docs(noise-ops-demo): 完善正态乘积与χ²分布的尖峰奇异性说明

补充 K₀ 对数发散的低阶渐近、尖峰无上界及可积性，并增加 χ² 奇异性随自由度变化的对照表。

Author: treert

web-tools/noise-ops-demo/README.md

@@ -54,8 +54,9 @@
 
 $$f(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_x\sigma_y}\,K_0\!\left(\frac{|z|}{\sigma_x\sigma_y}\right)$$
 
-K_0 为第二类修正 Bessel 函数。性质：z=0 处对数发散（可积尖峰）；指数重尾；
-峰度 9（正态为 3）。零均值独立时
+K_0 为第二类修正 Bessel 函数。性质：z=0 处对数发散（K_0(u) ~ −ln(u/2)，
+尖峰**无上界**但可积——发散极慢，z = 10⁻³⁰⁰ 时密度也仅 ~10²/σ² 量级）；
+指数重尾；峰度 9（正态为 3）。零均值独立时
 
 $$\mathrm{Var}(xy) = E[x^2]E[y^2] = \sigma_x^2\sigma_y^2 \quad\text{（方差的乘积）}$$
 
@@ -66,6 +67,19 @@ $$f(z) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi z}}\,e^{-z/(2\sigma^2)},\quad z>0$$
 注意均值 E[x²] = σ² ≠ 0：自乘把关于 0 对称的噪音变成恒正的"能量"，
 均值整体漂移到 σ²——这是与"两个独立噪音相乘"（均值仍为 0）的本质区别。
 
+**尖峰有没有上界？** 没有——两个尖峰都是真实的数学奇异，但方式不同：
+乘积正态是对数奇异（极慢），χ²₁ 是幂律奇异 z^{-1/2}（较快），两者都可积。
+χ² 的奇异性随自由度消失：
+
+| 自由度 k | f(0) | 形状 |
+|---|---|---|
+| 1 | +∞（z^{-1/2} 奇异） | 尖峰在 0 |
+| 2 | 1/2（有限） | 从有限值指数衰减 |
+| ≥3 | 0 | 峰离开原点（z > 0 处） |
+
+对应面板二的 ‖x‖² ~ σ²χ²(D)：D=1 尖峰顶天、D=2 从有限值衰减、D≥3 峰离开原点。
+直方图在尖峰处仍与理论线吻合：箱宽有限，显示的是箱内平均密度，总是有限值。
+
 ### 2. 点积：先按元素乘，再求和
 
 速览（推导见下文）：