeyen mXn oyunlar doğrusal programlama ile
çözülürler. Bilindiği gibi bir mXn oyunda satır oyuncusunun R1, R2, ..., Rm gibi
m stratejisi, rakibinin C1, C2, ..., Cn gibi n stratejisi vardır ve oyunun
kazanç matrisi aşağıdaki gibi tablolanır.

**Tablo 9.20**

| Satır   Oyuncusu Stratejisi |   Sütun Oyuncusu Stratejisi |     |     |     |     |     |
|-----------------------------|-----------------------------|-----|-----|-----|-----|-----|
|                             | C1                          | C2  | ... | Cj  | ... | Cn  |
| R1                          | a11                         | a12 | ... | a1j | ... | a1n |
| R2                          | a21                         | a22 | ... | a2j | ... | a2n |
| ..                          | ..                          | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Ri                          | ai1                         | ai2 | ... | aij | ... | ain |
| ..                          | ..                          | ..  | ... | ..  | ... | ..  |
| Rm                          | am1                         | am2 | ... | amj | ... | amn |

Oyunun tepe noktasının bulunmadığı kabul edildiğinden her iki oyuncu oyunu karma
stratejileri ile sürdürecektir. Önce satır oyuncusunu dikkate alalım ve problemi
onun bakış açısıyla çözelim. Satır oyuncusunun stratejilerini p1, p2, ..., pm
(![](media/ad1457bbc70efd58f2b5212e48ee2331.png))
olasılıkları ile seçtiğini düşünelim. Buna göre sütun oyuncusunun C1, C2, ...,
Cn strateji seçimlerine bağlı olarak satır oyuncusunun beklenen kazancı
aşağıdaki denklem sistemiyle açıklanır.

C1 için: E1 = a11p1 + a21p2 + ... + am1pm

C2 için: E2 = a12p1 + a22p2 + ... + am2pm

... ... ... ... ... ...

Cn için: Em = a1np1 + a2np2 + ... + amnpm

Satır oyuncusunun hedefi, rakibinin strateji seçimi ne olursa olsun, en küçük
kazancını en büyüklemek olduğundan bu oyuncu oyunun en küçük değerini en
büyüklemek ister. Çünkü, satır oyuncusu kazancını en az oyunun değerine eşit
kılmak ister. Buna göre satır oyuncusu açısından problem aşağıdaki gibi
modellenir.

Zenb = g

a11p1 + a21p2 + ... + am1pm ≥ g

a12p1 + a22p2 + ... + am2pm ≥ g

... ... ... ...

a1np1 + a2np2 + ... + amnpm ≥ g

p1 + p2 + ... + pm = 1

pi ≥ 0 (i = 1, 2, ..., m)

Oyunun değeri önceden bilinmemekle birlikte pozitif olduğu kabul edilecektir.
Yukarıdaki modelin doğrusal programlama ile çözülebilmesi için kısıtlayıcı
fonksiyonların sağ taraf sabitleri bilinen değerlere dönüştürülmelidir. Bunu
sağlamanın tek yolu, kısıtlayıcı fonksiyonların her birinin g’ye bölünmesidir.
Bölme işlemiyle ortaya çıkan değişkenleri aşağıdaki gibi tanımlayalım.

X1 = p1/g, X2 = p2/g, ..., Xm = pm/g

Buradaki Xi’ler negatif olmayan sayılardır. p1 + p2 + ... + pm = 1 bağıntısının
dikkate alınmasıyla, X1 + X2 + ... + Xm = 1/g elde edilir.

Satır oyuncusunun garanti edilmiş kazancı olan g’nin en büyüklenmesi için,
1/g’nin en küçüklenmesi gerekir.

Buna göre bir m X n oyunun çözümünü bulma problemi, aşağıdaki doğrusal
programlama probleminin çözülmesine indirgenmiş olur.

Zenk = 1/g = X1 + X2 + ... + Xm

a11X1 + a21X2 + ... + am1Xm ≥ 1

a12X1 + a22X2 + ... + am2Xm ≥ 1

... ... ... ...

a1nX1 + a2nX2 + ... + amnXm ≥ 1

X1, X2, ..., Xm ≥ 0

Problemin doğrusal programlamanın klasik çözüm yöntemi simpleks tekniğiyle
çözümüyle belirlenen Xi (i =1, 2, ..., m) değerlerinin Xi = pi/g’de yerine
konulmasıyla satır oyuncusunun en iyi karma stratejisi bulunmuş olur.

Simpleks yöntemle belirlenen Z değerinin (1/g)’ye eşit olduğu unutulmamalıdır.
Sütun oyuncusunun problemi, satır oyuncusu için türetilen doğrusal programlama
modelinin duali olarak yorumlanabilir. Yani, problem satır oyuncusu için
çözüldüğünde primal-dual ilişkileri kullanılarak sütun oyuncusunun karma
stratejisi belirlenebilir. Bununla birlikte istenirse, problem sütun oyuncusu
bakımından doğrusal programlama modeli olarak formüllenebilir.

Bir m X n oyunun doğrusal programlama ile çözümünü bir de sütun oyuncusu
bakımından ele alalım. Sütun oyuncusunun stratejilerini sırasıyla, q1, q2, ...,
qn
(![](media/ec467c1ad3deb2cd0d2e775a309da610.png))
olasılıkları ile seçtiğini düşünelim.

Buna göre satır oyuncusunun strateji seçimine bağlı olarak sütun oyuncusunun
beklenen kazancı,

R1 için: F1 = a11q1 + a12q2 + ... + a1nqn

R2 için: F2 = a21q1 + a22q2 + ... + a2nqn

... ... ... ... ... ...

Rm için: Fn = am1q1 + am2q2 + ... + amnqn

olarak formüllenir.

Sütun oyuncusunun amacı rakibinin strateji seçimi ne olursa olsun en büyük
kaybını en küçüklemektir. Bunun için sütun oyuncusu kaybının en fazla oyunun
değerine eşit olmasını ister. Buna göre, sütun oyuncusunun problemi aşağıdaki
gibi formüllenir.

Zenk = g

a11q1 + a12q2 + ... + a1nqn ≤ g

a21q1 + a22q2 + ... + a2nqn ≤ g

... ... ... ...

am1q1 + am2q2 + ... + amnqn ≤ g

q1 + q2 + ... + qn = 1

qj ≥ 0 j = 1, 2, ..., n

Kısıtlayıcıların sağ taraf sabitlerinin negatif olmamalarını sağlamak için,
önceden olduğu gibi, g’nin pozitif bir sayı olduğunu kabul edeceğiz. Kısıtlayıcı
fonksiyonları uygun şekle dönüştürmek için g ile böler,

y1 = q1/g, y2 = q2/g, ..., yn = qn/g

tanımlarsak, sütun oyuncusu için doğrusal programlama problemi aşağıdaki gibi
olur.

Zenb = 1/g = y1 + y2 + ... + yn

a11y1 + a12y2 + ... + a1nyn ≤ 1

a21y1 + a22y2 + ... + a2nyn ≤ 1

... ... ... ...

am1y1 + am2y2 + ... + amnyn ≤ 1

y1, y2, ..., yn ≥ 0

Dönüştürülmüş problemin çözüm sonuçları olan yj değerleri yj = qn/g bağıntısına
yerleştirildiğinde orijinal problem çözülmüş, yani q değerleri belirlenmiş olur.

Problem sütun oyuncusu için çözüldüğünde primal-dual ilişkileri kullanılarak
satır oyuncusunun karma stratejisi belirlenebilir.

Konuyla ilgili sayısal bir örnek vermeden önce, oyunun değerinin pozitif kabul
edilmesinin doğru olup olmadığı üzerinde duralım.

aij’lerden bazılarının negatif olması durumunda oyunun değeri (g) pozitif
olmayabilir. Bu gibi durumlarda oyun matrisinin her elemanına aij’lerin tümünün
pozitif olmasını sağlayacak bir L sabiti eklenebilir. Bu durumda oyunun değeri L
kadar artar, fakat çözüm aynı kalır. L’nin eklenmesiyle belirlenen oyun
değerinden L’nin çıkartılmasıyla da orijinal oyunun değeri belirlenir.

Örnek 9.14: Kazanç matrisi aşağıda verilen 3X3 oyunu doğrusal programlama olarak
formülleyerek simpleks yöntemle çözünüz*.*

Tablo 9.21

| Satır  Oyuncusu  | Sütun Oyuncusu Stratejisi | Satır En  |    |        |
|------------------|---------------------------|-----------|----|--------|
| Stratejisi       | C1                        | C2        | C3 | Küçüğü |
| R1               | -2                        |  6        | 3  | -2     |
| R2               |  3                        | -4        | 7  | -4     |
| R3               | -1                        |  2        | 4  | **-1** |
| Sütun  En Büyüğü | **3**                     | 6         | 7  | -1  3 |

Çözüm 9.14: Doğrusal programlama ile çözüme geçmeden önce matrisin negatif
elemanlarını pozitif değerlere dönüştürmek için kazanç matrisinin her bir
elemanına L = 4 ekleyelim. Tablo 9.21’deki kazanç matrisinin her bir değerine 4
eklenmesiyle problemin orijinal kazanç matrisi, Tablo 9.22’deki gibi olur. Bu
ekleme oyunun değerini 4 artırır ama çözümü değiştirmez.

Tablo 9.22

| Sütun  Oyuncusu Stratejisi | Satır Oyuncusu  Stratejisi | Satır En  Küçüğü |    |       |
|----------------------------|----------------------------|------------------|----|-------|
|                            | C1                         | C2               | C3 |       |
| R1                         | 2                          | 10               | 7  | 2     |
| R2                         | 7                          | 0                | 11 | 0     |
| R3                         | 3                          | 6                | 8  | **3** |
| Sütun  En Büyüğü           | **7**                      | 10               | 11 | 3  7 |

Oyunu önce satır oyuncusu için çözelim. Bu oyuncunun doğrusal programlama
formülasyonu aşağıda gösterilmiştir.

Zenk = 1/g = X1 + X2 + X3

2X1 + 7X2 + 3X3 ≥ 1

10X1 + 0X2 + 6X3 ≥ 1

7X1 + 11X2 + 8X3 ≥ 1

X1, X2, X3 ≥ 0

Burada g oyunun değeri ve Xi = pi/g olarak tanımlanmıştır.

Simpleks çözüm için artık ve yapay değişkenlerin modele sokulması ile,

Zenk = X1 + X2 + X3 + 0X4 + 0X5 + 0X6 + MA1 + MA2 + MA3

2X1 + 7X2 + 3X3 - X4 + A1 = 1

10X1 + 0X2 + 6X3 - X5 + A2 = 1

7X1 + 11X2 + 8X3 - X6 + A3 = 1

X1, X2, X3, X4, X5, X6, A1, A2, A3 ≥ 0

elde edilir.

Problemin başlangıç çözüm tablosu aşağıda gösterilmiştir.

Tablo 9.23

| TDV     | X1     | X2    | X3    | X4 | X5 | X6 | A1 | A2 | A3 | ÇV                                                                                                                            |
|---------|--------|-------|-------|----|----|----|----|----|----|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| A1      |  2     |  7    | 3     | -1 |  0 |  0 | 1  | 0  | 0  | 1                                                                                                                             |
| A2      | **10** |  0    | 6     |  0 | -1 |  0 | 0  | 1  | 0  | ![](media/2a5f7b7971dbbd99ae953bfb0b4d7cb7.png)1 |
| A3      |  7     | 11    | 8     |  0 |  0 | -1 | 0  | 0  | 1  | 1                                                                                                                             |
| Zj      | 19M    | 18M   | 17M   | -M | -M | -M | M  | M  | M  | 3M                                                                                                                            |
| Zj - Cj | 19M-1  | 18M-1 | 17M-1 | -M | -M | -M | 0  | 0  | 0  | -                                                                                                                             |

![](media/72c035adb96508e8b8efd6291f263806.png)

Z1 - C1 = 19M-1 \> Z2 - C2 = 18M - 1, Z3 - C3 = 17M - 1 olduğundan, X1’in temele
alınması, A2 temelden çıkartılması ve bilinen işlemlerin uygulanmasıyla yeni
çözüm tablosu aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

Tablo 9.24

| TDV     | X1 | X2     | X3                                                                                                                           | X4 | X5                                                                                                                           | X6 | A1 | A2                                                                                                                           | A3 | ÇV                                                                                                                              |
|---------|----|--------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| A1      | 0  | 7      | 9/5                                                                                                                          | -1 | 1/5                                                                                                                          | 0  | 1  | -1/5                                                                                                                         | 0  | 4/5                                                                                                                             |
| X1      | 1  | 0      | 3/5                                                                                                                          | 0  | -1/10                                                                                                                        | 0  | 0  | 1/10                                                                                                                         | 0  | 1/10                                                                                                                            |
| A3      | 0  | **11** | 19/5                                                                                                                         | 0  | 7/10                                                                                                                         | -1 | 0  | -7/10                                                                                                                        | 1  | ![](media/5c6fa0e2a47c613114ccc70c7fbb72a6.png)1/3 |
| Zj      | 1  | 18M    | ![](media/1bd7c44ac217fd2841e0bc56406bb1b9.png) | -M | ![](media/709d24b2b548315bcb7718bd52375005.png) | -M | M  | ![](media/fe12cc13ee6b394286559fbbedcc301e.png) | M  | ![](media/4bb3f4e126e8430206e113ea3f6899ce.png)    |
| Zj - Cj | 0  | 18M-1  | ![](media/2b23a49cd798ff74ae1cf6bd755f4d01.png) | -M | ![](media/709d24b2b548315bcb7718bd52375005.png) | -M | 0  | ![](media/04e19f4456f2b9339b9775a14a1a9879.png) | 0  | -                                                                                                                               |

![](media/6808b419cf67f36b6099706bff0903f1.png)

Z2 - C2 = 18M - 1 \> Z3 - C3, Z5 - C5 olduğundan X2’nin temele alınması, A3’ün
temelden çıkartılması ve anahtar işlemlerin uygulanmasıyla, aşağıdaki yeni çözüm
tablosu elde edilir.

Tablo 9.25

| TDV                                                                                                                                 | X1 | X2 | X3                                                                                                                           | X4 | X5                                                                                                                           | X6                                                                                                                           | A1 | A2                                                                                                                           | A3                                                                                                                           | ÇV                                                                                                                                 |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| A1                                                                                                                                  | 0  | 0  | -34/55                                                                                                                       | -1 | -27/110                                                                                                                      | **7/11**                                                                                                                     | 1  | 27/110                                                                                                                       | -7/11                                                                                                                        | ![](media/5c6fa0e2a47c613114ccc70c7fbb72a6.png)67/110 |
| X1                                                                                                                                  | 1  | 0  | 3/5                                                                                                                          | 0  | -1/10                                                                                                                        | 0                                                                                                                            | 0  | 1/10                                                                                                                         | 0                                                                                                                            | 1/10                                                                                                                               |
| X2                                                                                                                                  | 0  | 1  | 19/55                                                                                                                        | 0  | 7/110                                                                                                                        | -1/11                                                                                                                        | 0  | -7/10                                                                                                                        | 1/11                                                                                                                         | 3/110                                                                                                                              |
| Zj                                                                                                                                  | 1  | 1  | ![](media/ba14402c43e88edff622ed9a114c6220.png) | -M | ![](media/48a9b171f9fbf8264ccc2f4bab63ab7b.png) | ![](media/2771df79e6a6cf72ad69be55829f4511.png) | M  | ![](media/f8e2521ca638aa294b8cc941bbcbee65.png) | ![](media/4600958635b382d8b6e25a2561757338.png) | ![](media/b52c597a4de7006862f680768b16ffbf.png)       |
| ![](media/140c0e88cd252ee7f4a9f78b180135c7.png)Zj - Cj | 0  | 0  | ![](media/9d9ef0fe85efc16014b6e3f095ecb190.png) | -M | ![](media/48a9b171f9fbf8264ccc2f4bab63ab7b.png) | ![](media/2771df79e6a6cf72ad69be55829f4511.png) | 0  | ![](media/2a4af34988fee58a856f3b260ecabf67.png) | ![](media/cf1578b99a96e7eaa453ec9a0fdbc49d.png) | -                                                                                                                                  |

Z6 - C6 \> 0 olduğundan X6 temele alınır. A1’in temelden çıkartılması ve
simpleks yöntemin bilinen işlemleriyle yeni çözüm aşağıdaki gibi elde edilir.

## Tablo 9.26

| TDV      | X1 | X2 | X3     | X4    | X5     | X6 | A1                                                                                                                           | A2                                                                                                                           | A3 | ÇV    |
|----------|----|----|--------|-------|--------|----|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|----|-------|
| X6       | 0  | 0  | -34/35 | -11/7 | -27/70 | 1  | 11/7                                                                                                                         | 27/70                                                                                                                        | -1 | 67/70 |
| X1       | 1  | 0  | 3/5    | 0     | -1/10  | 0  | 0                                                                                                                            | 1/10                                                                                                                         | 0  | 1/10  |
| X2       | 0  | 1  | 9/35   | -1/7  | 1/35   | 0  | 1/7                                                                                                                          | -1/35                                                                                                                        | 0  | 4/35  |
| Zj       | 1  | 1  | 6/7    | -1/7  | -1/14  | 0  | 1/7                                                                                                                          | 1/14                                                                                                                         | 0  | 3/14  |
| Z j - Cj | 0  | 0  | -1/7   | -1/7  | -1/14  | 0  | ![](media/26f157e9086bd7a963df864bbe936d64.png) | ![](media/ea86983e11ad865a3a9136db7fc0281d.png) | -M | -     |

Tüm Zj - Cj ≤ 0 olduğundan yürürlükteki çözüm en iyidir. En iyi çözümün yer
aldığı tablodan görüldüğü gibi, X1 = 1/10, X2 = 4/35, X3 = 0’dır.

Bu çözüm kümesi, satır oyuncusunun en iyi stratejisinin belirlenmesinde
kullanılacaktır. Zenk = 3/14 olduğu dikkate alındığında, 1/g = 3/14
bağıntısından, g = 14/3 = 4.666 bulunur. Bu arada, orijinal oyun matrisinin tüm
elemanlarına 4 eklendiği bu yüzden, oyunun asıl değerinin g = 0.666 (= 4.666 -
4) olduğu unutulmamalıdır. Bu çözüm sonuçlarının kullanılmasıyla satır
oyuncusunun strateji seçim olasılıkları aşağıdaki gibi hesaplanır.

p1 = X1 g bağıntısından, p1 =
![](media/c5542383b28985dc32bfbd6e12b4cfc0.png)=![](media/4d7307e9fd8bcc9d28aaef9f18b4bc03.png)=
0.466

p2 = X2g bağıntısından,
![](media/39f8da6088d6b58e2cf9bb39c1455617.png)

p3 = X3g bağıntısından,
![](media/0609004a579457badc9d70c126bdf701.png)

Buna göre satır oyuncusu %46.66 oranında R1 stratejisini, %53.33 oranında R2
stratejisini oynarsa, rakibinin kabul edebileceği düzeyde bir oyun değeri
belirlemiş olacaktır.

Aynı oyunu bir de sütun oyuncusu için çözelim. Yukarıdaki açıklamalar
doğrultusunda sütun oyuncusunun doğrusal programlama formülasyonu aşağıdaki gibi
düzenlenecektir.

Zenb = 1/g = y1 + y2 + y3

2y1 + 10y2 + 7y3 ≤ 1

7y1 + 0y2 + 11y3 ≤ 1

3y1 + 6y2 + 8y3 ≤ 1

y1, y2 ,y3 ≥ 0

Burada oyunun değeri (g), yi = qi/g olarak tanımlanmıştır.

Problemin simpleks yöntemin gerektirdiği standart biçimi aşağıdadır.

Zenb = y1 + y2 + y3 + 0y4 + 0y5 + 0y6

2y1 + 10y2 + 7y3 + y4 = 1

7y1 + 11y3 + y5 = 1

3y1 + 6y2 + 8y3 + y6 = 1

y1, y2, y3, y4, y5, y6 ≥ 0

Düzenlenmiş bu modeldeki y4, y5, y6 değişkenleri başlangıç uygun temel çözümdeki
değişkenlerdir. Buna göre düzenlenen simpleks başlangıç çözüm tablosu aşağıda
gösterilmiştir.

Tablo 9.27

| TDV     | y1    | y2 | y3 | y4 | y5 | y6 | ÇV                                                                                                                            |
|---------|-------|----|----|----|----|----|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| y4      | 2     | 10 | 7  | 1  | 0  | 0  | 1                                                                                                                             |
| y5      | **7** | 0  | 11 | 0  | 1  | 0  | ![](media/8535d76292b7cfa136d0f0621fd41a1a.png)1 |
| y6      | 3     | 6  | 8  | 0  | 0  | 1  | 1                                                                                                                             |
| Zj      | 0     | 0  | 0  | 0  | 0  | 0  | 0                                                                                                                             |
| Zj - Cj | -1    | -1 | -1 | 0  | 0  | 0  | -                                                                                                                             |

![](media/8775508c4d529f3106346cac0c63b83e.png)Simpleks
yöntemin temel kurallarının uygulanmasıyla elde edilen simpleks çözüm tabloları
aşağıda sırasıyla gösterilmiştir.

**Tablo 9.28**

| TDV     | y1                                                                                                                            | y2     | y3   | y4 | y5   | y6 | ÇV                                                                                                                              |
|---------|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|--------|------|----|------|----|---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|
| y4      | 0                                                                                                                             | **10** | 27/7 | 1  | -2/7 | 0  | ![](media/8535d76292b7cfa136d0f0621fd41a1a.png)5/7 |
| y1      | 1                                                                                                                             | 0      | 11/7 | 0  | 1/7  | 0  | 1/7                                                                                                                             |
| y6      | 0                                                                                                                             | 6      | 23/7 | 0  | -3/7 | 1  | 4/7                                                                                                                             |
| Zj      | 1                                                                                                                             | 0      | 11/7 | 0  | 1/7  | 0  | 1/7                                                                                                                             |
| Zj - Cj | ![](media/9c9c264c33bc1791da32c13168b1b011.png)0 | -1     | 4/7  | 0  | 1/7  | 0  | -                                                                                                                               |

Tablo 9.29

| TDV     | y1 | y2 | Y3     | y4   | y5    | y6 | ÇV   |
|---------|----|----|--------|------|-------|----|------|
| y2      | 0  | 1  | 27/70  | 1/10 | -1/35 | 0  | 1/14 |
| y1      | 1  | 0  | 11/7   | 0    | 1/7   | 0  | 1/7  |
| y6      | 0  | 0  | 34/35  | -3/5 | -9/35 | 1  | 1/7  |
| Zj      | 1  | 1  | 137/70 | 1/10 | 4/35  | 0  | 3/14 |
| Zj - Cj | 0  | 0  | 67/70  | 1/10 | 4/35  | 0  | -    |

Tablo 9.29’dan görüldüğü gibi, tüm Zj - Cj ≥ 0 olduğundan çözüm en iyidir. Bu
çözümde; y1 = 1/7, y2 = 1/14, y3 = 0’dır. Bu çözüm kümesi sütun oyuncusunun
strateji vektörünün belirlenmesinde kullanılacaktır.

Zenb = 3/14 olduğunun dikkate alınmasıyla, 1/g = 3/14 bağıntısından oyunun
değeri önceki çözüm sürecindeki gibi g = 14/3 = 4.666 bulunur. Oyunun asıl
değerinin 0.666 olduğunu bir kez daha hatırlayalım.

q1 = y1g, q2 = y2g, q3 = y3g bağıntılarından q1, q2, q3 aşağıdaki gibi
hesaplanır.

![](media/9830d76e9a030732887616a289007547.png)

Buna göre, sütun oyuncusu %66.66 oranında birinci, %33.33 oranında ikinci
stratejisini oynarsa, rakibinin (satır oyuncusunun) ikna olacağı bir düzeyde
oyunun değerini belirlemiş olacaktır. Bu değer g = 0.666 (= 4.666 - 4)’dır.

Görüldüğü gibi problem her iki oyuncu için ayrı ayrı çözülmüştür. Oysa, daha
önce açıklandığı gibi, problem oyunculardan biri için çözüldüğünde diğeri için
de çözülmüş olur. Çünkü satır oyuncusunun problemi primal kabul edildiğinde
sütun oyuncusunun problemi dual olur. Bunun tersi de doğrudur. Primal problemin
çözümünden dual problemin çözümünün veya tersi dual problemin çözümünden primal
problemin çözümünün elde edilebileceği göz önünde bulundurulduğunda problemin
oyunculardan biri için çözülmesinin yeterli olacağı anlaşılır. Buna göre, önce
satır oyuncusu için belirlenen çözümden hareketle sütun oyuncusunun çözümünü
belirleyelim.

Tablo 9.26’nın artık değişkenlerine ait Zj - Cj değerleri dual değişkenlerin
değerlerini (M’nin göz ardı edilmesi koşuluyla) vereceğinden problem sütun
oyuncusu için de çözülmüş olur. Buna göre,

Z7 - C7 = 1/7’den y1 = 1/7

Z8 - C8 = 1/14’den y2 = 1/14

Z9 - C9 = 0’dan y3 = 0

olarak belirlenecektir. Bu durumda yapılacak tek şey y1, y2, y3 için belirlenen
değerleri , q1 = y1g, q2 = y2g, q3 = y3g bağıntılarına yerleştirip gerekli
aritmetik işlemleri gerçekleştirmektir.

Şimdi de sütun oyuncusunun çözümünden hareketle satır oyuncusunun çözümünü elde
edelim. Sütun oyuncusunun en iyi çözümünün bulunduğu Tablo 9.29’un aylak
değişkenlerine ait Zj - Cj değerleri satır oyuncusunun değişken değerlerini
verecektir. Buna göre, X1, X2, X3 aşağıdaki gibi hesaplanır.

Z4 - C4 = 1/10’dan X1 = 1/10

Z5 - C5 = 4/35’den X2 = 4/35

Z6 - C6 = 0’dan X3 = 0

Bu değerlerin p1 = X1g, p2 = X2g, p3 = X3g bağıntılarına yerleştirilip gerekli
işlemlerin yapılmasıyla satırdaki oyuncunun karma stratejisi belirlenmiş olur.

Özetle, problem oyunculardan biri için çözüldüğünde diğer oyuncu için de
çözülmüş olacağından problemin her iki oyuncu için ayrı ayrı çözülmesine gerek
yoktur. Kuşkusuz, kısıtlayıcı fonksiyonları ≤ biçiminde olan en büyükleme amaçlı
doğrusal programlama probleminin standartlaştırılmasında daha az değişken
kullanıldığından, sütun oyuncusuna öncelik verilmesi uygun olur.

## 9.4. İKİ KİŞİLİ SABİT TOPLAMLI OYUNLAR

İki-kişili sabit-toplamlı bir oyunda oyuncuların kazançları toplamı c (c  0)
sabitine eşittir. Genel olarak iki-kişili sabit-toplamlı oyunlar iki-kişili
sıfır-toplamlı oyunların çözümünde kullanılan yöntemlerle çözülür.

**Örnek 9.15**: Yörede yayın yapan iki TV kanalı vardır. 20:00-21:00 saatleri
arasında tam 50 milyon kişi bu iki kanalı izlemektedir. Kanallar 20:00-21:00
saatleri arasında yapacakları yayının türünü önceden aynı anda anons etmek
zorundadırlar. Yayın türünün sonradan değiştirilmesi mümkün değildir. Kanalların
mümkün seçimleri ve birinci kanalı seyredeceklerin sayısı Tablo 9.30’da
verilmiştir. Oyunun tepe noktası bulunup bulunmadığını ve birinci kanal için
oyunun değerini bulunuz.

### Tablo 9.30

| Kanal 1 Yayın Türü | Kanal 2 Yayın Türü | Satır En Küçüğü |        |             |
|--------------------|--------------------|-----------------|--------|-------------|
|                    | Yarışma            | Arkası Yarın    | Komedi |             |
| Yarışma            | 25                 | 25              | 40     | **25**      |
| Arkası Yarın       | 25                 | 40              | 18     | 18          |
| Komedi             | 18                 | 24              | 30     | 18          |
| Sütun En Büyüğü    | **25**             | 40              | 40     | **25 = 25** |

**Örnek 9.15**: Tablonun satır en küçükleriyle oluşturulan son sütunu
incelendiğinde enb (25, 18, 18) = 25 olduğu görülecektir. Bu, birinci kanalı en
az 25 milyon kişinin izleyeceği anlamına gelir. Diğer taraftan, sütun en
büyükleriyle oluşturulan son satır incelendiğinde enk(25, 40, 40) =25 olduğu
görülecektir. Bu ise ikinci kanalı en az 25 milyon kişinin izleyeceği anlamına
gelir. Enb(satır en küçükleri) = enk(sütun en büyükleri) olduğundan, oyun tepe
noktalı bir oyundur. Buna göre 25 milyon kişi birinci kanaldaki yarışma
programını, kalan 25 milyon kişi ikinci kanaldaki yarışma programını
izleyecektir. Özetle oyunun satır oyuncusu için değeri 25, sütun oyuncusu için
25 (= 50 – 25) dir.

## 9.5. İKİ KİŞİLİ SABİT OLMAYAN TOPLAMLI OYUNLAR

Uygulamada sabit olmayan toplamlı oyunlarla karşılaşmak daha olağandır. Rakip
işletmelerin tam anlamıyla çatışma durumunda olmaları genellikle beklenmez. Bu
kesimde oyuncuların işbirliği yapmalarının söz konusu olmadığı iki kişili sabit
olmayan toplamlı oyun problemleri üzerinde durulacaktır. Çok bilinen tutuklu
ikilemi problemiyle başlayalım.

# Örnek 9.16: Soygun yapan iki kişi yakalanmış ve tutukevine konmuştur. Suçlu olduklarının bilinmesine karşın yargının elinde suçu kanıtlayacak yeterli delil yoktur. Bu nedenle savcı sanıkları birbirlerine karşı tanıklık etmeleri konusunda ikna etmeye çalışmaktadır. Savcı sanıkların suçlarını itiraf etmelerini sağlamak için her birine ayrı ayrı şunları söyler: Suçu biriniz itiraf eder diğerine karşı tanıklık ederse itiraf eden serbest kalır, itiraf etmeyen 9 yıl ceza alır. Her ikiniz birden suçlu olduğunuzu kabul ederseniz 6’şar yıl ceza alırsınız. Her ikiniz birden suçu reddederseniz 1’er yıl ceza alırsınız. Sizce sanıklar için en uygun davranış ne olur?

**Çözüm 9.16**: Sanıkların birbirleriyle haberleşmelerinin mümkün olmadığını
varsayalım. Buna göre sanıkların kazanç (ceza almak istenmeyen bir durum olduğu
için - değerli) matrisleri aşağıdaki gibi düzenlenir.

Birinci sanık için düzenlenen kazanç (ceza) matrisi aşağıda gösterilmiştir.
İkinci sanığın ceza matrisine geçmeden önce birinci sanık için en iyi davranış
biçiminin ne olacağını araştıralım. Birinci sanığın, ikinci sanığın itiraf
edeceğini umduğunu düşünelim. Bu durumda kendisi için en iyi strateji suçu kabul
etmek olur (-6, -9’dan daha iyidir). Birinci sanığın, ikinci sanığın
reddedeceğini düşündüğünü varsayalım. Bu durumda birinci sanık için en iyi
seçenek suçu kabul etmek olur (0, -1’den iyidir). Özetle ikinci sanığın tavrı ne
olursa olsun birinci sanık için en iyi davranış biçimi suçu kabul etmektir.
Birinci sanığın ceza matrisi Tablo 9.31’de gösterilmiştir.

### Tablo 9.31

| Birinci Sanık | İkinci Sanık |     |
|---------------|--------------|-----|
|               | İtiraf       | Red |
| İtiraf        | -6           |  0  |
| Red           | -9           | -1  |

Şimdi de ikinci sanık için en iyi davranış biçiminin ne olacağını araştıralım.
İkinci sanığın durumunu özetleyen ceza matrisi Tablo 9.32’de gösterilmiştir.

### Tablo 9.32

| Birinci Sanık | İkinci Sanık |     |
|---------------|--------------|-----|
|               | İtiraf       | Red |
| İtiraf        | -6           | -9  |
| Red           |  0           | -1  |

İkinci sanığın, birinci sanığın suçu kabul edeceğini umduğunu düşünelim. Tablo
9.32’den görüleceği gibi, bu durumda kendisi için en iyi strateji suçu kabul
etmek olur (-6, -9’dan iyidir). İkinci sanığın, birinci sanığın reddedeceğini
düşündüğünü varsayalım. Bu durumda kendisi için en iyi seçenek suçu kabul etmek
olur (0, -1’den iyidir). Özetle birinci sanığın tavrı ne olursa olsun ikinci
sanık için en iyi davranış biçimi suçu kabul etmektir.

Sabit olmayan toplamlı oyunlarda oyuncuların oyun matrisleri yukarıdaki gibi
ayrı matrisler olarak değil tek matris halinde gösterilir. Birinci ve ikinci
suçluların ceza matrislerinin göz önünde bulundurulmasıyla oluşturulan ceza
matrisi aşağıda gösterilmiştir.

### Tablo 9.33

| Birinci Suçlu | İkinci Suçlu |          |
|---------------|--------------|----------|
|               | İtiraf       | Red      |
| İtiraf        |  (-6, -6)    | (0, -9)  |
| Red           | (-9, 0)      | (-1, -1) |

Yukarıdaki açıklamaların ortaya koyduğu gibi oyunun tepe noktası (-6, -6)
gözesinde ortaya çıkmaktadır. Bunun anlamı her iki sanığın suçu kabul etmesi ve
6’şar yıl ceza almaları (toplam 12 yıl ceza)’dır.

Tablo 9.33 incelendiğinde (-1, -1) gözesinin işaret ettiği stratejilerin
diğerlerinden daha iyi olduğu düşünülebilir. Çünkü bu sanıkların 6’şar yıl
yerine 1’er yıl ceza almaları demektir. Ancak, (-1, -1) sonucu hiç
gerçekleşmeyebilir. Çünkü sanıklardan biri bu gözenin işaret ettiği stratejiyi
benimsemişken diğeri bundan vazgeçerse cezasının 1 yıl yerine sıfır yıl olmasını
sağlayabilir. Bu yüzden (-1, -1) tepe noktası olamaz. İki-kişili sıfır-toplamlı
oyunlarda olduğu gibi, iki-kişili sabit olmayan-toplamlı oyunların tepe noktası
oyuncuların strateji seçimlerini tek başına değiştirmelerinin oyunculara hiçbir
yarar sağlamadığı noktada ortaya çıkar.

**Örnek 9.17**: Rakip iki marketin (A ve B) satışları toplamı 240 milyon TL’dir.
Rakiplerin bu toplam içindeki payları reklam harcamalarının miktarına bağlıdır.
Rakipler reklama 6 veya 10 milyon TL harcamak durumunda olup reklam harcaması
fazla olan marketin satış geliri 190 milyon TL olmaktadır. Reklam harcamalarının
eşit olması durumunda satış gelirleri de eşit olmaktadır. Bir TL’lik satışdan
elde edilen kâr 0.5 TL’dir. Marketlerin amacı"kâr–reklam harcaması" değerini en
büyüklemektir. Oyun matrisini kurunuz ve oyunun tepe noktası olup olmadığını
belirleyiniz.

**Çözüm 9.17**: Önce market A ve B’nin strateji seçimlerinin sonucunda ortaya
çıkan sonuç değerlerini hesaplayalım. A’nın ve B’nin reklam harcamalarının 10’ar
milyon TL olduğunu düşünelim Buna göre hem A’nın hem de B’nin net kazancı
aşağıdaki gibi hesaplanır.

(120 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 50 milyon

Şimdi de hem A’nın hem de B’nin reklam için 6’şar milyon TL harcadıklarını
düşünelim. Buna göre, A ve B’nin birbirine eşit olan kazançları aşağıdaki gibi
hesaplanır.

(120 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 54 milyon

A’nın 10, B’nin 6 milyon harcadığını düşünelim. Bu durumda,

A’nın kazancı = (190 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 85 milyon

B’nin kazancı = (50 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 19 milyon

olur.

Son olarak A’nın 6, B’nin 10 milyon harcadığını düşünelim. Bu durumda kazançlar
aşağıdaki gibi hesaplanır.

A’nın kazancı = (50 milyon X 0.5) – (6 milyon) = 19 milyon

B’nin kazancı = (190 milyon X 0.5) – (10 milyon) = 85 milyon

Hesaplanan bu değerlerin kullanılmasıyla, oyunu özetleyen kazanç matrisi Tablo
9.34’de gösterildiği gibi elde edilir.

### Tablo 9.34

| A’nın Reklam Harcaması | B’nin Reklam Harcaması |           |
|------------------------|------------------------|-----------|
|                        | 6 milyon               | 10 milyon |
| 6 milyon               | (54, 54)               | (19, 85)  |
| 10 milyon              | (85, 19)               | (50, 50)  |

A, B’nin 6 milyon TL harcayacağını düşünüyor olsun. Bu durumda A, 54 milyon
yerine 85 milyon kazanmak için 10 milyon harcar. Rakibinin 10 milyon harcaması
durumunda A, 19 milyon yerine 50 milyon kazanmak için 10 milyon harcar.
Açıklamaların ortaya koyduğu gibi, B’nin tavrı ne olursa olsun A için en iyi
seçim reklam için 10 milyon TL harcamaktır.

Aynı analizi B için gerçekleştirelim. A’nın 6 milyon TL harcaması durumunda B,
10 milyon TL harcayarak kazancının 85 milyon TL olmasını sağlar. Rakibinin 10
milyon harcaması durumunda B, 19 milyon yerine 50 milyon kazanmak için 10 milyon
harcar. Açıklamaların ortaya koyduğu gibi, A’nin tavrı ne olursa olsun B için en
iyi seçim reklam için 10 milyon TL harcamaktır. Özetle, A’nın tavrı ne olursa
olsun, B 10 milyon TL harcamayı kararlaştıracaktır. O halde oyunun tepe noktası
her bir marketin 10 milyon alternatiflerinin kesiştiği gözede gerçekleşir.

(54, 54) gözesinin işaret ettiği stratejilerin daha iyi olduğu düşünülebilir.
Çünkü bu, rakip marketlerin 50’şer milyon yerine 54’er milyon kazanmaları
demektir. Ancak bu sonuç hiç gerçekleşmeyebilir. Çünkü, marketlerden biri bu
gözenin işaret ettiği stratejiyi benimsemişken diğeri bundan vazgeçerse
kazancının 54 yerine 85 milyon olmasını sağlar. Bu yüzden (54, 54) tepe noktası
olamaz.

Oyun problemlerinin çözümünde aşağıdaki akış çizelgesinin göz önünde
bulundurulmasının uygun olur.

![](media/31b63c449c4862c2ccb505251cbbd5d2.png)

**Şekil 9.5**

**PROBLEMLER**

**1.** İki arkadaştan her biri (A ve B) aynı anda bir kağıt üzerine 1 ile 5
arasında bir sayı yazar ve diğerinin görmemesi için yazdığı sayıyı eliyle
kapatır. Yazılan sayılar aynı ise oyuncular arasında ödeme söz konusu
olmamaktadır. Yazılan sayıların toplamı tek ise A, çift ise B oyunun galibi
olarak diğerinden sayıların toplamı kadar para almaktadır. Oyunun matrisini
oluşturunuz.

**2.** Aynı pazarda rekabet eden iki firmadan A, pazarın %60’ını; B ise %40’ını
kontrol etmektedir. Pazar payını artırmak ya da mevcut Pazar payından rakibine
kaptırmamak için firmalar reklam vermeyi düşünmektedirler. Firmaların
kullanabilecekleri dört alternatif reklam aracı vardır. Bunlar;

R1 : Fuar ve sergilerde ürün tanıtımı

R2 : TV reklamı

R3 : Gazete reklamı

R4 : Radyo reklamı

dır. Müşteriler halihazırda kullandıkları ürün hakkında yapılan reklamlardan
etkilenmemele birlikterakip firmanın ürünü ile ilgili reklamlardan
etkilenmektedirler. Yapılan araştırmalar R1, R2, R3 ve R4 reklamlarının rakip
firma müşterilerinin sırasıyla %40, %25, %20 ve %10’u üzerinde etkili olduğu ve
bu müşterilerin reklamını gördüğü ürünü almaya başlayacağını göstermektedir.
Oyunun matrisini kurunuz ve firmaların en iyi stratejilerini belirleyiniz.

**3**. Kazanç matrisleri aşağıdaki gibi olan oyunların tepe noktalarını bulunuz.

![](media/df8d5b075ae8f5c7b2e928cfd1a30d83.png)
![](media/7221a7eb539380faa3e7b70b6b360342.png)
![](media/6870bbf2ebd18401ab5bf446dd0a93e2.png)
![](media/7954cb901d0c3d1f6d5318a659e15df5.png)

**4**. Kazanç matrisi aşağıda verilmiş olan 4X4 oyunları 2X2 boyutuna
indirgeyiniz.

![](media/01260e0ba04b9ff3b82dbc567b2eb185.png)
![](media/c0b6eb2ec5aebccc5d8d662a4b7138e8.png)
![](media/bfbd4b0a82b1f85f1f3ee0ed7a5122ec.png)

**5**. Aynı işi yapan ve aynı bölgede faaliyet gösteren A ve B gibi iki işletme
vardır. Bölgenin potansiyel müşterileri bu iki işletme arasında eşit biçimde
dağılmışlardır. İki işletme müşterilerinin sayısını artırmak amacıyla reklam
vermeyi düşünmektedir. Reklam için gazete, radyo ve televizyon
kullanılabilmektedir. Pazarın eğilimi gözlenmiş ve sonuç değerleri müşteri
sayısına karşılık gelen oyun matrisi aşağıdaki gibi belirlenmiştir. İşletmelerin
en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.

| A’nın        | B’nin Stratejileri |       |     |
|--------------|--------------------|-------|-----|
| Stratejileri | Gazete             | Radyo | TV  |
| Gazete       | 40                 | -60   | -25 |
| Radyo        | 50                 | 25    | -10 |
| Televizyon   | -100               | 30    |  60 |

**6**. A oyuncusu B oyuncusuna göstermeden bir kağıt parçası üzerine 1 ile 20
arasında bir sayı yazmaktadır. A rakibine şu sayıyı yazdım diyerek ondan
kendisinin doğru mu yanlış mı söylediğini tahmin etmesini istemektedir. B, A’nın
yalan söylediğini doğru tahmin ederse A’dan 10 TL almaktadır. B yanılırsa A’ya 5
TL ödemektedir. B, A’nın doğru söylediğini doğru tahmin ederse 1 TL
kazanmaktadır. A doğru söylediği halde B inanmazsa A’ya 5 TL ödemektedir. Oyunun
değerini ve oyuncuların en iyi stratejilerini bulunuz.

**7**. Sıfır toplamlı oyunların kazanç matrisleri aşağıda gösterilmiştir.
Oyunları ayrı ayrı ele alarak,

**a.** Tepe noktalarını belirleyiniz.

**b.** Eş ve üstünlük stratejilerini araştırarak matris üzerinde gerekli
indirgeme işlemini gerçekleştiriniz

**c.** Orijinal oyun ile indirgenmiş oyunun maksimin ve minimaks stratejilerini
bularak elde ettiğiniz sonuçları karşılaştırınız.

**d.** Orijinal oyun ile indirgenmiş oyunları ayrı ayrı çözerek çözüm
sonuçlarını karşılaştırınız.

**e.** İnsaflı oyunları belirleyiniz.

![](media/22868b3bbfbc15b07d174d823da47225.png)
![](media/fc2d0a61a44022f30943277a465a49b1.png)
![](media/3eb9d192be3db413a728e9834a95a66b.png)

**8**. Sıfır toplamlı oyunların kazanç matrisleri aşağıda gösterilmiştir.
Oyunların her biri için,

**a.** Maksimin ve minimaks stratejileri bulunuz.

**b.** Mümkünse matris boyutunu indirgeyiniz.

**c.** Oyunun değerini hesaplayınız.

**d.** Oyun insaflı bir oyun mudur açıklayınız.

![](media/56d517ac14f9e12e86b85cefe10db115.png)
![](media/4f48a42bb1cb9e8ba5e48c946906b32b.png)

**9**. Kazanç matrisleri aşağıda gösterilen oyunları grafik tekniğiyle çözerek
oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunların değerlerini bulunuz.

![](media/5c4c333173f8ac5ad528e2e1ed331413.png)
![](media/bec4fa97a7320c5dedad02960e95d750.png)
![](media/4632ff848c1f9b59254786ac84e3ff5a.png)
![](media/cbcc3d011229cd1a7c39c73f32c9dfdb.png)

**10**. Bir asker tabancasında tek bir kurşun kalmış bir düşman tarafından
kovalanmaktadır. Kendisine saklanacak yer arayan askerin saklanabileceği 6 delik
(1, 2, 3, 4, 5, 6) vardır. Delikler aşağıda gösterildiği gibi yanyana dizilidir.

![](media/c6f1b8e8e4d4ec3bfe90d4d7dd8d0068.png)

Düşman deliklerin arasına (A, B, C, D, E) ateş etmeyi planlamıştır. Asker,
düşmanın ateş ettiği aralığa bitişik delikteyse ölmektedir. Asker ölürse düşman
1 madalya ile ödüllendirilmektedir. Askerin sağ kalması durumunda düşman hiçbir
ödül kazanamamaktadır. Oyunun sıfır toplamlı olduğunu varsayarak ödül matrisini
oluşturunuz ve varsa üstünlük stratejilerini bularak mahkum stratejileri devre
dışı bırakınız. Oyuncuların en iyi stratejilerini ve oyunun değerini bulunuz.

**11**. Aşağıdaki kazanç matrislerine sahip oyunları doğrusal programlama ile
çözünüz.

![](media/65357966dc9cab8e2c604ee29dc55454.png)
![](media/b7fc0d35cad06ee0671e30bffc0b244d.png)
![](media/672df6201d378f2453be574c94c2f747.png)
![](media/feff2867e1fbdcce6bf9ce5890b2bcc8.png)

**12**. İki komşu ülke (A, B) yeni tip bir füze geliştirmek veya eski tip
füzelerle yetinmek konusunda karar vereceklerdir. A ve B’den sadece birinin yeni
tip füze kararı vermesi durumunda yeni tip füze geliştiren ülke diğer ülkenin
topraklarını kazanıyor. Bu kazanımda kazanan ülkenin kazancı 20 birim, yenilen
ülkenin kaybı 100 birim olmaktadır. Yeni tip füze geliştirme maliyeti 10
birimdir. Oyun matrisini düzenleyerek oyunun tepe noktasını bulunuz.

**13**. Aşağıdaki sabit olmayan toplamlı oyunların tepe noktalarını bulunuz.

![](media/366ee7d2212ef74995ce91e5f1ca52a8.png)
![](media/cbc1d03cd5485565adb1adf4f9736e67.png)
![](media/0b83cf8f7fe178b311a4b7d7533dd67d.png)

*DÖRDÜNCÜ BÖLÜM*

## AĞ MODELLERİ

4.1. GİRİŞ

En iyileme problemlerinin önemli bir bölümünün çözümünde grafik veya ağların
kullanıldığı yöntemler tercih edilmektedir. Bunun başlıca nedeni, çözüm için
kurulan ağ modellerin göze hitap etmesi, böylece sorunun anlaşılması ve çözümün
diğer analitik çözüm yöntemleriyle karşılaştırıldığında daha kolay ve çabuk
olmasıdır. Bu yüzden, ağ modelleri ile çözüm tekniği veya kısaca ağ analizinin
kullanımı giderek yaygınlaşmaktadır. Bu bölümde, her biri kendine has çözüm
yöntemine sahip dört özel grup problem üzerinde durulacaktır. Bunlar sırasıyla;
"en kısa yol problemleri","en yüksek akış problemleri", "en küçük yayılmalı ağaç
problemleri" ile "proje çizelgeleme problemleri" dir.

4.2. TEMEL KAVRAM VE TANIMLAR

Ağ modelleri ile çözüm tekniklerine geçmeden önce konuyla ilgili bazı önemli
kavramları tanımlayalım.

*Grafik*: Grafik kuramı terminolojisine göre, belirli sayıda nokta ve bu
noktaları birbirine birleştiren çizgi ve/veya eğrilerden oluşan kümeye grafik
denir.

*Düğüm*: Grafikte bulunan noktaların her birine düğüm denir.

Düğümler, içlerine kendilerini tanımlayan sembollerin (harf veya rakam)
yazıldığı küçük dairelerle gösterilirler.

*Dal*: Herhangi iki düğümü birbirine birleştiren çizgi veya eğriye dal denir.

Bir dal okla gösterildiğinde yönlendirilmiş olur. Okla birleştirilen iki düğüm i
ve j olmak üzere, bunları birleştiren dal (i, j) ile gösterilir. Bu sembolde i,
(i, j) dalının başlangıç j ise bitiş düğümüdür. Böyle bir dal üzerinde bir akış
söz konusuysa, akışın yönü i’den j’ye olmak üzere tektir. Yönlendirilmemiş bir
(i, j) dalı, biri (i, j) diğeri (j, i) olmak üzere yönlendirilmiş iki dal yerine
geçer. Böyle bir dal üzerinde akış hem i’den j’ye hem de j’den i’ye doğru olmak
üzere çift yönlüdür. Yönlendirilmiş bir dal ileriye veya geriye doğrudur.
Başlangıç düğümü i olan, yani i düğümünü terkeden bütün dallar i düğümüne göre
ileriye doğrudur. Benzer şekilde, bitiş düğümü i olan, yani i düğümüne giren
bütün dallar i düğümüne göre geriye doğrudur. Kısaca, bir düğüm için ileriye
doğru olan bir dal başka bir düğüm için geriye doğru olabilir.

*Ağ*: Grafiğin dalları üzerinde bir akış olması durumunda grafik, akış ağı veya
kısaca ağ (serim, network, şebeke) ismini alır.

Yukarıda açıklandığı gibi ağ, düğüm ve dallardan oluşan bir sistemdir. Her ağın
mutlaka bir başlangıç bir de bitiş düğümü bulunmalı, gerekirse bu düğümler yapay
olarak yaratılmalıdır. Bir ağın bir tek başlangıç ile bir tek bitiş düğümünün
bulunmasının sağladığı yararlar ileride açıklanacaktır. Basit bir ağ örneği
Şekil 4.1’de gösterilmiştir.

![](media/0ffa2877e04dd1062e4f6f65caf38c7c.png)

# Şekil 4.1

Şekilden görüldüğü gibi ağ, sayılarla gösterilen 5 düğümden oluşmuştur. Ağı
oluşturan dallar; (1, 2), (1, 4), (2, 3), (3, 4), (2, 5), (3, 5), (4, 5) ve (5,
3) olmak üzere sekiz tanedir. Açıklamalarımız için dallardan birini, sözgelimi
(1, 2) dalını ele alalım. Başlangıç düğümü 1, bitiş düğümü 2 ile gösterilen bu
dal üzerinde akışın 1’den 2’ye doğru olmak üzere tek yönlü olduğu görülebilir.
Akışın iki yönlü olduğu tek bir dal (3 ve 5 nolu düğümler arasında) vardır.
İleriye ve geriye doğru dallara örnek olmak üzere 4 nolu düğümü ele alalım.
Şekil 4.1’den görüldüğü gibi (1, 4) dalı 4 nolu düğüme göre geriye doğru iken,
(4, 5) dalı aynı düğüm için ileriye doğrudur. Diğer taraftan (3, 4) dalı 3 nolu
düğüme göre ileriye, 4 nolu düğüme göre geriye doğrudur. Bir dalın incelenen bir
düğüme göre ileriye veya geriye doğru olduğunun belirlenmesi özellikle en yüksek
akış problemlerinde çok önemlidir. Ağ analizinde, dalların oluşturdukları özel
grupların önemi büyüktür. Bu özel gruplardan bazıları aşağıda tanımlanmıştır.

*Yol*: Başlangıç düğümü, kendisinden önce gelen dalın bitiş düğümü ile aynı olan
dallar dizisine yol denir.

Şekil 4.1’deki ağın 1 ve 5 nolu düğümlerini birbirine bağlayan bir yol, Şekil
4.2’de gösterildiği gibi olabilir.

![](media/7edb906735198ca4c632104fbd5ca6e2.png)

**Şekil 4.2**

Şekil 4.3’de gösterildiği gibi (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) dalları da bir yol
oluşturmaktadır.

![](media/3066db96bf30ee583fa4ed70367fa0da.png)

**Şekil 4.3**

Başlangıç ve bitiş düğümleri aynı olmak üzere aynı ağ için daha başka yollar
tanımlanabileceği açıktır. (1, 2), (2, 5) veya (1, 4), (4, 5) dizileri gibi.
Kısaca ağ aynı olmak koşuluyla başlangıç ve bitiş düğümleri veya herhangi iki
düğüm arasında bağlantı sağlayan birden fazla yol tanımlanabilir.

*Zincir*: Kendisinden önce gelen dalla tek bir ortak noktası olan dallar
dizisine zincir denir.

Şekil 4.4’deki (1, 2), (2, 3), (5, 3) dallar dizisi bir zincirdir. (1, 4), (3,
4), (4, 5) dallar dizisinin de bir zincir olduğu görülebilir. Daha farklı
zincirler tanımlanabileceği unutulmamalıdır.

![](media/61fc2745f9f6ccd9666b27c907f6cab7.png)

**Şekil 4.4**

*Çevrim*: Başlangıç düğümü ile bitiş düğümü aynı olan yola çevrim denir.

(3, 5), (5, 3) dal ikilisi ile tanımlanan çevrim aşağıda gösterilmiştir.

![](media/adc36bbf2d6a4de5f8bd0497c80da0c6.png)![](media/2a2b68d020afb4b879bfde0c4d5cd0ae.png)![](media/6d720e21b8b6b2441b5df895b161d60b.png)

**Şekil 4.5**

Yeri geldiğinde açıklanacak bazı kavram ve kuralların bulunduğunu belirttikten
sonra en yüksek akış problemlerine geçebiliriz.

4.3. EN YÜKSEK AKIŞ PROBLEMLERİ

Bu bölümde, belirli bir zaman aralığında birbirlerine doğrudan değil ara
noktalarla bağlı olan iki nokta arasında taşınan malzeme veya akış miktarının en
büyüklenmesi problemi üzerinde durulacaktır.

Herhangi iki nokta arasında en yüksek trafik akışını sağlayacak trafik planının
programlanması, bir enerji kaynağından aydınlatma noktalarına en yüksek enerji
aktarımının sağlanması vb. işletme problemleri en yüksek akış problemleridir.

İlk bakışta ulaştırma problemi gibi görünen bu tip problemlerin ulaştırma
problemlerinden en önemli farkı, kaynak (başlangıç) ile varış (bitiş) arasındaki
bağlantının doğrudan değil ara noktalar aracılığı ile sağlanmasıdır.
Hatırlanacağı gibi, ulaştırma problemlerinde sunum ile istem merkezleri
arasındaki taşıma işlemi tek bir seferde yapılırken, akış problemlerinde bu
işlem ara noktalar aracılığı ile adım adım gerçekleştirilir. Herhangi bir
malzeme bir ara noktaya geldiğinde hemen diğer bir ara noktaya gider. Bu yönüyle
en yüksek akış problemleri aktarmalı ulaştırma problemlerine benzer. Diğer
taraftan, ulaştırma problemlerinde sunum merkezlerinin her biri bir kaynak ve
istem merkezlerinin her biri bir varış noktası iken, en yüksek akış
problemlerinde bu merkezlerin sayıları bire eşittir.

Şekil 4.6’daki akış ağı, ürünün k ile gösterilen kaynaktan v ile gösterilen
bitişe hangi dallar üzerinden gönderilebileceğini, daha doğru bir ifadeyle
akışın tönünü göstermektedir.

Ara noktalar 1, 2, 3 ile işaretlenmişlerdir. Kaynak ve bitiş dahil ağdaki beş
düğüm birbirlerine (k, 1), (k, 2), (k, 3), (1, 2), (1, v), (2, v), (3, 2) ve (3,
v) olmak üzere 8 dalla bağlıdır.

Yanıtlanmak istenen k’dan v’ye gönderilmek istenen malzemenin, hangi dallar
üzerinden hangi miktarlarda taşınması durumunda, v’ye aktarılan kısmın en büyük
olacağıdır.

![](media/7a962f4f2e38e63173c5f71811e11a80.png)

**Şekil 4.6**

En yüksek akış problemlerinin çözümünde kullanılan tekniklere geçmeden önce
konuyla ilgili bazı sembolleri açıklayalım.

Her dalın kij ile gösterilen belirli bir taşıma kapasitesi vardır. (i, j) dalı
üzerinden taşınabilecek en yüksek miktarı ifade eden kij aynı zamanda, akışın
i’den j’ye doğru gerçekleştiğini göstermektedir.

Taşınan miktarın en büyük olmasının amaçlandığı bu tip problemlerde, en yüksek
akış miktarı f ile gösterilir.

Diğer taraftan, kapasitesi kij ile gösterilen (i, j) dalı üzerinden taşınan
miktar fij ile açıklanır. Bu sembol de kij’ye benzer şekilde akışın i’den j’ye
doğru olduğunu göstermektedir.

En yüksek akış problemleri doğrusal programlama problemi olarak da formüle
edilip çözülebilir. Bunun için öncelikle ağı oluşturan dalların taşıma
kapasitelerinin belirlenmesi gerekir.

Böyle bir modeli kurmak için Şekil 4.6’daki ağı, fij’ler ile kij’leri ait
oldukları dallar üzerinde göstererek tekrar çizelim.

Açıklamalar doğrultusunda çizilen ağ Şekil 4.7’de gösterilmiştir.

Şeklin ortaya koyduğu gibi ürün akışı kaynaktan 1, 2 ve 3 nolu düğümlere
doğrudur. Buna göre,

fk1 + fk2 + fk3 = f

yazılabilir.

Kaynaktan varışa olan akışlar toplamının kaynaktaki akış miktarına eşitliğini
gösteren bu denkleme "denge denklemi" denir. Kaynak dikkate alınarak yazılan bu
denklem akışın kaynaktaki korunumunu gösterir.

![](media/c87bb33e6a18c3bce5226c1e631d5521.png)

**Şekil 4.7**

Akışın korunumu yalnızca kaynakta değil, diğer bütün düğümlerde sağlanmalıdır.
1, 2 ve 3 nolu ara noktalardaki akışın korunumunu gösteren denge denklemleri
aşağıdaki gibi yazılabilir.

f12 + f1v = fk1

f12 + fk2 + f32 = f2v

f32 + f3v = fk3

Bitişe ulaşan akışın, ara noktalardan bu noktaya olan akışların toplamına
eşitliğini göstermek üzere, "f1v + f2v + f3v = f " yazılmasıyla denge
denklemlerinin belirlediği kısıtlayıcılar tamamlanır. Bir dal üzerindeki akışın
miktarı o dalın kapasitesi ile sınırlıdır ve negatif olamaz. Buna göre negatif
olmama koşulu bütün (i, j)’ler için 0 ≤ fij ≤ kij olarak yazılır.

Amaç fonksiyonunun Zenb = f şeklinde formüllenmesiyle, yukarıdaki ağın doğrusal
programlama modeli aşağıdaki gibi formüle edilmiş olur.

![](media/5b2ebe99925c7a0d7f57cc8bff855793.png)Zenb
= f "Amaç fonksiyonu "

fk1 + fk2 + fk3 = f

![](media/403a9575b8c0d9e337c0a38b890a71d5.png)
f12 + f1v = fk1

f12 + fk2 + f32 = f2v

f32 + f3v = fk3

f1v + f2v + f3v = f

![](media/8b537725e866b478c40dfec18935a1c4.png)![](media/17f03d35adffd8d3aa7308c5647677a4.png)
0 ≤ fk1 ≤ kk1, 0 ≤ fk2 ≤ kk2, 0 ≤ fk3 ≤ kk3, 0 ≤ f12 ≤ k12

0 ≤ f32 ≤ k32, 0 ≤ f1v ≤ k1v, 0 ≤ f2v ≤ k2v, 0 ≤ f3v ≤ k3v

Doğrusal programlama formülasyonunun tamamlanmasından sonra, simpleks yöntem
uygulamasına geçilebilir. Ancak, konu en yüksek akışın belirlenmesi olduğunda,
simpleks yöntemden çok daha etkin çözüm teknikleri vardır. Bunlardan en yaygın
biçimde kullanılanı "en yüksek akış algoritması" dır. Algoritmanın
açıklanmasından önce konuyla ilgili bazı önemli kavramlar üzerinde duralım.
Kaynak ve bitiş dahil ağdaki düğümlerin oluşturduğu küme N olsun. Bu kümeyi,
birinde kaynak diğerinde bitiş düğümünün bulunduğu iki alt kümeye ayıran
bölüştürmeye "kesme" denir. Kaynağı kapsayan alt küme S, bitişi kapsayan alt
küme S0 ile gösterildiğinde kesme (S, S0) olur. Sözgelimi Şekil 4.8’deki
kesmede; S = {k, 1, 2, 3}, S0 = {v} dir.

![](media/5588d40199f980fee2a11cd77435b001.png)

Şekil 4.8

S  S0 = N = {k, 1, 2, 3, v}, S  S0 = { }, k  S ve v  S0 olduğu
unutulmamalıdır. k ve v’yi ayıran diğer bir kesme Şekil 4.9’daki gibi olabilir.

![](media/817d74de10161f446c7a5d9aa1f9dfe8.png)

Şekil 4.9

Şekil 4.9’daki kesme için S = {k, 1}, S0 = {2, 3, v} olduğu görülebilir. Aynı ağ
için bir başka kesme; S = {k, 1, 2} ve S0 = {3, v} olmak üzere Şekil 4.10’da
gösterilmiştir. Başka kesmeler de sözgelimi, S = {k}, S0 = {1, 2, 3, v}
tanımlanabileceği unutulmamalıdır.

![](media/59de91dda83a8272a725695aa9dc07fa.png)

Şekil 4.10

Her kesmenin K(S, S0) ile gösterilen bir kapasitesi vardır. Bu kapasite, S’deki
düğümleri S0’daki düğümlere doğrudan bağlayan dalların kapasiteleri toplamına
eşittir. Buna göre Şekil 4.8’deki kesmenin kapasitesi k1v + k2v + k3v, Şekil
4.9’dakinin k12 + k1v + kk2 + kk3, Şekil 4.10’daki kesmenin kapasitesi ise k1v +
k2v + kk3 toplamına eşittir. ((3, 2) dalı üzerindeki akış S’den S0’a doğru değil
S0’dan S’ye doğru olduğundan k32 dikkate alınmamıştır.)

Kapasitesi en küçük olan kesmeye "en küçük kesme" denir. Kesme ile ilgili
şekillerden görüleceği gibi, herhangi bir kesmeyi oluşturan dallar ağ dışı
bırakıldıklarında kaynakla bitişi birbirlerine bağlayan bir yol bulunamaz. Bu
durumda uygun bir akış planı belirleme çabaları sonuçsuz kalır. Kısaca kaynak
ile bitiş arasındaki akış kesmedeki dallar üzerinden olur. Buna göre, toplam
akış miktarı f’nin kesmenin kapasitesi ile sınırlı olduğu söylenebilir. Akış ve
kesme arasındaki bu ilişki aşağıda özetlenmiştir.

Yönlendirilmiş bir ağda bitişe aktarılan ürün miktarı f, (S, S0) de kesme ise
f’nin değeri kesmenin kapasitesine eşit veya küçüktür. Bu durum bütün kesmeler
için geçerlidir. Yani, kaynaktan bitişe doğru gerçekleşen bir akışın kabul
edilebilir olması için akış miktarının herhangi bir kesmenin kapasitesini
aşmaması gerekir. Buna göre, en yüksek akış miktarının en küçük kesmenin
kapasitesi ile sınırlı olduğu söylenebilir.

Aşağıdaki önemli teorem herhangi bir ağda k’dan v’ye en küçük kesmenin
kapasitesine eşit uygun bir akış bulunabileceğini belirtmektedir.

*En Yüksek Akış En Küçük Kesme Teoremi*: Herhangi bir ağdaki en yüksek akış
miktarı en küçük kesmenin kapasitesine eşittir. Bu teoremle bağlantılı olarak
bütün kesmelerin ve bunlara ilişkin kapasitelerin listelenmesiyle en küçük
kapasiteli kesme ve buna bağlı olarak en yüksek akış miktarı belirlenebilir.
Ancak bu yolla yalnızca en yüksek akış miktarı belirlenebilmekte, akışın hangi
dallar üzerinden hangi miktarlarda gerçekleştiği sorusu yanıtlanamamaktadır. Bu
soru, geçerliliği bu teoreme dayanan, en yüksek akış algoritması ile
yanıtlanabilir. Söz konusu algoritma aşağıda açıklanmıştır.

**En Yüksek Akış Algoritması**: En yüksek akış algoritmasının esası, kaynaktan
bitişe pozitif akışın söz konusu olduğu bir yol bulmaktır. Böyle bir yol "akış
artırıcı yol" olarak isimlendirilir. Bu yol tüm ağda en yüksek akışı sağlamak
amacıyla kullanılır. Akış artırıcı yol bulma çabalarının sonuçsuz kalması
durumunda en yüksek akış bulunmuş olur. Akış artırıcı bir yol bulunabilmesi için
aşağıda açıklanan rota etiketleme işleminin uygulanması gerekir.

*Rota Etiketleme İşlemi*: Kaynaktan bitişe akış artırıcı yol bulmada kullanılan
etiketleme işlemi kaynağın etiketlenmesiyle başlar. k’dan j’ye pozitif akış söz
konusu ise j düğümü etiketlenir.

Genel olarak, aşağıdaki koşullardan birinin sağlanması durumunda j etiketlenir.

1\. i ve j düğümlerini birleştiren dal ileri doğrudur ve (i, j) üzerindeki akış
miktarı dalın akış kapasitesinden küçüktür (fij \< kij).

2\. i ve j düğümlerini birleştiren dal (j, i) geriye doğrudur ve (j, i)
üzerindeki akış miktarı sıfırdan büyüktür (fji \> 0).

Etiketleme işlemi bitiş noktası etiketleninceye değin sürdürülür. Bitiş
etiketlendiğinde akışı artırıcı bir yol belirlenmiş olur.

En yüksek akış algoritması, kapasite kısıtları ile birlikte düğümlerdeki akışın
korunumunu da sağlayan uygun bir akışla başlar. Başlangıç akış planı (doğrusal
programlamanın başlangıç çözümüne benzer) olarak isimlendirilen bu plan, akış
miktarının 0 olduğu duruma karşılık gelir. Bu akışın geliştirilebilmesi için
öncelikle kaynak (başlangıç düğümü) etiketlenir. Etiketlenen düğüm \* ile
işaretlenir. Kaynağın etiketlenmesinden sonra yukarıda açıklanan rota etiketleme
işlemiyle başka bir düğüm etiketlenir. Bitiş etiketlendiğinde pozitif akışın söz
konusu olduğu akış artırıcı bir yol belirlenmiş olur. Belirlenen bu yol
üzerindeki düğümlerin etiketleri yardımıyla yol üzerinden aktarılacak en yüksek
akış (d) hesaplanır. d’nin hesaplanmasından sonra yolun ileri dallarındaki
akışlar d kadar artırılırken, geriye doğru dallardaki akışlar d kadar azaltılır.
Bu işlemler yeni akış artırıcı yolların bulunması için tekrarlanır. Akış
artırıcı yeni yol belirleme çabaları sonuçsuz kaldığında en yüksek akış planı
belirlenmiş olur.

Açıklamaları bir örnek probleme uygulayalım.

**Örnek 4.1**: Dallarının akış kapasiteleri (fij) oklar üzerinde gösterildiği
gibi olan ağda k’dan v’ye taşınacak en yüksek ürün miktarını ve taşıma planını
belirleyiniz. Problemin akış ağı Şekil 4.11’de gösterilmiştir.

![](media/33233ab221a5a5ab06077adb4fe9f1fa.png)

Şekil 4.11

**Çözüm 4.1**: Problemin çözümüne herhangi bir akışın olmadığı durumla
başlayalım. Başlangıç akış planını yansıtan bu durum için aşağıdaki gibi bir
eşitlik yazılabilir.

fk1 = fk2 = fk3 = f12 = f32 = f1v = f2v = f3v = 0

Bu durum orijinal ağ üzerinde aşağıdaki gibi gösterilir. (i, j) dalları
üzerindeki sayılar (fij, kij)’leri göstermektedir.

![](media/824f510338eee393aebdc6e2be27bd1c.png)

Şekil 4.12

Birinci Adım: Kaynaktan bitişe akış artırıcı bir yol bulmak için önce başlangıç
düğümü etiketlenir. k’nın etiketlenmesinden sonra 1, 2 veya 3 nolu düğüme
geçilebilir. 1 nolu düğümü seçmiş olalım. (k, 1) dalındaki akış miktarı (0) bu

dalın kapasitesinden az olduğundan, 1 etiketlenir. Buradan 2’ye veya v’ye
geçilebilir. 2’ye geçilmiş olsun. (1, 2) dalı üzerinden 2, (2, v) dalı üzerinden
de v etiketlenerek yalnızca ileriye doğru dalların bulunduğu (k, 1), (1, 2), (2,
v) dallarından oluşan akış arttıcı yol aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

![](media/4365e835123767017db7edc195c2e8d1.png)

Şekil 4.13

Dallar üzerindeki sayılar, dalların taşıma kapasitelerinin sınırlarını
göstermektedir. Şekil 4.13 ile açıklanan yol üzerindeki en yüksek akış miktarı,
(1, 2)’nin taşıma kapasitesi ile sınırlı olup 5(= enk(20, 5, 15)) birimdir. Bu
durum, anılan yolu oluşturan ileriye doğru dallar üzerindeki akışları 5’er birim
artırır. Sonuçta, halihazırda sıfır birim olan akış miktarı 5 birim artarak; f =
0 + 5 = 5 olur. 5 birim olarak belirlenen miktarın göz önünde bulundurulmasıyla
çizilen düzenlenmiş akış değerli ağ, Şekil 4.14’de gösterilmiştir.

![](media/cb53e0f91af7a79ac024cfaad7c792aa.png)

Şekil 4.14

Çözümün izleyen adımlarında (k, 1)’in kapasite sınırının 20 değil 15(= 20 - 5),
(1, 2) dalının taşıma kapasitesinin 5 değil sıfır(= 5 - 5), (2, v) dalının
taşıma kapasitesinin ise 15 değil 10(= 15 - 5) birim olduğu düşünülecektir.
Belirlenen her yeni akış artırıcı yolun ardından bu düzenlemenin yapılması ihmal
edilmemelidir.

İkinci adım: Kaynaktan başlayarak akış arttırıcı yeni bir yol bulmaya çalışalım.
(k, 1) dalı üzerinden taşınan miktar (5 ) ilgili dalın kapasitesinden (20) küçük
olduğundan, 1 nolu düğüm k’dan, aynı gerekçeyle v’de 1’den etiketlenir. Böylece
(k, 1) ve (1, v) dallarından oluşan akış artırıcı yol Şekil 4.15’deki gibi
belirlenmiş olur.

![](media/65070106c56547403a5685b731b2538e.png)

Şekil 4.15

# Görüldüğü gibi; (k, 1), (1, v) yolu üzerindeki en yüksek akış 15(= enk(15, 27)) birimdir. Bu yüklemeyle varışa 15 birim daha gönderilerek, f = 5 + 15 = 20’ye çıkarılmış olur. Yeni duruma göre düzenlenen ağ aşağıda gösterilmiştir.

![](media/a7d773a17750087aa1ee081197f98af2.png)

Şekil 4.16

Üçüncü adım: (k, 1)’deki akış (= 5 + 15) bu dalın kapasitesine eşit olduğundan,
etiketleme için 2 veya 3 nolu düğüme geçilir. Önce 2 nolu düğümü inceleyelim.
(k, 2) dalındaki akış bu dalın kapasitesinden küçük olduğundan 2 nolu düğüm
etiketlenir. Aynı gerekçeyle v, 2’den etiketlenir. Bu yolla belirlenen akış
artırıcı yol aşağıda gösterilmiştir.

![](media/b99c089e93b15d0a59b93eb05cba5ad1.png)

**Şekil 4.17**

(k, 2) ve (2, v)’den oluşan yol üzerindeki mümkün akış miktarları incelendiğinde
bu yol üzerindeki en yüksek akış miktarının 10(= enk(30, 10)) birim olduğu
görülecektir. İkinci adımda ağ üzerindeki akışın 20 birim olduğu göz önünde
bulundurulduğunda, f’nin yeni değeri 30 olarak belirlenir. Buna göre düzenlenmiş
akış değerli ağ aşağıda gösterilmiştir.

![](media/3497c7347099367acbd6a504a0e8fa8d.png)

**Şekil 4.18**

Dördüncü adım: Üçüncü adımda açıklanan gerekçeyle etiketleme için 2 veya 3 nolu
düğüm seçilebilir. 2 nolu düğüm kaynaktan etiketlenebilirse de, (2, v) dalı
üzerindeki akış bu dalın taşıma kapasitesine eşit olduğundan, v etiketlenemez. 3
nolu düğüme geçelim. 3 nolu düğüm k’dan, v’de 3 nolu düğümden etiketlenebilir.
Bu yolla belirlenen akış artırıcı yol aşağıda gösterilmiştir.

![](media/1e41421cbad2ac624f354f815dddb86a.png)

Şekil 4.19

Şekil 4.19’daki yolu oluşturan dallardaki mümkün akış miktarları incelendiğinde
(k, 3), (3, v) yolundaki en yüksek akış miktarının 10(= enk(10, 19)) birimle
sınırlı olduğu görülebilir. Bir önceki adımdaki ağ üzerindeki akış miktarının 30
olduğu göz önünde bulundurulduğunda, f’nin yeni değeri 40(= 30 + 10) olarak
belirlenecektir.

Bu belirlemelerin ardından düzenlenen akışı geliştirilmiş ağ Şekil 4.20’de
gösterilmiştir. Şeklin çizilmesinden sonra yeni adıma (beşinci adım)
geçilebilir.

Beşinci adım: (k, 1) ve (k, 3) dallarındaki akış miktarları bu dalların
kapasitelerine eşit olduğundan etiketleme için tek seçenek 2 nolu düğümdür.

![](media/42fb6bf994f50d4a2abcf0649e8f28cc.png)

**Şekil 4.20**

Şekilden de görüleceği gibi, 2 nolu düğüm k’dan etiketlenir. (1, 2) dalı 2 nolu
düğüme göre geriye doğru olup dal üzerindeki akış miktarı dalın taşıma
kapasitesine eşittir. Bu nedenle 1 nolu düğüm, 2’den etiketlenir. (1, v)
dalındaki akış bu dalın taşıma kapasitesinden küçük olduğundan v’de 1’den
etiketlenir. Bu yol aşağıda gösterilmiştir.

![](media/8ce41285418d13664d3d5299cb2c2e1c.png)

Şekil 4.21

Şekil 4.21’deki yolu oluşturan dalların yönü ve üzerilerindeki akış
miktarlarının dikkate alınmasıyla düzenlenen gelişmiş akışlı ağ aşağıda
gösterilmiştir.

Şekil 4.22’deki gelişmiş akışlı ağ incelendiğinde; (k, 1) ve (k, 3) üzerindeki
akışların ilgili dalların kapasitelerine eşit olduğu görülebilir. Bu durum 1 ve
3 nolu düğümlerin etiketlenemeyeceğini gösterir. 2 nolu düğüm k’dan
etiketlenebilirse de varış 2’den etiketlenemez. Kısaca yeni bir akış artırıcı
yol belirleme çabaları sonuçsuz kaldığından en yüksek akışın gerçekleştiği yol
bulunmuş olur. Bu yol üzerinden gönderilecek en yüksek miktar 45 birimdir. Bu
miktarın (45 birim) en yüksek akış miktarı olduğunun onaylanabilmesi (en yüksek
akış en küçük kesme teoremi) amacıyla son aşamada etiketlenmiş tüm düğümlere
S’de, etiketlenmemiş düğümlere S0’da yer vererek (S, S0) kesmesini tanımlayalım.
Söz konusu kesme de Şekil 4.22’de gösterilmiştir.

![](media/2c64d8f626a95cc2c07255e558b63faa.png)

Şekil 4.22

Şekilden görüldüğü gibi, S = (k, 2), S0 = (1, 3, v) ve K(S, S0) = 45 olur.
İkilem gereği, f herhangi bir kesmenin kapasitesini aşamayacağından, f = 45’in
en yüksek akış miktarı ve en küçük kesmenin de Şekil 4.22’deki olduğu
belirlenmiş olur.

*Yönlendirilmemiş Dalların Olması Durumu*: En yüksek akış algoritması için ağın
yönlendirilmiş olması gerekmekle birlikte, ağın yönlendirilmemiş olması en
yüksek akışın belirlenmesini engellemez. Söz konusu algoritmanın
yönlendirilmemiş bir ya da birkaç dalın bulunduğu ağlarda uygulanabilmesi için
öncelikle yönlendirilmemiş dalların bulunduğu orijinal ağın yönlendirilmesi,
daha sonra en yüksek akış algoritmasının orijinaline eşdeğer olan bu ağa
uygulanmasına geçilir. i ve j düğümlerini birleştiren K kapasiteli
yönlendirilmemiş bir dal aşağıdaki gibi yorumlanabilir.

fij ≤ K

fji ≤ K

(fij) (fji) = 0

Yukarıdaki eşitsizlikler (i, j) üzerinden en yüksek K birimlik akışın hem i’den
j’ye hem de j’den i’ye doğru olabileceğini göstermektedir. (fij)(fji) = 0
eşitliğiyle akışın tek yönde olması sağlanmaktadır.

Bir örnek problem ile bu durumu açıklayalım.

**Örnek 4.2**: Aşağıdaki gibi bir yol ağını ele alalım. Dallar üzerindeki
sayılar trafik akış kapasitelerini göstermektedir. Problem, en yüksek trafik
akışını sağlayabilmek için henüz yönlendirilmemiş dallar üzerine tek yön
işaretinin hangi istikamette konulacağının belirlenmesidir.

![](media/566ce386582c93b02853732118dd8349.png)

**Şekil 4.23**

**Çözüm 4.2**: Öncelikle yönlendirilmemiş her bir dalın ters yönlü ve eşit
kapasiteli iki dalla değiştirilmesi gerekir. Bu düzenlemeyle, Şekil 4.24’de
gösterilen yönlendirilmiş ağ elde edilir.

![](media/7cd0fca06549828e6ffb017900adc75a.png)

**Şekil 4.24**

En yüksek akış algoritmasının, orijinaline eşdeğer olan bu ağ üzerinde
uygulanmasıyla, k’dan v’ye en yüksek akış miktarı ve en yüksek akışı sağlayan
rota belirlenir.

En iyi çözümün bulunmasından sonra her iki yönde akışın söz konusu olduğu dallar
belirlenir ve aşağıdaki inceleme gerçekleştirilir.

i ve j düğümlerini birleştiren yönlendirilmemiş bir dal üzerinde,

fij \> fji ise, (i, j) dalındaki akış (fij - fji ) olur, yani yönlendirilmemiş
(i, j) dalı i’den j’ye doğru yönlendirilir.

fji \> fij ise, (j, i) dalındaki akış (fji - fij ) olur, yani yönlendirilmemiş
(i, j) dalı j’den i’ye doğru yönlendirilir.

Şekil 4.24’deki ağa en yüksek akış algoritması uygulanmasıyla ulaşılan sonuç
Şekil 4.25’de gösterilmiştir.

![](media/fbbbe5697b94470f1b7330d322a3ba5d.png)

Şekil 4.25

*Çok Kaynak-Çok Bitiş Olması*: Ağ üzerinde birden fazla kaynak ve/veya birden
fazla bitiş noktası bulunduğunu düşünelim. Bu durumda en yüksek akışın
belirlenebilmesi için hayali bir kaynak ile hayali bir bitiş noktasının
yaratılması zorunludur. Yaratılan hayali kaynak gerçek kaynaklara, gerçek bitiş
noktaları hayali bitiş noktasına birer dalla bağlanır. Ağa eklenen hayali
dalların tümü ileriye doğrudur. Hayali dalların akış kapasitelerinin
belirlenmesinden sonra problem en yüksek akış problemine dönüşmüş olur.

Konuyu açıklamak için sunum miktarları s1 ve s4 olan iki kaynak ile istem
miktarları d5 ve d8 olan iki bitiş noktasının bulunduğu bir ulaştırma problemi
düşünelim.

Problemin orijinal ağı ve dalların taşıma kapasiteleri aşağıda gösterilmiştir.

![](media/a00e8faf7646a11b6697c0e150cfdf43.png)

**Şekil 4.26**

1 ve 4 nolu düğümler gerçek kaynak, 5 ve 8 nolu düğümler gerçek bitiş
noktalarıdır. Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda düzenlenen hayali kaynak ve
hayali bitiş noktalı ağ aşağıda gösterilmiştir.

![](media/f54bc802850dc5178e6e0e6ad45543ac.png)

Şekil 4.27

Görüldüğü gibi k’yı 1 nolu düğüme bağlayan dalın kapasitesi s1’e, 4 nolu düğüme
bağlayan dalın kapasitesi ise s4’e eşittir. Gerçek bitiş noktalarını hayali
bitiş noktasına bağlayan dalların taşıma kapasiteleri ise çıkış noktalarının
istem miktarlarıyla bağlantılı olarak sırasıyla d5 ve d8’dir.

Bu düzenlemenin ardından hayali kaynaktan bitiş noktasına en yüksek akışın
sağlanmasına geçilebilir. s1 = 40, s4 = 30, d5 = 35, d8 = 35 olarak verilmiş
olsun. Bu durumda en iyi çözüm Şekil 4.28’deki gibi elde edilecektir.

![](media/7b6632a3b46770eb254f015577e220b1.png)

Şekil 4.28

## 4.4. EN KISA YOL PROBLEMLERİ

Başlangıç ve bitiş düğümleri arasındaki en kısa yolun belirlenmesi problemi, en
kısa yol problemi olarak bilinir. Ağ problemlerinin çoğu doğrusal programlama
problemi olarak değerlendirilerek simpleks yöntemle çözülebilir. Bu durum en
kısa yol problemleri için de geçerlidir. Bir en kısa yol problemini doğrusal
programlama olarak inceleyebilmek için dallar üzerindeki akışların 1 birime,
i’den j ’ye malzeme taşıma maliyetinin ise (i, j) dalının uzunluğuna eşit olduğu
düşünülür. En kısa yol problemleri matematik bir modelle formüle edilmeksizin de
çözülebilir. Bunun için başlangıç ve bitiş düğümlerini birbirine bağlayan
alternatif yolların dökümünün yapılması ve listelenen yollara ilişkin toplam
uzunluklarının belirlenmesi yeterlidir. Bu yaklaşım yalnızca küçük boyutlu
problemler için geçerlidir. Problemin boyutu büyüdükçe tüm yolların dökümünü
yapmak yorucu ve zaman alıcı olur. En kısa yol problemleri için geliştirilmiş
çok daha etkin yöntemler vardır. Bunlardan en yaygın biçimde kullanılan Dijkstra
algoritması aşağıda açıklanmıştır.

**Dijkstra Algoritması***:* Dijkstra Algoritması, n düğümlü ağ kapsamındaki tüm
dalların negatif olmayan ve bilinen uzunluklara (dij) sahip olduğu varsayımına
dayanır. dij,, (i, j) dalının uzunluğu, i’den j’ye gitmenin maliyeti veya (i, j)
dalını katetme zamanı olabilir. i ve j düğümleri birbirlerine doğrudan, yani tek
bir dalla bağlı değillerse dij =  kabul edilir. dij  dji olabilir. Ayrıca, bir
düğümün kendine uzaklığı sıfır olduğundan, dii = 0’dır. Bu varsayımlar altında,
düğümlerin önce geçici, sonra kalıcı olarak etiketlenmesi esasına dayanan
Dijkstra algoritması, en kısa yol belirleninceye kadar aşağıdaki adımların
tekrarlanmasını gerektirir.

Ön adım: Başlangıç düğümüne sıfır (d11 = 0) kalıcı etiketi verilir. Sıfır ile
kalıcı olarak etiketlenen başlangıç düğümü dışındaki bütün düğümlere, birer
geçici etiket verilir. Geçici etiketi hesaplanacak düğüm başlangıç düğümüne tek
bir dalla bağlı ise geçici etiketin değeri o dalın uzunluğuna, değilse +’a
eşittir. Herhangi bir geçici etiketinin değeri, ait olduğu düğümü başka düğüme
bağlayan en kısa yol için bir üst sınırdır. Geçici etiketlerin belirlenmesinden
sonra en küçük olan araştırılır. Araştırma sonucu belirlenen en küçük değer ait
olduğu düğümün kalıcı etiketi olur. En küçük değerli geçici etiket sayısı birden
çok ise seçim, düğümlerden yalnızca birinin seçilmesi kaydıyla, rasgele yapılır.
Kısaca, her seferinde yalnızca bir düğüm kalıcı olarak etiketlenir.

Birinci Adım: Kalıcı etiketi en yeni olan düğüm belirlenir. Bu düğüm K olsun. Ön
adımdaki başlangıç düğümüne karşılık gelen bu düğüme bağlı olarak tüm geçici
etiketlerin yeni değerleri aşağıdaki gibi hesaplanır.

Enk
![](media/4c9b8cdb884b6e547a3637ae76395352.png)

İkinci adım: Birinci adımda hesaplanan geçici etiketlerden en küçük olanı ait
olduğu düğümün kalıcı etiketi olur ve \* ile işaretlenir. Önceden olduğu gibi,
en küçük değerli etiket birden fazla olduğunda düğüm seçimi, her seferinde
yalnızca bir düğüm olmak üzere, rasgele yapılır. Son düğüm kalıcı olarak
etiketlendiğinde en kısa yol belirlenmiş olur. Son düğümün kalıcı etiketinin
değeri en kısa yolun uzunluğuna eşittir.

En kısa yolu oluşturan dalların belirlenmesi için son düğümden başlanarak geriye
doğru hareket edilir ve düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki farklar
incelenir. Etiketler arasındaki fark iki düğüm arasındaki dalın uzunluğuna
eşitse ilgili dal en kısa yol üzerinde, aksi halde değildir.

En kısa yolu oluşturan dalların belirlenmesinde kullanılabilecek diğer bir
yaklaşım, en son düğümden geriye dönerek hangi düğümün hangi düğümden
etiketlendiğinin belirlenmesidir.

Dijkstra algoritmasını bir örnek problem üzerinde uygulayalım.

**Örnek 4.3**: İzmir’den Ankara’ya gitmek isteyen bir kişi gidebileceği yolları
araştırmış ve iki şehri birbirine bağlayan yolları ve bunların uzaklıklarını
Şekil 4.29’daki gibi belirlemiştir. Sürücünün amacı İzmir’den Ankara’ya en kısa
yoldan gitmektir. İki şehir arasındaki en kısa yolu bulunuz.

![](media/de4b9c8b593bc15928f8ebe94d267b1a.png)

Şekil 4.29

**Çözüm 4.3**: Ön adım: Başlangıç düğümünün sıfırla kalıcı olarak
etiketlenmesinden sonra diğer düğümlerin etiketlenmesine geçilir.

Şekil 4.29’dan görüldüğü gibi başlangıç düğümüne doğrudan bağlı iki düğüm (2 ve
3) vardır. Bu düğümlerin başlangıç düğümüne uzaklıkları sırasıyla 5 ve 7
olduğundan bunların geçici etiketleri sırasıyla, 5 ve 7 olarak belirlenir. Bu
iki düğümün dışındaki düğümlerin hepsi başlangıç düğümüne dolaylı olarak bağlı
olduklarından etiketleri +’a eşittir. Bu yolla belirlenen etiket değerleri
aşağıda, ait oldukları düğüm numaraları altında gösterilmiştir.

| Düğüm No:   | 1   | 2 | 3 | 4 |  5 | 6 | 7 |
|-------------|------|---|---|---|----|---|----|
| Etiket No : | 0\* | 5 | 7 |  |   |  | ] |

Geçici etiketlerden en küçük (5) olanı 2 nolu düğüme ait olduğundan, bu düğüm 5
ile kalıcı olarak etiketlenir. Böylece etiketler aşağıdaki gibi belirlenmiş ve
ön adım tamamlanmış olur.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3 | 4 |  5 | 6 | 7  |
|-------------|------|-----|---|---|----|---|-----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7 |  |   |  |   |

Birinci adım: En yeni kalıcı etiket 2 nolu düğüme aittir. Bu düğüme doğrudan
bağlı olan 4 ve 5 nolu düğümlerin yeni geçici etiketlerinin hesaplanması
gerekir. Yeni etiket değerleri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

Dördüncü düğümün geçici etiketi: Enk{, 5 + 3} = 8

Beşinci düğümün geçici etiketi : Enk{, 5 + 6} = 11

Hesaplanan değerlerin dikkate alınmasıyal düğüm etiketlerinin yeni değerleri
aşağıdaki gibi olur.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3 | 4 |  5 | 6 | 7 |
|-------------|------|-----|---|---|----|---|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7 | 8 | 11 |  |  |

İkinci adım: Birinci adımda belirlenen geçici etiketlerden en küçük olanın 7
olduğu ve bunun üçüncü düğüme ait olduğu görülebilir. Buna göre üçüncü düğüm
etiketinin 7 olarak kalıcı kılınmasıyla düğüm etiketleri aşağıdaki gibi
belirlenmiş olacaktır.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4 |  5 | 6 | 7 |
|-------------|------|-----|-----|---|----|---|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8 | 11 |  |  |

Henüz tüm etiketler kalıcı olmadığından tekrar birinci adıma dönülür.

Birinci adım: Kalıcı etiketi en yeni olan üçüncü düğüme doğrudan bağlı 4 ve 5
nolu düğümlerin yeni geçici etiketleri,

Dördüncü düğümün geçici etiketi: Enk{ 8, 7 + 4} = 8

Beşinci düğümün geçici etiketi : Enk{11, 7 + 5} = 11

olarak hesaplanacak böylece düğüm etiketleri, aşağıdaki gibi belirlenecektir.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4 |  5 | 6 | 7 |
|-------------|------|-----|-----|---|----|---|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8 | 11 |  |  |

İkinci adım: Geçici etiketlerden en küçüğü dördüncü düğüme ait olduğundan,
anılan düğüm 8 ile kalıcı biçimde etiketlenir. Buna göre,

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4   |  5 | 6 | 7 |
|-------------|------|-----|-----|-----|----|---|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11 |  |  |

olur. Henüz tüm etiketler kalıcı olmadığından tekrar birinci adıma dönelim.

Birinci adım: En yeni kalıcı etiket 4 nolu düğüme aittir. Bu düğüme doğrudan
bağlı tek düğüm olan 6 nolu düğümün yeni geçici etiketinin hesaplanması gerekir.
Bu işlem aşağıda gösterilmiştir.

Altıncı düğümün geçici etiketi: Enk{, 8 + 2} = 10

Bu sonucun kullanılmasıyla belirlenen düğüm etiketleri aşağıda gösterilmiştir.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4   |  5 |  6 | 7 |
|-------------|------|-----|-----|-----|----|----|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11 | 10 |  |

İkinci adım: Geçici etiketlerden en küçüğü altıncı düğüme ait olduğundan anılan
düğümün kalıcı etiketi 10 olur. Buna göre etiketler,

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4   |  5 |  6   | 7 |
|-------------|------|-----|-----|-----|----|------|----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11 | 10\* |  |

olur. Etiketleme işlemi henüz tamamlanmadığından birinci adım tekrarlanır.

Birinci adım: Altıncı düğüme bağlı tek düğüm yedinci düğüm olduğundan anılan
düğümün geçici etiketi,

Yedinci düğümün geçici etiketi: Enk{, 10 + 2} = 12

olarak hesaplanır ve düğüm etiketleri aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4   |  5 |  6   |  7 |
|-------------|------|-----|-----|-----|----|------|-----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11 | 10\* | 12 |

İkinci adım: En küçük değerli (11) geçici etiket beşinci düğüme aittir. Bu
nedenle 11, beşinci düğümün kalıcı etiketi olur ve sonuçta düğüm etiketleri
aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.

| Düğüm No:   | 1   | 2   | 3   | 4   |  5   |  6   |  7 |
|-------------|------|-----|-----|-----|------|------|-----|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11\* | 10\* | 12 |

Bu noktada etiketi geçici olan bir düğüm bulunduğundan birinci adıma dönülür.

Birinci adım: Kalıcı etiketi en yeni olan beşinci düğüme doğrudan bağlı tek
düğüm olan yedinci düğümün geçici etiketinin yeni değeri,

Yedinci düğümün geçici etiketi: Enk{12, 11 + 4} = 12

olarak hesaplanmıştır.

Sonuçta etiketleme işlemi aşağıdaki gibi tamamlanmıştır.

| Düğüm No :  | 1   | 2   | 3   | 4   |  5   |  6   | 7    |
|-------------|------|-----|-----|-----|------|------|-------|
| Etiket No : | 0\* | 5\* | 7\* | 8\* | 11\* | 10\* | 12\* |

Etiketlerin hepsi kalıcı olduğundan en kısa yol bulunmuştur. Şimdi de toplam
uzunluğu 12 birim olan en kısa yol üzerindeki dalları belirleyelim. Bunun için
son düğümden başlayarak geriye doğru düğüm düğüm gidelim. 7 ve 6 nolu düğümlerin
kalıcı etiketleri arasındaki fark (2) anılan düğümleri birbirine birleştiren
dalın uzunluğuna eşit olduğundan (6, 7) dalı en kısa yol üzerindedir. 6 nolu
düğümden 5 nolu düğüme gidilemez. 6 ve 4 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri
arasındaki fark (2), (4, 6)’nın uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal en kısa yol
üzerindedir. (4, 3) dalının uzunluğu bu düğümlerin etiketleri arasındaki farka
eşit olmadığından, (4, 3) dalı en kısa yol üzerinde değildir. 4 ve 2 nolu
düğümlerin kalıcı etiketleri arasındaki fark (2, 4)’ün uzunluğuna eşit
olduğundan bu dal en kısa yol üzerindedir. Son olarak (2, 1)’in uzunluğu bu dalı
tanımlayan düğümlerin etiketleri arasındaki farka eşittir. Dolayısıyla bu dal en
kısa yol üzerindedir. Buna göre İzmir’den yola çıkan sürücü sırasıyla, 2, 4, 6
nolu düğümlere uğrayarak İzmir’den Ankara’ya en kısa yoldan ulaşmış olur.

En kısa yolu bir de hangi düğümün hangi düğümden etiketlendiğinin belirlenmesi
yaklaşımıyla bulalım. 7 nolu düğüm 6, 6 nolu düğüm 4, 4 nolu düğüm 2, 2 nolu
düğüm de 1 nolu düğümden etiketlendiklerinden sırasıyla, 1, 2, 4, 6 ve 7 nolu
düğümler en kısa yol üzerindedir.

Görünürde en kısa yol problemlerinden oldukça farklı olan pek çok işletme
problemi en kısa yol problemi olarak çözülebilir. Konunun daha iyi
anlaşılabilmesi bakımından farklı işletme problemlerine yer verilmesi uygun
olur.

**Araç Yenileme Problemi**: Gerek işletmelerin gerekse kişilerin kullandıkları
araçların çoğu ilerleyen yaşlarına bağlı olarak sürekli artan bakım-onarım
harcamalarına yol açarlar. Eskiyen araçların belirli aralıklarla yenilenmesi,
araçların her bir yenilenişinde katlanılması gereken yüksek satın alma
maliyetine rağmen toplam maliyeti düşürebilir. Yöneticilerin karşılaştığı en
önemli problemlerden birisi de satın alma ve bakım-onarım harcamalarından oluşan
toplam maliyeti en küçükleyecek araç yenileme politikasını belirlemektir. Bu
problem, en kısa yol problemi olarak formüle edilebilir.

Konuya örnek olması bakımından aşağıdaki problemi çözelim.

**Örnek 4.4**: Tek araca sahip bir işletme gelecek beş yıl için araç yenileme
planını geliştirmek istemektedir. Aracın yıllık bakım-onarım masrafı (TL),
aracın incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıdaki gibi tahmin
edilmiştir. Aracın yaşına bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım
masraflarından kurtulmak için eskiyen aracı satıp yerine yenisini almak da
mümkündür. Eskiyen aracın satış fiyatı (TL), satıldığı yıldaki yaşına bağlı olup
aşağıdaki tabloda gösterilmiştir.

Hesaplamalarda basitlik sağlamak için araç satın alma maliyetinin değişmediği ve
15 TL olduğu kabul edilmiştir. Buna göre 5 yıllık planlama dönemi için en iyi
araç yenileme programını oluşturunuz.

# Tablo 4.1

| Aracın Yaşı | Bakım Masrafı | Satış Fiyatı |
|-------------|---------------|--------------|
| 0           | 2             | -            |
| 1           | 3             | 10           |
| 2           | 5             | 9            |
| 3           | 8             | 5            |
| 4           | 12            | 3            |
| 5           | -             | 1            |

**Çözüm 4.4**: Önce, aracın satın alındığı yıl başlangıç, planlama döneminin
sonu bitiş olmak üzere 6 düğümlü ağı oluşturalım. Ara noktalar (j = 1, 2, 3, 4,
5) araç yenilemenin mümkün olduğu yılın başına karşılık gelmektedir.

![](media/b398cb0d3e496ba67d6e302affcb47f2.png)

Şekil 4.30

i \< j için (i, j) dalı, i yılı başında satın alınan aracın j yılı başında
satılarak yerine yenisinin alınmasına karşılık gelir. (i, j) dalının uzunluğu
(dij) ise, i yılı başında satın alınan aracın j yılı başında satılmasına kadar
geçen süre içinde bakım ve onarımını yapmak, j yılının başında aracı satmak ve
yerine yenisini almanın net maliyetine eşittir.

Buna göre i ≥ j için dij =  ve i \< j için,

dij = (i, i + 1, ..., j - 1 yıllarında araç bakım-onarım harcaması) + (i yılı
başında araç satın

alma maliyeti) - (j yılı başında eski araç satışından elde edilen gelir)

olarak tanımlandığında, her bir (i, j) dalının uzunluğu (net maliyet olarak)
aşağıdaki gibi hesaplanır.

d12 = d23 = d34 = d45 = d56 = 15 + 2 - 10 = 7

d13 = d24 = d35 = d46 = 15 + 2 + 3 - 9 = 11

d14 = d25 = d36 = 15 + 2 + 3 + 5 - 5 = 20

d15 = d26 = 15 + 2 + 3 + 5 + 8 - 3 = 30

d16 = 15 + 2 + 3 + 5 + 8 + 12 - 1 = 44

Hesaplama sonuçları Şekil 4.30’da gösterilmiştir. Artık Dijkstra Algoritmasını
uygulayabiliriz. Algoritmanın uygulanmasıyla elde edilen hesaplama sonuçları
aşağıda arka arkaya verilmiştir.

![](media/3cce8bd4b17f488e36b02c25be6d3166.png)*Ön
adım*:

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

![](media/34a31a002d0be98e0c25f96850b32ab5.png)Etiket
: [0\* 7 11 20 30 44]

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

Etiket : [0\* 7\* 11 20 30 44]

*Birinci adım*:

![](media/3cce8bd4b17f488e36b02c25be6d3166.png)Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]

![](media/24ac4f3afba8b20bfad4189db8b73dd2.png)Etiket
: [0\* 7\* 11 18 27 37]

*İkinci adım*:

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

Etiket : [0\* 7\* 11\* 18 27 37]

*Birinci adım*:

![](media/3cce8bd4b17f488e36b02c25be6d3166.png)Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]

![](media/f4d41a355ab3c04c6549334dcbcc305e.png)Etiket
: [0\* 7\* 11\* 18 22 31]

*İkinci adım*:

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

Etiket : [0\* 7\* 11\* 18\* 22 31]

*Birinci adım*:

![](media/3cce8bd4b17f488e36b02c25be6d3166.png)Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]

![](media/94e7079ce1d026fa496f7da7e11a3cd4.png)Etiket
: [0\* 7\* 11\* 18\* 22 29]

*İkinci adım*:

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

Etiket : [0\* 7\* 11\* 18\* 22\* 29]

*Birinci adım*:

![](media/3cce8bd4b17f488e36b02c25be6d3166.png)Düğüm
No: [1 2 3 4 5 6]

![](media/d5f7848163f32fccb9b7fd62d4f2601e.png)Etiket
: [0\* 7\* 11\* 18\* 22\* 29]

*İkinci adım*:

Düğüm No: [1 2 3 4 5 6]

Etiket : [0\* 7\* 11\* 18\* 22\* 29\*]

Etiketlerin hepsi kalıcı olduğundan en kısa yol daha doğrusu, en düşük maliyetli
araç yenileme planı belirlenmiş olur. En düşük net maliyet 29 TL’dir. Şimdi de
işletmenin hangi yıllarda araç yenileyeceğini belirleyelim. 5 ve 6 nolu
düğümlerin etiketleri arasındaki fark (5, 6) dalının uzunluğuna eşit olduğundan
bu dal en kısa yol üzerindedir. 5 ve 4 nolu düğümlerin kalıcı etiketleri
arasındaki fark, bu iki düğümü birleştiren dalın uzunluğuna eşit olmadığından,
bu dal en kısa yol üzerinde değildir. 5 ve 3 nolu düğümlerin etiketleri
arasındaki fark (3, 5) dalının uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal en kısa yol
üzerindedir. 3 ve 2 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark bu düğümleri
birleştiren dalın uzunluğuna eşit değildir. Dolayısıyla, (2, 3) dalı en kısa yol
üzerinde değildir. 3 ve 1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (1, 3)
dalının uzunluğuna eşit olduğundan, bu dal da en kısa yol üzerindedir. Buna göre
çözüm, (1, 3), (3, 5), (5, 6) dallar dizisi olarak belirlenmiş olur. En kısa
yolu oluşturan dalları inceleyelim. Dalların ortaya koyduğu gibi, planlama
dönemi başında satın alınan araç 2 yıl kullanıldıktan sonra satılarak yerine
yenisi alınacaktır. Yeni araç iki yıl kullanıldıktan sonra satılacak, yerine
yenisi alınacak ve yeni araç 1 yıl kullanıldıktan sonra satılacak ve planlama
dönemi tamamlanacaktır.

**Kitap Yerleştirme Problemi**: Kütüphanelerin en önemli sorunlarından bir
tanesi de boyları ve kalınlıkları birbirlerinden farklı çok sayıdaki kitabın
yerleştirileceği raf sisteminin en düşük harcamayla kurulmasını sağlamaktır.
Bütün kitapların boylarının ve kalınlıklarının bilindiğini ve yerleştirmeye kısa
kitaplardan başlanacağını varsayalım. Bu varsayıma göre, yerleştirme Hi kitap
boyu olmak üzere H1, H2, ..., Hn için, H1 \< H2 \< ... \< Hn eşitsizliğini
sağlayacak şekilde gerçekleştirilecektir. Yüksekliği Hi olan bir kitabın
yerleştirileceği rafın yüksekliği en az Hi olmalıdır. Kitapların kalınlıkları
bilindiğinden, boyu Hi olan tüm kitapların yerleştirileceği rafın uzunluğu
hesaplanabilir. Söz konusu rafın uzunluğunu Li ile gösterelim. Kitapların tamamı
tek bir rafa yerleştirilmek istendiğinde kurulacak rafın toplam alanı, rafın
uzunluğu ile en uzun kitap boyunun çarpımına eşittir. Tek bir raf yerine,
kitapları boyları bakımından iki veya daha fazla sayıda gruba ayırarak aynı
sayıda raf kurulması durumunda toplam raf alanı daha az olur.

Farklı yükseklik ve uzunlukta raf kurma maliyeti aşağıda açıklanmıştır.
Yüksekliği Hi olan her bir raf için aşağıdaki tanımları verelim.

Ki = Raf alanından bağımsız sabit maliyet

Ci = Birim alan değişken maliyeti

Kitapların, yükseklikleri Hm ve Hn olan iki rafa dizilmek istendiğini düşünelim.
Hm \< Hn olsun. Yani, boyu Hm veya daha kısa olan kitaplar yüksekliği Hm olan
rafa, diğer bütün kitaplar yüksekliği Hn olan rafa yerleştirilsinler. Buna göre,
toplam maliyet aşağıdaki gibi tanımlanır.

![](media/95b93ea52a2dedbc938ca017050ed13a.png)

Anlaşılacağı gibi problem, tüm kitapların yerleştirilmesi maliyetini en küçük
yapacak raf sayısı ile bunların uzunluk ve yüksekliklerinin belirlenmesidir.
Şimdi bu problemin bir en kısa yol problemi olarak çözümü üzerinde duralım.
Bunun için, düğümlerin kitap boylarını gösterdiği (n + 1) düğümlü bir ağ
oluşturalım. Ağın başlangıç düğümü sıfır boya, son düğümü en uzun kitap boyuna
karşılık gelsin.

Probleme uygun düşen ağ modelinin gerektirdiği varsayımlar şunlardır:

1\. 0 = Ho \< H1 \< H2 \< ... \< Hn

2\. j \> i ise, i ve j düğümleri birbirlerine doğrudan bağlıdır. Bu varsayım ile
Hi yüksekliğinde bir raftan sonra daha yüksek bir raf kurulması sağlanır. Bu
varsayımın doğal sonucu olarak ağdaki dal sayısı, (n(n + 1))/2) olur.

3\. dij = i ve j arasındaki uzaklık fonksiyonu,

![](media/7270ef0f3a43326d1b9cd0e43783a2ee.png)
j  i için

![](media/be5a870192fbb48c979792a4593b7897.png)
j ≤ i için

olarak tanımlanmıştır.

Bu varsayımların kullanılmasıyla çizilen ağ aşağıda gösterilmiştir.

![](media/853c0c1d5d737ba90b81df62e46c336c.png)**Şekil
4.31**

Yapılan varsayımların doğal bir sonucu olarak yukarıdaki ağın başlangıç ve bitiş
düğümleri arasındaki en kısa yol, toplam maliyetin en küçük olmasını sağlayan
raf sayısı ile bunların yükseklik ve uzunluklarını verir. i ve j arasındaki
uzaklık fonksiyonu, sabit maliyet Kj’ye ek olarak boyu ≤ Hj olan kitaplar için
yüksekliği Hj olan raf kurma maliyetini gösterir. Önceden açıklandığı gibi +,
iki düğümü birleştiren dal bulunmaması anlamındadır. Bir an için problemin
çözüldüğünü ve en kısa yol üzerindeki düğümlerin (0, 5, 10, n) olarak
belirlendiğini varsayalım. Buna göre, boyu H5 veya daha az olan kitaplar H5
yüksekliğindeki rafa, boyu H10 veya daha kısa (H5’den uzun) olan tüm kitaplar
H10 yüksekliğindeki rafa, diğer bütün kitaplar yüksekliği Hn olan rafa
yerleştirileceklerdir. Bu yolla toplam maliyet, (0, 5), (5, 10) ve (10, n)
dallarının uzunlukları toplamına eşit olur.

**Örnek 4.5**: Boy (cm), kalınlık (cm) ve sayıları aşağıda verilen toplam 320
kitabın yerleştirileceği uygun raf sistemi belirlenmek istenmektedir.

**Tablo 4.2**

| Boy | Kalınlık | Sayı |
|-----|----------|------|
| 21  | 1        | 120  |
| 23  | 3        | 150  |
| 34  | 6        | 50   |

**Çözüm 4.5**: Yukarıdaki açıklamalar doğrultusunda ilk düğümü sıfır, son düğümü
en uzun kitap boyuna karşılık gelmek üzere dört düğüm ve altı daldan oluşan ağ
aşağıda gösterilmiştir. Ayrıca, dalların uzunluklarının hesaplanması ile ilgili
işlemler aşağıda özetlenmiş, hesaplama sonuçları ait oldukları dallar üzerinde
gösterilmiştir.

d0,1 = 80 + (1 X 21) X (1 X 120) = 2600

d1,2 = 80 + (1 X 23) X (3 X 150) = 10430

d2,3 = 80 + (1 X 34) X (6 X 50) = 10280

d0,2 = 80 + (1 X 23) X ( 1 X 120 + 3 X 150) = 13190

d1,3 = 80 + (1 X 34) X ( 3 X 150 + 6 X 50) = 25580

d0,3 = 80 + 1 X 34 X (1 X 120 + 3 X 150 + 6 X 50) = 29660

![](media/98f1dbe4bafab10b2192f99be0750d60.png)

# Şekil 4.32

Şimdi de Dijkstra Algoritması ile en düşük maliyetli raf kurma planını
belirleyelim. Algoritmayla ilgili hesaplama sonuçları aşağıda toplu halde
verilmiştir.

**Ön adım:**

![](media/ed90d21c9a21bd06f7cb3b76c3444930.png)**Düğüm
No :** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

![](media/a73a17740571339a4a20b01ef98a70fc.png)**Etiket**
**:** **[0\*** **2600**  **13190 29660 ]**

**İkinci adım:**

**Düğüm No** **:** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

**Etiket**  **:** **[0\*** **2600\***  **13190 29660 ]**

![](media/a2de19cbfd6f8e528b99719fc35ada91.png)**Birinci
adım:**

**Düğüm No :** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

![](media/89f4321d056859240e680db10f7db3c5.png)**Etiket**
**:** **[0\*** **2600\***  **13030 28180 ]**

**İkinci adım:**

**Düğüm No** **:** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

**Etiket**  **:** **[0\*** **2600\***  **13030\* 28180 ]**

![](media/558151b3b7d0cbbeeebde369fb6fd6c3.png)**Birinci
adım :**

**Düğüm No** **:** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

![](media/54384b2b893231b033b973ea0a02cc21.png)**Etiket**
**:** **[0\*** **2600\***  **13030\* 23310 ]**

**İkinci adım:**

**Düğüm No** **:** **[0**  **1**   **2**  **3 ]**

**Etiket**  **:** **[0\*** **2600\***  **13030\* 23310\*]**

**Tüm etiketler kalıcı olduğundan problem çözülmüştür. Şimdi de en kısa yolu,
yani en küçük maliyetli raf planını belirleyelim. Son iki düğüm arasındaki fark,
(2, 3) dalının uzunluğuna eşit olduğundan, (2, 3) en kısa yol üzerindedir. 2 ve
1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (1, 2)’nin uzunluğuna eşit
olduğundan (1, 2), 0 ve 1 nolu düğümlerin etiketleri arasındaki fark (0, 1)
dalının uzunluğuna eşit olduğundan (0, 1) en kısa yol üzerindedir. Kısaca en
kısa yol, (0, 1), (1, 2), (2, 3) dallar dizisi olarak belirlenmiş olur. Bu yolu
oluşturmanın maliyeti 23310 TL olup en küçüktür. Kısaca yükseklik ve uzunlukları
sırasıyla, 21, 120; 23, 450; 34, 300 cm olan üç ayrı raf kurulacaktır.**

## 4.5. EN KÜÇÜK YAYILMALI AĞAÇ PROBLEMLERİ

En küçük yayılmalı ağaç problemleri, en kısa yol problemlerinin özel bir
biçimidir. En kısa yol problemlerinde olduğu gibi, en küçük yayılmalı ağaç
problemlerinde de dal uzunluklarının bilindiği varsayılır. İki problem
arasındaki en önemli fark en küçük yayılmalı ağaç probleminde düğümlerin tümünü,
en kısa yol probleminde düğümlerin bazılarını birleştiren dallar dizisinin
bulunmasıdır. Ayrıca en kısa yol probleminde ağın yönlendirilmiş olması şart
iken, yayılmalı ağaç probleminde ağın yönlendirilmemiş olması gerekir.
Uygulamada çok sık karşılaşılan bu tür problemlere örnek olması bakımından
belirli bir yerdeki bilgisayarlar topluluğunun birbirlerine bağlanmak
istendiklerini düşünelim. Burada, bilgisayarların her biri bir düğüm ve bunları
birbirlerine bağlayan yeraltı kabloları dal olarak ele alınabilir. Bilgisayarlar
arasındaki bağlantıyı sağlayan yeraltı kablolarının toplam uzunluğunun en kısa
olması amaçlanabilir. Bu amaca ulaşmak için belirlenen dallar topluluğunun
herhangi bir çevrim kapsamaması gerekir.

**Yayılan Ağaç: n düğümlü bir ağda tüm düğümler arasında bağlantı kuran ve (n -
1) sayıda daldan oluşan çevrim içermeyen dallar dizisidir.**

Dört düğümlü bir ağ ile bu ağa ait yayılan ağaçların listesi aşağıda
verilmiştir.

![](media/f75eaf9d1bdf55f66e6dfd838b6b8e0e.png)

Şekil 4.33

**(1, 2), (1, 3), (1, 4) - (1, 2), (1, 4), (2, 3) - (1, 2), (1, 3), (3,
4)**

**(1, 2), (1, 4), (3, 4) - (1, 2), (2, 3), (3, 4) - (1, 3), (1, 4), (2,
3)**

**(1, 3), (2, 3), (3, 4) - (1, 4), (2, 3), (3, 4)**

**En Küçük Yayılmalı Ağaç: Kapsadığı dalların uzunlukları toplamı en küçük olan
yayılan ağaca en küçük yayılmalı ağaç denir.**

**Yukarıda listelenen yayılan ağaçlardan, (1, 4), (2, 3), (3, 4) ve (1, 2),
(1, 4), (3,4) olmak üzere ikisinin en küçük uzunluğa (4 birim) sahip olduğu
görülebilir. Anlaşılacağı gibi, bu tip problemler tüm yayılan ağaçların
listelenmesi ve bunların uzunlukların hesaplanmasıyla çözülebilir. Ancak, küçük
ağlar için bile etkin olmayan bu yaklaşım, büyük ağlar için hiç etkin değildir.
En küçük yayılmalı ağaç problemlerinin çözümü için etkin hesaplama teknikleri
geliştirilmiştir. Bunlardan en yaygın biçimde kullanılan "en küçük yayılmalı
ağaç algoritması" aşağıda açıklanmıştır.**

*En Küçük Yayılmalı Ağaç Algoritması***: En küçük yayılmalı ağaç, aşağıda
açıklanan üç adımlık bir algoritmanın tekrarı ile saptanabilir.**

**1. adım: Ağ kapsamındaki düğümlerin oluşturduğu küme N olsun. Bu kümeden
rastgele bir düğüm (i) seçilerek bu düğüme en yakın olan düğüm (j) belirlenir.
Bu iki düğümü birleştiren (i, j) dalı en küçük yayılmalı ağacın bir dalı olur.
Bu yolla ağın düğümleri, birinde birleştirilmiş (i ve j), diğerinde
birleştirilmemiş (i ve j dışındakiler) düğümlerin bulunduğu iki alt kümeye
ayrılmış olur. Birleştirilmiş düğümlerin oluşturduğu küme C, birleştirilmemiş
düğümlerin oluşturduğu küme**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**ile
gösterilir. Aloritmanın tüm adımlarında N = C U**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**,
dolayısıyla C **
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{ } olduğu unutulmamalıdır.**

**2. adım:**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**’daki
düğümlerden (n), C’deki düğümlerden (m) herhangi birine en yakın olan düğüm
belirlenir. Bu kez, bu iki düğümü birleştiren (m, n) dalı en küçük yayılmalı
ağaca eklenir. Bu durumda C = {i, j, n} olacağından, C’ye eklenen düğüm (n)**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**kümesinden
çıkarılır.**

**3. adım: İkinci adımdaki işlemler tüm düğümler birleştirilinceye değin
tekrarlanır. Birleştirilecek düğüm kalmadığında, yani**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**={
} olduğunda en küçük yayılmalı ağaç belirlenmiş olur.**

Örnek 4.6**: Bir işletmenin, çalışanlarının hizmetine sunduğu 7 adet bilgisayarı
vardır. Bilgisayarlar arasındaki uzaklıklar aşağıda gösterilmiştir.**

![](media/d79770f935f8563520ead991902febb3.png)

**Şekil 4.34**

**Bilgisayarlar yeraltı kabloları ile birbirlerine bağlanmak istenmektedir. Bu
amacı gerçekleştirecek en kısa kablo uzunluğu nedir?**

Çözüm 4.6**: 1. adım: Rastgele seçilen ilk düğüm A olsun. A’ya en yakın düğüm B
olduğundan C = {A, B},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{C, D, E, F, G} olur. Böylece A’dan sonra B ağaca eklenir. Eklenen (A, B)
dalının dolu çizgiyle gösterilmesiyle ağ aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.**

![](media/75333fba737b3b55686b8e50ff5dbbff.png)

**Şekil 4.35**

**2. adım: Birleştirilmemiş düğümlerin (C, D, E, F, G) A ve B’ye olan
uzaklıklarını inceleyelim.**

Uzunlukları karşılaştırılacak dallar şunlardır: (A, C), (A, D), (B, C), (B, E).

**En kısa uzunluk (4) (A, D)’ye ait olduğundan, en küçük yayılmalı ağaca
eklenir. Bu durumda C = {A, B, D},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{C, E, F, G} olur. Eklenen (A, D) dalının dolu çizgiyle gösterilmesiyle şimdilik
iki daldan oluşan tamamlanmamış ağaç aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.**

![](media/8359322006d25860e2c2e37b429b6c62.png)

**Şekil 4.36**

**3. adım: Birleştirilen düğümler kümesi C’yi oluşturan A, B ve D’ye uzaklık
bakımından en yakın olan düğümleri belirleyelim. Halihazırda**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**kapsamında
bulunan C, E ve F düğümlerinin birleştirilmiş A, B ve Ddüğümlerine olan
uzaklıkları incelendiğinde, en kısa mesafenin (C, D)’ye ait olduğu görülecektir.
Buna göre, C = {A, B, C, D} olur ve (C, D) ağaca eklenir. Eklenen (C, D) dalının
dolu çizgiyle gösterilmesiyle, şimdilik üç daldan oluşan tamamlanmamış ağaç
aşağıdaki gibi belirlenmiş olur.**

![](media/c0b799392c8c68ad2146bfd8d9b13ca4.png)

**Şekil 4.37**

4\. adım: Ağaca eklenmemiş üç düğüm (E, F, G) vardır. Yani,
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)=
{E, F, G}’dir.
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)içeriğindeki
her bir noktanın halihazırda birleştirilmiş olan A, B, C ve D’ye olan
uzaklıkları uzaklıkları incelendiğinde, en kısa mesafenin (C, F)’ye ait olduğu
görülebilir. Bu durumda C = {A, B, C, D, F},
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)=
{E, G} olduğu ve (C, F)’nin en küçük yayılmalı ağaca ait olduğu kararlaştırılır.

Bu dalın eklenmesiyle, Şekil 4.37’deki ağaçtan daha gelişmiş (üç yerine dört
dalı olan) ancak, henüz tamam olmayan ağaç Şekil 4.38’deki gibi belirlenmiş
olur.

![](media/ab7c1ddfc6c778753dd1fe9f50abb2db.png)

**Şekil 4.38**

5\. adım: 4. adımda bağlanan 5 noktaya en yakın bilgisayar E’dir. Bu nedenle bu
bilgisayar C’nin yeni elemanı olur.

Bu noktada, C = {A, B, C, D, E, F},
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)=
{G} ve yeni dal Şekil 4.39’da gösterildiği gibi (E, F) olur.

![](media/e38bcb3a2d2ec40d09c9d44d3fc536f9.png)

Şekil 4.39

**6. adım: Ağaca eklenmeyen tek düğüm G’dir. G’yi ağaca bağlayan en kısa dal (E,
G) olduğundan G, E ile birleştirilir.**

**Bu durumda C = {A, B, C, D, E, F, G},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{ } olur.**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{ } olduğundan problem çözülmüştür.**

**Şekil 4.40’da koyu renkle çizilmiş ve beklendiği gibi sayıları ağdaki düğüm
sayısının 1 eksiğine (6) eşit olan (A, B), (A, D), (C, D), (C, F), (F, E), (F,
G) dallarından oluşan en küçük yayılmalı ağacın uzunluğu 16 birimdir.**

![](media/5e9281675a48ac62a976f09b70465319.png)

**Şekil 4.40**

**Başlangıçta rastgele seçilen düğümün en iyi çözümü değiştirip değiştirmeyeceği
sorulabilir. Soruyu yanıtlamak için ilk düğüm olarak E’yi seçelim. Bu kez
işlemler ayrıntılarıyla değil aşağıdaki gibi küme gösterimiyle açıklanacaktır.**

**Birinci adım: C = {E, F},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{A, B, C, D, G}; (E, F) ağaçta.**

**İkinci adım: C = {E, F, C},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{A, B, D, G}; (F, C) ağaçta.**

**Üçüncü adım: C = {E, F, C, D},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{A, B, G}; (C, D) ağaçta.**

**Dördüncü adım: C = {E, F, C, D, A},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{B, G}; (D, A) ağaçta.**

**Beşinci adım: C = {E, F, C, D, A, B},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{G}; (A, B) ağaçta.**

**Altıncı adım: C = {E, F, C, D, A, B, G},**
![](media/3a6bfbcfec3a91a80eff7532203d2498.png)**=
{ }; (E, G) ağaçta.**

Rasgele seçilen ilk düğüm E iken, anılan ağaç {(E, F), (F, C), (C, D), (D, A),
(A, B), (E, G)} olarak belirlenmiştir. E seçimiyle belirlenen en küçük yayılmalı
ağaç ile A seçimiyle belirlenen ağacın aynı olduğuna dikkat edilmelidir.

## 4.6. PROJE ÇİZELGELEME PROBLEMLERİ

Konu ne olursa olsun, eldeki kaynakların etkin biçimde kullanılmasında;
planlama, programlama ve kontrolün önemi büyüktür. Konu proje yönetimi olduğunda
planlama, programlama ve kontrolün önemi daha da belirginleşmektedir. Proje
yönetiminde, planlama tekniklerinden kritik yol yöntemi (CPM[4]) ile proje
değerlendirme ve gözden geçirme tekniği (PERT[5]) gelişmiş ülkelerde çok geniş
bir uygulama alanı olan proje çizelgeleme teknikleridir. Anılan yöntemler eldeki
sınırlı kaynaklar ölçüsünde projenin tamamlanma süresinin belirlenmesi, toplam
maliyeti en düşük yapacak proje süresinin saptanması, sürenin kısaltılması
amacıyla kaynak aktarımı yapılması vb. konularda yöneticiler için hayati önem
taşıyan sorunlara etkili çözüm yolları ararlar ve bulurlar. Anılan yöntemler
ülkemizde de birçok büyük projede kullanılmıştır. II. Fatih Sultan Mehmet
Köprüsü ve Güney Doğu Anadolu Projesi CPM, Keban Barajı ve İstanbul Boğaz
Köprüsü PERT’in uygulandığı projelere örnek gösterilebilir.

CPM ve PERT, birbirine bağlı çok sayıda faaliyetten oluşan büyük ve projelerin
programlanmasında kullanılan yöntemlerdir. Birbirlerinden bağımsız
geliştirilmelerine karşın birbirlerine çok benzeyen bu iki yöntem arasındaki en
önemli fark faaliyet sürelerine ilişkindir. PERT’de faaliyetlere ilişkin süreler
belirsiz olup bir takım olasılık hesaplamaları ile tanımlandığı halde, CPM’de bu
sürelerin kesinlikle bilindiği varsayılmaktadır. Yöntemleri açıklamadan önce
konuyla ilgili temel kavramların açıklanması uygun olur.

**Faaliyet: Bir iş ya da projenin tamamlanması için gerçekleştirilen eylemlerin
her birine faaliyet denir.**

**Her faaliyetin bir süresi vardır ve gerçekleşmesi genellikle belirli
kaynakların kullanılmasını gerektirir. Örneğin, bir ürünün bir yerden başka bir
yere taşınması, temel atılması, duvarın sıvanması, bahçenin sulanması vb. birer
faaliyettir. Projedeki faaliyetler ağ üzerinde oklarla gösterilir. Okların yönü
faaliyetlerin akışını, yeri ise faaliyetlerin proje içindeki sırasını
gösterir.**

**Olay: Bir iş veya projenin zaman akışı içindeki belirli noktalarda varılması
gereken aşamalarına olay denir.**

Süreleri olmamakla birlikte her olayın birer tarih ya da saati vardır. Örneğin
duvarın sıvanmaya başlanması tarihi, kamyonun depoya varış saati gibi. Olaylar
okların birleştikleri yerlerde birer daire ile gösterilirler.

Olay ve faaliyetlerin ağda nasıl gösterildikleri Şekil 4.41’de açıklanmıştır.

![](media/545441997b2f50e32c1fc49d7da9b233.png)

**Şekil 4.41**

**Kukla Faaliyet: Zaman ve kaynak kullanımı gerektirmeyen, yalnızca iki veya
daha fazla sayıdaki gerçek faaliyet arasındaki ilişkileri göstermek amacıyla
kullanılan faaliyetlere kukla faaliyet denir.**

Kukla faaliyetler kesik çizgili oklarla gösterilirler ve paralel (aynı noktada
başlayıp aynı noktada biten) faaliyetlerin ayırt edilmesinde kullanılırlar.

![](media/a2888013a24161da952fe7e1b64970e4.png)

**Şekil 4.42**

*Süreli Kukla Faaliyet*: Belirli bir süresi olmakla birlikte kaynak kullanımı
gerektirmeyen faaliyete, süreli kukla faaliyet denir.

Örneğin, sulanan veya boyanan bir yerin kuruması için bekletilmesi. Süreli
kuklalar bazan kukla faaliyetler gibi kesik çizgi ile bazan gerçek faaliyetler
gibi dolu çizgi ile gösterilirler.

Konuyla ilgili bu önemli kavramların ardından, önce CPM ardından PERT ile ilgili
açıklamalara geçebiliriz. Ancak daha önce, 1955 yılına kadar proje yönetiminde
en yaygın biçimde kullanılan planlama tekniklerinden Gantt çizelgesi üzerinde
kısaca duralım.

### 4.6.1. Gantt Çizelgesi

Faaliyetler arasındaki zaman ve maliyet faktörlerini de dikkate alarak gösterme
fikri yeni değildir. Özellikle Henry Gantt bu konuda daha 1900’lü yılların
başlarında önemli çalışmalar yapmış, planlama ve kontrol faaliyetleri için kendi
adıyla anılan çizelgeyi (Gantt çizelgesi) geliştirmiştir. 1960’lara kadar,
planlama ve kontrol sorunlarında çözüm aracı olarak yaygın biçimde kullanılan
Gantt çizelgesi günümüzde sanayi mühendisleri tarafından sıkça kullanılmaktadır.
Proje adımlarını sistematik olarak tanımlamaya yarayan Gantt çizelgesi
istatistiksel grafikler içerisinde okunması ve izlenmesi en kolay çizelgelerden
biridir. Faaliyetlerin başlama ve bitiş zamanlarının yatay bir zaman ekseni
üzerinde belirtilmesi esasına dayanan bu çizelgenin bir başka özelliği dinamik
olması yani, programlanan işle belirli bir anda yapılmış olan iş miktarını
karşılaştırma olanağı sağlamasıdır. Gantt çizelgesinde, faaliyetlerin sırası
yukarıdan aşağıya doğru dikey eksen üzerinde, zaman akışı ise yatay eksen
üzerinde gösterilir. Zaman birimi olarak ay, hafta, gün veya saat seçilebilir.
Bu seçim yapılan işin özelliğine göre değişir. Proje planlama yöntemlerinden
olan Gantt çizelgesinde faaliyetler, süreleriyle orantılı olarak şerit halinde
ve yatay çizgi ile gösterilir.

A, B, C ve D olmak üzere dört faaliyetten oluşan bir projenin uygulama programı
(Gantt Çizelgesi) Tablo 4.3’de verilmiştır.

**Tablo 4.3**

|                                                                                                                               | H A F T A |   |   |   |   |   |   |   |   |    |    |    |    |    |    |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-----------|---|---|---|---|---|---|---|---|----|----|----|----|----|----|
| Faaliyet                                                                                                                      | 1         | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| ![](media/ca89813036ad3797f26a18f4eba67f2f.png)A |           |   |   |   |   |   |   |   |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/6f56da3809ee435be1cfb37fa3b80fd1.png)B |           |   |   |   |   |   |   |   |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/0b45fbbbb4f1910f22ca0e9c75d3924f.png)C |           |   |   |   |   |   |   |   |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/b13e69fbbecb20ebf9a99510533c1c20.png)D |           |   |   |   |   |   |   |   |   |    |    |    |    |    |    |

Tablo 4.3 incelendiğinde, A’nın 4, B’nin 3, C’nin 6 ve D’nin 2 haftada
tamamlandıkları görülecektir. Buna göre örneğin, 10. haftanın sonunda A ve B
faaliyetlerinin bitmiş, C faaliyetinin yarısının tamamlanmış ve D faaliyetine
hiç başlanmamış olması gerekmektedir. Gantt çizelgesi üzerinde tamamlanan
faaliyetlerin kalın bir şerit ile gösterilmesi sonucunda hangi faaliyetlerin
gerçekleştirildiği belirlenerek programın kontrolü sağlanmış olur. Bu amaçla
oluşturulan Tablo 4.4 incelendiğinde 10. hafta sonunda A ve B faaliyetlerinin
programa uygun olarak tamamlanmış, D faaliyetinin henüz başlamamış olduğu, C
faaliyetinin ise programın 2 hafta gerisinde olduğu görülür.

**Tablo 4.4**

|                                                                                                                               | H A F T A |   |   |   |   |   |   |                                                                                                                               |   |    |    |    |    |    |    |
|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|-----------|---|---|---|---|---|---|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|---|----|----|----|----|----|----|
| Faaliyet                                                                                                                      | 1         | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8                                                                                                                             | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| ![](media/4cd9e5a4da327b6eb11e099ba5d2cd90.png)A |           |   |   |   |   |   |   |                                                                                                                               |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/08ed0a0ebb76dd5558ed509fe555458c.png)B |           |   |   |   |   |   |   |                                                                                                                               |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/5238dea08e8613b40edc1940b2b07257.png)C |           |   |   |   |   |   |   | ![](media/9e069632de5691c2453490bb867d061d.png)  |   |    |    |    |    |    |    |
| ![](media/d9114d7776edec0b5b6d9e2decdf7e07.png)D |           |   |   |   |   |   |   |                                                                                                                               |   |    |    |    |    |    |    |

Basit ve küçük çapta projeler için kullanışlı olmasına karşın, büyük projeler
için kullanışlı olmayan Gantt çizelgesi, faaliyetler arasındaki bağımlılıkları
da tam olarak açıklayamamaktadır. Hangi faaliyetlerin geciktirilebileceği,
hangilerinin geciktirilemeyeceği hakkında bilgi de vermemektedir. Zaman-maliyet
analizi yapabilmek için gerekli bilgi Gantt çizelgesinde yoktur. Söz konusu
çizelgenin bu olumsuz özellikleri ağ yaklaşımını ortaya çıkarmıştır.

### 4.6.2. Ağ Yaklaşımı

Projelerin plan ve programlanması ile ilgili işletme problemleri bir çizelgeyle
gösterilebilir. Bu çizelge şeklindeki gösterim ağ olabilir. Bilindiği gibi ağ
sözcüğü ok şeklinde çizilen ve ağ planlama tekniklerinin esas kısmını oluşturan
birbirlerine bağlı faaliyetlerin şekil ya da çizelge olarak gösterilmesinden
doğmaktadır. Proje söz konusu olduğunda ağ şu şekilde tanımlanmaktadır. "Program
amacına ulaşabilmek için gerçekleşmesi gereken faaliyetlerden ve olaylardan
meydana gelen, faaliyet ve olayların birbirleriyle olan bağlantı ve ilişkilerini
gösteren şemaya ağ" denir. Ağ yaklaşımının sağladığı yararlar aşağıdaki gibi
özetlenebilir.

\- Bir ya da daha fazla sayıda projenin aynı anda ve istenen ayrıntıda planlama
ve denetiminin yapılmasına olanak sağlar.

\- Faaliyetler arasındaki karmaşık ilişkiler oldukça basit ve açık biçimde
gösterilir. Böylece proje, planlamayı yapanların dışındaki kimselere de kolayca
açıklanabilir.

\- İşlemler oldukça basit olup, bilgisayarda kolayca programlanabilir.

\- Kritik faaliyetlerin saptanması sonucunda önemli olan bir grup faalliyete
dikkat çekilir. Böylece, daha etkin bir planlama ve denetime olanak sağlanır.

\- Bazı faaliyetlerin gecikme ve/veya hızlandırılmalarının etkileri ve bunlara
bağlı olarak oluşacak darboğazların kolayca saptanabileceği bir ortam
oluşturulur.

\- Değişik proje tarihlerine ilişkin toplam proje maliyetleri hesaplanarak en
düşük toplam maliyetli proje planı seçilebilir.

\- Çok değişik konu ve kapsamda proje kolayca planlanabilir.

\- Kaynaklar, aynı kaynağı kullanan faaliyetler arasında en düşük toplam maliyete
neden olacak şekilde bölüştürülebilir. Burada, problemin güçlüğü nedeniyle en
düşük maliyete neden olacak bölüşüm sağlanamasa da buna yakın bir sonuç elde
edilebilir.

\- Projenin uygulanması sırasında güncelleştirmeye önem verilerek projenin günü
gününe izlenmesi sağlanır. Böylece proje yönetiminden sorumlu kimselerin aksayan
noktaları görebilmeleri ve gerektiğinde süratle müdahale edebilmelerini sağlayan
bir alet oluşturulmuş olur.

Araştırmalar ağ yaklaşımının kullanıldığı uygun işlerde projenin tamamlanma
süresinin en az %10 azaltılabileceğini, kaynak kullanımındaki faydanın ise en
azından %5 artırılabileceğini göstermiştir.

#### 4.6.2.1. Kritik Yol Yöntemi

Kritik yol yöntemi (CPM), bir projenin gerçekleştirilmesinde insan gücü, makina
ve zamandan en yüksek düzeyde yararlanmayı sağlayan ağ tekniklerini kullanma
bilimidir. CPM formülasyon, planlama, gözlem ve kontrol olmak üzere başlıca üç
bölüm içerir.

a. *Formülasyon*: Bu bölüm aşağıdaki adımları kapsar.

1\. Belirli olay ve faaliyetlere ayırım işleminin yapılması.

2\. Olay ve faaliyetler arasındaki ilişkilerin belirlenmesi.

3\. Proje ağının kurulması.

4\. Tüm faaliyetlerin sürelerinin belirlenmesi.

b. *Planlama*: Bu bölüm esas olarak boşlukları ve kritik yolu bulmayı içerir ve
aşağıdaki adımları kapsar.

1\. Kritik olay ve faaliyetlerin belirlenmesi.

2\. Kritik yolun belirlenmesi.

3\. Tüm olay ve faaliyetlerin boşluklarının hesaplanması.

4\. Tamamlanmış proje planının kurulması.

c. *Gözlem ve Kontrol*: CPM kullanımının bu bölümü aşağıdaki adımları kapsar.

1\. Tüm faaliyetlerin belirlenmiş zamanlarının gözlenerek, hazırlanan planla
karşılaştırılması.

2\. Esas plandan olan sapmaların belirlenmesi.

3\. Gecikmeler belirlendiğinde, yeniden planlama ile orijinal ağda değişiklik
yapılması.

4\. Eğer mümkünse boşluklara göre kaynakların faaliyetlere transfer edilmesi.

Yukarıda açıklandığı gibi, formülasyon sürecinde, projenin belirli faaliyet ve
olaylara ayrılmasından sonra bunlar (faaliyetler ve olaylar) arasındaki öncelik
ilişkilerinin belirlenmesi gerekir. Bir faaliyetin kendisinden önce bitirilmesi
gereken faaliyete "önceki faaliyet", kendisinin tamamlanması ile başlayan
faaliyete de "sonraki faaliyet" denir.

Faaliyetlerin öncelik ilişkilerinde istenen önemli bilgiler aşağıdaki üç sorunun
yanıtlanması ile gerçekleştirilebilir.

1\. Herhangi bir faaliyet başlamadan önce hangi faaliyet(ler) tamamlanmalıdır?

2\. Hangi faaliyetler paralel yürütülmelidir?

3\. Bu faaliyetleri hangi faaliyetler izlemelidir?

**A. Proje Ağının Oluşturulması**

Proje ağının çizilmesinde uyulması gereken kurallar şöyledir.

1\. Her ağda tek bir başlama olayı ile tek bir bitiş olayı olmalıdır. Gerekirse
bu olaylar yapay olarak yaratılırlar.

2\. Bir faaliyet, kendisinden önceki faaliyet(ler) bitmeden başlayamaz.

3\. Bir okun uzunluğu önemli olmayıp oklar yalnızca öncelikleri belirtir.

4\. İki olay en fazla bir faaliyet ile doğrudan bağlanabilir.

5\. Her olayın bir numarası olmalıdır. Olaylar okların küçük numaralı bir
noktadan daha büyük numaralı bir noktaya gitmesini sağlayacak biçimde
numaralandırılır. Böylece ağ üzerinde çevrim oluşması engellenmiş olur.

Şekil 4.43’deki faaliyetlerin bir çevrim meydana getirdiği görülmektedir.

![](media/6c015724f17b66700074b50d2f936fc1.png)

**Şekil 4.43**

Yukarıda açıklanan kurallardan bazılarını inceleyelim. Dördüncü kurala göre iki
olay en fazla bir faaliyetle doğrudan bağlanabilir. Bunun nedeni, faaliyetleri
ayırt edebilme zorunluluğudur. Şekil 4.44’de 1 ve 2 numaralı olaylar birden
fazla faaliyetle doğrudan bağlanmış olup bu yasaktır.

![](media/205e8f720a6ee76c5771e65f28608909.png)

**Şekil 4.44**

Kural 4’e ters düşen bu durumdan kurtulmak için kukla faaliyet kullanılır. Bu
duruma uygun alternatif kukla faaliyetler Şekil 4.45’de gösterilmiştir.

![](media/c0c8e35b80082ae5d9102fcea63ec948.png)

**Şekil 4.45**

Kukla faaliyetler yalnızca paralel faaliyetlerin ayırt edilmesinde değil,
faaliyetler arasındaki öncelik ilişkilerinin belirtilmesinde de kullanılırlar.
Kukla faaliyet kullanımına örnek olmak üzere Tablo 4.5’deki verileri alalım.

#### Tablo 4.5

| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|----------|-----------------|
| A        | -               |
| B        | -               |
| C        | A, B            |
| D        | B               |

Faaliyetlerin öncelik ilişkilerinin dikkate alınmasıyla çizilen ağ Şekil 4.46’da
gösterilmiştir. Ağın faaliyetler arasındaki öncelik ilişkileri bakımından doğru
olduğu görülebilir. Ancak şekil dikkatle incelendiğinde D faaliyetinin
başlayabilmesi için A ve B faaliyetlerinin tamamlanması gerektiği görülebilir.
Oysa tabloda verildiği gibi D faaliyeti ile A faaliyeti arasında herhangi bir
bağımlılık bulunmamaktadır. Ağın aşağıdaki gibi çizilmesiyle D ve A faaliyetleri
arasında yapay bir bağımlılık yaratılmıştır.

![](media/5d352cd52d69ffc869b0fb557c2fc732.png)

**Şekil 4.46**

Bu durumdan kurtulabilmek için kukla faaliyetler kullanılır. Tablo 4.5’deki
faaliyetlerin öncelik ilişkilerini yansıtan ve kurallara uygun olarak çizilen ağ
Şekil 4.47’de gösterilmiştir. Buna göre D, B’den sonra, C faaliyeti de A ve B
faaliyetlerinin tamamlanmasından sonra başlayabilmektedir.

![](media/19c9cc34853cc9eb371ab80f56b879ff.png)

**Şekil 4.47**

Faaliyetlerin öncelik ilişkileri aşağıda bir dizi örnekle açıklanmıştır.

B, A tamamlandıktan sonra başlar veya A, B’den önce gelir (bkz. Şekil 4.48).

![](media/c702ff1e6db0443927399f850d1488bd.png)

**Şekil 4.48**

C, A ve B tamamlandıktan sonra başlar veya A ve B, C’den önce gelir (bkz. Şekil
4.49).

![](media/c2cabba76d8f6236d53aacd0bfe19bb6.png)

**Şekil 4.49**

B ve C, A tamamlandıktan sonra başlar veya A, B ve C’den önce gelir (bkz. Şekil
4.50).

![](media/8bc2e964b161b523e3b50b4dc7a3c53a.png)

**Şekil 4.50**

Proje ağı iki farklı yaklaşımla çizilebilir. Yaklaşımlardan birisinde
faaliyetler oklarla, diğerinde noktalarla gösterililir. Her iki yaklaşımın da
olumlu ve olumsuz yönleri vardır. Sözgelimi, faaliyetlerin noktalara atandığı
durumdaki proje ağının çizimi kolay olmakla birlikte faaliyetlere ilişkin
bilgiler net olarak gözükmemektedir. Yüzlerce faaliyetten oluşan büyük
projelerde bu durum karışıklık yaratabilir. Faaliyetlerin oklara atandığı
durumda ağın oluşturulması daha zordur ve kukla faaliyetlere gerek duyulabilir.
Ancak, faaliyetlere ilişkin bilgiler ağdan kolayca izlenebilir. Ayrıca, günümüz
ticari bilgisayar programlarının çoğunda faaliyetlerin oklarla gösterilmesi
yaklaşımı benimsendiğinden, biz de faaliyetlerin oklarla gösterilmesi esasını
benimseyeceğiz. Bu yaklaşım örnek problemlerle açıklanacaktır.

**Örnek 4.7**: Süre ve öncelik ilişkileri aşağıda verilen A, B, ..., G, H
faaliyetlerinden oluşan projenin ağını çiziniz.

**Tablo 4.6**

| Faaliyet | Süre (gün) | Önceki Faaliyet |
|----------|------------|-----------------|
| A        | 4          | -               |
| B        | 8          | -               |
| C        | 2          | A               |
| D        | 3          | A               |
| E        | 8          | B, C            |
| F        | 5          | B, C            |
| G        | 5          | D, E            |
| H        | 10         | D, E, F         |

**Çözüm 4.7**: Tablodaki verilerden hareketle kurulan proje ağı Şekil 4.51’de
gösterilmiştir.

Süreler parantez içerisinde olmak üzere, faaliyet isimleri okların üzerinde
belirtilmiştir. Tabloda belirtildiği gibi D ve E faaliyetleri hem G hem de H’dan
önce gelen faaliyetlerdir. H’dan önce gelen D, E, F faaliyetlerini ağda doğru
olarak gösterebilmek için kukla faaliyete gerek duyulmuştur. Kukla faaliyet
kesikli çizgi ile gösterilmiş ve K ile isimlendirilmiştir. Olaylar projede
ilerleme yönünü belirleyecek sırada numaralanmıştır.

![](media/7cc534bfa9456dc738d464b85395fc1a.png)

**Şekil 4.51**

**Örnek 4.8**: Bir işletme A, B ve C parçalarından oluşan yeni bir ürün üretmeyi
planlamaktadır. Ürünün mamul hale gelmesi için öncelikle bu üç parçanın
tasarımının tamamlanması gerekmekte olup bu işlem 5 hafta sürmektedir.
Tasarımdan sonra üretime geçilmektedir. A’nın üretimi 4, B’nin üretimi 5, C’nin
üretimi 3 haftada tamamlanmaktadır. Üretilen parçaların birleştirilmesinden önce
A test edilmekte, bu işlem 2 hafta sürmektedir. Testten sonra montaja
geçilmektedir. Montaj için önce A ile B birleştirilmekte (2 hafta) sonra C
eklenmektedir (1 hafta). C’nin eklenmesiyle tamamlanan ürünün test edilmesi 1
hafta sürmektedir.

Faaliyetleri ve faaliyetler arasındaki ilişkileri belirleyerek üretim projesinin
ağını kurunuz.

**Çözüm 4.8**: Açıklamalar doğrultusunda belirlenen faaliyetler, faaliyetlerin
öncelik ilişkileri ve süreler (gün) aşağıdaki tabloda topluca gösterilmiştir.

**Tablo 4.7**

| Faaliyet  Adı |   Faaliyet Tanımı          | Önceki  Faaliyet |   Süre |
|---------------|----------------------------|------------------|--------|
| T             | Tasarım                    | -                | 5      |
| A             | A’nın Üretimi              | T                | 4      |
| B             | B’nin Üretimi              | T                | 5      |
| C             | C’nin Üretimi              | T                | 3      |
| D             | A’nın Testi                | A                | 2      |
| E             | A ve B’nin Birleştirilmesi | B, D             | 2      |
| F             | C’nin Birleştirilmesi      | E, C             | 1      |
| S             | Ürün Testi                 | F                | 1      |

Tablodaki verilerle çizilen proje ağı aşağıda gösterilmiştir.

![](media/19f0bf8994a4fcb5b2cdfea630cbc82d.png)

Şekil 4.52

**Örnek 4.9**: Yeni bir otomobil satın almak için gerekli 15 faaliyet aşağıdaki
tabloda, kısa tanım ve süreleriyle birlikte verilmiştir. Faaliyetler arasındaki
öncelik ilişkileri, aynı tablonun son sütununda gösterildiği gibidir. Proje
ağını çiziniz.

**Tablo 4.8**

|   Faaliyet |   Kısa Tanım                                     | Önceki  Faaliyet(ler) |   Süre |
|------------|--------------------------------------------------|-----------------------|--------|
| A          | Fizibilite Çalışmasını Sonlandırma               | -                     | 3      |
| B          | Şimdiki otomobil için alıcı bulma                | A                     | 14     |
| C          | Olası modelleri listeleme                        | A                     | 1      |
| D          | Olası modelleri araştırma                        | C                     | 3      |
| E          | Servisler hakkında bilgi alma                    | C                     | 1      |
| F          | Bayilerin kampanya broşürlerini toplama          | C                     | 2      |
| G          | Uygun veriyi derleme                             | D, E, F               | 1      |
| H          | En iyi üç modeli seçme                           | G                     | 1      |
| I          | Bu üç modelin test sürüşünü yapma                | H                     | 3      |
| J          | Garanti ve finans verisini toplama               | H                     | 2      |
| K          | Modellerden birini seçme                         | I, J                  | 2      |
| L          | Bayii seçme                                      | K                     | 2      |
| M          | İstenilen renk ve opsiyonları belirleme          | L                     | 4      |
| N          | Seçilen model ile bir kez daha test sürüşü yapma | L                     | 1      |
| O          | Yeni otomobil satın alma                         | B, M, N               | 3      |

**Çözüm 4.9**: A ilk, O son faaliyet olmak üzere tablodaki verilerle çizilen
proje ağı Şekil 4.53’de gösterilmiştir. Ağ çiziminde biri D ve E’nin diğeri E ve
F’nin (dolayısıyla D, E ve F’nin), üçüncüsü I ve J’nin, dördüncüsü M ve N’nin
aynı düğümde tamamlanmasını sağlamak için, 4 kukla faaliyet (K0, K1, K2,K3)
kullanıldığı görülebilir.

Kritik olmayan faaliyetler ise belirli zaman aralıklarında tamamlandıklarında
proje süresini değiştirmeyen esnek faaliyetlerdir. Kritik olmayan faaliyetlerin
esnekliğine ya da geciktirilebilme rahatlığına "boşluk" denir. Boşluk değerleri
kritik yol hesaplamalarında doğrudan kullanılmamakla birlikte, zaman-maliyet
analizinde ve kaynak tahsisinde kullanılmaktadır.

1\. Toplam boşluk, 2. Serbest boşluk, 3. Bağımsız boşluk, 4. Emniyet boşluğu
olmak üzere dört çeşit boşluk hesaplanmaktadır. En çok bilinen boşluklar toplam
boşluk ile serbest boşluktur.

Sözü edilen boşluk çeşitlerini kısaca açıklayalım.

*Toplam Boşluk*: Bir faaliyetin, proje süresini uzatmadan ertelenebileceği en
uzun süreye toplam boşluk (TB) denir.

Toplam boşluk hesaplanırken (i, j) faaliyetinden önce gelen bütün faaliyetlerin
en erken başlama zamanında başladığı kabul edilir. Buna göre toplam boşluk, Lj
ve Ei terimleriyle açıklanabilir. (i, j) faaliyetinin i düğümünde başladığı
dikkate alındığında, i’nin ortaya çıkışı veya (i, j) faaliyetinin tamamlanma
süresi k birim zaman geciktirilirse, (i, j) faaliyeti, Ei + k + Dij zamanında
tamamlanacaktır. Bu durumda,

Ei + k + Dij ≤ Lj veya k ≤ Lj - Ei - Dij

ise projenin en erken tamamlanma süresi gecikmeyecektir.

Buna göre, (i, j) faaliyetinin toplam boşluğu şöyledir:

TBij = Lj - Ei - Dij

Bu açıklamalar çerçevesinde Şekil 4.59’daki D faaliyetine ilişkin toplam boşluğu
hesaplayalım.

![](media/536419651ac15a4b423d6a08772ac600.png)

**Şekil 4.59**

TB24 = TBD = 16 - (4 + 3) = 9 gün olacaktır.

Buna göre D, en erken başlama zamanı olan 4. günde başlatıldığında, izin verilen
en geç zamandan 9 gün önce biter. Faaliyetin 3 gün olan normal süresi (3 + 9)
güne kadar uzatılabilir. Bu gecikmeye karşın programda bir değişiklik olmaz.
Herhangi bir faaliyetin toplam boşluğu kendisine ait süredeki esnekliğin
ölçüsüdür. Kritik faaliyetlerin toplam boşlukları sıfıra eşittir.

Faaliyet süresinin esnekliğiyle ilgili bir başka ölçü serbest boşluktur.

*Serbest Boşluk*: Bir faaliyetin, kendisinden sonra gelen faaliyetlerin
başlamasını etkilemeden ertelenebileceği en uzun süreye serbest boşluk (SB)
denir.

Serbest boşluk bir faaliyetin yalnızca kendisini ilgilendiren bir boşluk
türüdür. Serbest boşluk, toplam boşluğa eşit ya da küçüktür. Serbest boşluk için
de (i, j) faaliyetini etkileyen önceki faaliyetlerin en erken başlama zamanında
başladıkları varsayılır. Olay i’nin ortaya çıkışının veya (i, j)’nin süresinin k
birim uzadığını düşünelim. Bu durumda j’nin en erken ortaya çıkacağı zaman (Ei +
Dij + k)’ya eşit olur. Buna göre,

Ei + Dij + k ≤ Eij veya k ≤ Ej - Ei - Dij

ise j düğümü gecikmez.

Bu durumda, (i, j) faaliyetinin serbest boşluğu,

SBij = Ej - Ei - Dij

olur.

D faaliyetinin serbest boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

SB24 = SBD = 16 - 4 - 3 = 9 gün

D’nin serbest boşluğunun 9 gün olması, bu faaliyetin başlamasının veya
tamamlanmasının 9 gün veya daha fazla uzaması durumunda, bu faaliyeti izleyen E
ve G faaliyetlerinin başlamalarının gecikeceği anlamını taşır.

Toplam boşluk ve serbest boşluk tanımlarında yapılan varsayım, faaliyetlerin
zamanlanmasında sınırlayıcı olabilmektedir. Buna bir çare olarak bağımsız ve
emniyet boşlukları tanımlanmıştır.

*Bağımsız Boşluk*: Bir faaliyetin kendisini izleyen faaliyetlerin başlamalarını
etkilemeden ertelenebileceği en uzun süreye bağımsız boşluk (BB) denir.

Bağımsız boşluk da tıpkı serbest boşluk gibi, yalnızca ait olduğu faaliyeti
ilgilendiren bir boşluk türüdür. (i, j) faaliyetinin bağımsız boşluğu aşağıdaki
bağıntıdan hesaplanır.

BBij = Ej - Li - Dij

Buna göre aynı faaliyetin bağımsız boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanır.

BB46 = BBD = 16 - 6 - 3 = 7 gün

*Emniyet Boşluğu*: Bir faaliyetin proje süresini uzatmadan ertelenebileceği en
uzun süreye emniyet boşluğu (EB) denir.

Emniyet boşluğunun toplam boşluktan farkı, (i, j) faaliyetinden önce gelen tüm
faaliyetlerin en geç bitirilme zamanlarında tamamlandıklarının varsayılmasıdır.
Aşağıdaki bağıntının kullanılmasıyla hesaplanır.

EBij = Lj - Li - Dij

Buna göre, diğer boşlukların hesaplanmasında dikkate alınan D faaliyetinin
emniyet boşluğu aşağıdaki gibi hesaplanır.

EB46 = 16 - 6 - 3 = 7 gün

Kritik yol yöntemi kullanımının son aşaması projenin kontrol edilmesidir. Bu
aşamada tüm faaliyetler ve faaliyetlerin belirlenmiş zamanlarının gözlenmesi ve
hazırlanan planla karşılaştırılması gerekir. Projenin programa göre
ilerlemediğinin ve bazı faaliyetlerin geciktiğinin belirlenmesi durumunda yeni
bir program geliştirmeye gerek duyulabilir. Bu durumda projenin o ana kadar
gerçekleştirilmiş faaliyetlerine sıfır süre konularak projenin
güncelleştirilmesi gerekir. Güncelleştirilme yardımıyla faaliyetlerin yeni
süreleri belirlenir. Yalnızca projenin ilerleyişindeki aksamalarda değil,
gelecekte projeye herhangi bir faaliyetin eklenmesi/çıkarılması gerektiğinde de
tüm değişikliklerin ağa yansıtılması gerekir. Proje kontrolü, kaynakların
kullanımı ve transferlerini de içerir. Mümkünse, hesaplanan boşluk değerlerine
göre faaliyetlere gerekli kaynak transferlerinin yapılması sağlanır.

### C. Zaman-Maliyet Analizi

CPM’de faaliyet sürelerinin faaliyetlerde kullanılan kaynak miktarıyla orantılı
olduğu kabul edilir. Genel olarak, herhangi bir faaliyete ayrılan kaynağın
(para, emek, malzeme, makine vb.) artırılması durumunda, faaliyetin süresi
kısaltılabilir. CPM terminolojisinde faaliyet süresinin kısaltılması veya
hızlandırılmasına "hızlandırma" denir. Faaliyetin hızlandırılması için
katlanılan yoğun kaynak kullanımının bir maliyeti vardır. Bu maliyete
"hızlandırma maliyeti" denir.

Bilindiği gibi, projenin tamamlanma süresi kritik yolun uzunluğuna eşittir ve
projenin tamamlanma süresi kritik faaliyetlerle belirlenir. Bu yüzden, projenin
tamamlanma süresi doğrudan doğruya kritik faaliyetlerin süreleri ile ilgilidir.
Bu nedenle, izlenmesi gereken faaliyetler kritik faaliyetlerdir. Kritik
faaliyetlerin hızlandırılması durumunda proje daha erken tamamlanır. Ancak
yukarıda açıklandığı gibi, faaliyetin hızlandırılması yönünde yapılacak
çalışmalar ek bir harcamayla gerçekleştirilir ki, her şeyden önce bu maliyetin
katlanmaya değer olup olmadığı belirlenmelidir. Bunun için, projenin daha kısa
sürede tamamlanmasının sağlayacağı avantajlar ile bu avantajları yakalayabilmek
için yapılan ek harcamalar arasında bir denge oluşturulması gerekir.

Bu denge noktasının bulunması, zaman-maliyet analizi ile gerçekleştirilir.
Zaman-maliyet analizinde amaç, daha yoğun kaynak kullanımının proje süresini
azaltıcı, süre azaltmanın bazı maliyet kalemlerini artırıcı etkilerini
dengeleyerek en düşük maliyete sahip proje planını gerçekleştirmektir.

Proje maliyeti, dolaylı ve dolaysız maliyetlerden oluşur. Dolaysız maliyetler,
faaliyetlerin gerçekleştirilmesindeki işçilik harcamaları, makine kiraları ve
malzeme maliyetlerinden oluşur. Dolaylı maliyetler ise, projenin idaresi ve
kontrolü, danışmanlık hizmetleri, seyahat, mukavele harcamaları gibi dolaylı
maliyetleri kapsar.

Projenin özelliğine göre başka maliyetler de tanımlanabilir. Sözgelimi proje,
belirli bir tip mamul üretmeye yönelik bir fabrikanın kurulması olsun. Fabrika
üretime geçmedikçe bu ürünün pazarlanması söz konusu olmayacaktır. Bu durumda,
her geçen zaman satılmayan birimden kaybedilen kâr cinsinden bir maliyet söz
konusu olacaktır.

Bazı tip projeler belirli protokollere dayalı olabilir. Bu tip projelerde
projenin protokolde belirtilen süreden daha geç bitirilmesi durumunda, geciken
her zaman birimi için bir ceza ödenmesi gerekebilir. Aynı şekilde, projenin
protokolde belirtilen süreden önce tamamlanması durumunda erken bitirme primi
verilebilir. Bu ve benzeri durumlar proje maliyetinin belirlenmesinde mutlaka
dikkate alınmalıdır.

Buna göre, projenin toplam maliyeti, faaliyet süreleri ile orantılı olan
dolaysız maliyetler ile proje süresi ile orantılı olan dolaylı maliyetlerin
toplamına eşittir. CPM esas olarak projenin toplam maliyeti ile onun tamamlanma
süresi arasında denge sağlanmasına yöneliktir. Kısaca, yöntemin esas amacı
projenin en kısa sürede ve en düşük maliyetle tamamlanmasını sağlamaktır.

Bir faaliyetin fazladan kaynak tahsis edilmeksizin tamamlanma süresine "normal
süre" denir. Normal süre aynı zamanda faaliyet için tanınan en uzun süredir.

Faaliyetin maksimum kaynak tahsisiyle tamamlanma süresine "hızlandırılmış süre"
denir. Hızlandırılmış süre, ilgili faaliyet için mümkün olan en kısa süredir.

Tanımlanan bu iki süre ve bunlara karşılık gelen maliyetler arasındaki ilişki
Şekil 4.60’da açıklanmıştır.

Söz konusu şekil incelendiğinde (i, j) faaliyeti için çizilen zaman-maliyet
eğrisinin (dolu çizgi ile çizilmiş), (i, j) faaliyetinin dolaysız maliyeti için
ayrılan bütçe ile bu bütçe sonucu ortaya çıkan faaliyet süresi arasındaki
ilişkiyi yansıttığı görülebilir.

![](media/1c02e47181d3130932ea8fec0630f8bd.png)

**Şekil 4.60**

Eğrinin çizimi, biri normal diğeri hızlandırılmış olarak adlandırılan iki
noktaya dayanır. Normal nokta, faaliyetin normal koşullar altında herhangi bir
ek harcama yapılmaksızın tamamlanma süresi ile normal maliyeti verir.
Hızlandırılmış nokta, faaliyetin en fazla kaynak kullanımı ile tamamlanma süresi
ile hızlandırılmış maliyetini verir.

Genel bir yaklaşım olarak, bütün ara noktaların bu doğru parçası üzerinde
bulundukları kabul edilir. Bu nedenle her bir faaliyet için sadece bu iki
noktanın belirlenmesi yeterlidir. Projenin hızlandırılması ile ilgili
çalışmaları gerçekleştirebilmek için, her bir faaliyetin süre-maliyet
ilişkisinin saptanması gerekir.

Faaliyetlerin gerçek süre-maliyet ilişkisini hesaplamak çoğu zaman yorucu ve
zaman alıcı olabilmektedir. Süre maliyet ilişkisi duruma göre değişiklik
gösterir. İlişki, Şekil 4.60’da gösterildiği gibi doğrusal veya Şekil 4.61’de
gösterildiği gibi iç bükey ya da dış bükey olabilir.

İlişkinin iç bükey veya dış bükey olması durumunun açıklandığı Şekil 4.61
incelendiğinde, iç bükey bir ilişkide faaliyet süresindeki bir birimlik azalışın
K’ya kadar maliyette artan oranda artış, K’dan sonra azalan oranda artış
yarattığı görülecektir. Bunun tam tersi durum dış bükey ilişki için geçerlidir.
Dış bükey bir ilişkide faaliyet süresindeki bir birim azalış K noktasına kadar
toplam maliyette küçük bir artış meydana getirirken, K noktasından sonra artan
bir oranda artış gösterir.

Hesaplamalarda basitlik sağlamak için genellikle ilişkinin Şekil 4.60’da
açıklandığı gibi doğrusal ve sürekli olduğu varsayılır.

![](media/5a00d3f4439cbc5268d02a3d4403456d.png)

Şekil 4.61

Hangi faaliyetlerin ne kadar hızlandırılacağının belirlenmesinde, projenin
büyüklüğüne bağlı olarak;

1\. Sayma yöntemi

2\. Matematiksel programlama

olmak üzere iki yaklaşım söz konusu olur.

Projenin bu yaklaşımlarla süre-maliyet ilişkisini hesaplamak için her faaliyetin
zaman-maliyet eğrisinin hesaplanması, yani maliyet birim artışının elde edilmesi
gerekir. Normal ve hızlandırılmış noktalardaki maliyetler arasındaki farkın,
süreler arasındaki farka oranına "maliyet birim artışı" veya "maliyet eğimi"
denir. Maliyet birim artışı aşağıdaki formülle açıklanır.

![](media/1c5f61602906d34a016d6058281b6a1c.png)

Formüldeki semboller aşağıdaki gibi tanımlanır.

Dij = (i, j) faaliyetinin normal süresi

![](media/d1c370c92c4543570ccafbd496afcc03.png)=
(i, j) faaliyetinin normal (dolaysız) maliyeti

dij = (i, j) faaliyetinin hızlandırılmış süresi

![](media/813164e070157e8778f4523dd660d51c.png)=
(i, j) faaliyetini hızlandırma (dolaysız) maliyeti

*Sayma Yöntemi*: Projeyi daha erken sürede tamamlamak için kritik faaliyetlerin
hızlandırılması esasına dayanan sayma yöntemi yalnızca küçük projelere
uygulanabilir. Yöntemin ilk aşamasında faaliyetlerin normal sürelerine göre
kritik yol hesaplanır ve projenin toplam maliyeti kaydedilir. Projenin
tamamlanma süresi kritik faaliyetlerin sürelerine bağlı olduğundan kritik
faaliyetlerin hızlandırılmasına geçilir.

Hızlandırma işlemine, maliyet artışı en küçük olan kritik faaliyetle başlanır.
Seçilen kritik faaliyet hızlandırılabildiği kadar hızlandırılmalı, yani mümkün
olan en kısa sürede tamamlanmalıdır. Kritik faaliyetler hızlandırıldıkça kritik
olmayan faaliyetlerin boşlukları azalır ve sonuçta yok olur. Böylece kritik
olmayan faaliyetler kritik hale gelirler ki bu, paralel kritik yolların
doğmasına neden olur. Bu nedenle, proje en erken tamamlanma süresinden daha kısa
sürede tamamlanmak istendiğinde paralel kritik yollardaki kritik faaliyetlerin
sayısı azalabilir. Herhangi bir kritik faaliyet veya faaliyetlerin
hızlandırılabilmeleri için, hızlandırma sonucu dolaysız maliyetlerde ortaya
çıkan artışın dolaylı maliyetlerdeki azalıştan küçük olması gerekir. Başlangıçta
olduğu gibi her seferinde dolaysız maliyetlerde en düşük artışa sebep olan
kritik faaliyet veya kritik faaliyetler seçilir. Paralel yol üzerindeki kritik
faaliyetler kritik olmadıkça, her adımda en az bir kritik faaliyet en kısa
süresinde tamamlanır.

Bu yöntemin uygulanmasındaki en büyük zorluk, kritik faaliyetlerin
hızlandırılması sonucunda kritik yolun değişmesi veya alternatif kritik yolların
ortaya çıkmasıdır.

Yöntemi bir örnekle açıklayalım.

Örnek 4.10: A, B, C, D, E faaliyetlerinin öncelik ilişkileri, her bir faaliyetin
normal ve hızlandırılmış süreleri ile bunlara karşılık gelen dolaysız maliyetler
aşağıdaki tabloda verilmiştir. Günlük dolaylı maliyet 100 TL’dir. Bu veriler
çerçevesinde zaman-maliyet analizini gerçekleştiriniz.

**Tablo 4.11**

|   Faaliyet | Önce Gelen  Faaliyet | Normal Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal  Maliyet | Hızlandırılmış Maliyet | Maliyet Artışı |
|------------|----------------------|-------------|---------------------|-----------------|------------------------|----------------|
| A          | -                    | 3           | 2                   | 300             | 350                    | 50             |
| B          | A                    | 4           | 2                   | 400             | 520                    | 60             |
| C          | A                    | 5           | 2                   | 500             | 650                    | 50             |
| D          | C                    | 1           | 1                   | 100             | 100                    | 0              |
| E          | B,D                  | 4           | 2                   | 400             | 530                    | 65             |

Çözüm 4.10: Yöntemin ilk aşaması faaliyetlerin normal sürelerinin dikkate
alınmasıyla kritik yolun belirlenmesidir. Kritik yolun belirlenebilmesi için
çizilen ağ ve kritik yol Şekil 4.62’de gösterilmiştir.

![](media/4d33b99017133ba53dbba500cbfb4e50.png)

**Şekil 4.62**

Kritik yolun belirlenmesi için yapılan hesaplama sonuçları aşağıdaki tabloda
topluca gösterilmiştir.

#### Tablo 4.12

| Faaliyet | EBij | GBij | ETij | GTij | Fikir        |
|----------|------|------|------|------|--------------|
| A        | 0    | 0    | 3    | 3    | Kritik       |
| B        | 3    | 5    | 7    | 9    | Kritik Değil |
| C        | 3    | 3    | 8    | 8    | Kritik       |
| D        | 8    | 8    | 9    | 9    | Kritik       |
| E        | 9    | 9    | 13   | 13   | Kritik       |

Hesaplamalar projenin 13 günde tamamlanacağını göstermektedir. Tablonun son
sütununda açıklandığı gibi A, C, D ve E kritik faaliyetler olup, bütün
faaliyetler normal süreleri içinde tamamlandıklarında proje, en erken 13 günde
biter. Projeye ilişkin toplam maliyet aşağıdaki bağıntıdan hesaplanır.

Toplam Maliyet = Dolaylı Maliyet + Dolaysız Maliyet

Toplam Maliyet = 13 X 100 + 1700

= 3000 TL

Bütün faaliyetlerin mümkün olan en kısa süreye sıkıştırılmaları durumunda proje
en erken 7 günde tamamlanır. Bu durumun toplam maliyeti aynı bağıntının dikkate
alınmasıyla aşağıdaki gibi hesaplanır.

Toplam Maliyet = 7 X 100 + 2150

= 2850 TL

Proje yönetiminin amacı bu maliyeti en küçük yapacak proje programını
geliştirmektir. Normal süreli kritik yolun belirlenmesinden sonra, en küçük
maliyet eğimli kritik faaliyetin seçimi yapılır. Faaliyetlerin maliyet birim
artışları Tablo 4.11’un son sütununda gösterilmiştir.

Dolaysız maliyette en düşük artış sağlayan kritik faaliyet D olduğundan
hızlandırma işlemine bu faaliyetle başlanır. Ancak, D’nin normal süresi ile en
kısa süresi eşit olduklarından bu faaliyetin hızlandırılması söz konusu olamaz.

A’yı inceleyelim. Bu faaliyet hızlandırılarak 3 yerine 2 günde bitirilmek
istenirse proje 13 değil 12 günde tamamlanır. Projenin 1 gün erken
tamamlanmasıyla dolaylı maliyet 100 TL azalırken, dolaysız maliyet 50 TL artar.
Dolaylı maliyetteki azalış, dolaysız maliyetteki artıştan büyük olduğundan A’nın
sıkıştırılması kararlaştırılır. A’nın 1 gün hızlandırılmasıyla toplam maliyet
2950 TL olur. A’nın daha fazla sıkıştırılması söz konusu olmadığından diğer
faaliyetlere geçilir.

C’ye geçelim. C, 5 gün yerine 4 günde bitirilirse, dolaysız maliyet 50 TL
artarken dolaylı maliyet 100 TL azalır. Bu durumda toplam maliyetten 50 TL
tasarruf edileceğinden C 1 gün hızlandırılır. C’nin biraz daha hızlandırılarak 4
yerine 3 günde bitirilmek istendiğini düşünelim. C, 3 günde bitirildiğinde,
toplam maliyet 50 TL azalacağından C’nin 3 günde bitirilmesi uygun olur. C’nin 1
gün daha hızlandırılmasıyla toplam maliyet 50 TL azalarak 2850 TL olur. C, 3
günde bitirildiğinde orijinal kritik yola paralel başka bir kritik yol (A, B, E)
ortaya çıkar. Bu durumda, paralel kritik faaliyetlerin aynı anda
sıkıştırılmaları gerekir. B ve C aynı anda birer gün hızlandırılacak paralel
kritik faaliyetlerdir. B ve C’nin birer gün hızlandırılmasıyla dolaylı maliyette
sağlanan azalış, dolaysız maliyetteki artıştan büyük (110 \> 100) olduğundan C
ve B’nin sıkıştırılması uygun olmaz.

E’yi sıkıştıralım. E’nin 1 gün önce tamamlanması sonucunda toplam maliyetten 35
(100 - 65) TL tasarruf edileceğinden, E’nin 4 yerine 3 günde bitirilmesine karar
verilir. Projenin iki kritik yolu; A, C, D, E ve A, B, E yollarıdır. Bu durumda
projenin 9 günde toplam 2815 TL maliyetle tamamlanacağı kararlaştırılır. E’nin 1
gün daha hızlandırılıp hızlandırılamayacağını inceleyelim. E’nin 3 yerine 2
günde tamamlanması toplam maliyette 35 TL’lik bir azalış sağlayacağından bu
faaliyetin 1 gün daha sıkıştırılması uygun olur.

Daha fazla hızlandırma mümkün olmadığından, hızlandırma işlemlerine son verilir.
Hızlandırma sonucunda proje 2780 TL toplam maliyetle 8 günde tamamlanacaktır.
Sonuçta, A(2), B(4), C(3), D(1), E(2) olarak uygulanacaktır.

Büyük projelerde kritik yol sayısı genellikle birden fazladır ve kritik
faaliyetler çok sayıdadır. Bu gibi durumlarda paralel kritik yollardaki, kritik
faaliyetlerin sıkıştırılmasıyla ilgili tüm alternatiflerin göz önünde
bulundurulmaları çok zaman alıcı ve zor olabilmektedir. Sözgelimi, her biri 10
kritik faaliyet içeren iki kritik yol bulunduğunda mümkün hızlandırmalar için
100 farklı kombinasyonun dikkate alınması gerekir. Bu sayma yönteminin uygulama
alanını fazlasıyla sınırlandırılan bir durumdur.

*Matematiksel Programlama*: Yukarıda açıklandığı gibi, projenin boyutu büyüdükçe
sayma yönteminin etkinliği azalır. Bu gibi durumlarda matematiksel programlama
yöntemlerinden birinin uygulanması akılcı olur. Bu bölümde, CPM için önerilen
bazı matematiksel programlama yöntemleri açıklanacaktır. Açıklanacak yöntemlerin
hepsi faaliyetlerin her birinin süre-maliyet ilişkisinin bilinmesini gerektiren
yöntemlerdir.

Doğrusal programlama modellemesi için öncelikle karar değişkenleri
tanımlanmalıdır. Amaç, en düşük maliyetli proje süresinin belirlenmesi olduğuna
göre, her bir faaliyet için bir karar değişkeni tanımlanması gerekir. (i, j)
projenin herhangi bir faaliyeti olsun. (i, j)’ye karşılık gelen karar değişkeni,
bu faaliyetin en iyi süresi olmak üzere yij ile gösterilir.

Modelin geliştirilebilmesi için olayların bilinmeyen gerçekleşme zamanları da
tanımlanmalıdır. Projenin ilk olayı 1, son olayı n olmak üzere olayların
gerçekleşme zamanları; ti (i = 1, 2, ..., n) olarak açıklanır. Şimdi modelleri
açıklamaya başlayabiliriz.

*Model I*: T zaman birimi içerisinde tamamlanması gereken bir projede
hızlandırma sonucu ortaya çıkan toplam maliyetin en küçük olmasını sağlayacak
hızlandırma planı belirlenmek istendiğinde, aşağıda gösterilen doğrusal
programlama modeli kullanılabilir. Bu model simpleks yöntemle çözülebilir. Çözüm
sonucu, en büyük hızlandırmayı sağlayan en düşük hızlandırma maliyeti (Z) elde
edilir. yij’lerin en iyi çözüm değerleri en düşük maliyeti sağlayan hızlandırma
planında beliren faaliyet süreleridir.

Zenk =
![](media/3a600ad7f4818fcaf33da98a69b2acb9.png)

tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için

dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için

tn - t1 ≤ T

ti ≥ 0 i = 1, 2, ..., n için

Bu yaklaşımla belirlenen en iyi çözümün geçerli olması için T’nin, faaliyetlerin
en kısa süreleriyle belirlenecek olan kritik yolun uzunluğuna eşit veya daha
büyük olması gerekir.

*Model II*: Faaliyetlerin hızlandırılmaları için B birim ek bütçe ayrıldığını
düşünelim. Bu ek bütçe ile yaratılan ek kaynakların faaliyetler arasında proje
süresini en küçükleyecek biçimde paylaştırılması istenebilir.

Bu duruma uygun düşen doğrusal programlama modeli aşağıda gösterilmiştir.

Zenk = tn - t1

tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için

dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için

![](media/3a600ad7f4818fcaf33da98a69b2acb9.png)≤
B

ti ≥ 0 i = 1, 2, 3, ..., n

Bu modelin simpleks yöntemle çözülmesi sonucunda, ek bütçe kullanılmasıyla
projenin tamamlanabileceği en kısa süre, bu bütçe ile sıkıştırılan faaliyetler
ve faaliyetlerin en kısa süreleri belirlenir.

Model I ve Model II’nin kullanılmasıyla proje süresi ve toplam hızlandırma
maliyeti arasındaki ilişkinin şekli belirlenebilir. Proje süresi ile dolaysız
maliyetler arasındaki ilişki Şekil 4.63’de gösterilmiştir. Yatay eksendeki Tenk
bütün faaliyetlerin en kısa sürelerinde tamamlanmaları durumunda projenin
tamamlanma süresini, Tenb ise bütün faaliyetlerin normal sürelerinde
bitirilmeleri durumunda projenin tamamlanma süresini göstermektedir.

Şekil 4.63’deki eğri yardımıyla yönetici, 1. Projenin planlanan zamanda
tamamlanması için gerekli ek kaynakların en küçük maliyetini, 2. Kıt
kaynakların, proje süresinde en büyük hızlandırılmayı sağlayacak biçimde
paylaştırılmasını sağlayabilir. Şekil 4.63’de açıklandığı gibi Tenk’de toplam
dolaysız maliyet en büyüktür. Proje süresi uzadıkça bu maliyet önce hızlı sonra
yavaş bir biçimde azalmaktadır.

![](media/ef1569066b47273209d511383fa6d46a.png)

**Şekil 4.63**

Daha önce açıklandığı gibi proje süresinin kısalması, dolaylı maliyetlerin
azalması demektir. Bu nedenle, proje süresine bağlı olarak toplam proje
maliyetinin (dolaylı + dolaysız) nasıl değiştiğinin incelenmesi istenebilir.
Değişik proje süreleri için dolaylı ve dolaysız maliyetlerin eklenmesiyle Şekil
4.64’deki gibi bir görüntü elde edilir.

![](media/153604eed96cb2197fe732e03dd19f48.png)

**Şekil 4.64**

Şekil 4.64’deki U biçimli eğriye "proje maliyet eğrisi" denir. Bu eğri
yardımıyla toplam maliyeti en küçükleyen proje süresinin (T\*) belirlenmesi çok
kolaydır. T’nin en iyi değeriyle bütün faaliyetlerin en iyi süreleri,
hızlandırma maliyeti ve kritik yol belirlenir. Bu bilgilerle en iyi proje
programı düzenlenir.

*Model III*: Dolaylı maliyetler ile proje süresi arasındaki ilişkinin doğrusal
olması durumunda doğrusal programlama ile proje için en iyi süre (T\*) ile en
iyi proje programı belirlenebilir. Proje süresi ile orantılı dolaylı maliyetler,
birim zamanda F olsun. Bu durumda dolaylı maliyet toplamı F(tn - t1 ) olur.
Burada; (tn - t1) projenin bilinmeyen uzunluğudur. (i, j) faaliyetinin
bilinmeyen tamamlanma süresi yij olmak üzere toplam dolaysız maliyet,
![](media/3a600ad7f4818fcaf33da98a69b2acb9.png)olarak
açıklanır. Amaç dolaylı ve dolaysız maliyetler toplamı olarak belirlenen toplam
maliyetin en küçüklenmesidir. Bu amaçla kullanılacak doğrusal programlama modeli
aşağıda gösterilmiştir.

Zenk = F(tn - t1) +
![](media/3a600ad7f4818fcaf33da98a69b2acb9.png)

tj - ti ≥ yij bütün (i, j) faaliyetleri için

dij ≤ yij ≤ Dij bütün (i, j) faaliyetleri için

ti ≥ 0 i = 1, 2, ..., n için

Model III’ü, sayma yöntemiyle çözdüğümüz örnek probleme uygulayalım.

Örnek 4.11: Örnek 4.10’daki problemi doğrusal programlamayla çözünüz.

Çözüm 4.11: (i, j) faaliyetinin tamamlanma süresi yij, i olayının ortaya çıkma
zamanı ti olsun. Bu durumda, 5 olaylı bu projenin tamamlanma süresi (t5 - t1)
olur.

Dolaylı maliyetin 100 TL olduğu göz önünde bulundurulduğunda, toplam dolaylı
maliyet 100(t5 - t1) olarak hesaplanır.

Buna göre yöneticinin problemi aşağıdaki gibi formüllenir.

Zenk = 100(t5 - t1) + 50(3 - y12) + 50(5 - y23) + 60(4 - y24) + 0(1 - y34) +
65(4 - y45)

t2 - t1 ≥ y12 t3 - t2 ≥ y23 t4 - t2 ≥ y24 t4 - t3 ≥ y34 t5 - t4 ≥ y45

2 ≤ y12 ≤ 3 2 ≤ y23 ≤ 5 2 ≤ y24 ≤ 4 1 ≤ y34 ≤ 1 2 ≤ y45 ≤ 4

t1, t2, t3, t4, t5 ≥ 0

Problemin simpleks yöntemle belirlenen en iyi çözümü şöyledir:

t1 = 0, t2 = 2, t3 = 5, t4 = 6, t5 = 8; y12 = 2, y23 = 3, y24 = 4, y34 = 1, y45
= 2; Zenk = 2780

Özetle, en iyi süre (t5) 8 gün, projenin en düşük maliyeti 2780 TL’dir. Sayma
yöntemiyle de aynı sonuca ulaşıldığı hatırlanabilir.

### 4.6.2.2. PERT Yöntemi

CPM’de sürelerin kesin olarak bilindiği, ayrıca faaliyetlere ayrılan kaynak
miktarlarının değişmesi durumunda faaliyet sürelerinin de değişebileceği kabul
edilmektedir. Oysa, araştırma ve geliştirme projelerinin her biri özel projeler
olup bu projelerdeki faaliyetlerin pek çoğu yalnızca bir kez
gerçekleştirildiğinden, benzer faaliyetlerden süre ile ilgili önsel bilgiler
elde edilemez. Bu tür projelerin yönetimi faaliyetlerin tamamlanma sürelerindeki
belirsizlikleri dikkate alan PERT tekniği ile gerçekleştirilir.

PERT’de faaliyetlerin tamamlanma süreleri ile değil, bunların beklenen değerleri
(E(Dij)) ile işlem yapılır. Bir başka deyişle, faaliyet sürelerinin rasgele
değişkenler oldukları ve bir olasılık dağılımına göre ortaya çıktıkları
varsayılır. Herhangi bir faaliyetin beklenen tamamlanma süresi, faaliyetin %50
olasılıkla tamamlanacağı süre demektir. Bu sürenin belirlenebilmesi için her bir
faaliyete ilişkin üç ayrı tamamlanma süresinin tahmin edilmesi gerekir. Bu
süreler aşağıda açıklanmışlardır.

1\. *İyimser Süre* (a): Faaliyetin en erken tamamlanacağı süredir. Bu sürenin
tahmininde bütün herşeyin planlandığı gibi gideceği, bütün etmenlerin faaliyeti
iyi yönde etkileyecekleri kabul edilir. İyimser tahminin gerçekleşmesi olasılığı
%1’dir.

2\. *Kötümser Süre* (b): Faaliyetin en geç tamamlanma süresidir. Bu sürenin
tahmininde hiçbir şeyin planlandığı gibi gitmeyeceği, beklenmedik
olayların(mekanik arıza, kaynak temininde aksama, kötü hava koşulları gibi)
faaliyete kötü yönde etki edeceği varsayılır.

3\. *Olabilir Süre* (m): Varsa daha önceki uygulamalardan elde edilen önsel
bilgilerin veya tahmin çalışmaları sonuçlarının kullanılmasıyla normal koşullar
altında faaliyetin tamamlanacağı süreye en yüksek olasılıkla tamamlanma süresi
veya olabilir süre denir. Olabilir süre en gerçekçi süredir.

Faaliyetin tamamlanma süresinin iyimser tahmin ile kötümser tahmin tarafından
belirlenen aralığın dışında olabileceği gözden uzak tutulmamalıdır. Olabilir
süre kesinlikle a ile b aralığında bulunacak olmakla birlikte, (a + b)/2 ile
çakışmak zorunda değildir. m, (a + b)/2 ile belirlenen değerin solunda veya
sağında olabileceği gibi (a + b)/2 ile çakışabilir. Bu özellikten dolayı, (i, j)
faaliyetinin tamamlanma süresi Dij rasgele değişkeninin modu m, alt uç noktası
a, üst uç noktası b olan beta dağılımı gösterdiği varsayılır. a, b ve m
değerlerinin tahmin edilmesinden sonra bu üç sürenin tek bir değer olarak ifade
edilmesi gerekir. (a + b)/2’nin ağırlığı m’nin ağırlığının yarısına eşittir.

![](media/1cd232257573356e2b74f8f618885e06.png)![](media/8ec858c225591253b9e62e9d9b37e471.png)

**Şekil 4.65**

Bu varsayım altında Dij’nin ortalaması aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

![](media/a7f18ccd23cc339ed46502cefdda5974.png)

Faaliyetin tamamlanma süresi, ortalama tamamlanma süresinden farklı
olabileceğinden, bu süreye ilişkin varyansın da hesaplanması gerekir. Tek modlu
dağılımların pek çoğunda, uç değerler dağılımın ortalamasından yaklaşık 3
standart sapma uzaklıkta bulunurlar. Bu durumda, 6 = b - a veya  =
![](media/b2e93b6811d04f867caf50bfd122dd4c.png)
yazılabilir. Bu bağıntıdan hareketle (i, j) faaliyetinin süresine ilişkin
varyans aşağıdaki gibi elde edilir.

![](media/5048e20e258ee8de3036b350f14e4b0a.png)

Faaliyet sürelerinin beta dağıldıkları varsayımına ek olarak, anılan sürelerin
birbirinden bağımsız rasgele değişken oldukları kabul edildiğinden, proje
ağındaki herhangi bir yolun tamamlanma süresi de rasgele değişken olur ve bu
değişkenin ortalaması aşağıdaki gibi hesaplanır.

**Herhangi bir yoldaki faaliyetlerin beklenen tamamlanma süresi =**
![](media/998e2174fa601b65c24864004c9cef78.png)

Benzer yaklaşımla herhangi bir yolun varyansı da şu şekilde hesaplanır:

**Herhangi bir yoldaki faaliyet sürelerinin varyansı
=**![](media/089eda9d632450e71869c7931ff2d5d6.png)

Her faaliyetin ortalama süresi ile varyansının hesaplanmasından sonra, CPM
uygulamasına geçilir ve kritik yol belirlenir.

İstenirse projenin herhangi bir zaman süresinden önce veya bu süre içinde
tamamlanma olasılığı hesaplanabilir. Bunun için, kritik yolu oluşturan
faaliyetlerin sayısının kritik yolun normal dağılımlı olmasını sağlayacak
büyüklükte olduğu kabul edilir. Bunun sonucunda; projenin belirli veya öngörülen
zamanda tamamlanma olasılığı ile ilgili sorular kolayca yanıtlanabilir. Bu
amaçla, öngörülen veya dikkate alınan süre T olmak üzere standart normal olarak
adlandırılan bir değişken tanımlanır. Standart normal değişken, genel olarak
aşağıdaki gibi açıklanır.

Z =
![](media/626e9ba42d6919ecea4138083ebdf231.png)

Z ile gösterilen bu değişken; ortalaması sıfır, varyansı 1 olan standart normal
değişkendir. Hesaplamaları kolaylaştırmak amacıyla, çeşitli Z değerleri için
normal eğri alanları tablolarından yararlanılmaktadır.

Birden fazla kritik yol olduğunda olasılık hesaplamalarında varyansı büyük olan
kritik yolu dikkate almak gibi bir eğilim vardır. Bu konuda benimsenen diğer bir
yaklaşım ise, projenin beklenenden geç tamamlanması ile ilgili olasılıkların
hesaplanmasında en büyük varyansı, beklenenden daha kısa sürede tamamlanmasıyla
ilgili olasılıklarda en küçük varyansı dikkate almaktır. Böylece ulaşılan
sonuçların daha güvenilir olması sağlanır.

**Örnek 4.12**: Faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve tahmini süreleri (a, m, b)
aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre,

**a**. Projenin ağını çiziniz.

**b**. Kritik yolu belirleyiniz ve kritik yolun varyansını hesaplayınız.

**c**. Projenin 39 günden önce tamamlanma olasılığını bulunuz.

**d**. Projenin 42 günden önce tamamlanma olasılığını hesaplayınız.

**Tablo 4.13**

|   Faaliyet | Önceki Faaliyet | İyimser   Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|------------|-----------------|--------------------|-------------------|-------------------|
| A          | -               | 5                  | 6                 | 9                 |
| B          | A               | 8                  | 10                | 14                |
| C          | A               | 4                  | 5                 | 7                 |
| D          | A               | 6                  | 8                 | 10                |
| E          | B, C            | 10                 | 12                | 14                |
| F          | B, C            | 4                  | 6                 | 8                 |
| G          | B               | 3                  | 5                 | 7                 |
| H          | B               | 6                  | 8                 | 10                |
| I          | G, D, E         | 5                  | 7                 | 8                 |
| J          | H, I, F         | 3                  | 5                 | 7                 |

**Çözüm 4.12**: **a**. Verilere göre çizilen proje ağı aşağıda gösterilmiştir.

![](media/f1e62d9a6febc9c802fc7bcfce52eac4.png)

Şekil 4.66

**b**. Kritik yolun belirlenmesi için her faaliyetin ortalama süresinin
hesaplanması gerekir.

Faaliyetlerin ortalama süreleri,

E(Dij) =
![](media/788c75d3ba5433479851952aa73db6b2.png)

bağıntısından hesaplanmış ve Tablo 4.14’ün beşinci sütununda gösterilmiştir.

Olasılık hesaplamalarında kullanılacak varyans değerleri ise,

![](media/5048e20e258ee8de3036b350f14e4b0a.png)

bağıntısından hesaplanmış ve aynı tablonun son sütununda verilmiştir.

**Tablo 4.14**

| Faaliyet   | a  | m  | b  | Ortalama | Varyans |
|------------|----|----|----|----------|---------|
| A          | 5  | 6  |  9 |  6.333   | 0.444   |
| B          | 8  | 10 | 14 | 10.333   | 1.000   |
| C          | 4  | 5  |  7 |  5.167   | 0.250   |
| D          | 6  | 8  | 10 |  8.000   | 0.444   |
| E          | 10 | 12 | 14 | 12.000   | 0.444   |
| F          | 4  | 6  |  8 |  6.000   | 0.444   |
| G          | 3  | 5  |  7 |  5.000   | 0.444   |
| H          | 6  | 8  | 10 |  8.000   | 0.444   |
| I          | 5  | 7  |  8 |  6.833   | 0.250   |
| J          | 3  | 5  |  7 | 5.000    | 0.444   |
| K (Kukla)  | 0  | 0  |  0 | 0.000    | 0.000   |

Kritik yolun belirlenmesi için yapılan işlem sonuçları Tablo 4.15’de
gösterilmiştir.

**Tablo 4.15**

|   Faaliyet |   EBij |   GBij |   ETij |   GTij | Boşluk GBij - EBij |
|------------|--------|--------|--------|--------|--------------------|
| A          | 0      | 0      | 6.333  | 6.333  | Kritik             |
| B          | 6.333  | 6.333  | 16.667 | 16.667 | **Kritik**         |
| C          | 6.333  | 11.500 | 11.500 | 16.667 | 5.167              |
| D          | 6.333  | 20.667 | 14.333 | 28.667 | 14.333             |
| E          | 16.667 | 16.667 | 28.667 | 28.667 | Kritik             |
| F          | 16.667 | 29.500 | 22.667 | 35.500 | 12.833             |
| G          | 16.667 | 23.667 | 21.667 | 28.667 | 7.000              |
| H          | 16.667 | 27.500 | 24.667 | 35.500 | 10.833             |
| I          | 28.667 | 28.667 | 35.500 | 35.500 | Kritik             |
| J          | 35.500 | 35.500 | 40.500 | 40.500 | **Kritik**         |
| K (Kukla)  | 16.667 | 16.667 | 16.667 | 16.667 | Kritik             |

Hesaplamalar kritik yolun; A, B, E, I, J ve K faaliyetlerinden oluştuğunu ve
projenin 40.5 günde tamamlanacağını göstermektedir. Kritik yolun varyansı kritik
faaliyetlerin varyanslarının dikkate alınmasıyla,

V(KY) = 0.444 + 1.000 + 0.444 + 0.250 + 0.444 + 0.000 = 2.582

olarak hesaplanmıştır.

**c**. Kritik yolun uzunluğunun standartlaştırılmasıyla istenilen olasılık
değeri aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.

P(KY ≤ 39) =
![](media/cd55a1868fbc7a51dc26ad7e97014e2b.png)

![](media/0d111e22d511389ad92c97aa3a3485c5.png)
![](media/db088de67cabcea8ae1ca3c5f93fd84c.png)

Şekil 4.67’de gösterildiği gibi Z = - 0.933, normal eğri altında ortalamanın sol
tarafındadır. Normal dağılım tablosundan aranılan olasılık değeri 0.1762 olarak
saptanır. Buna göre projenin 39 gün içerisinde tamamlanma olasılığı yaklaşık %18
olarak belirlenmiş olur.

![](media/b8d2032bfc2710f2d534401ec3c55797.png)![](media/e569b76093a64e558ba802d265eddfd3.png)![](media/d045f7dbd2f2046e1760eb8bff815989.png)![](media/03ff1f70912950cab9343bd762565b68.png)![](media/142ce3c0eda6dd104a08e440a998d25d.png)![](media/08e0b45c271c417344e6e36aef436d17.png)

#### Şekil 4.67

**d**. Şekil 4.68’de gösterildiği gibi Z = 0.933’ün solundaki alan
sorulmaktadır.

![](media/3b697450235f2346226aeb06e03bae25.png)![](media/895b36c20d6bdaf23387bbfae51b314a.png)![](media/c42703c825d5ed218fffaf7fc639fd85.png)![](media/4f9243f6e0bb7ba4656091ca1b55da26.png)![](media/d0a4f0321fb2231f93c3dde7e712893f.png)

#### Şekil 4.68

Buna göre, aranılan olasılık değeri aşağıdaki gibi elde edilir.

P(KY ≤ 42) =
![](media/0753ffb2916c7e2e4b6faeb4c5477002.png)

![](media/2765933e6957a167d036140f38b9227f.png)
= 0.8238

Buna göre, projenin en geç 42 günde tamamlanma olasılığı yaklaşık %82’dir.

#### 

 **PROBLEMLER**

1\. k ile v’yi birbirine bağlayan yolların taşıma kapasiteleri (otomobil/saat)
aşağıda gösterilmiştir.

![](media/18070fcee04689cb256ba853f28966db.png)

**a.** k ve v’yi birleştiren alternatif yolları listeleyiniz.

**b.** Alternatif kesmeleri ve kapasitelerini bulunuz.

**c.** Etiketleme yöntemiyle en yüksek akış planını belirleyiniz.

2\. k ile v’yi birleştiren yollar ve yolların trafik kapasiteleri aşağıda
gösterilmiştir. Şekilden görüldüğü gibi yönü belirsiz üç yol vardır. Bu
yollardaki trafik akış yönünü, en yüksek akışı sağlayacak biçimde belirleyiniz.

![](media/d7bcfcc6a92096edc45288f96f2a735f.png)

3\. Bir işletme üç fabrikasında üretim yapmakta ve üretimini 4 ayrı deposuna
göndermektedir. Fabrikaların üretimi ile depoların istem miktarları aşağıdaki
tabloda verilmiştir. Bu problemin aynı zamanda bir en yüksek akış problemi
olduğunu gösteriniz ve en yüksek akışı bularak sonucu yorumlayınız.

|         | Depo |      |      |     |        |
|---------|------|------|------|-----|--------|
| Fabrika | D1   | D2   | D3   | D4  | Toplam |
| F1      |  130 |  110 |  0   | 140 | 120    |
| F2      |  0   |  0   |  110 |  50 | 120    |
| F3      |  120 |  110 |  140 |  5  | 200    |
| Toplam  | 120  | 120  | 160  |  40 | -      |

4\. 5 kadın, 5 erkek bir dansta buluşmuşlardır. Dansı düzenleyenlerin amacı bu
kadın ve erkeklerden en fazla sayıda alternatif uygun çift yaratmaktır. Uygun
çiftler tabloda U ile gösterilmiştir. Tabloya uyan ağı çizerek uygun çift
sayısını ve uygun çiftleri belirleyiniz.

|        | Tarkan | Ozan | Cihan | Emre | Ali |
|--------|--------|------|-------|------|-----|
| Deniz  | -      | U    | -     | -    | -   |
| Demet  | U      | -    | -     | U    | -   |
| Yıldız | U      | U    | -     | -    | -   |
| Esin   | U      | U    | -     | -    | U   |
| Zeynep | -      | -    | U     | -    | U   |

5\. Küçük bir tamirhane sahibi işi için gerekli yontma makinesinin gelecek beş
yıl içindeki yenileme planını çıkarmak istemektedir. Makinenin yıllık
bakım-onarım masrafı makinenin incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup
aşağıdaki gibidir. Yaşa bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım
masraflarından kurtulmak için eskiyen makinenin satılarak yerine yenisinin
alınması mümkündür. Eskimiş makinenin satış fiyatı satıldığı yılın başındaki
yaşına bağlı olup aşağıda gösterildiği gibidir. Hesaplamalarda basitlik sağlamak
için makine yenileme maliyetinin planlama dönemi boyunca sabit kaldığı ve 25 TL
olduğu kabul edilmiştir. Buna göre 5 yıllık planlama dönemi için en iyi araç
yenileme programını oluşturunuz.

| Makinenin  Yaşı | Bakım  Masrafı | Satış Fiyatı |
|-----------------|----------------|--------------|
| 0               | 3              | -            |
| 1               | 4              | 20           |
| 2               | 6              | 15           |
| 3               | 8              | 10           |
| 4               | 12             |  7           |
| 5               | -              | 2            |

6\. Bir makine atölyesinde gelecek yedi yıl için bir araca gereksinim vardır.
Araç satın alma maliyeti 28 TL’dir. Bu maliyetin yedi yıllık planlama dönemi
boyunca değişmediği kabul edilmektedir. Aracın ömrü 3 yıl olup üçüncü yılın
sonunda kullanılmaz hale gelmektedir. Aracın yıllık bakım-onarım masrafı aracın
incelenen yılın başındaki yaşına bağlı olup aşağıdaki tabloda gösterildiği
gibidir. Makinenin yaşına bağlı olarak her yıl biraz daha artan bakım-onarım
masraflarından kurtulmak için eskiyen aracın satılarak yerine yenisinin alınması
da mümkündür. Eskiyen aracın hurda fiyatı satıldığı yıldaki yaşına bağlı olup
aşağıda gösterildiği gibidir. Buna göre 7 yıllık planlama dönemi için en iyi
araç yenileme programını oluşturunuz.

| Makinenin  Yaşı | Bakım  Masrafı | Hurda Fiyatı |
|-----------------|----------------|--------------|
| 0               | 3              | -            |
| 1               | 4              | 20           |
| 2               | 6              | 15           |
| 3               | 8              | 10           |

7\. Boy, kalınlık ve sayıları aşağıdaki tabloda verilen 450 kitabın
yerleştirileceği raf sistemi planlanmaktadır. Tek bir kitabın yerleştirilmesi
için gerekli raf alanı, kitabın boyu ile kalınlığının çarpımına eşittir. Raf
yapımında kullanılacak olan çelik levhanın 1 cm2’sinin maliyeti 3 TL’dir. Sabit
maliyet 46 TL’dir. En düşük maliyetli raf planını belirleyiniz.

| Boy | Kalınlık | Sayı |
|-----|----------|------|
| 20  | 1        | 100  |
| 23  | 3        | 150  |
| 30  | 6        | 125  |
| 34  | 5        | 75   |

8\. Aşağıdaki ağın 1 ve 5 nolu düğümler arasındaki en kısa yolu bulunuz.

![](media/9cc91b34bed77790d1503458d7fd9c0c.png)

9\. Dallarının uzunlukları; d12 = 5, d13 = 3, d14 = 7, d23 = 4, d34 = 2, d35 =
10, d36 = 9, d46 = 3, d56 = 3, d57 = 4, d67 = 9, d68 = 8 ve d78 = 6 olan bir
ağda 1 ve 8 nolu düğümler arasındaki en kısa yolu bulunuz.

10\. 5 ayrı yerleşim merkezi arasındaki uzaklıklar aşağıdaki tabloda
gösterilmiştir. Tüm merkezleri birbirine bağlayan otoyol planını oluşturunuz.

| Y. M. | 1   | 2   | 3   | 4   | 5   |
|-------|-----|-----|-----|-----|-----|
| 1     | -   | 232 | 150 | 46  | 155 |
| 2     | 232 | -   | 310 | 290 | 201 |
| 3     | 150 | 310 | -   | 101 | 213 |
| 4     |  46 | 290 | 101 | -   |  79 |
| 5     | 155 | 201 | 213 |  79 | -   |

11\. Aşağıdaki ağı göz önünde bulundurarak en küçük yayılmalı ağacı önce 2 sonra
4 nolu düğümden başlayarak belirleyiniz.

![](media/d1f75d80f4452f689566d1cba257d5f1.png)

12\. Aşağıdaki faaliyetlerden oluşan projenin ağını çiziniz.

| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|----------|-----------------|
| A        | -               |
| B        | A               |
| C        | A               |
| D        | B, C            |
| E        | C               |
| F        | D               |
| G        | E, F            |

Öncelik ilişkileri tabloda verilen faaliyetlerin süreleri A(8), B(10), C(10),
D(5), E(7), F(13), G(2) olarak verilmiştir. Kritik yolu bulunuz ve tüm
boşlukları hesaplayınız.

13\. Aşağıdaki öncelik kurallarını sağlayan faaliyetlerin oluşturduğu projeye
ilişkin ağı çiziniz.

\- A projenin ilk faaliyetidir.

\- B ve C, A’dan sonra gelir.

\- D, B’yi izler.

\- E ve F, C’den sonra gelirler.

\- G, D ve E faaliyetlerinden sonra gelir.

\- H, F’yi izler.

\- I, G ve H’dan sonra gelir.

\- J, G ve H’ı izler.

\- K, I’dan sonra gelir.

\- L, J’den sonra gelir. K ve L projenin son faaliyetleridir.

14\. Verileri aşağıdaki tabloda verilen projeye ilişkin ağı çiziniz.

| Faaliyet | Önceki Faaliyet |
|----------|-----------------|
| A        | -               |
| B        | A               |
| C        | A               |
| D        | B               |
| E        | B               |
| F        | B               |
| G        | E               |
| H        | D, E            |
| I        | G               |
| J        | G               |
| K        | F, J            |
| L        | H, I            |
| M        | L, K            |
| N        | M, C            |

15\. Aşağıdaki 11 faaliyetten oluşan proje ağını çiziniz.

| Faaliyet Tanımı                                            | Önc. Faaliyet |
|------------------------------------------------------------|---------------|
| A: Reklam planının geliştirilmesi                          | -             |
| B: Promosyon ve eğitim malzemelerinin geliştirilmesi       | -             |
| C: Eğitim planının geliştirlmesi                           | -             |
| D: Radyo, TV, gazete reklamlarının programlanması          | A             |
| E: Reklam kampanyasının geliştirilmesi                     | A             |
| F: Promosyon materyallerinin hazırlanması                  | B             |
| G: Eğitim materyallerinin hazırlanması                     | B             |
| H: Reklam koordinatörleriyle ön görüşme                    | D, K          |
| I: Eğitime katılacak yöneticilerin araştırılması ve seçimi | C             |
| K: Eğitim programını harekete geçirme                      | G, I          |
| L: 1000 kişi üzerinde görüşme                              | F, H          |

16\. Projeyi oluşturan 8 faaliyetin öncelik ilişkileri, tanımları ve tamamlanma
süreleri aşağıda gösterilmiştir.

Buna göre,

**a.** Proje ağını çiziniz.

**b.** Kritik yolu bulunuz.

**c.** Boşlukları hesaplayınız

**d.** Boşluk değerlerini yorumlayınız.

| Faaliyet | Kısa Tanım              | Önceki Faaliyet | Süre |
|----------|-------------------------|-----------------|------|
| A        | Ürün Tasarımı           | -               | 6    |
| B        | Pazar Araştırması       | -               | 5    |
| C        | Hammade Siparişi        | A               | 3    |
| D        | Hammadde Tedariki       | C               | 2    |
| E        | Örnek Ürün Üretimi      | A, D            | 3    |
| F        | Reklam Kampanyası       | B               | 2    |
| G        | Üretimin Başlaması      | E               | 4    |
| H        | Ürünün Satışa Sunulması | G, F            | 2    |

17\. Aşağıdaki ağın hatalarını bularak nedenleriyle açıklayınız.

![](media/4159e7add07f361379eaa3dea340d2fe.png)

18\. Bir projenin faaliyetleri ve bunlar arasındaki öncelik ilişkileri ile
faaliyet süreleri aşağıda gösterilmiştir. Kritik yolu bulunuz.

| Faaliyet | Önceki Faaliyet | Süre |
|----------|-----------------|------|
| A        | -               | 8    |
| B        | -               | 2    |
| C        | A               | 1    |
| D        | B               | 9    |
| E        | B               | 4    |
| F        | C, D            | 5    |
| G        | E               | 6    |
| H        | E               | 3    |
| I        | G               | 3    |
| J        | H               | 5    |
| K        | I, J            | 2    |

19\. Projeyi oluşturan faaliyetler arasındaki öncelik kuralları ve faaliyet
süresi tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

|   Faaliyet | Önceki  Faaliyet | İyimser Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|------------|------------------|------------------|-------------------|-------------------|
| A          | -                | 2                | 4                 | 6                 |
| B          | A                | 2                | 5                 | 8                 |
| C          | A                | 2                | 4                 | 6                 |
| D          | B                | 12               | 13                | 16                |
| E          | B                | 10               | 13                | 17                |
| F          | C                | 4                | 6                 | 8                 |
| G          | E                | 10               | 15                | 20                |
| H          | D, F             | 3                | 5                 | 10                |
| I          | G, H             | 2                | 4                 | 7                 |

**a.** Kritik yolu bulunuz ve standart sapmasını hesaplayınız.

**b.** Projenin 20 günde tamamlanma olasılığını hesaplayınız.

**c.** Kritik olmayan herhangi bir yol tanımlayarak bu yolun standart sapmasını
hesaplayınız.

**d.** Standart sapmasını hesapladığınız kritik olmayan yolun 13 günde
tamamlanması olasılığını bulunuz.

20\. Faaliyetlerin öncelik ilişkileri ve tahmini süreler aşağıda verilmiştir.
Projenin en geç 30 gün içerisinde tamamlanması olasılığını bulunuz.

| Faaliyet | Önceki Faaliyet | a   | m | b  |
|----------|-----------------|-----|---|----|
| A        | -               | 0.5 | 1 | 2  |
| B        | A               | 1   | 2 | 3  |
| C        | A               | 1   | 3 | 5  |
| D        | B               | 3   | 4 | 5  |
| E        | C               | 2   | 3 | 4  |
| F        | C               | 3   | 5 | 7  |
| G        | D, E            | 4   | 5 | 6  |
| H        | F               | 6   | 7 | 8  |
| I        | G, H            | 2   | 4 | 6  |
| J        | G, H            | 5   | 6 | 8  |
| K        | I               | 1   | 2 | 3  |
| L        | J               | 3   | 5 | 7  |
| M        | I, J            | 7   | 9 | 10 |
| N        | I, J            | 2   | 3 | 4  |

21\. Projeyi oluşturan 11 faaliyet arasındaki öncelik kuralları ve faaliyet
süresi tahminleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

|   Faaliyet | Önce Gelen  Faaliyet | İyimser Süre (a) | Olabilir Süre (m) | Kötümser Süre (b) |
|------------|----------------------|------------------|-------------------|-------------------|
|  A         | -                    | 3                | 6                 | 9                 |
| B          | -                    | 2                | 5                 | 8                 |
| C          | A                    | 2                | 4                 | 6                 |
| D          | B                    | 2                | 3                 | 10                |
| E          | B                    | 1                | 3                 | 11                |
| F          | C, D                 | 4                | 6                 | 8                 |
| G          | E, C                 | 1                | 5                 | 15                |
| H          | E                    | 3                | 5                 | 7                 |
| I          | G                    | 2                | 6                 | 10                |
| J          | I, H                 | 4                | 5                 | 6                 |
| L          | J                    | 5                | 7                 | 9                 |

**a.** Kritik yolu bulunuz ve boşlukları hesaplayınız.

**b.** Projenin 18 günde tamamlanması olasılığını hesaplayınız.

**c.** B-E-H-J-L yolunun 18 günde tamamlanması olasılığını bulunuz.

22\. 14 faaliyetin normal ve sıkıştırılmış süreleri ile bu sürelere ilişkin
dolaysız maliyetler aşağıda gösterilmiştir. Haftalık dolaylı maliyet 40 TL
olduğuna göre en düşük maliyetli proje programını oluşturunuz.

|   Faaliyet | Önceki  Faaliyet | Normal  Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal  Maliyet | Hızlandırılmış  Maliyet |
|------------|------------------|--------------|---------------------|-----------------|-------------------------|
| A          | -                | 10           |  8                  | 120             | 180                     |
| B          | A                |  5           |  3                  |  50             |  80                     |
| C          | A                |  8           |  7                  | 110             | 135                     |
| D          | B                | 14           | 12                  | 120             | 140                     |
| E          | D                |  8           |  5                  |  70             | 110                     |
| F          | D                | 10           | 2                   | 100             | 180                     |
| G          | D                | 9            | 6                   | 120             | 180                     |
| H          | B                | 4            | 1                   | 100             | 400                     |
| I          | C, E             | 7            | 3                   | 40              | 60                      |
| J          | G, H             | 8            | 1                   | 400             | 640                     |
| K          | F, I, J          | 3            | 2                   | 75              | 100                     |
| L          | K                | 9            | 7                   | 900             | 960                     |
| M          | H, G             | 5            | 2                   | 60              | 120                     |
| N          | M                | 12           | 8                   | 500             | 1800                    |

23\. Faaliyetlerin normal ve hızlandırılmış süreleri ile dolaysız maliyetleri
aşağıda gösterilmiştir. Günlük dolaylı maliyet 4 TL olduğuna göre en düşük
maliyetli proje programını oluşturunuz.

|   Faaliyet | Önceki  Faaliyet | Normal Süre | Hızlandırılmış Süre | Normal Maliyet | Hızlandırılmış Maliyet |
|------------|------------------|-------------|---------------------|----------------|------------------------|
| A          | -                | 3           | 1                   | 11             | 17                     |
| B          | -                | 6           | 3                   | 6              | 9                      |
| C          | -                | 5           | 4                   | 3              | 5                      |
| D          | A, B             | 11          | 3                   | 13             | 17                     |
| E          | B                | 10          | 7                   | 9              | 12                     |
| F          | B                | 5           | 1                   | 4              | 14                     |
| G          | F, C             | 3           | 2                   | 5              | 8                      |
| H          | B                | 9           | 4                   | 3              | 5                      |
| I          | E, H             | 4           | 2                   | 8              | 17                     |
| J          | E, H             | 3           | 3                   | 9              | 16                     |
| K          |  I, J            | 8           | 4                   | 15             | 23                     |
| L          | K,G              | 11          | 7                   | 20             | 28                     |

![](media/c4556f46d90cf81afe27576d07794de7.png)