WIP: Tleng

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tleng/main.tex

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 \title{Teoría de Lenguajes}
@@ -7,26 +9,37 @@
 \theoremstyle{definition}
 \newtheorem{definition}{Definición}[section]
 \newtheorem{teorema}{Teorema}[section]
+\newtheorem{lemma}{Lema}[section]
 
 \begin{document}
 \maketitle
-\maketitle
 \tableofcontents
 \newpage
 
-\input{secciones/introduccion.tex}
+\chapter{La que da Julio}
+\input{secciones/julio/introduccion.tex}
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+\chapter{La que da Vero}
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 \end{document}

tleng/secciones/automatas.pila.tex → tleng/secciones/julio/automatas.pila.tex

@@ -1,9 +1,9 @@
 \section{Autómatas de Pila}
 \label{sec:automatas-pila}
 
-Los autómatas de pila (AP) son autómatas fínitos que además tienen la cpaidad de almacenar información en una pila con dos operaciones básicas: apilar y desapilar. La operación apilar consiste en agregar un elemento a la pila, mientras que la operación desapilar consiste en eliminar el elemento que se encuentra en la cima de la misma.
+Los autómatas de pila (AP) son autómatas fínitos que además tienen la capacidad de almacenar información en una pila con dos operaciones básicas: apilar y desapilar. La operación apilar consiste en agregar un elemento a la pila, mientras que la operación desapilar consiste en eliminar el elemento que se encuentra en la cima de la misma.
 
-Cuando se va a realiar una transición, se consume un elemento de la cadena de entrada y un elemento del tope de la pila. Al moverse al  nuevo estado, el automáta puushea (apila) una cadena de símbolos en la pila (que puede ser vacía).
+Cuando se va a realiar una transición, se consume un elemento de la cadena de entrada y un elemento del tope de la pila. Al moverse al  nuevo estado, el automáta pushea (apila) una cadena de símbolos en la pila (que puede ser vacía).
 
 \paragraph{Definición:} Un autómata de pila (AP) es una 7-tupla $M = (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, Z_0, F)$ donde:
 
@@ -39,7 +39,7 @@ \subsection{Configuración instantanea}
 \end{itemize}
 
 \subsection{Lenguajes reconocidos por un autómata}
-\subsection{Lenguaje aceptado por estado final}
+\subsubsection{Lenguaje aceptado por estado final}
 Son todas las cadenas \(\alpha\in\Sigma^*\) que hacen que el automáta llegue a un estado final \(q\in F\).
 
 \[ \mathcal{L}(M) = \{ \alpha \in \Sigma^* \mid \exists q \in F \text{ tal que } (q_0, \alpha, Z_0) \overset{*}{\vdash}  (q, \lambda, Z_0) \} \]
@@ -173,6 +173,8 @@ \subsection{Autómatas de pila deterministicos}
   \item \(|\delta(q,\lambda, A) = 1 \implies |\delta(q, a, A)| = 0\)
 \end{enumerate}
 
+No es cierto que para cada autómata de pila no deterministico exista un autómata de pila deterministico que acepte el mismo lenguaje.
+
 \subsubsection{Propiedad del prefijo}
 Se dice que un lenguaje \(L\) posee la \textbf{propiedad del prefijo} si y sollo si para todo par de cadenas \textbf{no nulas} \(x\) e \(y\) es cierto que \(x \in L \implies xy\notin L\).
 

tleng/secciones/expresiones.regulare.tex → tleng/secciones/julio/expresiones.regulares.tex

@@ -152,7 +152,6 @@ \subsubsection{Demostración}
 
 Y como dijimos, más arriba si calculamos \(R^0_{1,j}\) para cada \(q_j\in F\) y unimos todas las expresiones, obtendremos la expresión regular que representa el lenguaje \(\mathcal{L}\).
 
-\newpage
 \subsection{Gramática regular a AFND}
 Dada una grámatica regular \(G = \langle V_N, V_T, P, S\rangle\), podemos construir un AFND \\ \(M=\langle Q,\Sigma, \delta, q_0, F\rangle\) que reconozca el lenguaje generado por \(G\)
 
@@ -173,41 +172,41 @@ \subsubsection{Demostración}
 \end{itemize}
 
 \paragraph{Equivalencia clausura transitiva de producciones y \(\delta\): } Vamos a probar por inducción que
-\[A   \overset{*}{\Rightarrow} \alpha B \iff q_B\in\hat\delta(q_A, \alpha)\]
+\[A   \deriva \alpha B \iff q_B\in\hat\delta(q_A, \alpha)\]
 
 \begin{itemize}
   \item \textbf{Caso base \(\alpha = \lambda\):}
         \begin{itemize}
-          \item \(A\overset{*}{\Rightarrow} \alpha B\), pero las gramáticas regulares no acentan producciones que vayan de un no terminal a otro sin pasar por un terminal, por lo que \(B = A\). Osea \(A\overset{*}{\Rightarrow} \alpha A\).
+          \item \(A\deriva \alpha B\), pero las gramáticas regulares no acentan producciones que vayan de un no terminal a otro sin pasar por un terminal, por lo que \(B = A\). Osea \(A\deriva \alpha A\).
           \item Además, como es un AFND, no tiene transiciones lambda, osea que \(\delta(q_A, \lambda) = \{q_A\}\), por lo que \(q_A\in\hat\delta(q_A, \alpha)\).
         \end{itemize}
   \item \textbf{Caso inductivo \(\alpha = \beta a\):}
         \begin{align*}
-          A\overset{*}{\Rightarrow} \alpha B   \iff & A\overset{*}{\Rightarrow} \beta aB \iffa{def.} \red{\exists C\in V_N: A \overset{*}{\Rightarrow} \beta C} \wedge \blue{C\rightarrow aB} \\
-          \iffab{\red{H.I}}{\blue{constr. M}}       & \blue{\exists q_C\in Q, q_c\in\hat\delta(q_A,\alpha)} \land \red{q_B\in\delta(q_C,a)}                                                   \\
-          \iff                                      & q_B\in \delta(\hat\delta(q_A,\alpha),a)                                                                                                 \\
-          \iff                                      & q_B\in\hat\delta(q_A, \beta a) \iff q_B\in\hat\delta(q_A, \alpha)                                                                       \\
+          A\deriva \alpha B   \iff            & A\deriva \beta aB \iffa{def.} \red{\exists C\in V_N: A \deriva \beta C} \wedge \blue{C\rightarrow aB} \\
+          \iffab{\red{H.I}}{\blue{constr. M}} & \blue{\exists q_C\in Q, q_c\in\hat\delta(q_A,\alpha)} \land \red{q_B\in\delta(q_C,a)}                 \\
+          \iff                                & q_B\in \delta(\hat\delta(q_A,\alpha),a)                                                               \\
+          \iff                                & q_B\in\hat\delta(q_A, \beta a) \iff q_B\in\hat\delta(q_A, \alpha)                                     \\
         \end{align*}
 \end{itemize}
 
-\paragraph{Demostración de la equivalencia:} Vamos a demostrar que el lenguaje generado por \(G\) y \(M\) son iguales, osea que \(\alpha a\in\mathcal{L}(M)\iff S\overset{*}{\Rightarrow} \alpha a\).
+\paragraph{Demostración de la equivalencia:} Vamos a demostrar que el lenguaje generado por \(G\) y \(M\) son iguales, osea que \(\alpha a\in\mathcal{L}(M)\iff S\deriva \alpha a\).
 Como \(G\) es una grámatica regular, hay solo dos formas de llegar desde \(S\) hasta \(\alpha a\):
 \begin{enumerate}
-  \item \(\exists A\in V_N: S \overset{*}{\Rightarrow} \alpha A \wedge A \rightarrow a \in P\)
-  \item \(\exists B\in V_N: S \overset{*}{\Rightarrow} \alpha aB \wedge B \rightarrow \lambda \in P\)
+  \item \(\exists A\in V_N: S \deriva \alpha A \wedge A \rightarrow a \in P\)
+  \item \(\exists B\in V_N: S \deriva \alpha aB \wedge B \rightarrow \lambda \in P\)
 \end{enumerate}
 Entonces:
 
 \begin{align*}
-  S\overset{*}{\Rightarrow} \alpha a \iffa{def. G} & (\exists A\in V_N: S \overset{*}{\Rightarrow} \alpha A \wedge A \rightarrow a \in P)\lor(\exists B\in V_N: S \overset{*}{\Rightarrow} \alpha aB \wedge B \rightarrow \lambda \in P) \\
-  \iffa{Equiv. anterior}                           & (\exists q_A\in Q, q_A\in\hat\delta(q_0, \alpha) \land q_f\in\delta(q_A, a)) \lor (\exists q_B\in Q, q_B\in\hat\delta(q_0, \alpha a) \land q_B\in F)                                \\
-  \iffa{def. \(\delta\)}                           & q_f\in\delta(q_S, \alpha a) \lor (\exists q_B\in Q, q_B\in\hat\delta(q_0, \alpha a) \land q_B\in F)                                                                                 \\
-  \iff                                             & \alpha a \in \mathcal{L}(M)                                                                                                                                                         \\
+  S\deriva \alpha a \iffa{def. G} & (\exists A\in V_N: S \deriva \alpha A \wedge A \rightarrow a \in P)\lor(\exists B\in V_N: S \deriva \alpha aB \wedge B \rightarrow \lambda \in P)    \\
+  \iffa{Equiv. anterior}          & (\exists q_A\in Q, q_A\in\hat\delta(q_0, \alpha) \land q_f\in\delta(q_A, a)) \lor (\exists q_B\in Q, q_B\in\hat\delta(q_0, \alpha a) \land q_B\in F) \\
+  \iffa{def. \(\delta\)}          & q_f\in\delta(q_S, \alpha a) \lor (\exists q_B\in Q, q_B\in\hat\delta(q_0, \alpha a) \land q_B\in F)                                                  \\
+  \iff                            & \alpha a \in \mathcal{L}(M)                                                                                                                          \\
 \end{align*}
 
 Falta ver que pasa si \(\lambda\in\mathcal{L}(G)\):
 
-\[ \lambda\in\mathcal{L}(G) \iff S\overset{*}{\Rightarrow} \lambda \iff S\rightarrow \lambda \in P \iff q_S\in F \iff \lambda \in \mathcal{L}(M)\]
+\[ \lambda\in\mathcal{L}(G) \iff S\deriva \lambda \iff S\rightarrow \lambda \in P \iff q_S\in F \iff \lambda \in \mathcal{L}(M)\]
 \subsection{AFD a gramática regular}
 Dado un AFD \(M=\langle Q, \Sigma, \delta, q_0, F\rangle\), existe una gramática regular \(G=\langle V_N, V_T, P, S\rangle\) equivalente
 
@@ -222,26 +221,26 @@ \subsubsection{Demonstración}
   \item \(S\rightarrow \lambda \in P \iff q_0\in F\)
 \end{itemize}
 
-\paragraph{Paso intermedio:} Vamos a demostrar por inducción: \[ \hat\delta(p,\alpha) = q \iff A_p \overset{*}{\Rightarrow} \alpha A_q\]
+\paragraph{Paso intermedio:} Vamos a demostrar por inducción: \[ \hat\delta(p,\alpha) = q \iff A_p \deriva \alpha A_q\]
 
 \begin{itemize}
   \item \textbf{Caso base:} \(\alpha = \lambda\) es trivial:
         \begin{align*}
-           & \hat\delta(p,\lambda) = q \iff A_p \overset{*}{\Rightarrow} A_p
+           & \hat\delta(p,\lambda) = q \iff A_p \deriva A_p
         \end{align*}
-  \item \textbf{Caso inductivo \(\alpha = \beta a\):} Queremos probar que \(\hat\delta(p,\alpha) = q \iff A_p \overset{*}{\Rightarrow} \alpha A_q\).
+  \item \textbf{Caso inductivo \(\alpha = \beta a\):} Queremos probar que \(\hat\delta(p,\alpha) = q \iff A_p \deriva \alpha A_q\).
 
-        Nuestra hipotesis inductiva: \(\hat\delta(p,\beta) = q \iff A_p \overset{*}{\Rightarrow} \beta A_q\) para todo \(|\beta| \leq n\)
+        Nuestra hipotesis inductiva: \(\hat\delta(p,\beta) = q \iff A_p \deriva \beta A_q\) para todo \(|\beta| \leq n\)
 
         \begin{align*}
-           & \hat\delta(p, \alpha) = \hat\delta(p, \beta a) = q \iffa{def.}\blue{\exists r\in Q:~\hat\delta(p,\beta) = r} \land \red{\delta(r, a) = q}                                            \\
-           & \iffab{\blue{H.I}}{\red{constr. G}} \blue{\exists A_r, A_p \overset{*}{\Rightarrow} \beta A_r} \land \red{A_r \rightarrow a A_q \in P} \iff A_p \overset{*}{\Rightarrow} \beta a A_q \\
+           & \hat\delta(p, \alpha) = \hat\delta(p, \beta a) = q \iffa{def.}\blue{\exists r\in Q:~\hat\delta(p,\beta) = r} \land \red{\delta(r, a) = q}          \\
+           & \iffab{\blue{H.I}}{\red{constr. G}} \blue{\exists A_r, A_p \deriva \beta A_r} \land \red{A_r \rightarrow a A_q \in P} \iff A_p \deriva \beta a A_q \\
         \end{align*}
 \end{itemize}
 
 \paragraph{Demostración de equivalencia de lenguajes:}
 \begin{align*}
-   & \alpha a\in\mathcal{L}(M) \iffa{def.} \hat\delta(q_0, \alpha a) \in F \iffa{def.} \exists q\in Q:~\hat\delta(q_0, \alpha) = q \land \delta(q,a)\in F                        \\
-   & \underset{\text{paso intermedio}}{\iff} \exists A_p, A_{q0} \overset{*}{\Rightarrow} \alpha A_p \land A_p \rightarrow a \in P \iff A_{q0} \overset{*}{\Rightarrow} \alpha a \\
+   & \alpha a\in\mathcal{L}(M) \iffa{def.} \hat\delta(q_0, \alpha a) \in F \iffa{def.} \exists q\in Q:~\hat\delta(q_0, \alpha) = q \land \delta(q,a)\in F \\
+   & \underset{\text{paso intermedio}}{\iff} \exists A_p, A_{q0} \deriva \alpha A_p \land A_p \rightarrow a \in P \iff A_{q0} \deriva \alpha a            \\
    & \underset{\text{def.}}{\iff} \alpha a \in\mathcal{L}(G)
 \end{align*}